Bölüm 2: Oyunlar ve Temsiller

Algoritmik Oyun Kuramı
Temel kavramlarNormal ve genişletilmiş formSınıflandırmaMahkûmun İkilemiKlasik 2×2 oyunlar2/3 ortalaması oyunuKombinatoryal oyunlar ve minimaksGeriye doğru çıkarımMekanizma tasarımına bakış
Sercan KÜLCÜ · Giresun Üniversitesi · Bilgisayar Mühendisliği

Temel Kavramlar

Oyunla Başlangıç: 2/3 Ortalaması Oyunu

Oyunun kuralı

Herkes 0 ile 90 arasında gizlice bir sayı (tam ya da ondalıklı) yazar; tüm tahminlerin ortalamasının 2/3'üne en yakın tahmin kazanır (eşitlikte ödül paylaşılır).

Merak sorusu
  • Sizce bu sınıfta ortalamanın 2/3'ü kaç çıkar?
  • Herkes sizin kadar dikkatli düşünürse hangi sayı kazanır?

2/3 Ortalaması Oyunu →

030456090ortalama 45hedef 30Örnek: 8 oyuncu, toplam 360 → ortalama 45hedef 2/3 × 45 = 300–90 arası tahminler (yeşil: kazanan)

Temel Kavramlar

Öğrenme Çıktıları

Kavramlar

Oyuncu, strateji, kazanç, bilgi, rasyonellik ve ortak bilgiyi bir örnek üzerinde tanımlamak.

Temsil ve sınıflandırma

Normal form (matris) ve genişletilmiş form (ağaç); oyunları zamanlama, anlaşma, toplam kazanç, simetri, bilgi ve ufuk boyutlarında ayırt etmek.

Denge ve verimlilik

Nash dengesini sezgisel olarak açıklamak; Mahkûmun İkilemi'nde ihanetin baskın olduğunu ve dengenin Pareto optimal olmadığını göstermek.

Klasik oyunlar

Altı klasik 2×2 oyunun saf dengelerini en iyi tepkilerle bulmak; çatışma ve koordinasyon yapısını yorumlamak.

Algoritmalar

Seviye-k akıl yürütmeyi açıklamak; minimaks ve Nim'in XOR stratejisiyle küçük oyunları elle ve kodla çözmek.

Sıralı oyunlar

Geriye doğru çıkarımla alt oyun mükemmel dengeyi bulmak; inandırıcı olmayan tehdidi ve sonlu ile sonsuz ufuk farkını yorumlamak.

Temel Kavramlar

Oyun Kuramı (Game Theory) Nedir?

  • Karar vericilerin stratejik etkileşim içinde olduğu durumları inceleyen matematiksel bir araçtır: benim en iyi kararım, senin ne yapacağına bağlıdır.
  • Karar vericilere oyuncu (ajan) denir; nasıl davrandıklarını ve sonucun nasıl şekillendiğini açıklamaya çalışır.
  • Oyuncuların rasyonel ve kendi çıkarlarına odaklı hareket ettiği varsayılır.
  • Ekonomi, siyaset, biyoloji, psikoloji ve bilgisayar biliminde yaygın kullanılır.
Ekonomi

Şirketlerin fiyat rekabeti, açık artırmalar, pazarlık.

Bilgisayar ağları

Her paketin/sürücünün kendi yolunu seçtiği bencil yönlendirme.

Yapay zekâ

Çoklu ajan sistemleri, oyun oynayan programlar, öğrenen ajanlar.

Algoritmik oyun kuramı iki soru ekler: Dengeyi hesaplamak ne kadar zor? Bencil ajanlar arasında iyi sonuç veren kuralları (algoritma, protokol, açık artırma) nasıl tasarlarız?

Temel Kavramlar

Kısa Tarihçe: Oyun Kuramından Algoritmik Oyun Kuramına

YılGelişme
1913Zermelo: satranç gibi sonlu, mükemmel bilgili oyunlarda bir taraf kazanmayı ya da iki taraf beraberliği garanti eder.
1928von Neumann: iki kişilik sıfır toplamlı oyunlar için minimaks teoremi.
1944von Neumann ve Morgenstern, Theory of Games and Economic Behavior: oyun kuramı ayrı bir alan olur.
1950Nash: her sonlu oyunda karışık stratejilerde bir denge vardır. Aynı yıl RAND'daki Flood–Dresher deneyi; Tucker Mahkûmun İkilemi hikâyesini anlatır.
1961Vickrey: ikinci fiyat açık artırmasında dürüst teklif baskındır.
1994Nash, Harsanyi ve Selten'e Nobel ekonomi ödülü.
1999Koutsoupias–Papadimitriou (en kötü denge, Anarşinin Bedeli) ve Nisan–Ronen (algoritmik mekanizma tasarımı): algoritmik oyun kuramı doğar.
2006Nash dengesi bulmak PPAD-tam (Daskalakis–Goldberg–Papadimitriou; iki oyuncu: Chen–Deng).
2012, 2020Nobel: Roth ve Shapley (kararlı eşleştirme, piyasa tasarımı); Milgrom ve Wilson (açık artırma tasarımı).

Temel Kavramlar

Bir Oyunun Bileşenleri

Oyuncular

Karar alan kişi veya kurumlar.

N = {1, …, n}
Eylemler / Stratejiler

Her oyuncunun seçebileceği eylemler kümesi.

Si = {Taş, Kağıt, Makas}
Kazanç (payoff)

Her sonucun oyuncu için değeri; herkesin seçimine bağlıdır.

ui(s1, …, sn)
Bilgi

Kim neyi, ne zaman biliyor? Rakibin hamlesini görüyor musun?

satranç ≠ poker
Kurallar ve sıra

Eşzamanlı mı, sırayla mı? Kazançları eylemlere bağlayan kurallar.

normal / genişletilmiş form
Sonuç

Tüm oyuncuların seçimlerinin bir araya gelmesiyle oluşur.

s = (s1, …, sn)

Oyun: oyuncuların etkileşime girdiği, her birinin seçiminin herkesin kazancını etkilediği durum.

Temel Kavramlar

Oyuncular ve Rasyonellik

  • Rasyonel: Her oyuncu, inançlarına göre kendi beklenen faydasını en büyükleyen seçimi yapar.
  • Kendi çıkarı: Oyuncu kendi fayda fonksiyonunu izler; başkalarının kazancı ancak kendi faydasına girerse önemlidir.
  • Ortak bilgi (common knowledge): Herkes rasyonel, herkes bunu biliyor, herkes herkesin bildiğini biliyor, …
2/3 oyununda her bilgi düzeyi bir aralığı elerDüzey 1: herkes rasyonelkimse 60'tan büyük yazmazDüzey 2: herkes bunu bilirkimse 40'tan büyük yazmazDüzey 3: bunu bildiğini de bilir26,7'nin üstü de elenirOrtak bilgi: … sonsuza dekyalnızca 0 kalır
Rasyonel ≠ bencil: fayda fonksiyonu adalet, özgecilik ya da itibar kaygılarını da içerebilir. Sonuç, hiçbir oyuncunun tek başına kontrol edemediği bir etkileşimin ürünüdür.

Temel Kavramlar

Eylem ve Strateji

  • Strateji: Oyuncunun seçtiği eylem planı. Sıralı oyunlarda, her olası durumda ne yapacağını söyleyen tam plandır.
  • Sağda Ş2, Ş1'in fiyatını görüp yanıt veriyor: 2 karar düğümü × 2 eylem = 4 strateji, oysa yalnız 2 eylem var.
  • Strateji, diğerlerinin davranışına ilişkin beklentilere dayanır.
100120100(5, 5)120(8, 1)100(1, 8)120(6, 6)Ş1Ş2Ş2Ş2'nin stratejisi = (Ş1 100 derse, Ş1 120 derse)(100, 100)(100, 120)(120, 100)(120, 120)
Saf strateji (pure)

Tek bir planı kesin olarak seçmek.

“her zaman Taş”
Karışık strateji (mixed)

Saf stratejiler üzerinde olasılık dağılımı.

(Taş 1/3, Kağıt 1/3, Makas 1/3)

Strateji profili: her oyuncudan bir strateji, s = (s1, …, sn). Sonucu profil belirler.

Temel Kavramlar

Kazanç (Payoff) ve Fayda Fonksiyonu

  • Oyuncunun, tüm oyuncuların seçtiği strateji profiline bağlı olarak elde ettiği değer; fayda fonksiyonu ui ile ölçülür.
  • Oyuncular stratejilerini kazançlarını en büyüklemek için seçer.
  • Para, puan, hapis yılı (eksi işaretle) ya da memnuniyet düzeyi olabilir.
  • Karışık stratejilerde oyuncu beklenen kazancını hesaplar.
u₁(Kağıt, rakibin eylemi)+1rakip: Taş0rakip: Kağıt−1rakip: Makasrakip 1/3–1/3–1/3 oynarsa E[Kağıt] = 0
Aynı eylemin (Kağıt) kazancı rakibin eylemine göre +1, 0 ya da −1 olur: kazanç bir profilin fonksiyonudur, u1(Kağıt, Taş) = +1.

Temel Kavramlar

Sıralı (Ordinal) ve Kardinal Fayda

Sezgi: Sıralı fayda yalnızca tercih sırasını söyler (Opera ≻ Futbol ≻ Evde). Sayıları sırayı bozmadan değiştirmek (3, 2, 0 yerine 30, 20, 0) saf strateji analizini, baskınlığı ve saf dengeleri değiştirmez. Kardinal fayda (von Neumann–Morgenstern) farkların büyüklüğünü de taşır: piyango ve karışık stratejiler beklenen fayda ile karşılaştırıldığı için sayıların kendisi önemlidir.

Çalışılmış örnek

Ayşe için kesin Futbol mu, yoksa ½ Opera + ½ Evde piyangosu mu?

Fayda (Opera, Futbol, Evde)PiyangoKesin FutbolSeçim
(3, 2, 0)½·3 + ½·0 = 1,52Futbol
(3, 1, 0): aynı sıra1,51Piyango
2u + 1 = (7, 5, 1)45Futbol

Sıra aynı kalsa da sayılar değişince piyango kararı değişebilir; a·u + b (a > 0) dönüşümü ise kararı korur.

Sık hata: “Kazanç 4, kazanç 2'nin iki katı iyidir” demek ya da karışık strateji hesabında sıralı sayıları kullanmak. Beklenen kazanç hesabı, faydaların kardinal (vNM) olduğunu varsayar; yalnızca sıra biliniyorsa saf strateji analiziyle yetinilir.

Temel Kavramlar

Bilgi: Kim Neyi Biliyor?

