Bölüm 8: Ağ Tasarımı ve Yönlendirme

Algoritmik Oyun Kuramı

Yönlendirme temelleriBencil yönlendirmeWardrop dengesiBraess paradoksuTıkanıklık oyunlarıRosenthal potansiyeliAğ oluşturma oyunları

Sercan KÜLCÜ · Giresun Üniversitesi · Bilgisayar Mühendisliği

Ağlar ve Yönlendirme

Oyunla Başlangıç: Braess Paradoksu

Oyunun kuralı

Her sürücü S'den T'ye kendi en hızlı yolunu seçer; dar yolların süresi o yolu kullanan sürücü sayısıyla artar, geniş yollarınki sabit 45 dakikadır.

Merak sorusu

A'dan B'ye süresi 0 olan bir kestirme açılırsa yolculuklar kısalır mı?
Herkes kendi en hızlı yolunu seçince ortalama süre en küçük olur mu?

Braess Paradoksu oyunu →

Ağlar ve Yönlendirme

Öğrenme Çıktıları

Wardrop dengesini bulmak

İki yollu bir ağda gecikmeleri eşitleyerek dengeyi hesaplamak; sistem optimumunu marjinal maliyetlerle bulup dengeyle karşılaştırmak.

Braess paradoksunu açıklamak

Yeni bir yolun herkesin süresini neden artırabildiğini sayısal olarak göstermek.

Potansiyel ile düşünmek

Rosenthal potansiyelini hesaplamak; en iyi tepki dinamiğinin neden durduğunu kanıtlamak.

Ağ oluşturmayı modellemek

Bağlantı kuran oyuncuların hangi ağlarda dengeye geldiğini kontrol etmek.

Ağlar ve Yönlendirme

Ağ Tasarımı ve Yönlendirme

Ağ tasarımı (network design): düğümleri, bağlantıları, kapasiteleri ve maliyetleri belirler.
Yönlendirme (routing): akışın kaynak ile hedef arasında hangi yolları kullanacağını belirler.
Algoritmik oyun kuramı, kullanıcıların kendi maliyetlerini azaltmaya çalıştığı trafik ve iletişim ağlarını inceler.
Temel uygulamalar: şehir trafiği, internet omurgaları, enerji şebekeleri.

Ağlar ve Yönlendirme

Temel Ağ Tasarım Kavramları

Düğüm ve bağlantı

Düğüm (node): kavşak, yönlendirici, trafo. Bağlantı (link): yol, fiber hat, iletim hattı.

Kapasite ve bant genişliği

Bir bağlantının birim zamanda taşıyabildiği akış; aşılınca gecikme hızla artar.

Maliyet

Kurulum maliyeti (tasarım) ve kullanım maliyeti: gecikme, enerji, ücret (yönlendirme).

Örnek

Veri merkezinde ağaç/katmanlı topoloji; şehir trafiğinde örgüye yakın yol ağı.

Ağlar ve Yönlendirme

Klasik Yönlendirme Algoritmaları

Yöntem	Ne yapar?	Not
Dijkstra	Negatif olmayan ağırlıklarla tek kaynaktan en kısa yollar	O((V + E) log V); OSPF'nin (en kısa yolu önce açan bağlantı durumu protokolü) çekirdeği
Bellman–Ford	Negatif ağırlıklara izin verir, komşulardan öğrenerek günceller	O(V·E); dağıtık sürümü RIP (uzaklık vektörü protokolü)
Dinamik yönlendirme	Bağlantı durumu ve maliyet değişince yolları yeniden hesaplar	Trafik ve arızalara uyum
Yük dengeleme	Trafiği birden fazla yol veya sunucu arasında dağıtır	Ör. ECMP (eşit maliyetli çok yol)

Klasik algoritmalar kenar ağırlıklarını sabit varsayar. Gerçekte gecikme, o yolu kaç kişinin seçtiğine bağlıdır; stratejik kullanıcılar önerilen rotadan sapabildiğinde ağ dengesi ile sistem optimumu farklılaşır. Bu, yönlendirmeyi bir oyuna dönüştürür.

