Bölüm 1: Karar Kuramı

Algoritmik Oyun Kuramı

Beklenen faydaFayda ölçeğiRisk tutumlarıBelirsizlik ölçütleriBayesçi kararKarar ağaçlarıBilginin değeri

Sercan KÜLCÜ · Giresun Üniversitesi · Bilgisayar Mühendisliği

Beklenen Fayda

Oyunla Başlangıç: Bayesçi Karar Laboratuvarı

Oyunun kuralı

Gizli durumun önsel olasılığını bilir, gürültülü bir sinyal görür ve iki eylemden birini seçersiniz; sonra durum açılır ve tablodaki kazancı alırsınız.

Merak sorusu

%90 doğru bir tahmin “yağmur” dediyse, sizce yağmur olasılığı kaç?
Kararınızdan sonra kötü bir sonuç çıktıysa karar da kötü müydü?

Bayesçi Karar Laboratuvarı →

Beklenen Fayda

Öğrenme Çıktıları

Beklenen fayda ve riskBir piyangonun beklenen değerini ve faydasını hesaplamak; kesinlik eşdeğeri ve risk primiyle risk tutumunu yorumlamak; olasılıklar bilinmezken maksimin, Laplace ve Savage ölçütlerini uygulamak.

Fayda ölçeğivNM aksiyomlarını, Allais ve Ellsberg seçimlerini açıklamak; fayda sayılarının hangi dönüşümlerde kararı koruduğunu göstermek.

Bayesçi kararÖnsel inancı test sonucuyla güncellemek; taban oranı ihmalini sayısal örnekte göstermek; beklenen kaybı en küçük eylemi seçmek.

Karar ağaçlarıGeriye doğru çıkarımla en iyi stratejiyi bulmak; mükemmel ve örnek bilginin değerini hesaplamak.

Beklenen Fayda

Karar Alma: Üç Tür

Karar alma, seçenekler arasından sonuçlarını değerlendirerek seçim yapma sürecidir. Kararı etkileyen şeye göre üç tür:

Tür	Sonucu belirleyen	Araç	Örnek
Bireysel, risk altında	Doğa / şans (olasılıklar bilinir ya da tahmin edilir)	Beklenen fayda, Bayes, karar ağacı	Yatırım, sigorta, tıbbi test
Stratejik	Diğer rasyonel aktörlerin seçimleri	En iyi tepki, Nash dengesi	Fiyat rekabeti, pazarlık, spor
Kolektif	Grubun toplu seçimi ve etkileşimi	Oylama, ortak mallar	Politika, şirket stratejisi

Bireysel kararda karar verici yalnızca doğaya (şansa) karşı seçim yapar. Beklenen fayda, Bayes kuralı ve karar ağacı, stratejik ve kolektif kararların da yapı taşlarıdır.

Beklenen Fayda

Rasyonel Karar: Beklenen Değer mi, Beklenen Fayda mı?

Piyango (lottery): olasılıklı sonuçlar kümesi. A = %50 olasılıkla 900 TL, %50 olasılıkla 0 TL.
Beklenen değer: E[X] = Σ pᵢ xᵢ. E[A] = ½·900 + ½·0 = 450 TL > kesin B = 400 TL.
Beklenen fayda (expected utility; von Neumann–Morgenstern): E[u] = Σ pᵢ u(xᵢ). Rasyonel karar verici beklenen faydayı en büyükler.
u(x) = √x ile: E[u(A)] = ½·30 + ½·0 = 15; u(B) = √400 = 20 ⇒ B seçilir.

Turuncu: her ölçütün seçtiği. Beklenen değer A'yı, beklenen fayda (√x) B'yi seçer.

Beklenen parasal değer ile beklenen fayda aynı kararı vermeyebilir; aradaki farkı fayda fonksiyonunun eğriliği, yani risk tutumu belirler.

St. Petersburg paradoksu: beklenen değeri sonsuz bir oyuna kimse büyük para ödemez; Daniel Bernoulli (1738) bu yüzden faydayı önerdi (benzer fikir: Cramer, 1728).

Beklenen Fayda

Beklenen Faydanın Temeli ve Allais Paradoksu

von Neumann–Morgenstern: tercihler tamlık, geçişlilik, süreklilik ve bağımsızlık aksiyomlarını sağlıyorsa bir u vardır ve karar verici beklenen faydayı en büyükler.
Bağımsızlık: iki piyangoya aynı ortak parçayı (aynı olasılıkla) eklemek sıralamayı değiştirmez.
Allais (1953): çoğu kişi 1. seçimde A'yı, 2. seçimde D'yi seçer.