  • Her oyuncunun oyun, kazançlar ve yapılan hamleler hakkında sahip olduğu bilgi; stratejiyi ve sonucu doğrudan etkiler.
1222, 1'in seçimini görürMükemmel bilgisatranç, XOX, Nimkesikli: bilgi kümesi (2 ayırt edemez)122Eşzamanlı hamleTKM, fiyat rekabetigüçlüzayıfbahisbahisD1122D: Doğa kartı dağıtır; 2 eli görmezMükemmel olmayan bilgipoker, açık artırma
Kesikli çizgi bilgi kümesidir: oyuncu o düğümleri birbirinden ayıramaz. Mükemmel bilgi geleceği bilmek demek değildir. Tam bilgi (complete) ayrı bir kavramdır: kurallar ve herkesin kazanç fonksiyonu herkesçe bilinir; bilinmiyorsa eksik bilgi (incomplete) vardır → Bayesçi oyunlar.

Temel Kavramlar

Örnek: Poker ve Blöf Stratejileri

Oyun kurulumu (Texas Hold'em)
  • Her oyuncunun 2 kapalı kartı var; ortadaki açık kartlarla en iyi eli oluşturmaya çalışır.
  • Rakibin kapalı kartlarını göremezsin: bilgi gizlidir.
  • Güçlü bir el gördüğünde bile, rakiplerin ellerini bahislerinden tahmin etmeye çalışırsın.
Oyun kuramı yönü
  • Rakibin davranışı (bahis, bekleme) ona dair bilgi taşır.
  • Blöf, elin gücünü gizlemek için yanıltıcı sinyal göndermektir.
  • Yalnızca güçlü elde bahis yapan oyuncu kolayca okunur.
Blöf aslında bir karışık stratejidir: zayıf elde de belirli bir olasılıkla bahis yapmak, rakibin sizi okumasını engeller. Bilgisayar poker programları (ör. Libratus, 2017) bu dengeleri hesaplayarak profesyonelleri yendi.

Oyunların Temsili

Normal Form (Stratejik Form)

  • Oyuncuların eşzamanlı (ya da birbirinin seçimini bilmeden) karar verdiği durumları modeller.
  • Oyuncular kümesi N = {1, …, n}; her oyuncunun strateji kümesi Si.
  • Strateji profili (strategy profile): s = (s1, …, sn).
  • Fayda fonksiyonu: ui : S1 × … × Sn → ℝ.
  • İki oyuncuda kazanç matrisi: satır = oyuncu 1, sütun = oyuncu 2, hücre = (u1, u2).
Oyuncu 2Oyuncu 1SolSağÜst(4,3)(1,2)Alt(3,1)(2,4)S₁ = {Üst, Alt}, S₂ = {Sol, Sağ}vurgulu profil s = (Üst, Sağ): u₁ = 1, u₂ = 2G = (N, S₁, S₂, u₁, u₂), N = {1, 2}

Oyunların Temsili

Örnek: Taş-Kağıt-Makas Normal Formda

  • İki oyuncu (n = 2), aynı anda Taş, Kağıt ya da Makas seçer. Taş makası, makas kağıdı, kağıt taşı yener.
Oyuncu 2TaşKağıtMakasOyuncu 1Taş00(,)−11(,)1−1(,)Kağıt1−1(,)00(,)−11(,)Makas−11(,)1−1(,)00(,)Kazanan +1Kaybeden −1Beraberlik 0Toplam her hücrede 0(sıfır toplamlı oyun)

Hiçbir hücrede iki oyuncunun da en iyi tepkisi buluşmaz: TKM'nin saf Nash dengesi yoktur.

Oyunların Temsili

Taş-Kağıt-Makas'ta Strateji Seçimi

1. Rastgele seçim

Her turda her sembolü 1/3 olasılıkla seç.

Beklenen kazanç, rakip ne yaparsa yapsın 0. Hiç sömürülemez: denge stratejisi.

2. Geçmişe göre seçim

Rakip son turda Taş dediyse bu tur Kağıt de.

Örüntülü rakibe karşı kazandırır; ama bu kural da bir örüntüdür ve rakip onu sömürebilir.

3. Dengesiz karışık strateji

Ör. yarı zamanda Kağıt, yarı zamanda Makas.

Rakip hep Makas derse beklenen kazancı +1/2 olur: bu karışım sömürülebilir.

Basit bir oyunda bile strateji seçimi önemlidir. Tahmin edilemez olmak yetmez; doğru olasılıklarla tahmin edilemez olmak gerekir.

Oyunların Temsili

Sıfır Toplamlı Oyunlar

  • Her profilde kazançların toplamı sıfır: u1(s) + u2(s) = 0. Birinin kazancı, diğerinin kaybıdır.
  • Toplam sabitse (ör. bir puan paylaşılıyorsa) aynı analiz geçerli: sabit toplamlı oyun.
  • Örnek: TKM, Yazı-Tura, satranç (+1 / 0 / −1). Değil: Mahkûmun İkilemi, fiyat rekabeti.
  • Tek matris yeter: satır büyütmek, sütun küçültmek ister → maksimin ve minimaks değeri. (Oyun ağacındaki minimaks arama, aynı fikri sıralı oyunda yapraktan köke uygulayan algoritmadır.)
AyrıştıranEşleştirenYazıTuraYazı(1,−1)(−1,1)Tura(−1,1)(1,−1)u₂ = −u₁ olduğundan yalnız u₁ yazılırYazıTuraYazı1−1Tura−11A
Sıfır toplamlı oyunda ortak çıkar yoktur: saf rekabet. Sıfır toplamlı olmayan oyunlarda ise herkesin kazandığı (ya da kaybettiği) sonuçlar olabilir; işbirliği ile rekabet bir aradadır, iletişim ve müzakere sonucu değiştirebilir (ticaret müzakeresi, iklim anlaşmaları).

Oyunların Temsili

Örnek: Fiyat Rekabeti Oyunu

  • İki şirket aynı pazarda benzer ürün satıyor; aynı anda fiyat belirliyor: 100 TL ya da 120 TL.
  • Ucuz olan müşteriyi kapar; ikisi de pahalıysa kâr marjı yüksek kalır.
  • Hücreler kâr birimi: (Şirket 1, Şirket 2).
Şirket 2: 100 TLŞirket 2: 120 TL
Şirket 1: 100 TL(5, 5)(8, 1)
Şirket 1: 120 TL(1, 8)(6, 6)

İkisi de 100 TL derse 5'er, ikisi de 120 TL derse 6'şar birim kâr.

Karşı taraf 100 derse 5 > 1, 120 derse 8 > 6: her şirket için 100 TL baskın. Denge (100, 100) → 5'er kâr; oysa (120, 120) ikisine de 6 verirdi. Bu, Mahkûmun İkilemi'nin yapısıdır.

Oyunların Temsili

Genişletilmiş Form (Oyun Ağacı)

  • Kararların sırasını ve her anda kimin neyi bildiğini gösteren oyun ağacı; sıralı etkileşimleri (satranç, pazarlık, piyasaya giriş) doğal biçimde modeller.
GirmeGirSavaşUzlaş(0, 2)(−1, −1)(1, 1)RakipTekel← karar düğümü: sıra Rakip'te← karar düğümü: sıra Tekel'dedal = eylemyapraklar: oyun biter, (u_Rakip, u_Tekel) yazılır

Piyasaya giriş oyunu: Rakip pazara girer ya da girmez; girerse Tekel savaşır ya da uzlaşır. Ağaç, sırayı ve her karar anında kimin oynadığını açıkça gösterir.

Oyunların Temsili

Normal Formdan Oyun Ağacına: Adım Adım

Şirket 2100 TL120 TLŞ1100(5, 5)(8, 1)120(1, 8)(6, 6)normal form

Başlangıç: fiyat rekabeti oyununun normal formu. Aynı oyunu bir oyun ağacı olarak çizeceğiz.

Şirket 2100 TL120 TLŞ1100(5, 5)(8, 1)120(1, 8)(6, 6)normal form100120Ş1

Kök düğüm: Şirket 1'in kararı. Her dal bir eylemdir: 100 TL ya da 120 TL.

Şirket 2100 TL120 TLŞ1100(5, 5)(8, 1)120(1, 8)(6, 6)normal form100120Ş1100120Ş2100120Ş2

Her dalın sonunda Şirket 2'nin karar düğümü var; o da 100 ya da 120 seçer.

Şirket 2100 TL120 TLŞ1100(5, 5)(8, 1)120(1, 8)(6, 6)normal form100120Ş1100120Ş2100120Ş2(5, 5)(8, 1)(1, 8)(6, 6)

Yapraklar sonuçlardır: dört yol, matrisin dört hücresine karşılık gelir. Örn. 100–120 yolu (8, 1) hücresi.

Şirket 2100 TL120 TLŞ1100(5, 5)(8, 1)120(1, 8)(6, 6)normal form100120Ş1100120Ş2100120Ş2(5, 5)(8, 1)(1, 8)(6, 6)bilgi kümesi

Ama iki şirket fiyatı aynı anda belirliyor: Ş2, Ş1'in seçimini görmez. Kesikli bilgi kümesi bunu gösterir; ağaç matrisle aynı oyundur.

Şirket 2100 TL120 TLŞ1100(5, 5)(8, 1)120(1, 8)(6, 6)normal form100120Ş1100120Ş2100120Ş2(5, 5)(8, 1)(1, 8)(6, 6)Ş2 fiyatı görür

Bilgi kümesini kaldırırsak Ş2 önce Ş1'in fiyatını görür: artık sıralı bir oyun; geriye doğru çıkarımla çözülür.

Oyunların Temsili

Örnek: Satranç Bir Genişletilmiş Form Oyunudur

  • İki oyuncu sırayla hamle yapar; her hamle bir dal, her konum bir düğümdür.
  • Mükemmel bilgi: iki oyuncu da tahtayı ve tüm geçmiş hamleleri görür.
  • Sonuç galibiyet, yenilgi ya da beraberliktir (pat, üç kez tekrar, 50 hamle kuralı).
  • Zermelo (1913): Bu tür sonlu oyunlarda ya bir taraf kazanmayı ya da iki taraf beraberliği garanti edebilir; ama ağaç çok büyük olduğu için hangisi olduğu bilinmiyor.
başlangıç… 20 …Beyaz: 20 hamle · Siyah: 20 cevap20 × 20 = 400 konum; tüm ağaç ≈ 10¹²⁰ oyun
Satranç programları ağacın yalnızca bir kısmını arar (minimaks + budama). XOX, Nim ve “21'i Söyleme” gibi küçük oyunların ağacı ise tamamen çözülebilir.