Ağlar ve Yönlendirme

Gecikme Yüke Bağlıdır: ℓ_e(x)

Her kenarın gecikmesi, üzerindeki akış x'in azalmayan bir fonksiyonudur: ℓ_e(x).
Sabit: geniş otoyol, ℓ = b.
Doğrusal: ℓ = a·x + b (iki yollu ağ ve Braess örnekleri).
BPR (ABD Karayolları Bürosu): ℓ = t₀(1 + 0,15 (x/c)⁴); t₀: boş yoldaki süre, c: yolun kapasitesi. Trafik planlamasında standart.
Ağlarda kuyruk gecikmesi: ℓ = 1/(c − x), yalnızca 0 ≤ x < c için (tek sunuculu kuyruk, M/M/1; c: saniyede işlenebilen, x: saniyede gelen paket sayısı). x, c'ye yaklaştıkça gecikme sınırsız büyür; x ≥ c'de kuyruk durmadan uzar.

Bencil Yönlendirme

Bencil Yönlendirme (Selfish Routing)

Her kullanıcı kendi gecikmesini en aza indiren rotayı seçer.
Kullanıcılar çok sayıda ve küçükse akış bölünebilir (nonatomic) kabul edilir: tek kişinin etkisi ihmal edilir.
Bireysel rota seçimleri, toplam gecikmeyi en aza indiren sistem optimumundan uzaklaşabilir.
Braess paradoksunda yeni bir bağlantı eklemek denge gecikmesini artırabilir.

Modelr birim trafik s → t
f_P: P yolundaki akış
f_e: e kenarındaki toplam akış
ℓ_P(f) = Σ_e∈P ℓ_e(f_e)
Toplam gecikme
C(f) = Σ_e f_e·ℓ_e(f_e)

Bir yolun gecikmesi üzerindeki kenarların gecikmeleri toplamıdır; toplam gecikme, her kenarda akış × gecikmedir.

Bencil Yönlendirme

Wardrop İlkeleri (1952)

1. ilke: kullanıcı dengesi

Kullanılan tüm yolların gecikmesi eşit ve en düşüktür.
Kullanılmayan bir yol daha yavaştır (ya da eşit).
Tek bir kullanıcı yol değiştirerek yolculuk süresini azaltamaz.

2. ilke: sistem optimumu

Ortalama (toplam) gecikme en küçüktür.
Merkezî bir planlayıcının seçeceği dağılım.
Bazı kullanıcılar daha yavaş yola “feda edilebilir”.

Kısaca: kullanılan her yolun gecikmesi, herhangi bir yolun gecikmesinden büyük değildir. Denge kullanıcıların bireysel tercihlerini açıklar, ancak sistem optimumuyla aynı olmak zorunda değildir. Doğrusal gecikmelerde denge vardır ve her kenarın denge gecikmesi, hangi denge bulunursa bulunsun aynıdır.

Bencil Yönlendirme

Adım Adım: İki Yollu Ağda Wardrop Dengesi

Kurulum: 3.000 araç A'dan B'ye gidiyor. Yol 1 kısa ama dar (gecikme hızla artar), Yol 2 uzun ama geniş.

Deneme 1: herkes Yol 1'de → ℓ₁ = 35 dk, boş Yol 2 ise 20 dk. Yol 1'dekiler geçmek ister: denge değil.

Deneme 2: 1.500 / 1.500 → ℓ₁ = 20, ℓ₂ = 27,5 dk. Bu kez Yol 2'dekiler Yol 1'e kayar: yine denge değil.

Denge koşulu: iki yol da kullanılıyorsa gecikmeler eşit olmalı: 5 + x₁/100 = 20 + (3000 − x₁)/200.

×200: 1000 + 2x₁ = 4000 + 3000 − x₁ → 3x₁ = 6000 → x₁ = 2.000, x₂ = 1.000; ikisi de 25 dk.

Kontrol: yol değiştiren tek sürücü yine ≈ 25 dk yaşar → kimse kazanmaz. Toplam gecikme 3.000 × 25 = 75.000 araç·dk.

Bencil Yönlendirme

Denge ile Sistem Optimumu Aynı Değil

Toplam gecikme
C = x₁·ℓ₁(x₁) + x₂·ℓ₂(x₂)

Denge x₁ = 2.000'de toplam 75.000 araç·dk. Bu, eğrinin en alt noktası mı?

Toplam gecikme
C = x₁·ℓ₁(x₁) + x₂·ℓ₂(x₂)
Marjinal maliyet: bir araç daha eklemenin toplam gecikmeye kattığı miktar
Yol 1: x₁·ℓ₁ = 5x₁ + x₁²/100 → türev 5 + x₁/50
Yol 2: x₂·ℓ₂ = 20x₂ + x₂²/200 → türev 20 + x₂/100

Bir araç daha eklemek hem kendi gecikmesini hem de diğerlerine yüklediği x·ℓ′ gecikmesini getirir.