	Seçenek	1 milyon	5 milyon	0
1. seçim	A	%100	—	—
	B	%89	%10	%1
2. seçim	C	%11	—	%89
	D	—	%10	%90

A ve B'deki ortak %89 “1 milyon” parçası %89 “0” ile değiştirilince C ve D elde edilir.

Her u için E[u(A)] − E[u(B)] = 0,11·u(1) − 0,10·u(5) − 0,01·u(0) = E[u(C)] − E[u(D)]. Yani A ≻ B ise C ≻ D olmalı; “A ve D” seçimi hiçbir fayda fonksiyonuyla açıklanamaz. Kesinliğe verilen fazla ağırlık (kesinlik etkisi) beklenti kuramının çıkış noktalarından biridir.

Beklenen Fayda

Fayda Sayıları Neyi Ölçer? Ölçeğin Tekliği

Sezgi: fayda bir termometre gibidir; sıfır noktası ve birimi keyfîdir. Celsius ile Fahrenheit aynı sıcaklık sırasını verir.
Teklik (vNM): u tercihleri temsil ediyorsa v = a·u + b (a > 0) de aynı piyango tercihlerini temsil eder; afin olmayan dönüşümler etmez. Bu yüzden vNM faydası kardinal (aralık ölçekli) faydadır.
Oyun kuramı bağı: bir oyuncunun bütün kazançlarını 2 ile çarpıp 5 eklemek en iyi tepkileri, Nash dengelerini ve karışık stratejilerdeki olasılıkları değiştirmez.

Fayda	piyango A	kesin B	seçim
u = √x	15	20	B
v = 10√x + 5	155	205	B
w = (√x)² = x	450	400	A

A: ½ olasılıkla 900 TL, ½ olasılıkla 0 TL; B: kesin 400 TL. Afin v kararı korur; artan ama afin olmayan w kararı değiştirir.

Sık hata: “u(B) − u(A) = 5 birim mutluluk” ya da “Ayşe'nin faydası 20, Bora'nınki 15; Ayşe daha mutlu” demek. Farkın büyüklüğü ve kişiler arası karşılaştırma ölçek seçimine bağlıdır; anlamlı olan, aynı kişinin seçenekleri arasındaki sıralamadır.

Risk Tutumları

Kesinlik Eşdeğeri ve Risk Primi Adım Adım

İçbükey fayda u(x) = √x: her ek lira bir öncekinden daha az fayda katar (azalan marjinal fayda). Uçlar: u(0) = 0, u(900) = 30.

Piyango A'nın beklenen faydası iki ucu birleştiren kirişin ortasıdır: E[u] = ½·0 + ½·30 = 15 (x = 450 hizasında).

Aynı 450 TL kesin verilse fayda u(450) ≈ 21,2 > 15. Kiriş eğrinin altında kalır: içbükey fonksiyonda E[u(X)] < u(E[X]) (Jensen).

Kesinlik eşdeğeri (KE): faydası 15 olan kesin tutar. √x = 15 ⇒ KE = 225 TL. Bu kişi piyangoyu 225 TL'ye satmaya razıdır.

Risk primi = E[X] − KE = 450 − 225 = 225 TL. Kesin 400 TL'nin faydası 20 > 15 ⇒ riskten kaçınan kişi B'yi seçer.

Risk Tutumları

Üç Risk Tutumu: Aynı Piyango, Farklı Kararlar

Tutum	Fayda	E[u(A)]	u(400)	Seçim	KE (TL)	Risk primi
Riskten kaçınan	u(x) = √x (içbükey)	15	20	B	225	225
Risk nötr	u(x) = x (doğrusal)	450	400	A	450	0
Risk seven	u(x) = x²/900 (dışbükey)	450	177,8	A	636,4	−186,4

İçbükey → kaçınanKE < E[X], prim > 0: riski üstlenmek için ödül ister. İnsanların çoğu, büyük tutarlarda.

Doğrusal → nötrKE = E[X]: yalnızca beklenen değere bakar. Büyük şirketler, küçük tutarlar.

Dışbükey → sevenKE > E[X], prim < 0: risk için para öder. Piyango bileti alan kişi.