Oyunların Sınıflandırılması

Oyunların Sınıflandırılması

BoyutBir uçDiğer uçSorulan soruÖrnek
ZamanlamaEşzamanlıSıralıRakibin hamlesini görerek mi oynuyorum?kapalı zarf teklif / piyasaya giriş
Anlaşmaİşbirlikçiİşbirlikçi olmayanBağlayıcı anlaşma yapılabilir mi?ortak girişim / Mahkûmun İkilemi
Toplam kazançSıfır toplamlıSıfır toplamlı olmayanBirinin kazancı diğerinin kaybı mı?penaltı / iklim anlaşması
SimetriSimetrikAsimetrikOyuncuların yerini değiştirince oyun aynı mı?Geyik Avı / Cinsiyetler Savaşı
BilgiMükemmel bilgiMükemmel olmayan bilgiGeçmiş hamlelerin hepsini görüyor muyum?Connect Four / poker
UfukSonluSonsuzOyunun belirli bir sonu var mı?Kırkayak / sürekli fiyat rekabeti
  • Simetri: u₁(a, b) = u₂(b, a); kazanç kimin oynadığına değil, stratejiye bağlı. Ufuk: sonsuz ufukta gelecek kazançlar δ ∈ (0, 1) ile tartılır: Σ δt ut.
  • Anlaşma: işbirlikçi oyunda analiz birimi koalisyondur (Shapley değeri, çekirdek), işbirlikçi olmayanda tek oyuncu (Nash dengesi). Boyutlar bağımsızdır: satranç sıralı, işbirlikçi olmayan, sıfır toplamlı, mükemmel bilgili ve sonludur.

Denge Kavramları

Denge ve Nash Dengesi

  • En iyi tepki (best response): Diğerlerinin stratejileri s−i sabitken oyuncu i'ye en yüksek kazancı veren strateji.
  • Nash dengesi: Herkesin stratejisi diğerlerininkine en iyi tepki olan profil s*; hiç kimse tek taraflı sapmak istemez (Nash, 1950).
Şirket 2Ş1100120100(5,5)(8,1)120(1,8)(6,6)mavi ↑: Şirket 1 saparak kazanır · turuncu ←: Şirket 2 saparokların hepsi (100, 100)'e akar: kimse ayrılmak istemez
Ne söyler?

Diğerleri sabitken sapmak kazandırmaz; kimse pişman değildir. Sapma okları dengeye çıkar, dengeden çıkmaz.

Ne söylemez?

Dengenin herkes için iyi olduğunu: (120, 120) ikisine de 6 verirdi. Mahkûmun İkilemi de aynı yapıdadır.

Mahkûmun İkilemi

Mahkûmun İkilemi (Prisoner's Dilemma)

  • İki şüpheli (Sam ve John) ayrı odalarda sorgulanıyor; birbirleriyle konuşamıyorlar.
  • Her birinin iki seçeneği var: sessiz kalmak ya da suç ortağını ele verip itiraf etmek.
DurumSamJohn
İkisi de sessiz1 yıl1 yıl
Sam itiraf eder, John sessizserbest3 yıl
Sam sessiz, John itiraf eder3 yılserbest
İkisi de itiraf eder2 yıl2 yıl
Terim birliği: İşbirliği = suç ortağıyla işbirliği = sessiz kalmak. İhanet = itiraf etmek (polisle işbirliği). Kısaca: “Sessiz” ve “İhanet”.

Mahkûmun İkilemi oyunu

Mahkûmun İkilemi

Sam ve John'un Kazanç Matrisi

  • Kazanç = −(hapis yılı): az ceza, büyük kazanç.
  • Her hücrede ilk sayı Sam'ın (satır), ikinci sayı John'un (sütun) kazancı.
  • İkisi de sessiz: ikisi de −1.
  • Sam sessiz, John ihanet: Sam −3, John 0.
John: SessizJohn: İhanet
Sam: Sessiza  (−1, −1)b  (−3, 0)
Sam: İhanetc  (0, −3)d  (−2, −2)

Hücreler a, b, c, d olarak adlandırıldı.

Soru: Her mahkûm kendi cezasını en aza indirmek isterse ne olur?

Mahkûmun İkilemi

İhanet Neden Baskın? Durum Analizi

Durum 1: John sessiz kalırsa

Sam sessiz: 1 yıl (hücre a)  ·  Sam ihanet: serbest (hücre c) ⇒ ihanet daha iyi (0 < 1 yıl).

Durum 2: John ihanet ederse

Sam sessiz: 3 yıl (hücre b)  ·  Sam ihanet: 2 yıl (hücre d) ⇒ ihanet daha iyi (2 < 3 yıl).

John ne yaparsa yapsın ihanet daha az ceza getiriyor: ihanet baskın strateji. John'un olasılıklarını bilmek gerekmez; “ortalama cezayı azaltır” gerekçesi yanlıştır.
John da aynı ikilemi yaşar; onun için de ihanet baskın. Sonuç hücre d: ikisi de 2'şer yıl. Oysa ikisi de sessiz kalsaydı (hücre a) 1'er yıl yatacaklardı: itiraf “ikisi için en iyi sonuç” değildir; bireysel en iyi seçim ikisini birden kötüleştirir.

Mahkûmun İkilemi

İkilemin Mesajı: Bireysel Rasyonellik, Ortak Kötü Sonuç

  • Oyunun tek Nash dengesi (İhanet, İhanet) = (−2, −2).
  • (Sessiz, Sessiz) = (−1, −1) ikisi için de daha iyi: denge Pareto optimal değil.
  • Anlaşma yapsalar bile bağlayıcı değil (işbirlikçi olmayan oyun): her biri sözünü bozmaya teşviklidir.
Mesaj: Herkesin kendi çıkarına rasyonel davranması, toplum için iyi sonucu garanti etmez.
−3−3−2−2−1−100Sam'ın kazancı →↑ John'unikisi de daha iyi(S, S)(S, İ)(İ, S)(İ, İ) Nashyeşil kesikli: Pareto optimal sonuçlar
Nerede görülür?

Fiyat savaşları, silahlanma yarışı, iklim anlaşmaları, sporda doping, ortak kaynakların aşırı kullanımı.

Çıkış yolları

Tekrarlanan oyun ve itibar (Tit-for-Tat), sözleşme ve teşvik tasarımı.

Mahkûmun İkilemi

Pareto Optimallik: Kazanç Uzayında Bakış

−3−2−10−3−2−10u₁ (satır oyuncusu)u₂ (sütun)(S, S)(S, İ)(İ, S)(İ, İ) = Nash

Her sonuç bir nokta: (u₁, u₂). Mahkûmun İkilemi'nin dört sonucu (S: Sessiz, İ: İhanet), kazanç = −(hapis yılı).

−3−2−10−3−2−10u₁ (satır oyuncusu)u₂ (sütun)(İ, İ)'den herkes için iyi(S, S)(S, İ)(İ, S)(İ, İ) = Nash

Nash dengesi (İ, İ) = (−2, −2). Turuncu bölgede ikisine de daha iyi bir sonuç var: (S, S).

−3−2−10−3−2−10u₁ (satır oyuncusu)u₂ (sütun)(İ, İ)'den herkes için iyi(S, S)(S, İ)(İ, S)(İ, İ) = Nash✕

Pareto optimal: (S, S), (S, İ), (İ, S) (yeşil). Tek Nash dengesi olan (İ, İ) ise Pareto baskılanır.

  • Pareto baskınlık: x, y'yi baskılar ⇔ herkes için u(x) ≥ u(y) ve en az biri için >.
  • Pareto optimal: hiçbir sonuç onu baskılamaz; kimseyi kötüleştirmeden kimse iyileştirilemez.
  • Grafikte: noktanın sağ üst çeyreğinde başka sonuç yoksa Pareto optimaldir.
  • Pareto optimallik adalet değildir: (S, İ) de Pareto optimaldir ama biri 3 yıl yatar.
Denge (kararlılık) ile verimlilik ayrı sorulardır; aradaki kayıp Anarşinin Bedeli ile ölçülür.

Klasik 2×2 Oyunlar

Altı Klasik 2×2 Oyun ve Saf Dengeleri

OyunEylemler (1 / 2)(1, 1)(1, 2)(2, 1)(2, 2)Saf Nash dengeleri
Yazı-Tura EşleştirmeYazı / Tura(1, −1)(−1, 1)(−1, 1)(1, −1)yok
TavukKır / Düz git(0, 0)(−1, 1)(1, −1)(−10, −10)(Kır, Düz git), (Düz git, Kır)
Cinsiyetler SavaşıOpera / Futbol(3, 2)(0, 0)(0, 0)(2, 3)(Opera, Opera), (Futbol, Futbol)
Geyik AvıGeyik / Tavşan(4, 4)(0, 3)(3, 0)(3, 3)(Geyik, Geyik), (Tavşan, Tavşan)
Saf KoordinasyonParti / Ev(10, 10)(0, 0)(0, 0)(5, 5)(Parti, Parti), (Ev, Ev)
Bedava ParaYazı / Tura(1, 1)(0, 0)(0, 0)(0, 0)(Yazı, Yazı) kesin; (Tura, Tura) zayıf

(1, 2): satır oyuncusu 1. eylemi, sütun oyuncusu 2. eylemi oynar; hücrede (satır oyuncusunun, sütun oyuncusunun) kazancı.

Saf dengeyi bulmak: her sütunda satır oyuncusunun, her satırda sütun oyuncusunun en iyi tepkisini işaretle; iki işaretli hücre saf Nash dengesidir.

Klasik 2×2 Oyunlar

Altı Oyunun Yorumu: Çatışma mı, Koordinasyon mu?

Yazı-Tura EşleştirmeÇıkarlar tamamen zıt; her hücrede kaybeden sapar. Kestirilebilen her eğilim sömürülür: tek çıkış rastgele oynamaktır (karışık strateji).
TavukAnti-koordinasyon: farklı eylem istenir. İki denge birer sürücüyü kayırır; geri adım atamayacağını inandırıcı biçimde gösteren (taahhüt) kazanır.
Cinsiyetler SavaşıBuluşmak ortak çıkar, nerede buluşulacağı çatışmadır. Baskın strateji yok; çözüm iletişim, gelenek ya da sırayla seçmektir.
Geyik AvıGüven ikilemi: (Geyik, Geyik) Pareto optimal ve dengedir, ama Tavşan her durumda 3 garanti eder. Mahkûmun İkilemi'nden farkı: işbirliği dengedir.
Saf KoordinasyonÇıkar çatışması yok; kötü denge (Ev, Ev) de kendini sürdürür. Oyuncular belirgin olana, odak noktasına (Schelling) yönelir.
Bedava Para(Yazı, Yazı) kesin denge: sapan kaybeder. (Tura, Tura) zayıf denge: sapmak kazandırmaz ama kaybettirmez de; Yazı zayıf baskındır.

2/3 Ortalaması Oyunu

Seviye-k Düşünme: 45 → 30 → 20 …

Düşünme seviyesiVarsayımTahmin
Seviye 0Herkes rastgele yazar, ortalama 45—
Seviye 1Diğerleri seviye 02/3·45 = 30
Seviye 2Diğerleri seviye 12/3·30 = 20
Seviye 3Diğerleri seviye 2≈ 13,3
Seviye ∞Herkes tam rasyonel0
  • “Ortalama 45 olur, 2/3'ü 30” akıl yürütmesi yalnızca seviye 1'dir.
  • Başkalarının da 30 diyeceğini düşünen daha düşük (ör. 20) yazar; herkesin fazla düşük yazacağını düşünen biraz yukarı kayabilir.
  • En iyi tahmin, diğerlerinin kaçıncı seviyede düşündüğüne dair inancınıza bağlıdır.