Optimumda marjinal maliyetler eşitlenir: trafik 1.500 / 1.500 bölünür, toplam 71.250.

	x₁ / x₂	ℓ₁ / ℓ₂ (dk)	Toplam
Denge	2.000 / 1.000	25 / 25	75.000
Optimum	1.500 / 1.500	20 / 27,5	71.250

Optimumda Yol 1 sürücüsü 20, Yol 2 sürücüsü 27,5 dk yaşar; Yol 2'dekiler kaçmak ister → optimum denge değildir.

Bencil Yönlendirme

Denge ve Optimum: İki Ayrı En Aza İndirme

Wardrop dengesi

Beckmann potansiyelini (Beckmann, McGuire, Winsten, 1956) en aza indirir:
Φ(f) = Σ_e ∫₀^f_e ℓ_e(t) dt
Türev ℓ_e: “son gelen sürücünün” gördüğü gecikme.

Sistem optimumu

Toplam gecikmeyi en aza indirir:
C(f) = Σ_e f_e·ℓ_e(f_e)
Türev ℓ_e + f_e·ℓ′_e: marjinal maliyet.

İki eğrinin dipleri farklı yerde: Φ x₁ = 2.000'de (denge, Φ = 52.500), C x₁ = 1.500'de (optimum, C = 71.250). Fark tek terimden gelir: sürücü, kendi varlığının başkalarına yüklediği x·ℓ′ dışsallığını hesaba katmaz.

Bencil Yönlendirme

Kod İzleme: `denge_bul(l1, l2, r)`

Çağrı: iki yollu ağ (ℓ₁ = 5 + x/100, ℓ₂ = 20 + x/200), 3.000 araç. Aranan: ℓ₁(x) = ℓ₂(r − x) olan x.

Arama aralığı [0, 3.000]: denge bu aralıkta olmak zorunda (x = 0'da Yol 1 hızlı, x = r'de yavaş).

Tur 1: x = 1.500 → ℓ₁ = 20 < ℓ₂ = 27,5. Yol 1 hâlâ hızlı, daha çok araç ona geçer: lo = 1.500.

Tur 2: x = 2.250 → ℓ₁ = 27,5 ≥ ℓ₂ = 23,75. Yol 1 fazla kalabalık: hi = 2.250.

Tur 3: x = 1.875 → ℓ₁ = 23,75 < ℓ₂ = 25,63. Yol 1 hâlâ hızlı, daha çok araç ona geçer: lo = 1.875.

Tur 4: x = 2.062,5 → ℓ₁ = 25,63 ≥ ℓ₂ = 24,69. Yol 1 fazla kalabalık: hi = 2.062,5.

Tur 5: x = 1.968,75 → ℓ₁ = 24,69 < ℓ₂ = 25,16. Yol 1 hâlâ hızlı, daha çok araç ona geçer: lo = 1.968,75.

Tur 6: x = 2.015,63 → ℓ₁ = 25,16 ≥ ℓ₂ = 24,92. Yol 1 fazla kalabalık: hi = 2.015,63.

Genişlik 46,88 ≤ 50 → dur. Sonuç ≈ 1.992,19 (gerçek denge 2.000). Her tur aralığı yarıya indirir: k tur sonra hata ≤ r/2^k.

def denge_bul(l1, l2, r, eps=50):
  lo, hi = 0, r
  while hi - lo > eps:
    x = (lo + hi) / 2
    if l1(x) < l2(r - x):
      lo = x      # Yol 1 hâlâ hızlı: artır
    else:
      hi = x      # Yol 1 yavaş: azalt
  return (lo + hi) / 2

ℓ₁(x) − ℓ₂(r − x) artan olduğundan tek sıfırı dengedir. Genel ağlarda Beckmann potansiyeli dışbükey optimizasyonla (ör. Frank–Wolfe) en aza indirilir.

Braess Paradoksu

Adım Adım: Braess Paradoksu (4.000 Araç)

Kurulum: 4.000 araç s'den t'ye. s→A ve B→t dar yollar (x/100 dk), A→t ve s→B geniş otoyol (sabit 45 dk).

Simetri: 2.000 / 2.000 → her iki yol 2000/100 + 45 = 65 dk. Geçen kazanmaz: Wardrop dengesi (ve optimum).

Belediye A'dan B'ye çok kısa, 0 dk'lık bir bağlantı yolu açar. Başlangıçta kimse kullanmıyor.