Piyango A: %50 900 TL, %50 0 TL (E[X] = 450). B: kesin 400 TL. KE = u⁻¹(E[u(A)]), risk primi = E[X] − KE.

Risk Tutumları

Uygulama: Sigorta Neden Var?

Servet 900 (bin TL); %10 olasılıkla 800'lük kayıp (yangın). Fayda u(x) = √x.
Sigortasız: E[u] = 0,9·√900 + 0,1·√100 = 27 + 1 = 28.
Kesinlik eşdeğeri: 28² = 784. Kişi riskli 900 yerine kesin 784'e razı.
En fazla ödenecek prim = 900 − 784 = 116; beklenen kayıp yalnızca 0,1·800 = 80.

Sigortalı: prim ≤ 116 ödeyip riskten kurtulmak faydasını artırır. Sigortacı: çok sayıda bağımsız poliçeyle risk nötre yakındır; 80'den fazla her prim kârdır.

80 ile 116 arasındaki her prim iki taraf için de kazançlıdır: risk, ona en az katlanan tarafa aktarılır.

Risk Tutumları

Bilinen Risk mi, Bilinmeyen Olasılık mı? Ellsberg Torbası

Sezgi: risk altında olasılıklar bilinir (zar, rulet); belirsizlik altında bilinmez. İnsanlar ikisine aynı davranmaz.
Torba: 90 top; 30'u kırmızı, kalan 60'ı siyah ya da sarı, ama kaçının siyah olduğu bilinmiyor. Kazandıran renk çekilirse 100 TL.
Tipik tercihler: 1. bahiste “kırmızı”, 2. bahiste “siyah ya da sarı”; ikisinde de kazanma olasılığı bilinen seçenek.

Bahis	Seçenek	kazandıran top
1	kırmızı	30 (bilinen)
	siyah	s (0–60, bilinmiyor)
2	kırmızı ya da sarı	30 + (60 − s)
	siyah ya da sarı	60 (bilinen)

s: torbadaki siyah top sayısı. Turuncu: çoğunluğun seçimi.

1. tercih 30 > s, 2. tercih 60 > 90 − s, yani s > 30 demektir: iki tercihi birlikte açıklayan hiçbir olasılık yoktur (Ellsberg, 1961). Olasılığı bilinmeyen seçenekten uzak durmaya belirsizlikten kaçınma (ambiguity aversion) denir; olasılıklar hiç bilinmediğinde yalnızca en kötü durumu düşünen maksimin bu tutumun uç biçimidir.

Risk Tutumları

Olasılıklar Bilinmezse: Belirsizlik Altında Karar

Olasılıklar bilinmiyor (belirsizlik). Satırlar eylemler, sütunlar durumlar; her ölçüt farklı bir “karamsarlık” derecesi taşır.

Maksimin (maximin; Wald, en kötüyü düşün): satır minimumları −120, −20, 0 → en büyüğü 0: Yatırım yok.

Maksimaks (maximax; iyimser): satır maksimumları 200, 90, 0 → Büyük yatırım.

Laplace (durumlar eşit olası say): ortalamalar 43,3, 36,7, 0,0 → Büyük yatırım.

Her durumda ulaşılabilecek en iyi sonuç: enb = [200, 50, 0]. Pişmanlık = enb − elde edilen.

Satır başına en büyük pişmanlık: Büyük (kötü durumda 0 − (−120)) = 120, Küçük (iyide 200 − 90) = 110, Yok (iyide 200) = 200.

Savage (minimaks pişmanlık): en küçük maksimum pişmanlık 110 → Küçük yatırım.

return (2, 0, 0, 1): aynı tabloda üç farklı karar! Hurwicz ölçütü iki uç arasında durur: α·(satır maks.) + (1 − α)·(satır min.); iyimserlik katsayısı α = 0,5 ile 40, 35, 0 → Büyük. Olasılıklar tahmin edilebiliyorsa beklenen faydaya dönülür; edilemiyorsa ölçüt seçimi karar vericinin tutumunu yansıtır.

def olcutler(U):
    A, m = range(len(U)), len(U[0])
    mm = max(A, key=lambda i: min(U[i]))      # maximin
    mx = max(A, key=lambda i: max(U[i]))      # maximax
    lp = max(A, key=lambda i: sum(U[i]) / m)  # Laplace
    enb = [max(r[j] for r in U) for j in range(m)]
    pis = [max(enb[j] - r[j] for j in range(m))
           for r in U]            # en büyük pişmanlık
    sv = pis.index(min(pis))                  # Savage
    return mm, mx, lp, sv

Bayesçi Karar

Tıbbi Test: Pozitif Sonuç Ne Anlama Gelir?

