Bölüm 1: Karar Kuramı
Çoktan Seçmeli · Beklenen Fayda
Soru 1
Allais paradoksunda çoğu kişinin 1. seçimde A'yı, 2. seçimde D'yi seçmesi neden beklenen fayda kuramıyla çelişir?
Doğru cevap D. Allais tablosunda E[u(A)] − E[u(B)] = 0,11·u(1) − 0,10·u(5) − 0,01·u(0) olur; C ve D, ortak %89 “1 milyon” parçası %89 “0” ile değiştirilerek elde edildiği için E[u(C)] − E[u(D)] de tam olarak aynı ifadedir. Bu fark pozitifse hem A ≻ B hem C ≻ D, negatifse hem B ≻ A hem D ≻ C olmalıdır; yani “A ve D” seçimi hiçbir u ile açıklanamaz. İhlal edilen aksiyom geçişlilik (B) değil bağımsızlıktır; içbükeylik de sorunu çözmez (A) ve dört seçeneğin beklenen değerleri (1; 1,39; 0,11; 0,5 milyon) eşit değildir (C).
Çoktan Seçmeli · Kesinlik Eşdeğeri
Soru 2
Dışbükey fayda fonksiyonlu (risk seven) karar verici için hangisi doğrudur?
Doğru cevap C. Dışbükey bir u için E[u(X)] > u(E[X]) olur (Jensen); KE = u⁻¹(E[u(X)]) ve u artan olduğundan KE > E[X] çıkar. Risk primi E[X] − KE bu yüzden negatiftir: kişi riski taşımak için para ödemeye razıdır (piyango bileti alan kişi). A şıkkı içbükey (riskten kaçınan), B doğrusal (risk nötr) duruma aittir. D ise tam tersidir: risk seven, beklenen değerleri eşit olduğunda piyangoyu kesin tutara tercih eder.
Çoktan Seçmeli · Bayes Kuralı
Soru 3
Taban oranı ihmali (base-rate neglect) hangisidir?
Doğru cevap B. Taban oranı ihmali, önsel yaygınlığı (taban oranını) hesaba katmadan testin duyarlılığını, yani P(+ | hasta)'yı, P(hasta | +) yerine koymaktır. Yaygınlık düşükken sağlıklılar çok kalabalık olduğu için pozitif sonuçların çoğu yanlış pozitiftir; önseli yok saymak sonsalı büyük ölçüde abartır (yaygınlığı %1 olan bir testte %90 sanılan olasılık aslında %9,2). A ve C başka hatalardır; D ise hata değil, doğru ardışık Bayes güncellemesidir. Doğal sıklıklarla (“1.000 kişiden kaçı?”) düşünmek bu hatayı azaltır.
Çoktan Seçmeli · Ardışık Güncelleme ve Karar
Soru 4
bayes(0.01, 0.9, 0.09, ["+", "+"]) çağrısında ikinci testin hesabında önsel olarak hangi değer kullanılır?
Doğru cevap A. bayes() döngüsünde her testten sonra p = pay / payda atanır; böylece bir testin sonsalı bir sonrakinin önseli olur. İlk test: 0,9·0,01 / (0,009 + 0,09·0,99) = 0,009 / 0,0981 ≈ 0,0917. İkinci test bu değerle başlar: 0,9·0,0917 / (0,0826 + 0,09·0,9083) ≈ 0,5025. B her testi baştan değerlendirir ve iki pozitifin birikimli kanıtını kaybeder; C duyarlılığı, D ise bilgisiz bir 0,5'i önsel sanır.
Çoktan Seçmeli · Karar Ağaçları
Soru 5
Karar ağacında geriye doğru çıkarımın kuralı hangisidir?
Doğru cevap D. Şans düğümünde seçimi doğa yapar ve karar verici bunu kontrol edemez; bu yüzden dalların olasılıkla ağırlıklı ortalaması alınır. Karar düğümünde ise seçimi karar verici yapar ve en büyük değerli dalı seçer; deger() fonksiyonunun sum(p * deger(c) …) ve max(…) satırları tam olarak budur. B iki kuralı ters çevirir; A doğa da bizim lehimize seçiyormuş gibi aşırı iyimserdir; C ise olasılığı düşük ama büyük sonuçları yok sayar.