Tek bir sürücü s→A→B→t dener: 20 + 0 + 20 = 40 dk < 65. Bireysel olarak çok kârlı → geçer.

1.000 sürücü geçti: dar yollarda 2.500 araç → 25 dk. Eski yollar 70, zikzak 50 dk: geçiş sürüyor.

Herkes zikzakta: 40 + 0 + 40 = 80 dk. Eski yollara dönen 40 + 45 = 85 dk yaşar → kimse dönmez: yeni denge.

Sonuç: yol eklendi, herkes 15 dk kaybetti. Kapasite artışı + bencil seçim = daha kötü denge. Kestirmeli ağın sistem optimumu ise ≈ 64,7 dk'dır (zikzakta yalnız 500 araç).

Braess Paradoksu

Neden Herkes Zikzağa Geçer?

Kalan trafik iki eski yola eşit bölünürse eski yollar 65 + z/200, zikzak 40 + z/100 dk. Zikzak her z için daha hızlıdır (B→t en çok 40 dk < 45), yani herkes için baskın seçimdir. Ama her geçen sürücü dar yollara yük bindirir: z = 4.000'de herkes 80 dk.

Braess Paradoksu

Braess Paradoksu: Ders ve Örnekler

Bir ağa yeni bağlantı eklemek, bencil rota seçimi nedeniyle tüm kullanıcıların gecikmesini artırabilir (Braess, 1968).
Yeni yol bireysel olarak çekici görünür, ancak kullanıcıların birlikte oluşturduğu trafik deseni daha kötü bir dengeye taşınır.
Tersine: bir yolu kapatmak bazen herkesi hızlandırabilir.

Stuttgart (1969)

Yeni yol yatırımı sonrası bozulan trafiğin, bir cadde kapatılınca düzeldiği sıkça anılır (Knödel, 1969).

New York (1990)

Dünya Günü'nde 42. Cadde kapatıldığında beklenen tıkanıklık oluşmadığı bildirilmiştir (Kolata, 1990).

Mekanik / elektrik

Yay ve direnç ağlarında da benzer paradoks gösterilmiştir (Cohen ve Horowitz, 1991).

Ücretlendirme, erişim kısıtı veya merkezî yönlendirme bu etkiyi azaltabilir.

Braess Paradoksu

Oyuna Dönüş: Braess Paradoksu

Kuramın cevabı: hayır

Ortalama süre	Bencil denge	Optimum
Kestirme yok	20 + 45 = 65	65
Kestirme var	40 + 0 + 40 = 80	≈ 64,7

Kestirmeyle herkes S→A→B→T'yi seçer. Eski yola dönen 40 + 45 = 85 bekler, bu yüzden kimse dönmez: denge 80. Kestirmeli ağın optimumu zikzağa küçük bir pay verir (1.750 / 1.750 / 500 araç → 258.750 / 4.000 ≈ 64,7).

Gerçekte

Laboratuvar deneylerinde de kestirme eklenince denekler zamanla paradoksun öngördüğü daha yavaş dengeye yöneldi (Rapoport vd., 2009).

Kentlerde: Stuttgart ve New York örneklerine ek olarak Seul'de Cheonggyecheon üzerindeki yükseltilmiş otoyolun 2000'lerin başında kaldırılmasından sonra şehir trafiğinin beklenen ölçüde kötüleşmediği sıkça anılır. Gerçek ağlar çok daha karmaşıktır; bu örnekler kesin kanıt değil, paradoksun olası olduğunun göstergesidir.

Yol yapmak ya da kapatmak, sürücülerin varacağı dengeye göre değerlendirilmelidir; tek başına kapasiteye göre değil.

Braess Paradoksu

Kod İzleme: `en_iyi_alt_ag(ag, r)`

Çağrı: Braess ağı, 5 kenar, 4.000 araç. Soru: hangi kenar kapatılırsa denge süresi en çok düşer?

Tüm ağın dengesi: herkes zikzakta, 80 dk. Hiçbir şey silmemek başlangıç adayı.

s→A kapatılır: yalnız s→B→t kalır: 40 + 45 = 85 dk.

85 < 80 değil → aday değişmez.

A→t kapatılır: zikzak ve alt yol kalır; zikzak baskın: 80 dk.

80 < 80 değil → aday değişmez.

s→B kapatılır: üst yol ve zikzak kalır; zikzak baskın: 80 dk.

80 < 80 değil → aday değişmez.

B→t kapatılır: yalnız s→A→t kalır: 40 + 45 = 85 dk.