10.000 kişilik bir topluluk düşünelim. Olasılıklar yerine doğal sıklıklar (kişi sayıları) kullanmak Bayes hesabını sezgisel kılar.

Önsel (prior): yaygınlık %1 ⇒ 100 hasta, 9.900 sağlıklı.

Duyarlılık (sensitivity) %90: 100 hastanın 90'ı pozitif, 10'u negatif çıkar.

Yanlış pozitif oranı %9: 9.900 sağlıklının 891'i de pozitif çıkar! Sağlıklılar çok kalabalık olduğu için bu sayı büyüktür.

Test pozitif çıkan herkes: 90 + 891 = 981 kişi. Bunlardan yalnızca 90'ı gerçekten hasta.

Sonsal: P(hasta | +) = 90 / 981 = %9,2. Test %90 duyarlı olsa da pozitif sonuç çoğunlukla yanlış alarmdır (taban oranı ihmali).

Bayesçi Karar

Kod İzleme: `bayes(p, duyarlilik, yp, testler)`

Çağrı: bayes(0.01, 0.9, 0.09, ["+", "+", "-"]). p önsel olasılıkla (%1) başlar; üç test sonucu sırayla işlenecek.

1. test sonucu: +. Şu anki inanç p = 0.0100 bu testin önseli olur.

sonuc == "+" ? → Doğru: pozitif sonucun olabilirlikleri kullanılır.

pay = P(+|hasta)·p = 0.9 × 0.0100 = 0.0090; payda = pay + P(+|sağlıklı)·(1 − p) = 0.0981 (toplam pozitif olasılığı).

p = pay / payda = 0.0917; print ile yazdırılır. Eşiğin (%13) altında: tedaviye başlamak için yetersiz.

2. test sonucu: +. Şu anki inanç p = 0.0917 bu testin önseli olur.

sonuc == "+" ? → Doğru: pozitif sonucun olabilirlikleri kullanılır.

pay = P(+|hasta)·p = 0.9 × 0.0917 = 0.0826; payda = pay + P(+|sağlıklı)·(1 − p) = 0.1643 (toplam pozitif olasılığı).

p = pay / payda = 0.5025; print ile yazdırılır. Eşiğin üstüne çıktı: iki bağımsız pozitif, olasılığı ~%50'ye taşıdı.

3. test sonucu: -. Şu anki inanç p = 0.5025 bu testin önseli olur.

sonuc == "+" ? → Yanlış: negatif sonucun olabilirlikleri kullanılır.

pay = P(−|hasta)·p = 0.1 × 0.5025 = 0.0503; payda = pay + P(−|sağlıklı)·(1 − p) = 0.91 × 0.4975 + pay = 0.5030.

p = pay / payda = 0.0999; print ile yazdırılır. Negatif sonuç inancı yeniden eşiğin altına indirdi.

Döngü bitti; fonksiyon p = 0.0999 döndürür. Her test, bir öncekinin sonsalını önsel olarak kullanır (ardışık güncelleme).

def bayes(p, duyarlilik, yp, testler):
  for sonuc in testler:
    if sonuc == "+":
      pay = duyarlilik * p
      payda = pay + yp * (1 - p)
    else:
      pay = (1 - duyarlilik) * p
      payda = pay + (1 - yp) * (1 - p)
    p = pay / payda
    print(sonuc, round(p, 4))
  return p

Bayesçi Karar

Bayesçi Karar Kuralı: Tedavi mi, Bekle mi?

Önsel inanç kanıtla güncellenir; sonra her eylemin beklenen kaybı sonsal olasılıkla hesaplanır. En düşük beklenen kayıplı eylem seçilir.
Kayıplar: sağlıklıya gereksiz tedavi 30, hastayı tedavi etmemek 200.
E[kayıp | tedavi] = (1 − p)·30; E[kayıp | bekle] = p·200. Tedavi ⇔ p > 30/(30 + 200) = 3/23 ≈ %13,0.