2/3 Ortalaması Oyunu

Kod İzleme: Seviye-k Akıl Yürütme ve En İyi Tahmin

0102030405060708090

Seviye 0 rastgele yazar (ortalama 45). Seviye k, herkesi seviye k−1 sanıp onun 2/3'ünü yazar.

0102030405060708090%30%40%30nüfus: seviye 0 · 1 · 2

İnanç: sınıfın %30'u seviye 0, %40'ı seviye 1, %30'u seviye 2 düşünüyor.

0102030405060708090%30%40%30nüfus: seviye 0 · 1 · 2ort 31,5

Beklenen ortalama: 0,3·45 + 0,4·30 + 0,3·20 = 31,5.

0102030405060708090%30%40%30nüfus: seviye 0 · 1 · 2ort 31,5hedef 21

Kazanan sayı ortalamanın 2/3'ü: hedef = 21.

0102030405060708090%30%40%30nüfus: seviye 0 · 1 · 2ort 31,5hedef 21S0

Seviye 0: tahmin 45, hedefe uzaklık 24. Ortalamayı yazmak çok yüksek.

0102030405060708090%30%40%30nüfus: seviye 0 · 1 · 2ort 31,5hedef 21S0S1

Seviye 1: tahmin 30, hedefe uzaklık 9. Klasik “ortalama 45 → 30” cevabı: hâlâ uzak.

0102030405060708090%30%40%30nüfus: seviye 0 · 1 · 2ort 31,5hedef 21S0S1S2

Seviye 2: tahmin 20, hedefe uzaklık 1. Hedefe en yakın: bu inançla en iyi tepki.

0102030405060708090%30%40%30nüfus: seviye 0 · 1 · 2ort 31,5hedef 21S0S1S2S3

Seviye 3: tahmin 13,3, hedefe uzaklık 7,7. Bir seviye fazla düşünmek de kaybettirir.

0102030405060708090%30%40%30nüfus: seviye 0 · 1 · 2ort 31,5hedef 21S0S1S2S3S4

Seviye 4: tahmin 8,9, hedefe uzaklık 12,1. Tam rasyonel cevaba (0) yaklaştıkça uzaklık artıyor.

0102030405060708090%30%40%30nüfus: seviye 0 · 1 · 2ort 31,5hedef 21S0S1S2S3S4

Sonuç: bu nüfusa karşı 20 yazan kazanır; Nash dengesi 0 ise kaybeder. En iyi tepki inanca bağlıdır.

def tahmin(k, L0=45):     # seviye-k
    g = L0
    for _ in range(k):
        g = g * 2 / 3
    return g
pay = {0: 0.3, 1: 0.4, 2: 0.3}   # inanç
ort = sum(p * tahmin(k) for k, p in pay.items())
hedef = ort * 2 / 3
for k in range(5):
    print(k, round(tahmin(k), 1),
          round(abs(tahmin(k) - hedef), 1))

2/3 Ortalaması Oyunu

Yinelemeli Eleme: 90 → 60 → 40 → … → 0

0102030405060708090en fazla 90

Başlangıç: her tahmin 0 ile 90 arasında. Hiçbir şey elenmedi.

elendi0102030405060708090en fazla 60

Ortalama en fazla 90 olabilir, hedef (2/3 × ortalama) en fazla 60. 60'ın üstündeki bir tahmin 60'tan asla daha iyi değildir (60 tarafından zayıf baskılanır) → elenir.

elendi0102030405060708090en fazla 40

Herkes rasyonel ve bunu herkes biliyor: kimse 60'ı aşmaz. Ortalama ≤ 60 ⇒ hedef ≤ 40. 40'ın üstü elenir.

elendi0102030405060708090en fazla 26.7

Bir tur daha: ortalama ≤ 40 ⇒ hedef ≤ 26,7. “Herkesin, herkesin rasyonel olduğunu bildiğini” bilmek gerekir.

elendi0102030405060708090en fazla 17.8

Ortalama ≤ 26,7 ⇒ hedef ≤ 17,8. Her turda üst sınır 2/3 ile çarpılıyor.

elendi0102030405060708090en fazla 11.9

Ortalama ≤ 17,8 ⇒ hedef ≤ 11,9. Aralık geometrik olarak küçülüyor.

elendi0102030405060708090en fazla 7.9

Ortalama ≤ 11,9 ⇒ hedef ≤ 7,9. k tur sonra üst sınır 90·(2/3)k.

elendi0102030405060708090yalnızca 0 kalır

Süreç sonsuza dek sürer ve üst sınır 0'a yakınsar: yinelemeli elemeden sağ çıkan tek profil herkesin 0 söylemesidir.

ust = 90                # olası en büyük tahmin
for tur in range(1, 7):
    # ortalama ≤ ust  ⇒  hedef ≤ (2/3)·ust
    ust = ust * 2 / 3
    print(tur, round(ust, 1))
# ust = 90·(2/3)^k → 0 : tek denge herkes 0

2/3 Ortalaması Oyunu

Tek Nash Dengesi: Herkes 0 Söyler

Denge olduğunu doğrula
  • Herkes 0 derse ortalama 0, hedef 0: herkes kazanır (ödül paylaşılır).
  • Biri x > 0'a sapsa ortalama x/n, hedef 2x/(3n) olur; diğerlerinin 0'ı hedefe daha yakın kalır → sapan kaybeder.
  • Başka hiçbir profil yinelemeli elemeden sağ çıkmaz: denge tektir. (Yalnız tam sayılara izin verilseydi n ≥ 4 oyuncuda “herkes 1” de denge olurdu; ondalıklı tahmin bu ikinci dengeyi ortadan kaldırır.)
Peki gerçekte?
  • Deneylerde kazanan sayı 0 çıkmaz: 1997'de Financial Times okurlarıyla yapılan 0–100 sürümünde kazanan tahmin 13 idi.
  • Çünkü herkesin tam rasyonel olduğu ve bunun ortak bilgi olduğu varsayımı gerçekte tam tutmaz.
Dikkat: Bu oyunda Nash dengesini belirlemek zor değildir; denge tek ve saf stratejilidir (herkes 0). Zor olan, gerçek oyuncular karşısında en iyi tepkiyi tahmin etmektir. Oyunu tekrarlayınca tahminler dengeye doğru iner.

2/3 Ortalaması Oyunu

Oyuna Dönüş: 2/3 Ortalaması Oyunu

Kuramın cevabı: 0
AdımAnlamlı en büyük tahmin
başlangıç90
12/3 × 90 = 60
22/3 × 60 = 40
326,7
417,8
…→ 0

Her adım bir kat daha “herkes rasyonel” varsayımı ekler; sonsuz adımın sonu tek Nash dengesi: herkes 0.

Gerçekte: birkaç adım
SeviyeVarsayımTahmin
0rastgele, ortalama 4545
1diğerleri seviye-030
2diğerleri seviye-120
3diğerleri seviye-213,3

Nagel'in (1995) deneylerinde ilk tur tahminleri 1–2 düşünme adımının çevresinde yığıldı; oyun tekrarlandıkça tahminler 0'a doğru indi.

Kazanmak için 0'ı değil, sınıfın kaç adım düşündüğünü bilmek gerekir: sınıf seviye-1 oynar ve ortalama 30 çıkarsa hedef 20 olur, yani seviye-2 kazanır.

Kombinatoryal Oyunlar

Kombinatoryal Oyunlar ve Zermelo Teoremi

  • İki oyuncu sırayla oynar; mükemmel bilgi, şans yok, oyun sonlu adımda biter.
  • Normal oyun kuralı: son hamleyi yapan kazanır (Nim; 21'i Söyleme'de ise 21'i söyleyen kaybeder). XOX ve satrançta beraberlik de var.
  • Zermelo (1913): Böyle bir oyunda ya bir taraf kazanmayı ya da iki taraf beraberliği garanti eder.
  • Her konum N (sıradaki kazanır) ya da P (önceki kazanır): P'den her hamle N'ye, N'den en az bir hamle P'ye gider.
(1, 2)N(0, 2)N(1, 1)P(0, 1)N(1, 0)N(0, 0)PP (turuncu): sıradaki kaybeder · kalın ok: kazandıran

Etiketler yapraktan köke hesaplanır: (0, 0)'da hamle yok → P. Bu, minimaksın özel hâlidir.

Kombinatoryal Oyunlar

Kod İzleme: Oyun Ağacında Minimaks

MAXMINyaprakABCD31282461452

Kök A'da sıra MAX'ta (büyük değer ister); B, C, D'de MIN (küçük ister). Yapraklar oyun sonu kazançları.

MAXMINyaprakABCD31282461452

B bir MIN düğümü: best = 99 ile başla, çocukları sırayla değerlendir.

MAXMINyaprakAB= 3CD31282461452

Yaprak 3 (int → hemen döner). best = min(99, 3) = 3.

MAXMINyaprakAB= 3CD31282461452

Yaprak 12: min(3, 12) = 3.

MAXMINyaprakAB= 3CD31282461452

Yaprak 8: min(3, 8) = 3.

MAXMINyaprakA= 3B= 3CD31282461452

B değeri 3 olarak döner. A'da: max(-99, 3) = 3.

MAXMINyaprakA= 3B= 3CD31282461452

A'nın sıradaki çocuğu C (MIN). Yeniden best = 99.

MAXMINyaprakA= 3B= 3C= 2D31282461452

Yaprak 2 (int → hemen döner). best = min(99, 2) = 2.

MAXMINyaprakA= 3B= 3C= 2D31282461452

Yaprak 4: min(2, 4) = 2.

MAXMINyaprakA= 3B= 3C= 2D31282461452

Yaprak 6: min(2, 6) = 2.

MAXMINyaprakA= 3B= 3C= 2D31282461452

C değeri 2 olarak döner. A'da: max(3, 2) = 3. C, A için B'den kötü.

MAXMINyaprakA= 3B= 3C= 2D31282461452

A'nın sıradaki çocuğu D (MIN). Yeniden best = 99.

MAXMINyaprakA= 3B= 3C= 2D= 1431282461452

Yaprak 14 (int → hemen döner). best = min(99, 14) = 14.

MAXMINyaprakA= 3B= 3C= 2D= 531282461452

Yaprak 5: min(14, 5) = 5.

MAXMINyaprakA= 3B= 3C= 2D= 231282461452

Yaprak 2: min(5, 2) = 2.

MAXMINyaprakA= 3B= 3C= 2D= 231282461452

D değeri 2 olarak döner. A'da: max(3, 2) = 3. D'deki 14 cazip görünse de MIN 2'yi seçer.