85 < 80 değil → aday değişmez.

A→B kapatılır: Braess öncesi ağ: 2.000 / 2.000, 20 + 45 = 65 dk.

65 < önceki en iyi → güncelle: yeni en iyi alt ağ “A→B kapalı”.

Sonuç: A→B kapatılmalı, denge 80 → 65 dk. Tasarımcı “hangi kenarları açık tutayım?” diye sorar; genel ağda bu seçim zordur.

def en_iyi_alt_ag(ag, r):
  eniyi, sil = denge_suresi(ag, r), None
  for e in ag:
    alt = [k for k in ag if k != e]
    d = denge_suresi(alt, r)   # yol yoksa inf
    if d < eniyi:
      eniyi, sil = d, e
  return sil, eniyi

denge_suresi(ag, r): alt ağdaki Wardrop dengesinde kullanılan yolların ortak süresi (betikte Beckmann potansiyeli en aza indirilerek hesaplandı). Kod yalnız tek kenar silmeyi dener; tam arama 2^m alt ağ ister.

Braess Paradoksu

Bencil Kullanıcılar İçin Ağ Tasarımı

Problem

Verilen ağın hangi alt ağı açık kalırsa Wardrop dengesindeki süre en küçük olur? Yeni yol yapmak yerine yol kapatmak da bir tasarım kararıdır.

İleri okuma: zorluk

Kapatılacak kenarları en iyi seçmek genel ağlarda zordur: doğrusal gecikmelerde hiçbir kenarı kapatmamak bile en iyi seçimden en çok 4/3 kat kötüdür ve bundan iyisini verimli biçimde garanti etmek NP-zordur (Roughgarden, 2006).

İleri okuma: topoloji

Paralel yollardan ve bunların ardışık bağlanmasından oluşan (seri-paralel) ağlarda Braess paradoksu hiç görülmez; diğer ağlarda uygun gecikmelerle görülebilir (Milchtaich, 2006).

Tıkanıklık Oyunları

Tıkanıklık Oyunları (Congestion Games)

n oyuncu, kaynak kümesi E (kenarlar). Her oyuncunun stratejisi bir kaynak alt kümesidir (ör. bir s–t yolu).
Kaynağın maliyeti c_e(n_e) yalnızca onu kullanan oyuncu sayısına bağlıdır ve bu yükle artar.
Oyuncunun maliyeti: seçtiği kaynakların maliyetleri toplamı.
Oyuncular kendi gecikmelerini azaltmaya çalışırken toplam ağ maliyeti yükselebilir.

	Atomik	Bölünebilir
Oyuncu	sonlu, n kişi	sürekli akış
Etki	tek kişi yükü 1 artırır	tek kişi ihmal edilir
Denge	saf Nash	Wardrop
Potansiyel	Rosenthal (toplam)	Beckmann (integral)

Rosenthal (1973): sonlu her tıkanıklık oyununda bir potansiyel fonksiyonu vardır, bu yüzden saf Nash dengesi her zaman bulunur. Karışık stratejiye gerek kalmaz.

Tıkanıklık Oyunları

Rosenthal Potansiyel Fonksiyonu

Φ(s) = Σ_e [ c_e(1) + c_e(2) + … + c_e(n_e) ]
Her kenarda 1'den kullanıcı sayısı n_e'ye kadar maliyetleri topla (toplam maliyet değildir).

Örnek: 4 sürücü de s→A→t yolunda. s→A: c_e(k) = k → 1 + 2 + 3 + 4 = 10; A→t: c_e(k) = 4 → 16; diğer kenarlar boş. Φ = 26 (toplam maliyet 4 × 8 = 32).

Anahtar özdeşlik. Sürücü i bir kenardan çıkınca o kenarın toplamındaki son terim c_e(n_e) silinir (bu, onun o kenarda ödediği maliyettir); yeni bir kenara girince c_e(n_e + 1) eklenir (onun yeni maliyeti). Bu yüzden Φ'deki değişim tam i'nin maliyet değişimidir: ΔΦ = c_i(yeni) − c_i(eski).

Sonuç. İyileştiren her hamle Φ'yi kesin azaltır; Φ sonlu çok değer alır → dinamik durur. Durduğu yerde kimse iyileştiremez → saf Nash dengesi vardır (Rosenthal, 1973).

Tıkanıklık Oyunları

Adım Adım: En İyi Tepki Dinamiği ve Φ

Kenar maliyetleri: s→A ve B→t'de k (kullanıcı sayısı), s→B ve A→t'de 4, A→B'de 0. Herkes s→A→t: maliyet 4 + 4 = 8, Φ = 26.