Çoktan Seçmeli · Bilginin Değeri
Soru 6
Bir ürün lansmanı örneğinde EVSI = 68, EVPI = 120. Pazar araştırması 75 bin TL olsaydı ne yapılmalıydı?
Doğru cevap B. Kusurlu araştırmanın değeri EVSI = 148 − 80 = 68 bin TL'dir; araştırma ancak maliyeti 68'den küçükse yapılır. 75 > 68 olduğundan araştırmasız en iyi strateji seçilir: doğrudan sür, beklenen 80 (araştırmalı yol 148 − 75 = 73 olurdu). A, EVPI'yı kullanır; EVPI = 120 yalnızca bir üst sınırdır, kusurlu rapor bu kadar değerli değildir. C'deki 128 maliyet 20 iken hesaplanmıştır; D ise beklenen değeri pozitif (80) ürünü reddeder.
Hesaplama Sorusu · Beklenen Fayda
Soru 7: Kesinlik Eşdeğeri
Piyango L: %25 olasılıkla 3.600 TL, %75 olasılıkla 400 TL. Karar vericinin fayda fonksiyonu u(x) = √x.
(a) E[L] ve E[u(L)] kaçtır? (b) Kesinlik eşdeğeri (KE) ve risk primi nedir? (c) Kesin 1.000 TL ile L arasında bu kişi ve risk nötr bir kişi neyi seçer?
Cevabı göster
(a) E[L] = 0,25·3.600 + 0,75·400 = 900 + 300 = 1.200 TL. E[u] = 0,25·√3.600 + 0,75·√400 = 0,25·60 + 0,75·20 = 15 + 15 = 30.
(b) √KE = 30 ⇒ KE = 900 TL. Risk primi = E[L] − KE = 1.200 − 900 = 300 TL > 0 (içbükey fayda → riskten kaçınan).
(c) u(1.000) = √1.000 ≈ 31,6 > 30 ⇒ √x'li kişi kesin 1.000 TL'yi seçer (1.000 > KE = 900). Risk nötr kişi yalnızca beklenen değere bakar: 1.200 > 1.000 ⇒ L'yi seçer.
Hesaplama Sorusu · Risk Tutumları
Soru 8: Sigorta Primi
Servet 1.600 (bin TL); %20 olasılıkla 1.200'lük kayıp (geriye 400 kalır). Fayda u(x) = √x. Kişinin tam sigorta için ödemeye razı olduğu en yüksek prim kaçtır? Risk nötr bir sigortacı en az ne ister? Hangi primler iki taraf için de kazançlıdır?
Cevabı göster
Sigortasız: E[u] = 0,8·√1.600 + 0,2·√400 = 0,8·40 + 0,2·20 = 32 + 4 = 36.
Kesinlik eşdeğeri: 36² = 1.296. Kişi riskli servet yerine kesin 1.296'ya razıdır ⇒ en yüksek prim = 1.600 − 1.296 = 304.
Beklenen kayıp: 0,2·1.200 = 240; risk nötr sigortacı en az bunu ister.
240 < prim < 304 aralığındaki her prim ikisini de kazançlı kılar: sigortalı riskten kurtulup faydasını artırır, sigortacı beklenen kârı alır. Fark (64), kişinin risk primidir.
Hesaplama Sorusu · Belirsizlik Altında Karar
Soru 9: Belirsizlik Ölçütleri
Olasılıklar bilinmiyor. Dört eylemin üç durumdaki kazançları aşağıda. Maksimin, maksimaks, Laplace ve Savage (minimaks pişmanlık) ölçütleri hangi eylemi seçer?
| İyi | Orta | Kötü | |
|---|---|---|---|
| A | 150 | 40 | −80 |
| B | 80 | 70 | −10 |
| C | 40 | 30 | 20 |
| D | 120 | 40 | −30 |
Cevabı göster
| min | max | ortalama | pişmanlıklar | en büyük p. | |
|---|---|---|---|---|---|
| A | −80 | 150 | 36,7 | 0, 30, 100 | 100 |
| B | −10 | 80 | 46,7 | 70, 0, 30 | 70 |
| C | 20 | 40 | 30,0 | 110, 40, 0 | 110 |
| D | −30 | 120 | 43,3 | 30, 30, 50 | 50 |
Durum başına en iyi sonuçlar: 150, 70, 20; pişmanlık = en iyi − elde edilen.