MAXMINyaprakA= 3B= 3C= 2D= 231282461452

Oyunun değeri 3: MAX B'yi seçer, MIN ne yaparsa yapsın en az 3 garanti. 9 yaprağın hepsine bakıldı.

T = {"A": ["B", "C", "D"], "B": [3, 12, 8],
     "C": [2, 4, 6], "D": [14, 5, 2]}
def minimax(n, maxi):
  if isinstance(n, int):         # yaprak
    return n
  best = -99 if maxi else 99
  for c in T[n]:
    v = minimax(c, not maxi)
    best = max(best, v) if maxi else min(best, v)
  return best
print(minimax("A", True))

Kombinatoryal Oyunlar

XOX: Tüm Ağaç Aranabilir, Sonuç Beraberlik

  • XOX'un ağacı küçük: tüm oyunları sayan program 255.168 farklı oyun ve 5.478 erişilebilir konum bulur.
  • Boş tahtada minimaks değeri 0: iki taraf da hatasız oynarsa oyun berabere.
  • Sağdaki konumda X yalnız sol alt kareyle kaybetmez: O'nun çaprazını keser, aynı anda iki tehdit kurar (+1).
  • Satrançta tam arama imkânsız (≈10¹²⁰ oyun): derinlik sınırı, değerlendirme fonksiyonu ve alfa-beta budaması.
X−1O−1O−1+1−1Xsıra X'te+1: X kazanır−1: O kazanırsol alt: O'yukeser ve çifttehdit kurarBoş karelerde: o hamleden sonraki minimaks değeri

Minimaks XOX rakibi bu değerleri hesaplayarak oynar: onu yenemezsiniz, en iyi ihtimalle berabere kalırsınız.

Kombinatoryal Oyunlar

Kod İzleme: Geriye Doğru Çıkarım — 21'i Söyleme

son söylenen sayı c →01234567891011121314151617181920YK: sırası gelen kazanır · Y (turuncu): sırası gelen kaybeder, rakibe bırakılacak kontrol sayısı

Taban durum: son söylenen 20 ise sıradaki oyuncu 21'i söylemek zorunda → kaybeder (Y).

son söylenen sayı c →012345678910111213141516171819K20YK: sırası gelen kazanır · Y (turuncu): sırası gelen kaybeder, rakibe bırakılacak kontrol sayısı

c = 19: 20 söylenerek rakip Y konumuna itilir → c = 19 K.

son söylenen sayı c →0123456789101112131415161718K19K20YK: sırası gelen kazanır · Y (turuncu): sırası gelen kaybeder, rakibe bırakılacak kontrol sayısı

c = 18: 20 söylenerek rakip Y konumuna itilir → c = 18 K.

son söylenen sayı c →01234567891011121314151617K18K19K20YK: sırası gelen kazanır · Y (turuncu): sırası gelen kaybeder, rakibe bırakılacak kontrol sayısı

c = 17: 20 söylenerek rakip Y konumuna itilir → c = 17 K.

son söylenen sayı c →012345678910111213141516Y17K18K19K20YK: sırası gelen kazanır · Y (turuncu): sırası gelen kaybeder, rakibe bırakılacak kontrol sayısı

c = 16: 17, 18, 19 hepsi K (rakip kazanır) → c = 16 Y. Yeni kontrol sayısı!

son söylenen sayı c →0123456789101112131415K16Y17K18K19K20YK: sırası gelen kazanır · Y (turuncu): sırası gelen kaybeder, rakibe bırakılacak kontrol sayısı

c = 15: 16 söylenerek rakip Y konumuna itilir → c = 15 K.

son söylenen sayı c →01234567891011121314K15K16Y17K18K19K20YK: sırası gelen kazanır · Y (turuncu): sırası gelen kaybeder, rakibe bırakılacak kontrol sayısı

c = 14: 16 söylenerek rakip Y konumuna itilir → c = 14 K.

son söylenen sayı c →012345678910111213K14K15K16Y17K18K19K20YK: sırası gelen kazanır · Y (turuncu): sırası gelen kaybeder, rakibe bırakılacak kontrol sayısı

c = 13: 16 söylenerek rakip Y konumuna itilir → c = 13 K.

son söylenen sayı c →0123456789101112Y13K14K15K16Y17K18K19K20YK: sırası gelen kazanır · Y (turuncu): sırası gelen kaybeder, rakibe bırakılacak kontrol sayısı

c = 12: 13, 14, 15 hepsi K (rakip kazanır) → c = 12 Y. Yeni kontrol sayısı!

son söylenen sayı c →0123456789K10K11K12Y13K14K15K16Y17K18K19K20YK: sırası gelen kazanır · Y (turuncu): sırası gelen kaybeder, rakibe bırakılacak kontrol sayısı

c = 11…9: aynı örüntü, hepsi bir sonraki Y'ye (12) ulaşabilir → K.

son söylenen sayı c →012345678Y9K10K11K12Y13K14K15K16Y17K18K19K20YK: sırası gelen kazanır · Y (turuncu): sırası gelen kaybeder, rakibe bırakılacak kontrol sayısı

c = 8: 9, 10, 11 hepsi K (rakip kazanır) → c = 8 Y. Yeni kontrol sayısı!

son söylenen sayı c →012345K6K7K8Y9K10K11K12Y13K14K15K16Y17K18K19K20YK: sırası gelen kazanır · Y (turuncu): sırası gelen kaybeder, rakibe bırakılacak kontrol sayısı

c = 7…5: aynı örüntü, hepsi bir sonraki Y'ye (8) ulaşabilir → K.

son söylenen sayı c →01234Y5K6K7K8Y9K10K11K12Y13K14K15K16Y17K18K19K20YK: sırası gelen kazanır · Y (turuncu): sırası gelen kaybeder, rakibe bırakılacak kontrol sayısı

c = 4: 5, 6, 7 hepsi K (rakip kazanır) → c = 4 Y. Yeni kontrol sayısı!

son söylenen sayı c →01K2K3K4Y5K6K7K8Y9K10K11K12Y13K14K15K16Y17K18K19K20YK: sırası gelen kazanır · Y (turuncu): sırası gelen kaybeder, rakibe bırakılacak kontrol sayısı

c = 3…1: aynı örüntü, hepsi bir sonraki Y'ye (4) ulaşabilir → K.

son söylenen sayı c →0Y1K2K3K4Y5K6K7K8Y9K10K11K12Y13K14K15K16Y17K18K19K20YK: sırası gelen kazanır · Y (turuncu): sırası gelen kaybeder, rakibe bırakılacak kontrol sayısı

c = 0 (oyun başı) Y: ilk oyuncu kaybeder. İkinci oyuncu hep 4, 8, 12, 16, 20'ye tamamlar.

son söylenen sayı c →0Y1K2K3K4Y5K6K7K8Y9K10K11K12Y13K14K15K16Y17K18K19K20YK: sırası gelen kazanır · Y (turuncu): sırası gelen kaybeder, rakibe bırakılacak kontrol sayısı

Y konumları 4'ün katları: rakibe hep 4k bırak. Rakip x sayı söylerse sen 4 − x söyle.

HEDEF = 21
kazanir = {HEDEF - 1: False}   # c=20: kayıp
for c in range(HEDEF - 2, -1, -1):
    kazanir[c] = any(not kazanir[c + k]
        for k in (1, 2, 3) if c + k < HEDEF)
kontrol = [c for c in kazanir if not kazanir[c]]
print(sorted(kontrol))

Kombinatoryal Oyunlar

Nim: XOR ile Tam Çözülen Oyun

  • Kurallar: birkaç jeton yığını; sırası gelen tek bir yığından en az bir jeton alır. Son jetonu alan kazanır.
  • Nim toplamı: yığın boylarının bit bit XOR'u (eldesiz ikili toplama): 3 ⊕ 4 ⊕ 5 = 2.
  • Bouton (1901): Konum kaybedendir (P) ⇔ nim toplamı 0.
  • Neden? XOR 0 iken her hamle bir yığının en az bir bitini değiştirir → XOR ≠ 0. XOR = x ≠ 0 iken, x'in en soldaki 1 bitini taşıyan yığını h ⊕ x'e indirmek XOR'u 0 yapar.
yığın4210: 30111: 41002: 5101⊕ (XOR)02× 111× 102× 1= 2tek sayıda 1 olan sütun → XOR'da 1

Sprague–Grundy teoremi: normal oyun kuralındaki her tarafsız oyun (iki oyuncunun hamleleri aynı) tek bir Nim yığınına denktir.

Kombinatoryal Oyunlar

Kod İzleme: Nim'de Kazandıran Hamle (XOR)

yığınlar0:1:2:ikili4213011410051010XOR000her sütunda 1'lerinsayısı çiftse XOR = 0

Konum [3, 4, 5]. Sıra bizde: nim toplamını (bit bit XOR) hesaplayalım.

yığınlar0:1:2:ikili4213011410051013XOR011her sütunda 1'lerinsayısı çiftse XOR = 0

x = 0 XOR 3 = 3 (ikili 000 ⊕ 011 = 011).

yığınlar0:1:2:ikili4213011410051017XOR111her sütunda 1'lerinsayısı çiftse XOR = 0

x = 3 XOR 4 = 7 (ikili 011 ⊕ 100 = 111).

yığınlar0:1:2:ikili4213011410051012XOR010her sütunda 1'lerinsayısı çiftse XOR = 0

x = 7 XOR 5 = 2 (ikili 111 ⊕ 101 = 010).

yığınlar0:1:2:ikili4213011410051012XOR010her sütunda 1'lerinsayısı çiftse XOR = 0

Yığın 0: 3 XOR 2 = 1 < 3 → bu yığından 2 jeton alınabilir. (XOR'un en soldaki 1 biti, 3'ün de 1 biti.)

yığınlar0:1:2:ikili4211001410051010XOR000her sütunda 1'lerinsayısı çiftse XOR = 0

Yığın 0: 3 → 1. Yeni konum [1, 4, 5]: nim toplamı artık 0.

yığınlar0:1:2:ikili4211001410051010XOR000her sütunda 1'lerinsayısı çiftse XOR = 0

Rakip XOR = 0 konumunda: her hamlesi toplamı bozar, biz hep yeniden 0 yaparız → son jetonu biz alırız.

yiginlar = [3, 4, 5]
x = 0
for h in yiginlar:
    x ^= h            # nim toplamı (XOR)
for i, h in enumerate(yiginlar):
    if h ^ x < h:     # küçültülebilir mi?
        yiginlar[i] = h ^ x
        print("yığın", i, ":", h, "->", h ^ x)
        break
print(yiginlar)

Sıralı Oyunlar ve Geriye Doğru Çıkarım

Alt Oyun ve Alt Oyun Mükemmel Denge

  • Alt oyun (subgame): tek bir karar düğümünden başlayıp altındaki her şeyi içeren (bilgi kümelerini bölmeyen) oyun parçası.
  • Alt oyun mükemmel denge (subgame perfect equilibrium, SPE): her alt oyunda Nash dengesi oluşturan strateji profili (Selten, 1965).
  • Sıradan Nash dengesi, hiç ulaşılmayan düğümlerde inandırıcı olmayan tehditlere izin verebilir; SPE bunları eler.
  • Sonlu ve mükemmel bilgili oyunlarda SPE geriye doğru çıkarımla (backward induction) bulunur (Kuhn/Zermelo).
Geriye doğru çıkarım
  1. Yalnızca yapraklara bağlı son karar düğümlerini bul.
  2. Orada karar veren oyuncunun en iyi dalını seç.
  3. Düğümü, seçilen yaprağın kazancıyla değiştir.
  4. Köke ulaşana kadar tekrarla.