Sürücü 1'in seçenekleri: üst 8, alt 4 + 1 = 5, zik 4 + 0 + 1 = 5. Eşitlikte ilkini seçer → alt (8 → 5). Φ: 26 → 23 (Δ = −3).

Sürücü 2: üst 7, alt 4 + 2 = 6, zik 3 + 0 + 2 = 5 → zik (7 → 5). Φ: 23 → 21 (Δ = −2).

Sürücü 3: üst 7, alt 4 + 3 = 7, zik 3 + 0 + 3 = 6 → zik (7 → 6). Φ: 21 → 20 (Δ = −1).

Sürücü 4 (üst, 7): alt 4 + 4 = 8, zik 3 + 0 + 4 = 7 → daha iyisi yok, kalır. Φ'nin her düşüşü, hamle yapanın kazancına eşitti.

İkinci turda kimse iyileştiremez → saf Nash dengesi (Φ = 20). Toplam 7 + 6 + 6 + 7 = 26; A→B olmasaydı 2+2 bölünüp 24 olurdu: atomik Braess!

Tıkanıklık Oyunları

Potansiyel Oyunlar: Ne Kazandık?

Varlık

Φ'nin en küçük değerini veren durum bir saf Nash dengesidir; denge her zaman vardır.

Yakınsama

İyileştiren hamleler dizisi sonsuza gidemez (sonlu iyileşme özelliği): her en iyi tepki dinamiği durur.

Hız (ileri okuma)

Durmak garanti, hızlı olmak değil: bazı tıkanıklık oyunlarında dengeyi bulmak için hızlı bir yöntem bilinmemektedir (Fabrikant, Papadimitriou, Talwar, 2004).

Genellik

Her (tam) potansiyel oyun bir tıkanıklık oyununa denktir (Monderer ve Shapley, 1996).

Öğrenme

Oyuncular sırayla en iyi tepki verirse dengeye ulaşılır.

Verimlilik

Φ'yi en küçük yapan denge, dengeler içinde iyi bir denge seçmenin yoludur.

Ağ Oluşturma

Ağ Dışsallıkları: Olumsuz ve Olumlu

Dışsallık: bir kullanıcının kararı başkalarının maliyetini ya da faydasını değiştirir, ama kullanıcı bunu kendi hesabına katmaz.

Olumsuz: tıkanıklık

Her ek sürücü, aynı yoldaki diğer x kişiye toplam x·ℓ′(x) gecikme yükler.
İki yollu örnekte Yol 1'de 2.000 araç varken: 2.000 × 1/100 = 20 araç·dk.
Sonuç: kalabalık yol gereğinden çok kullanılır; çare tıkanıklık ücreti.

Olumlu: ağ etkisi

Ağa katılmanın değeri katılan sayısıyla artar: telefon, mesajlaşma, sosyal ağ.
n kullanıcıda n(n − 1)/2 olası bağlantı vardır; değerin n² ile büyüdüğü iddiası (Metcalfe) bir sezgidir.
Yeni kullanıcı başkalarına sağladığı faydayı hesaba katmaz: benimseme kritik kitle aşılana kadar yavaş kalır.

Ağ oluşturma oyununda ikisi bir arada: bir bağ herkesin uzaklığını kısaltır (olumlu dışsallık), ama bedelini yalnız onu satın alan öder.

Ağ Oluşturma

Ağ Oluşturma Oyunları (Network Formation)

Buraya kadar ağ veriydi; şimdi ağın kendisini oyuncular kurar: internet eşlemesi (peering), sosyal ağlar, P2P ağları. Ağ oluşturma modellerinde bağlantıya (link) kısaca bağ da denir.
Her bağın bir kurulum maliyeti vardır; iyi bağlı olmak (kısa uzaklık) ise değerlidir. Gerilim: bağ maliyeti ↔ erişim.

Fabrikant vd. (2003): tek taraflı

Oyuncu i istediği düğümlere bağ satın alır (her biri α). Maliyet: α·(aldığı bağ) + Σ_j uzaklık(i, j). Denge: Nash.

Jackson–Wolinsky (1996): iki taraflı

Bağ ancak iki taraf da isterse kurulur, biri isterse kopar. Denge kavramı: ikili kararlılık (pairwise stability).

Sorular: Hangi ağlar dengedir? Sosyal olarak en iyi ağ hangisi? İkisi ne kadar farklı olabilir?