Durum	p	tedavi	bekle	karar
1 pozitif	0,092	27,2	18,3	bekle, yeniden test
2 pozitif	0,503	14,9	100,5	tedavi

Beklenen kayıplar (turuncu = en küçük)

Karar yalnızca olasılığa değil kayıpların oranına da bağlıdır: hastalığı kaçırmak ne kadar pahalıysa eşik o kadar düşer.

Bayesçi Karar

Oyuna Dönüş: Bayesçi Karar Laboratuvarı

Kuramın cevabı: %82,9

P(yağmur | “yağmur”) = 0,9·0,35 / (0,9·0,35 + 0,1·0,65) = 0,315 / 0,38 ≈ 0,829.

Bilgi	P(yağmur)	BF(açık)	BF(kapalı)	Karar
yalnız önsel	0,35	3,10	3,35	kapalı
“yağmur”	0,829	−3,61	3,83	kapalı
“kuru”	0,056	7,21	3,06	açık

Açık hava ancak P(yağmur) < 1/3 iken seçilir. Seviye 3'te (doğruluk %78) sinyalin bilgi değeri 1,765 > 1: satın almaya değer.

Gerçekte: taban oranı ihmali

Klasik bir çalışmada hekim ve tıp öğrencilerine yaygınlığı 1/1000, yanlış pozitif oranı %5 olan bir test soruldu: 60 kişiden yalnızca 11'i doğru cevaba (yaklaşık %2) ulaştı, en sık verilen cevap %95'ti (Casscells, Schoenberger ve Graboys, 1978).

Oyundaki “EU-optimal” sayacı şanslı sonucu değil, eldeki bilgiyle beklenen faydayı en büyükleyen kararı sayar: iyi karar kötü sonuç verebilir.

Bayesçi Karar

Bayesçi Oyunlara Köprü: Rakibin Tipini Güncellemek

Sezgi: eksik bilgili oyunda bilinmeyen “durum” rakibin tipidir. Tipe dair inanç önsel, rakibin hamlesi kanıttır.
Örnek (poker): rakip %20 olasılıkla blöfçü, %80 dürüst. Blöfçü elinden bağımsız %90 yükseltir; dürüst yalnız güçlü elle, %30 yükseltir.
Rakip yükseltti: P(blöfçü | yükseltme) = 0,2·0,9 / (0,2·0,9 + 0,8·0,3) = 0,18 / 0,42 ≈ 0,429.
Görmek (call) blöfçüye karşı +30, dürüste karşı −30 getirsin: E[gör] = 0,429·30 − 0,571·30 ≈ −4,3 < 0 ⇒ çekil. İkinci yükseltmede 0,429 önsel olur ve sonsal 0,692'ye çıkar.

Gözlem	P(blöfçü)	E[gör]	karar
yalnız önsel	0,200	−18,0	çekil
1 yükseltme	0,429	−4,3	çekil
2 yükseltme	0,692	+11,5	gör

Görmek ancak P(blöfçü) > 0,5 iken kârlıdır (kazanç ve kayıp eşit büyüklükte).

Sık hata: P(yükseltme | blöfçü) = 0,9'u P(blöfçü | yükseltme) sanmak. Dürüst oyuncular daha kalabalık olduğu için yükseltmelerin çoğu (0,24 / 0,42 ≈ %57) onlardan gelir. Poker ve Hokm'da bahis ve koz seçimleri bu güncellemenin kanıtlarıdır; blöf, rakibin güncellemesini yönlendirme çabasıdır.

Karar Ağaçları ve Bilginin Değeri

Karar Ağacı: Ürün Lansmanı ve Pazar Araştırması

Bir firma yeni ürünü piyasaya sürüp sürmemeye karar verecek. Pazar iyi (olasılık 2/5) ise +500, kötü (3/5) ise −200 bin TL; sürmezse 0.
Önce 20 bin TL'ye pazar araştırması yaptırabilir. Rapor kusurludur: P(olumlu | iyi) = 0,8, P(olumlu | kötü) = 0,1.
Bayes ile: P(olumlu) = 0,4·0,8 + 0,6·0,1 = 0,38; P(iyi | olumlu) = 0,32/0,38 = 16/19; P(iyi | olumsuz) = 0,08/0,62 = 4/31.

□ Karar düğümüKarar verici seçer → dallardan en büyük değer.

○ Şans düğümüDoğa seçer → olasılıklarla ağırlıklı ortalama.

YaprakBir yolun net sonucu.