Sıralı Oyunlar ve Geriye Doğru Çıkarım

Örnek: İnandırıcı Olmayan Tehdit

Girme(0, 2)GirSavaş(−1, −1)Uzlaş(1, 1)GM

G önce seçer; M, yalnızca G girerse karar verir. Normal formda iki saf Nash dengesi vardır (sağdaki tablo).

Girme(0, 2)GirSavaş(−1, −1)Uzlaş(1, 1)GM= (1, 1)

Son düğüm M: Savaş → −1, Uzlaş → 1 ⇒ Uzlaş. M'nin düğümünün değeri (1, 1).

Girme(0, 2)GirSavaş(−1, −1)Uzlaş(1, 1)GM= (1, 1)= (1, 1)

Kök G: Girme → 0, Gir → 1 (M'nin uzlaşacağını bilerek) ⇒ Gir. SPE: (Gir, Uzlaş), sonuç (1, 1).

sütun oyuncususatır ↓SavaşUzlaşGirGirme−1−1(,)11(,)02(,)02(,)
  • (Gir, Uzlaş): SPE, geriye doğru çıkarımın sonucu.
  • (Girme, Savaş): Nash dengesi, ama M'nin "girersen savaşırım" tehdidi inandırıcı değil: G girdiğinde savaşmak M'ye −1, uzlaşmak 1 verir.

Sıralı Oyunlar ve Geriye Doğru Çıkarım

Adım Adım: Geriye Doğru Çıkarım (Yatırım Oyunu)

YatırmaYatırPaylaşKaçDava açBırak(2, 0)(3, 3)(1, 1)(0, 4)ABAA: Ayşe (yatırımcı), B: Bora (girişimci); yaprakta (Ayşe, Bora)

Ayşe yatırım yapar ya da yapmaz. Yaparsa Bora kârı paylaşır ya da parayla kaçar. Kaçarsa Ayşe dava açar ya da bırakır. Çözüm sondan başlar.

YatırmaYatırPaylaşKaçDava açBırak(2, 0)(3, 3)(1, 1)(0, 4)ABA(1, 1)A: Ayşe (yatırımcı), B: Bora (girişimci); yaprakta (Ayşe, Bora)

Son karar düğümü (Ayşe, Bora kaçtıktan sonra): Dava aç 1 > Bırak 0 → Dava aç. Düğümün değeri (1, 1).

YatırmaYatırPaylaşKaçDava açBırak(2, 0)(3, 3)(1, 1)(0, 4)AB(3, 3)A(1, 1)A: Ayşe (yatırımcı), B: Bora (girişimci); yaprakta (Ayşe, Bora)

Bora, kaçarsa dava yiyeceğini bilir: Paylaş 3 > Kaç 1 → Paylaş. Bora'nın düğümünün değeri (3, 3).

YatırmaYatırPaylaşKaçDava açBırak(2, 0)(3, 3)(1, 1)(0, 4)A(3, 3)B(3, 3)A(1, 1)A: Ayşe (yatırımcı), B: Bora (girişimci); yaprakta (Ayşe, Bora)

Kök: Yatır 3 > Yatırma 2 → Yatır. Alt oyun mükemmel denge: Ayşe (Yatır, Dava aç), Bora Paylaş; sonuç (3, 3).

YatırmaYatırPaylaşKaçDava açBırak(2, 0)(3, 3)(−1, 1)(0, 4)ABAA: Ayşe (yatırımcı), B: Bora (girişimci); yaprakta (Ayşe, Bora)dava pahalı

Şimdi dava pahalı: dava açan Ayşe −1 alır. Ağaç aynı, yalnız bir yaprak değişti. Yeniden sondan başlanır.

YatırmaYatırPaylaşKaçDava açBırak(2, 0)(3, 3)(−1, 1)(0, 4)ABA(0, 4)A: Ayşe (yatırımcı), B: Bora (girişimci); yaprakta (Ayşe, Bora)dava pahalı

Son düğüm: Bırak 0 > Dava aç −1 → Bırak. Düğümün değeri (0, 4).

YatırmaYatırPaylaşKaçDava açBırak(2, 0)(3, 3)(−1, 1)(0, 4)A(2, 0)B(0, 4)A(0, 4)A: Ayşe (yatırımcı), B: Bora (girişimci); yaprakta (Ayşe, Bora)dava pahalı

Bora: Kaç 4 > Paylaş 3 → Kaç. Kök: Yatırma 2 > 0 → Yatırma. Sonuç (2, 0): ikisi de (3, 3)'ten kötü.

YatırmaYatırPaylaşKaçDava açBırak(2, 0)(3, 3)(−1, 1)(0, 4)ABAA: Ayşe (yatırımcı), B: Bora (girişimci); yaprakta (Ayşe, Bora)dava pahalı

“Kaçarsan dava açarım” planıyla (Yatır, Paylaş) yine bir Nash dengesidir: kimse tek başına sapmaz. Ama tehdit inandırıcı değil (−1 < 0): alt oyun mükemmel denge değil.

Sıralı Oyunlar ve Geriye Doğru Çıkarım

Kod İzleme: cozum(d)

SolSağabcd1kök2x2y(3, 1)(1, 2)(2, 1)(0, 0)

Kökte oyuncu 1 (indis 0), x ve y'de oyuncu 2 (indis 1) seçer. cozum(kök) çağrılır.

SolSağabcd1kök2x2y(3, 1)(1, 2)(2, 1)(0, 0)

Sol dalı: cozum(x) → ilk dal a, yaprak (3, 1) olduğu gibi döner.

SolSağabcd1kök2x2y(3, 1)(1, 2)(2, 1)(0, 0)

x'te en_iyi henüz yok: en_iyi = (3, 1), secim = a.

SolSağabcd1kök2x2y(3, 1)(1, 2)(2, 1)(0, 0)

İkinci dal b: (1, 2). Oyuncu 2 kendi kazancına bakar: v[1] = 2 > en_iyi[1] = 1.

SolSağabcd1kök2x= (1, 2)2y(3, 1)(1, 2)(2, 1)(0, 0)

secim = b; “x b” yazılır, x'in değeri (1, 2). Oyuncu 1'in en sevdiği (3, 1) ulaşılamaz oldu.

SolSağabcd1kök2x= (1, 2)2y(3, 1)(1, 2)(2, 1)(0, 0)

Kökte Sol'un değeri (1, 2): en_iyi = (1, 2), secim = Sol.

SolSağabcd1kök2x= (1, 2)2y(3, 1)(1, 2)(2, 1)(0, 0)

Sağ dalı: cozum(y). c → (2, 1), d → (0, 0); oyuncu 2 için 1 > 0, secim = c.

SolSağabcd1kök2x= (1, 2)2y= (2, 1)(3, 1)(1, 2)(2, 1)(0, 0)

“y c” yazılır; y'nin değeri (2, 1) döner.

SolSağabcd1kök= (2, 1)2x= (1, 2)2y= (2, 1)(3, 1)(1, 2)(2, 1)(0, 0)

Kökte oyuncu 1 karşılaştırır: Sağ 2 > Sol 1 → secim = Sağ. “kök Sağ” yazılır.

SolSağabcd1kök= (2, 1)2x= (1, 2)2y= (2, 1)(3, 1)(1, 2)(2, 1)(0, 0)

Sonuç (2, 1). SPE: (Sağ; x'te b, y'de c). Ulaşılmayan x'teki b de stratejinin parçasıdır.

def cozum(d):
    if isinstance(d, tuple):         # yaprak: kazanç
        return d
    ad, oyuncu, dallar = d
    en_iyi = None
    for hamle, cocuk in dallar:
        v = cozum(cocuk)
        if en_iyi is None or v[oyuncu] > en_iyi[oyuncu]:
            en_iyi, secim = v, hamle
    print(ad, secim)
    return en_iyi
kok = ['kök', 0, [('Sol', ['x', 1, [('a', (3, 1)), ('b', (1, 2))]]),
                  ('Sağ', ['y', 1, [('c', (2, 1)), ('d', (0, 0))]])]]
print(cozum(kok))

Sıralı Oyunlar ve Geriye Doğru Çıkarım

Kırkayak Oyunu (Centipede Game)

  • İki oyuncu sırayla karar verir (Rosenthal, 1981). Her düğümde oyuncu ya Bitir der ve o anki paylaşım gerçekleşir, ya da Devam der ve toplam büyür.
  • Toplam kazanç büyür (1 → 2 → 4 → 6; sonda da 6), ama devam eden oyuncu, rakibi bir sonraki adımda bitirirse daha az alır.
DevamBitir(1, 0)DevamBitir(0, 2)DevamBitir(3, 1)DevamBitir(2, 4)(3, 3)1212

Düğümdeki sayı karar veren oyuncudur. Yapraklarda (Oyuncu 1, Oyuncu 2) kazancı; en sağda herkes devam ederse (3, 3).

Sıralı Oyunlar ve Geriye Doğru Çıkarım

Kırkayak: Geriye Doğru Çıkarım Adım Adım

DevamBitir(1, 0)DevamBitir(0, 2)DevamBitir(3, 1)DevamBitir(2, 4)(3, 3)1212
DüğümKarar verenBitirDevamın değeriKararDüğüm değeri
4Oyuncu 2(2, 4)???
3Oyuncu 1(3, 1)???
2Oyuncu 2(0, 2)???
1Oyuncu 1(1, 0)???

Oyuncu 1 başlar; her düğümde oyuncu Bitir (aşağı) ya da Devam (sağa) der. Son karar düğümünden (4. düğüm, Oyuncu 2) başlayıp geriye gideceğiz.

DevamBitir(1, 0)DevamBitir(0, 2)DevamBitir(3, 1)DevamBitir(2, 4)(3, 3)1212= (2, 4)
DüğümKarar verenBitirDevamın değeriKararDüğüm değeri
4Oyuncu 2(2, 4)(3, 3)Bitir(2, 4)
3Oyuncu 1(3, 1)???
2Oyuncu 2(0, 2)???
1Oyuncu 1(1, 0)???

4. düğüm, Oyuncu 2: Bitir → 4, Devam → 3 (devamın değeri (3, 3)). 4 > 3 ⇒ Bitir; düğümün değeri (2, 4).