Ağ Oluşturma

İki Taraflı Bağ: İkili Kararlılık (n = 4)

Fayda: uzaklığı 1 olan her oyuncudan 4, 2 olandan 2,2, 3 olandan 1.
Her bağın bedeli iki uçtaki oyuncuların her birine 2.
İkili kararlı: (i) hiçbir oyuncu kendi bağlarından birini koparınca kazanmaz; (ii) olmayan hiçbir bağ iki ucu birlikte kazançlı çıkarmaz.

Ağ	Faydalar	Toplam	İkili kararlı?
yol	5,2/6,2/6,2/5,2	22,8	Hayır: A–D eklenir (her biri +3 fayda, −2 bedel)
döngü	6,2 (hepsi)	24,8	Evet
yıldız	6/6,4/6,4/6,4	25,2	Evet; toplamı en yüksek ağ
tam çizge	6 (hepsi)	24	Hayır: bağ koparan 2 kazanır, 1,8 kaybeder

Yıldızda iki yaprak bağ kursa her biri 1,8 kazanır ama 2 öder: eklemez. Ağ Oluşturma oyununun “Social” senaryosu (4 düğüm) bu sayıları kullanır.

İkili kararlı ağlar birden fazla olabilir ve toplamı en yüksek olanla örtüşmek zorunda değildir: döngü kararlıdır ama yıldızdan 0,4 geridedir.

Ağ Oluşturma

Adım Adım: Ağ Oluşturma Oyunu (n = 4, α = 1,5)

Her oyuncu hangi bağları kendisi satın alacağını seçer; bağı kim alırsa alsın herkes kullanır.

Yol ağı: 1 bir bağ alır (1,5) ve uzaklıkları 1 + 2 + 3 = 6 → 7,5. Uçtaki oyuncular çok uzak kalıyor.

Oyuncu 1, 4'e ikinci bir bağ alırsa uzaklıkları 6'dan 4'e iner: 3 + 4 = 7 < 7,5 → kârlı sapma.

Tam çizge sosyal açıdan en ucuzu (21). Ama bağ almış biri onu bırakırsa 1,5 kazanır, yalnız 1 uzaklık kaybeder → denge değil.

Yıldız: yaprak yeni bağla yalnız 1 uzaklık kazanır (1 < 1,5); merkez bağ bırakırsa ağ kopar → kimse sapmaz.

Kaba kuvvet taraması: α = 1,5'te dengeler yıldız (22,5) ve 4-döngü (22); optimum (21) denge değil.

Ağ Oluşturma

Kod İzleme: `maliyet(i, bag, alpha)`

Yol ağı 1–2–3–4; 1 yalnız (1, 2) bağını almış. BFS i = 1'den başlar: uz = {1: 0}.

u = 1 kuyruktan çıkar; yeni komşular 2 → uzaklık 1.

u = 2 kuyruktan çıkar; yeni komşular 3 → uzaklık 2.

u = 3 kuyruktan çıkar; yeni komşular 4 → uzaklık 3.

u = 4 kuyruktan çıkar; bütün komşuları zaten ziyaretli.

Herkes erişilebilir. aldigi = 1 → maliyet 1,5·1 + 6 = 7,5. Şimdi bir bağ daha almayı deneyelim.

Sapma: 1 ayrıca (1, 4) bağını satın alır (turuncu). Aynı hesap yeniden. BFS i = 1'den başlar: uz = {1: 0}.

u = 1 kuyruktan çıkar; yeni komşular 2, 4 → uzaklık 1.

u = 2 kuyruktan çıkar; yeni komşular 3 → uzaklık 2.

u = 4 kuyruktan çıkar; bütün komşuları zaten ziyaretli.

u = 3 kuyruktan çıkar; bütün komşuları zaten ziyaretli.

Herkes erişilebilir. aldigi = 2 → maliyet 1,5·2 + 4 = 7. 7 < 7,5 → kârlı sapma: yol ağı Nash dengesi değildir.

def maliyet(i, bag, alpha):
  uz = {i: 0}; kuyruk = [i]
  while kuyruk:
    u = kuyruk.pop(0)
    for v in komsu(bag, u):
      if v not in uz:
        uz[v] = uz[u] + 1
        kuyruk.append(v)
  aldigi = sum(1 for (a, b) in bag if a == i)
  return alpha * aldigi + sum(uz.values())

komsu(bag, u): kimin aldığına bakmadan komşular (bağı herkes kullanır); ağ bağlı varsayılır. Ödeme yalnız kendi aldığı bağlar için.