Karar ağacı, doğanın da hamle yaptığı (şans düğümlü) bir oyun ağacıdır; geriye doğru çıkarımla yapraktan köke çözülür.

Karar Ağaçları ve Bilginin Değeri

Karar Ağacında Geriye Doğru Çıkarım

Kare = karar düğümü, daire = şans düğümü. Yapraklarda net kazanç (araştırma yapılırsa 20 düşülmüş). Geriye doğru çıkarım: şans düğümünde beklenen değer, karar düğümünde en büyük değer.

Araştırmasız sürme: 2/5·500 + 3/5·(−200) = 200 − 120 = 80.

Karar: max(Sür 80, Sürme 0) = 80 ⇒ Sür. Sürme dalı elenir.

Olumlu raporda P(İyi | olumlu) = 0,32/0,38 = 16/19 (Bayes). Beklenen: 16/19·480 + 3/19·(−220) ≈ 369,5.

Karar: max(369,5, −20) ⇒ olumlu raporda Sür.

Olumsuz raporda P(İyi | olumsuz) = 0,08/0,62 = 4/31. Beklenen: 4/31·480 + 27/31·(−220) ≈ −129,7.

Karar: max(−129,7, −20) = −20 ⇒ olumsuz raporda Sürme (yalnızca araştırma maliyeti kaybedilir).

Rapor şans düğümü: 0,38·369,5 + 0,62·(−20) = 128.

Kök: max(Araştır 128, Araştırma 80) ⇒ Araştır. Strateji: araştır; olumluysa sür, olumsuzsa sürme.

Karar Ağaçları ve Bilginin Değeri

Kod İzleme: Özyinelemeli Geriye Doğru Çıkarım

deger(kök) çağrıldı: karar düğümü; çocukları sırayla değerlendirilir.

deger(Araştır) çağrıldı: şans düğümü; çocukları sırayla değerlendirilir.

deger(olumlu) çağrıldı: karar düğümü; çocukları sırayla değerlendirilir.

deger(olumlu·Sür) çağrıldı: şans düğümü; çocukları sırayla değerlendirilir.

olumlu·Sür (şans): 0,842·480 + 0,158·−220 = 369,5.

olumlu (karar): max(Sür 369,5, Sürme −20,0) = 369,5 → Sür.

deger(olumsuz) çağrıldı: karar düğümü; çocukları sırayla değerlendirilir.

deger(olumsuz·Sür) çağrıldı: şans düğümü; çocukları sırayla değerlendirilir.

olumsuz·Sür (şans): 0,129·480 + 0,871·−220 = −129,7.

olumsuz (karar): max(Sür −129,7, Sürme −20,0) = −20,0 → Sürme.

Araştır (şans): 0,38·369,5 + 0,62·−20 = 128,0.

deger(Araştırma) çağrıldı: karar düğümü; çocukları sırayla değerlendirilir.

deger(A·Sür) çağrıldı: şans düğümü; çocukları sırayla değerlendirilir.

A·Sür (şans): 0,4·500 + 0,6·−200 = 80,0.

Araştırma (karar): max(Sür 80,0, Sürme 0,0) = 80,0 → Sür.

kök (karar): max(Araştır 128,0, Araştırma 80,0) = 128,0 → Araştır. Strateji: araştır; olumluysa sür, olumsuzsa sürme.

def deger(n):
    if not isinstance(n, tuple):    # yaprak
        return n
    tur, dallar = n
    if tur == "S":                  # şans düğümü
        return sum(p * deger(c) for p, c in dallar)
    return max(deger(c) for ad, c in dallar)  # karar

Karar Ağaçları ve Bilginin Değeri

Bilginin Beklenen Değeri: EVPI ve EVSI

Durum	Hesap	Değer
Bilgi yok (hemen karar)	Sür: 0,4·500 + 0,6·(−200)	80
·	·	·
·	·	·
·	·	·
·	·	·

Bilgi olmadan en iyi eylem sürmek: beklenen değer 80.

Durum	Hesap	Değer
Bilgi yok (hemen karar)	Sür: 0,4·500 + 0,6·(−200)	80
Mükemmel bilgi (kâhin)	iyi → sür 500, kötü → sürme 0: 0,4·500 + 0,6·0	200
·	·	·
·	·	·
·	·	·

Bir kâhin pazarın durumunu önceden söyleseydi: iyi pazarda sürer (500), kötüde sürmezdi (0). Beklenen 200.