Maksimin → C; maksimaks → A; Laplace → B (140/3); Savage → D (en büyük pişmanlığı 50). Dört ölçüt dört farklı karar verir: seçim, karar vericinin karamsarlık derecesine bağlıdır.
Hesaplama Sorusu · Bayes Kuralı
Soru 10: Bayes ve Karar Kuralı
Yaygınlık %5, test duyarlılığı %80, yanlış pozitif oranı %10. (a) 2.000 kişilik toplulukta doğal sıklıklarla P(hasta | +) kaçtır? (b) Bağımsız ikinci test de pozitif çıkarsa sonsal kaç olur? (c) Kayıplar: sağlıklıya gereksiz tedavi 50, hastayı tedavi etmemek 100. Tedavi eşiği nedir; her testten sonra karar ne olur?
Cevabı göster
(a) 100 hasta → 80 pozitif; 1.900 sağlıklı → 190 pozitif. P(hasta | +) = 80/(80 + 190) = 80/270 = 8/27 ≈ %29,6.
(b) Yeni önsel 8/27: pay = 0,8·8/27, payda = pay + 0,1·19/27 ⇒ p = 6,4/(6,4 + 1,9) = 64/83 ≈ %77,1.
(c) Tedavi ⇔ (1 − p)·50 < p·100 ⇔ p > 50/150 = 1/3.
| durum | p | E[kayıp | tedavi] | E[kayıp | bekle] | karar |
|---|---|---|---|---|
| 1 pozitif | 0,296 | 35,2 | 29,6 | bekle, yeniden test |
| 2 pozitif | 0,771 | 11,4 | 77,1 | tedavi |
Hesaplama Sorusu · Karar Ağacı
Soru 11: Karar Ağacı ve EVPI
Firma yeni ürünü piyasaya sürüp sürmemeye karar verecek. Pazar iyi (olasılık 0,3) ise +400, kötü (0,7) ise −100 bin TL; sürmezse 0. (a) Bilgi olmadan en iyi karar ve beklenen değeri? (b) Mükemmel bilginin beklenen değeri (EVPI) kaçtır?
Cevabı göster
(a) Şans düğümü: 0,3·400 + 0,7·(−100) = 120 − 70 = 50. Karar düğümü: max(Sür 50, Sürme 0) ⇒ Sür, beklenen değer 50.
(b) Kâhin pazarı önceden söylerse: iyi → sür (400), kötü → sürme (0). Beklenen 0,3·400 + 0,7·0 = 120.
EVPI = 120 − 50 = 70. Hiçbir pazar araştırması 70 bin TL'den fazla etmez: mükemmel bilgi, kusurlu bilginin değeri için üst sınırdır. Kazanç yalnızca kötü pazarda sürmekten kaçınmaktan gelir: 0,7·100 = 70.
Hesaplama Sorusu · Bilginin Değeri
Soru 12: Örnek Bilginin Değeri
Soru 11'deki firma 10 bin TL'ye pazar araştırması yaptırabilir: P(olumlu | iyi) = 0,9, P(olumlu | kötü) = 0,2. Geriye doğru çıkarımla en iyi stratejiyi bulun; EVSI kaçtır ve araştırmaya en çok ne ödenmelidir?
Cevabı göster
P(olumlu) = 0,3·0,9 + 0,7·0,2 = 0,27 + 0,14 = 0,41. P(iyi | olumlu) = 0,27/0,41 = 27/41; P(iyi | olumsuz) = 0,03/0,59 = 3/59.