DevamBitir(1, 0)DevamBitir(0, 2)DevamBitir(3, 1)DevamBitir(2, 4)(3, 3)121= (3, 1)2= (2, 4)
DüğümKarar verenBitirDevamın değeriKararDüğüm değeri
4Oyuncu 2(2, 4)(3, 3)Bitir(2, 4)
3Oyuncu 1(3, 1)(2, 4)Bitir(3, 1)
2Oyuncu 2(0, 2)???
1Oyuncu 1(1, 0)???

3. düğüm, Oyuncu 1: Bitir → 3, Devam → 2 (devamın değeri (2, 4)). 3 > 2 ⇒ Bitir; düğümün değeri (3, 1).

DevamBitir(1, 0)DevamBitir(0, 2)DevamBitir(3, 1)DevamBitir(2, 4)(3, 3)12= (0, 2)1= (3, 1)2= (2, 4)
DüğümKarar verenBitirDevamın değeriKararDüğüm değeri
4Oyuncu 2(2, 4)(3, 3)Bitir(2, 4)
3Oyuncu 1(3, 1)(2, 4)Bitir(3, 1)
2Oyuncu 2(0, 2)(3, 1)Bitir(0, 2)
1Oyuncu 1(1, 0)???

2. düğüm, Oyuncu 2: Bitir → 2, Devam → 1 (devamın değeri (3, 1)). 2 > 1 ⇒ Bitir; düğümün değeri (0, 2).

DevamBitir(1, 0)DevamBitir(0, 2)DevamBitir(3, 1)DevamBitir(2, 4)(3, 3)1= (1, 0)2= (0, 2)1= (3, 1)2= (2, 4)
DüğümKarar verenBitirDevamın değeriKararDüğüm değeri
4Oyuncu 2(2, 4)(3, 3)Bitir(2, 4)
3Oyuncu 1(3, 1)(2, 4)Bitir(3, 1)
2Oyuncu 2(0, 2)(3, 1)Bitir(0, 2)
1Oyuncu 1(1, 0)(0, 2)Bitir(1, 0)

1. düğüm, Oyuncu 1: Bitir → 1, Devam → 0 (devamın değeri (0, 2)). 1 > 0 ⇒ Bitir; düğümün değeri (1, 0).

DevamBitir(1, 0)DevamBitir(0, 2)DevamBitir(3, 1)DevamBitir(2, 4)(3, 3)1= (1, 0)2= (0, 2)1= (3, 1)2= (2, 4)
DüğümKarar verenBitirDevamın değeriKararDüğüm değeri
4Oyuncu 2(2, 4)(3, 3)Bitir(2, 4)
3Oyuncu 1(3, 1)(2, 4)Bitir(3, 1)
2Oyuncu 2(0, 2)(3, 1)Bitir(0, 2)
1Oyuncu 1(1, 0)(0, 2)Bitir(1, 0)

Alt oyun mükemmel denge: her oyuncu her düğümde Bitir. Oyun ilk hamlede (1, 0) ile biter; oysa (3, 3) ikisi için de daha iyiydi.

Sıralı Oyunlar ve Geriye Doğru Çıkarım

Kırkayak Oyunu: Teori ve Deney

Teori (SPE)Her oyuncu her düğümde Bitir der; oyun ilk hamlede (1, 0) ile biter. Oyunun herhangi bir Nash dengesinde de sonuç aynıdır.
Verimsizlik(3, 3) her iki oyuncu için de (1, 0)'dan iyidir: SPE sonucu Pareto optimal değildir. Düğüm sayısı arttıkça kayıp büyür.
DeneyLaboratuvarda oyuncuların çoğu ilk düğümde bitirmez; birkaç tur devam eder (McKelvey ve Palfrey, 1992).
Neden?Geriye doğru çıkarım, rasyonelliğin ortak bilgi olmasını ve uzun bir akıl yürütme zincirini gerektirir; rakibin biraz "iyi niyetli" olma ihtimali bile devam etmeyi kârlı kılar.
Kırkayak, sonlu tekrarlanan Mahkûmun İkilemi ile aynı mantığı paylaşır: son turdan geriye bakınca işbirliği çözülür. Sonsuz ufukta ise işbirliği dengede kalabilir.

Sıralı Oyunlar ve Geriye Doğru Çıkarım

Ultimatom Oyunu: Pazarlıkta Geriye Doğru Çıkarım

  • Kural: Ayşe 10 TL'nin x TL'sini Bora'ya önerir (tam TL). Bora kabul ederse paylaşım (10 − x, x) olur, reddederse ikisi de 0 alır (Güth, Schmittberger ve Schwarze, 1982).
  • Geriye doğru çıkarım: Bora'nın düğümünde x > 0 için kabul (x) retten (0) iyidir. Ayşe bunu bilerek en küçük pozitif teklifi verir: SPE sonucu (9, 1). (Bora x = 0'da kayıtsız; 0'ı da kabul ediyorsa (10, 0) da bir SPE'dir.)
  • İnandırıcı olmayan tehdit: “4 TL'den azını reddederim” sözü bir Nash dengesini destekler, ama 1 TL önerildiğinde reddetmek Bora'ya 0 < 1 verir.
teklif xx = 0, 1, …, 10KabulReddet(10 − x, x)(0, 0)AyşeBorakazançlar (Ayşe, Bora), TL
Teklif (toplamın oranı)Kuram (yalnız para)Deneylerde
En sık teklifen küçük birim%40–50
%20'nin altıkabul ediliryaklaşık yarısı reddedilir
Sık hata: Deney sonucunu “oyuncular geriye doğru çıkarım yapamıyor” diye okumak. Ret, adalet kaygısının fayda fonksiyonunda yer aldığını gösterir; teklif verenler de bunu bekleyip cömert davranır (Camerer, 2003).

Sıralı Oyunlar ve Geriye Doğru Çıkarım

Sonsuz Tekrarlı Mahkûmun İkilemi: Tetik Stratejisi

Tetik stratejisi (grim trigger): Sessiz başla; rakip bir kez ihanet ederse sonsuza dek İhanet. Aynı tek atışlık oyun tekrarlanınca sonucu belirleyen, oyunun ne zaman biteceğinin bilinip bilinmediğidir.

Sonlu ve bilinen ufuk

Son turda gelecek yoktur, ceza da yoktur: orada İhanet baskındır. Geriye doğru çıkarım bunu bir önceki tura, oradan ilk tura taşır; her turda İhanet (kırkayaktaki gibi).

Sonsuz ufuk (her tur δ olasılıkla sürer)

Bugünkü ihanetin kazancı, gelecekteki kalıcı cezanın kaybıyla tartılır. δ yeterince büyükse (oyuncular sabırlıysa) sapmak kârlı değildir ve işbirliği dengede kalır.

Ceza inandırıcıdır, çünkü (İhanet, İhanet) tek atışlık oyunun dengesidir: iki tetik stratejisi birlikte alt oyun mükemmel dengedir.

Sıralı Oyunlar ve Geriye Doğru Çıkarım

Sık Yapılan Hatalar: Sıralı Oyunlar

Kökten başlamakİlk hamle, sonraki hamlelere verilecek tepkiye bağlıdır; çözüm her zaman son karar düğümlerinden başlar.
Yanlış kişinin kazancıHer düğümde yalnız orada karar veren oyuncunun sayısı karşılaştırılır (Bora'nın düğümünde ikinci sayı).
Stratejiyi yol sanmakStrateji, ulaşılmayan düğümler dahil her düğüm için seçimi içerir: Ayşe'nin stratejisi (Yatır, Dava aç).
Nash = alt oyun mükemmel sanmakHer alt oyun mükemmel denge Nash dengesidir; tersi doğru değil: inandırıcı olmayan tehdit içeren Nash dengeleri vardır.
Eşzamanlıyı sıralı çözmekHamleler görülmüyorsa (Mahkûmun İkilemi) ağaçta bilgi kümesi vardır; geriye doğru çıkarım doğrudan uygulanmaz, matris çözülür.
Söz = taahhüt sanmak“Dava açarım” demek yetmez; tehdidin uygulanması o anda kârlı olmalı ya da önceden bağlanmalı (sözleşme, teminat).

Algoritmik Bakış

Algoritmik Oyun Kuramı Neden “Algoritmik”?

2×2 oyun: profil43×3 oyun: profil910 oyuncu, 2'şer strateji1.024Güvenlik: C(20, 5)15.504XOX: tüm oyunlar255.16830 oyuncu, 2'şer strateji≈ 1,07 · 10⁹Satranç: oyun ağacı≈ 10¹²⁰ (ölçeğe sığmaz) →110^310^610^910^12
Büyüklük

Oyunun tanımı bile üstel büyür: n oyuncu × 2 strateji → 2n profil. Kaba kuvvet tarama ölçeklenmez.

Karmaşıklık

Nash dengesi hep var, ama onu bulmak iki oyunculu oyunlarda bile hesaplama açısından zordur.

Yapı ve tasarım

Özel yapı verimlilik getirir: sıfır toplamlıda doğrusal programlama, Nim'de XOR. Kurallar da algoritmadır.

Algoritmik Bakış

Algoritmik Oyun Kuramının Dört Sorusu

1. Hesaplama: denge bulunabilir mi?Polinom zamanda çözülen problemler P sınıfındadır. Sıfır toplamlı oyunlar doğrusal programlamayla bu sınıftadır; genel oyunlarda Nash dengesi bulmak PPAD-tam, genelleştirilmiş n×n Hex ise PSPACE-tamdır.
2. Verimlilik: bencillik ne kaybettirir?Anarşinin Bedeli = en kötü dengenin maliyeti / en iyi sonucun maliyeti. Mahkûmun İkileminde hapis yılını maliyet sayarsak denge toplam 4 yıl, (Sessiz, Sessiz) 2 yıl: oran 4/2 = 2.
3. Tasarım: hangi kurallar?Mekanizma tasarımı, oyuncuların özel bilgisini dürüstçe bildirmesini sağlayan (teşvik uyumlu) kuralları arar: açık artırmalar, eşleştirme, oylama.
4. Dinamik: oyuncular dengeye nasıl ulaşır?Tekrarlanan ve çevrimiçi oyunlarda bilgi zamanla gelir; oyuncular geçmişten öğrenerek stratejisini uyarlar.

Dört sorunun ortak dili: oyunların sınıflandırılması, klasik oyunların dengeleri ve sıralı oyunlarda geriye doğru çıkarım.