Durum	Hesap	Değer
Bilgi yok (hemen karar)	Sür: 0,4·500 + 0,6·(−200)	80
Mükemmel bilgi (kâhin)	iyi → sür 500, kötü → sürme 0: 0,4·500 + 0,6·0	200
EVPI = mükemmel bilginin beklenen değeri	200 − 80	120
·	·	·
·	·	·

EVPI = 200 − 80 = 120: hiçbir bilgi kaynağına bundan fazlası ödenmez (üst sınır).

Durum	Hesap	Değer
Bilgi yok (hemen karar)	Sür: 0,4·500 + 0,6·(−200)	80
Mükemmel bilgi (kâhin)	iyi → sür 500, kötü → sürme 0: 0,4·500 + 0,6·0	200
EVPI = mükemmel bilginin beklenen değeri	200 − 80	120
Örnek bilgi (araştırma, maliyetsiz)	ağaçtaki 128 + araştırma maliyeti 20	148
·	·	·

Kusurlu araştırmanın brüt değeri: ağaçtaki 128'e maliyeti geri ekle ⇒ 148.

Durum	Hesap	Değer
Bilgi yok (hemen karar)	Sür: 0,4·500 + 0,6·(−200)	80
Mükemmel bilgi (kâhin)	iyi → sür 500, kötü → sürme 0: 0,4·500 + 0,6·0	200
EVPI = mükemmel bilginin beklenen değeri	200 − 80	120
Örnek bilgi (araştırma, maliyetsiz)	ağaçtaki 128 + araştırma maliyeti 20	148
EVSI = örnek bilginin beklenen değeri	148 − 80	68

EVSI = 148 − 80 = 68 > maliyet 20 ⇒ araştırma yapılmalı (net kazanç 48). Verimlilik EVSI/EVPI = %57.

Bilgi ancak kararı değiştirebiliyorsa değerlidir: olumsuz rapor "sürme" kararına yol açtığı için araştırmanın değeri pozitiftir.

Özet

Beklenen faydaE[u] = Σ pᵢ u(xᵢ). Piyango A: E[X] = 450 ama √x ile E[u] = 15 < u(400) = 20.

Fayda ölçeğia·u + b (a > 0) dönüşümü kararı korur; Allais ve Ellsberg seçimleri beklenen faydadan sistematik olarak sapar.

Risk tutumuİçbükey → kaçınan (KE 225, prim 225); doğrusal → nötr; dışbükey → seven.

Belirsizlik ölçütleriAynı tabloda maksimin Yatırım yok, maksimaks ve Laplace Büyük, Savage Küçük yatırımı seçer.

Bayesçi kararYaygınlık %1, duyarlılık %90, yanlış pozitif %9 ⇒ P(hasta | +) ≈ %9,2; tedavi ancak p > 3/23 iken.

Karar ağacıŞansta ortalama, kararda maksimum. Araştır (128) > araştırmasız (80); EVPI = 120, EVSI = 68.

Özet

Risk ve Belirsizlik Altında Daha İyi Karar

Bilginin değeri hesaplanırGüncel veri kararı iyileştirir; bilgi toplamak ancak EVSI maliyetinden büyükse kârlıdır.

Senaryo analizi ve karar ağacıOlası durumlar ve olasılıkları açıkça yazılınca ağaç geriye doğru çözülebilir.

Önsel hesaba katılırTaban oranları Bayes kuralıyla sonsala girer; doğal sıklıklarla düşünmek hatayı azaltır.

Rakipler ve çeşitlendirmeOyun kuramı ve simülasyon rakip davranışını modeller; portföy çeşitlendirmesi riski azaltır.

Özet

Etkileşimli Oyunlar

Bayesçi Karar LaboratuvarıÖnsel, olabilirlik ve kayıplara göre sonsal ve karar.

BlackjackKart çek / dur kararında batma olasılığı ve temel strateji ipucu.

Mayın TarlasıAçılan sayılara göre hücrelerin mayın olasılığını güncelleme.

PiştiOynanan kartları hatırlayarak rakibin elindeki kartlar hakkında çıkarım.

HokmEksik bilgili, takım hâlinde oynanan kart oyunu: koz seçimi ve sinyalleşme.

PokerEksik bilgi, olasılık ve blöf: rakibin elini olasılıkla tahmin etme.