Olumlu raporda sür (net, −10 dahil): 27/41·390 + 14/41·(−110) ≈ 219,3 > −10 ⇒ Sür.
Olumsuz raporda sür: 3/59·390 + 56/59·(−110) ≈ −84,6 < −10 ⇒ Sürme.
Araştır düğümü: 0,41·219,3 + 0,59·(−10) = 84 > 50 (araştırmasız) ⇒ en iyi strateji: araştır; olumluysa sür, olumsuzsa sürme.
EVSI = (84 + 10) − 50 = 44: araştırmaya en çok 44 bin TL ödenir (EVSI ≤ EVPI = 70).
Çoktan Seçmeli · Fayda Ölçeğinin Tekliği
Soru 13
u(x) = √x faydalı karar verici, ½ olasılıkla 900 TL / ½ olasılıkla 0 TL piyangosu yerine kesin 400 TL'yi seçiyor. Aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi aynı piyango tercihlerini temsil etmez?
Doğru cevap D. vNM faydası yalnızca pozitif afin dönüşüme (a·u + b, a > 0) kadar tektir: A, B ve C bu biçimdedir ve beklenen fayda sıralamasını korur (ör. 10√x ile piyango 150, kesin 200). (√x)² = x de artandır ama afin değildir; piyangoyu 450, kesin tutarı 400 değerlendirir ve kararı değiştirir. Kesin sonuçlar arasındaki sıralamayı her artan dönüşüm korur; piyangolar arasındakini yalnız afin dönüşümler korur.
Çoktan Seçmeli · Belirsizlikten Kaçınma
Soru 14
Ellsberg torbasında 30 kırmızı ve sayıları bilinmeyen toplam 60 siyah ve sarı top var. Çoğu kişi “kırmızı”yı “siyah”a, “siyah ya da sarı”yı “kırmızı ya da sarı”ya tercih ediyor. Bu tercihler için hangisi doğrudur?
Doğru cevap A. Siyah sayısı s ise 1. tercih 30 > s, 2. tercih 60 > 30 + (60 − s), yani s > 30 demektir; ikisi aynı anda sağlanamaz. Kişiler her iki bahiste de kazanma olasılığı bilinen seçeneği seçer: belirsizlikten kaçınma (Ellsberg, 1961). B yalnız 1. tercihi açıklar; C yanlıştır çünkü kazanç her seçenekte aynıdır (100 TL), fayda eğriliği olasılık algısını değiştirmez; D ise beklenen kazancın bilinmeyen s'ye bağlı olduğunu gözden kaçırır.
Hesaplama Sorusu · Bayesçi Oyunlar
Soru 15: Rakibin Tipini Güncellemek
Bir kart oyununda rakip %30 olasılıkla blöfçü, %70 dürüst. Blöfçü bir elde %80, dürüst %25 olasılıkla yükseltir (eller bağımsız). Yükseltmeyi görmek blöfçüye karşı +40, dürüste karşı −60 getirir; çekilmek 0. (a) Bir yükseltmeden sonra P(blöfçü) ve görmenin beklenen değeri? (b) İki ayrı elde iki yükseltmeden sonra? (c) Görmek hangi P(blöfçü) eşiğinin üstünde kârlıdır?
Cevabı göster
(a) P = 0,3·0,8 / (0,24 + 0,7·0,25) = 0,24 / 0,415 ≈ 0,578. E[gör] = 0,578·40 − 0,422·60 ≈ −2,2 < 0 ⇒ çekil.
(b) 0,578 yeni önsel: 0,578·0,8 / (0,578·0,8 + 0,422·0,25) ≈ 0,814 (doğrudan: 0,3·0,64 / (0,192 + 0,7·0,0625) aynı sonucu verir). E[gör] = 0,814·40 − 0,186·60 ≈ +21,4 ⇒ gör.
(c) p·40 − (1 − p)·60 > 0 ⟺ p > 0,6. Tek yükseltme inancı eşiğin hemen altına, ikincisi üstüne taşır; karar kanıt biriktikçe değişir.