Mekanizma Tasarımına Bakış

Mekanizma Tasarımı: Tersine Oyun Kuramı

  • Oyun kuramı verilen bir oyunun sonucunu tahmin eder; mekanizma tasarımı istenen sonucu verecek kuralları ve teşvikleri tasarlar.
  • Zorluk: Ajanların özel bilgisi (değerleme, konum, tercih) tasarımcıya kapalıdır; ajanlar yalan söyleyebilir.
Oyun kuramıKurallar (oyun)Rasyonel davranışSonuç (denge)Mekanizma tasarımıİstenen sonuçTeşvikler, ödemelerKurallartahmin etmek yerine, istenen sonucu verecek oyunu kurmak
Para ile

Tasarımcı ödeme alabilir; ödemeler doğru söylemeyi teşvik eder.

açık artırmalar, reklam yerleşimi
Para olmadan

Teşvikler yalnızca kuralla sağlanır; genellikle hedeften biraz ödün verilir.

seçimler, böbrek takası, tesis yeri

Mekanizma Tasarımına Bakış

Gerçek Dünya Uygulamaları

Arama reklamları

Reklam alanları her aramada genelleştirilmiş ikinci fiyat (GSP) açık artırmasıyla dağıtılır. Çok alanlı GSP'de dürüst teklif baskın değildir.

Spektrum açık artırmaları

Devletler frekans lisanslarını tasarlanmış açık artırmalarla satar (ABD'de 1994'ten beri).

Okul yerleştirme

Öğrenci önerili Gale–Shapley algoritmasında öğrencinin gerçek tercihlerini yazması en iyisidir; sonuç kararlı bir eşleştirmedir.

Böbrek takası

Uyumsuz donör–hasta çiftleri takas döngüleri ve zincirleriyle eşleştirilir; para kullanılmaz.

Trafik ve yönlendirme

Her sürücü kendi en hızlı yolunu seçer; bencil seçimlerin toplam gecikmeye maliyeti Anarşinin Bedeli ile ölçülür.

Platformlar ve teşvikler

Yoğunluk fiyatlandırması sürücüleri yoğun saatlere çeker; Bitcoin madencileri işlemleri ödül için doğrular.

Ortak fikir: kurallar öyle tasarlanır ki herkes kendi çıkarına davransa bile sistem iyi çalışır.

Özet

Özet: Kavram Haritası

KavramKısa tanımÖrnek
Normal / genişletilmiş formMatris (eşzamanlı) ya da sırayı ve bilgiyi gösteren oyun ağacıTKM, fiyat rekabeti; satranç
SınıflandırmaZamanlama, anlaşma, toplam kazanç, simetri, bilgi, ufukSatranç: sıralı, sıfır toplamlı, mükemmel bilgili
Baskın strateji, Nash dengesiKarşı taraf ne yaparsa yapsın daha iyi; tek taraflı sapma kârsızİhanet; (İhanet, İhanet)
Pareto optimallikKimseyi kötüleştirmeden iyileştirilemezDenge (−2, −2) değil
Klasik 2×2 oyunlarÇatışma ya da koordinasyon; saf dengeler en iyi tepkiyle bulunurYazı-Tura: yok; Geyik Avı: iki
Yinelemeli eleme, seviye-kBaskılananları tekrar tekrar sil; inanca göre en iyi tahmin2/3 oyunu: 90 → 60 → 40 → … → 0
Minimaks, NimYapraktan köke en iyi seçim; P/N konumlarıAğaç değeri 3; XOX berabere; Nim XOR
Alt oyun mükemmel dengeHer alt oyunda Nash; geriye doğru çıkarımla bulunurPiyasaya giriş; kırkayak (1, 0)
Tetik stratejisiSonsuz tekrarda ihaneti kalıcı cezayla caydırmakSabırlı oyuncularda (δ büyük) işbirliği

Özet

Örnek Problemler (1/2)

  1. Fiyat rekabeti oyununda baskın stratejiler ve denge nedir? Denge Pareto optimal mi?
  2. Oyun 0–100 aralığında ve hedef “ortalamanın yarısı” olsaydı yinelemeli eleme nasıl ilerlerdi, denge ne olurdu?
  3. 2/3 oyununda (0–90) sınıfın %20'si seviye 0, %80'i seviye 1 düşünüyorsa hangi seviye kazanır?
  4. (A, A) = (4, 1), (B, B) = (1, 4), diğer hücreler (0, 0). Saf dengeler hangileri? Oyun hangi klasik oyuna benzer?
  5. Altı klasik 2×2 oyundan hangileri sıfır toplamlı, hangileri simetrik?
Cevapları göster
  1. İki şirket için de 100 TL baskın (5 > 1, 8 > 6). Denge (100, 100) = (5, 5); (120, 120) = (6, 6) ikisine de daha iyi olduğundan Pareto optimal değil.
  2. Üst sınır her turda yarıya iner: 100 → 50 → 25 → 12,5 → … → 0. Tek denge yine herkesin 0 söylemesi.
  3. Ortalama 0,2·45 + 0,8·30 = 33, hedef 22. Seviye 2 (20) uzaklık 2 ile en iyisi; seviye 1 (30) 8, Nash cevabı 0 ise 22 uzakta.
  4. (A, A) ve (B, B); biri satır oyuncusunu, öteki sütun oyuncusunu kayırır: Cinsiyetler Savaşı yapısı.
  5. Sıfır toplamlı: yalnızca Yazı-Tura Eşleştirme. Simetrik: Geyik Avı, Saf Koordinasyon, Tavuk, Bedava Para.

Özet

Örnek Problemler (2/2)

  1. Nim konumu [2, 5, 6]. Sıra sizde: kazanan konum mu? Kazandıran hamle hangisi?
  2. MAX kökünün üç MIN çocuğu var: B = [7, 2, 9], C = [4, 6], D = [1, 8]. Oyunun değeri ve MAX'ın seçimi nedir?
  3. “16'yı Söyleme”: sırayla 1–3 ardışık sayı söylenir, 16'yı söyleyen kaybeder. Kontrol sayıları nedir? Kim kazanır?
  4. Kırkayak'ta en sağdaki kazanç (5, 5) olsaydı alt oyun mükemmel denge ne olurdu?
  5. Piyasaya giriş oyununda (Girme, Savaş) neden alt oyun mükemmel değildir?
Cevapları göster
  1. Nim toplamı 2 ⊕ 5 ⊕ 6 = 1 ≠ 0: kazanan konum. Tek hamle: yığın 1'i 5 → 4 yap ([2, 4, 6], XOR 0). (2 ⊕ 1 = 3 ve 6 ⊕ 1 = 7 büyür.)
  2. MIN değerleri B = 2, C = 4, D = 1; kök MAX = 4, C seçilir. B'deki 9 ve D'deki 8 yanıltıcıdır: MIN onlara izin vermez.
  3. Kaybettiren (bırakılacak) sayılar 3, 7, 11, 15. 0 bir kazanan konum: ilk oyuncu “1, 2, 3” der ve hep 4'ün katı + 3'e tamamlar.
  4. 4. düğümde Oyuncu 2: Devam 5 > Bitir 4; geriye doğru herkes devam eder, sonuç (5, 5).
  5. G girince M için Savaş (−1) Uzlaş'tan (1) kötüdür: tehdit o alt oyunda dengede değildir, inandırıcı olmayan bir tehdittir.

Özet

Etkileşimli Oyunlar

2/3 oyunu dışındakiler iki kişilik, sıralı, mükemmel bilgili ve şanssız oyunlardır: kuramsal olarak geriye doğru çıkarımla çözülebilirler, ama ağaç çoğu zaman çok büyüktür.

2/3 Ortalaması Oyunu

Gerçek tahminlerle yinelemeli eleme.

Minimaks XOX

Tüm ağacı arayan rakip: en iyi ihtimalle berabere.

Nim

XOR ile tamamen çözülen sıralı oyun.

21'i Söyleme

Kaybettiren sayıdan geriye doğru akıl yürütme.

Connect Four

1988'de çözüldü: mükemmel oyunda ilk oyuncu kazanır.

Hex

Beraberlik yok; strateji çalma: ilk oyuncu kazanır.

Othello (Reversi)

8×8 tahtada mükemmel oyun beraberlik (2023).

Mangala

Hamle ağacında ileriye bakma.

Satranç

Zermelo: sonuç belirli ama bilinmiyor.

Dama

2007'de çözüldü: mükemmel oyunda beraberlik.

Tilki ve Kazlar

Asimetrik roller, mükemmel bilgi.

Dokuz Taş

Klasik strateji oyunu; mükemmel bilgi.

Özet

Kaynaklar (1/2)

  • Nisan, Roughgarden, Tardos ve Vazirani (ed.), Algorithmic Game Theory, Cambridge University Press, 2007 (Bölüm 1).
  • Roughgarden, Twenty Lectures on Algorithmic Game Theory, Cambridge University Press, 2016.
  • Osborne, An Introduction to Game Theory, Oxford University Press, 2004 (Bölüm 2–5) · Shoham ve Leyton-Brown, Multiagent Systems, Cambridge University Press, 2009 (Bölüm 3 ve 5).
  • Nash, “Equilibrium points in n-person games”, PNAS 36(1), 1950 · von Neumann, “Zur Theorie der Gesellschaftsspiele”, Mathematische Annalen 100, 1928.
  • Bouton, “Nim, a game with a complete mathematical theory”, Annals of Mathematics 3, 1901–1902.
  • Nagel, “Unraveling in guessing games: An experimental study”, American Economic Review 85(5), 1995.
  • R. W. Rosenthal, "Games of perfect information, predatory pricing and the chain-store paradox", J. Economic Theory 25, 1981 · R. D. McKelvey, T. R. Palfrey, "An experimental study of the centipede game", Econometrica 60(4), 1992.
  • W. Güth, R. Schmittberger, B. Schwarze, "An experimental analysis of ultimatum bargaining", J. Economic Behavior & Organization 3(4), 1982 · C. F. Camerer, Behavioral Game Theory, Princeton University Press, 2003.
  • B. Skyrms, The Stag Hunt and the Evolution of Social Structure, Cambridge University Press, 2004.
  • S. Reisch, "Hex ist PSPACE-vollständig", Acta Informatica 15, 1981 · J. Schaeffer vd., "Checkers is solved", Science 317(5844), 2007.

Özet

Kaynaklar (2/2): Ek Kitaplar, Ders Sayfaları, Araçlar

Ek kitaplar
  • Karlin ve Peres, Game Theory, Alive, American Mathematical Society, 2017. Kombinatoryal oyunlar, Nim, 2×2 oyunlar.
  • Easley ve Kleinberg, Networks, Crowds, and Markets, Cambridge University Press, 2010. Oyunlar, ağlar ve piyasalar.
  • Hearn ve Demaine, Games, Puzzles, and Computation, A K Peters, 2009. Oyunların hesaplama karmaşıklığı.
Ders sayfalarıAraçlar ve video
  • Gambit: oyun ağaçları ve matris oyunlarında denge hesaplayan açık kaynak araçlar.
  • Nashpy: iki oyunculu oyunlar için Python kütüphanesi.
  • Game Theory 101 (YouTube oynatma listesi).

Son

Bölüm 2: Oyunlar ve Temsiller
Sonraki bölüm: Bölüm 3: Nash Dengesi
Çalışma soruları · Terim sözlüğü
1 / 1 Sercan KÜLCÜ, Tüm hakları saklıdır.