TavlaZarlı oyun: hamleleri sezgisel bir değerlendirme fonksiyonuyla puanlama; üç farklı ağırlık profili.

Özet

Örnek Problemler

Piyango: %20 olasılıkla 2.500 TL, aksi hâlde 100 TL. Beklenen değer? u(x) = √x için kesinlik eşdeğeri ve risk primi?
Sigorta örneğinde kayıp olasılığı %20 olsaydı en fazla ödenecek prim ne olurdu?
Tıbbi testte yaygınlık %10 olsaydı (duyarlılık %90, yanlış pozitif %9) P(hasta | +) kaç olurdu?
Karar ağacında araştırma 70 bin TL olsaydı en iyi strateji ne olurdu?

Cevapları göster

E[X] = 580; E[u] = 0,2·50 + 0,8·10 = 18; KE = 324; risk primi = 256.
E[u] = 0,8·30 + 0,2·10 = 26; KE = 676; prim ≤ 224 (beklenen kayıp 160).
P = 0,09 / (0,09 + 0,081) = 10/19 ≈ %52,6: taban oranı yükselince pozitif sonuç çok daha anlamlı.
EVSI = 68 < 70 ⇒ araştırma yapılmaz; doğrudan sür (beklenen 80).

Özet

Kaynaklar

J. von Neumann, O. Morgenstern, Theory of Games and Economic Behavior, Princeton University Press, 1944.
S. Russell, P. Norvig, Artificial Intelligence: A Modern Approach, 4. baskı, Pearson, 2020 (Bölüm 12–16: belirsizlik, Bayes, karar kuramı).
H. Raiffa, Decision Analysis, 1968; D. Bernoulli, “Specimen theoriae novae de mensura sortis”, 1738.
M. Allais, “Le comportement de l'homme rationnel devant le risque”, Econometrica 21, 1953; L. J. Savage, “The theory of statistical decision”, JASA 46, 1951; D. Ellsberg, Quarterly J. Economics 75, 1961.
G. Gigerenzer, U. Hoffrage, "How to improve Bayesian reasoning without instruction: Frequency formats", Psychological Review 102(4), 1995.
W. Casscells, A. Schoenberger, T. B. Graboys, “Interpretation by physicians of clinical laboratory results”, NEJM 299, 1978.
D. Easley, J. Kleinberg, Networks, Crowds, and Markets, Cambridge University Press, 2010 (Bölüm 16: bilgi çağlayanları ve Bayes kuralı). Araç: Gambit (şans düğümlü ağaçları çizip geriye doğru çözer).

Son

Bölüm 1: Karar Kuramı

Sonraki bölüm: Bölüm 2: Oyunlar ve Temsiller
Çalışma soruları · Terim sözlüğü

Bölüm 1: Karar Kuramı

Oyunla Başlangıç: Bayesçi Karar Laboratuvarı

Öğrenme Çıktıları

Karar Alma: Üç Tür

Rasyonel Karar: Beklenen Değer mi, Beklenen Fayda mı?

Beklenen Faydanın Temeli ve Allais Paradoksu

Fayda Sayıları Neyi Ölçer? Ölçeğin Tekliği

Kesinlik Eşdeğeri ve Risk Primi Adım Adım

Üç Risk Tutumu: Aynı Piyango, Farklı Kararlar

Uygulama: Sigorta Neden Var?

Bilinen Risk mi, Bilinmeyen Olasılık mı? Ellsberg Torbası

Olasılıklar Bilinmezse: Belirsizlik Altında Karar

Tıbbi Test: Pozitif Sonuç Ne Anlama Gelir?

Kod İzleme: bayes(p, duyarlilik, yp, testler)

Bayesçi Karar Kuralı: Tedavi mi, Bekle mi?

Oyuna Dönüş: Bayesçi Karar Laboratuvarı

Bayesçi Oyunlara Köprü: Rakibin Tipini Güncellemek

Karar Ağacı: Ürün Lansmanı ve Pazar Araştırması

Karar Ağacında Geriye Doğru Çıkarım

Kod İzleme: Özyinelemeli Geriye Doğru Çıkarım

Bilginin Beklenen Değeri: EVPI ve EVSI

Özet

Risk ve Belirsizlik Altında Daha İyi Karar

Etkileşimli Oyunlar

Örnek Problemler

Kaynaklar

Son

Kod İzleme: `bayes(p, duyarlilik, yp, testler)`