Ağ Oluşturma

Bağ Fiyatı Değişince Denge ve Optimum

α	Optimum	Dengeler (betik)
0,5	tam (15)	tam (15)
1,5	tam (21)	döngü 22, yıldız 22,5
2,5	yıldız (25,5)	yıldız 25,5 · yol 27,5

n = 4 için yıldız 3α + 18, tam çizge 6α + 12: α < 2 iken tam çizge, α > 2 iken yıldız daha ucuz. Genel n'de de optimum α ≤ 2 için tam çizge, α ≥ 2 için yıldızdır (Fabrikant vd., 2003).

α < 1: bağ ucuz, herkes bağlanır → tam çizge hem denge hem optimum. α > 1: yıldız her zaman bir dengedir; ama yanında daha pahalı dengeler de çıkabilir (α = 2,5'te yol ağı; bağları ortadakiler alır).

Kontrol ve Teşvikler

Ağlarda Yönlendirme: Merkezî mi, Dağıtık mı?

	Merkezî yönlendirme	Dağıtık (bencil) yönlendirme
Kim karar verir?	Trafik kontrol merkezi, SDN (yazılım tanımlı ağ) denetleyicisi, internet servis sağlayıcısı (İSS) trafik mühendisliği	Her sürücü / her yönlendirici (navigasyon uygulamaları, BGP: ağlar arası yönlendirme protokolü)
Hedef	Toplam gecikme C(f) en küçük (Wardrop 2. ilke)	Kendi gecikmesi en küçük (Wardrop 1. ilke)
İki yollu örnek	1.500 / 1.500 → 71.250 araç·dk	2.000 / 1.000 → 75.000 araç·dk
Gereken	Tüm talep ve gecikme bilgisi; kullanıcıların uyması	Yalnızca yerel bilgi; uyum sorunu yok
Zayıf yan	Optimumda bazıları daha yavaş yolda → sapma isteği; tek nokta hatası	Braess gibi verimsiz dengeler

Ağlarda ara çözümler yaygındır: merkez yalnızca fiyat (tıkanıklık ücreti), bilgi (rota önerisi) veya trafiğin bir kısmını kontrol eder (Stackelberg yönlendirme: o kısmı merkez kendisi yönlendirir); gerisini kullanıcılar seçer.

Kontrol ve Teşvikler

Teşvikler, Yük Dengeleme ve Gerçek Hayat

Doğru teşvikler

Kullanıcıları ağ kaynaklarını dengeli kullanmaya yönlendirir → verimlilik artar.
Trafik: ücret veya uyarılar yoğunluğu azaltır.
Akıllı şebeke: zamana bağlı tarife pik saatlerde yükü dengeler.

Yanlış teşvikler

Stratejik, bencil davranış artar → tıkanıklık ve düşük verimlilik.
Herkese aynı “en hızlı” rotayı öneren uygulama yan yolları doldurabilir.
Ücret yanlış seçilirse trafik başka darboğaza kayar.

İnternet

İSS'ler veri paketlerini yönlendirir; BGP ile ağlar arası rota seçimi.

Trafik yönetimi

Rota optimizasyonu, akıllı sinyalizasyon, navigasyon uygulamaları.

Enerji

Akıllı elektrik şebekelerinde enerji dağıtımı ve yük kaydırma.

Kontrol ve Teşvikler

Verimlilik ile Adalet: Bant Genişliği Paylaşımı

İki bağlantının kapasitesi 1'dir. Akış A ikisini de kullanır, B yalnız 1. bağlantıyı, C yalnız 2. bağlantıyı: x_A + x_B ≤ 1, x_A + x_C ≤ 1. Hangi paylaşım seçilmeli?

Ölçüt	Ne en iyilenir?	(x_A, x_B, x_C)	Toplam
En büyük verim	Σ x_i	(0, 1, 1)	2 (A aç kalır)
Maksimin adalet (eşitlikçi ölçüt)	Önce en küçük payı olabildiğince büyüt, sonra bir sonrakini	(1/2, 1/2, 1/2)	1,5
Orantılı adalet (Nash sosyal refahı)	Payların çarpımını maksimize et (Kelly, 1997)	(1/3, 2/3, 2/3)	≈ 1,67

Orantılı adalette iki bağlantıyı birden kullanan A daha az alır, ama kimse sıfıra düşmez: sıfır pay çarpımı sıfırlar. x_A(1 − x_A)² çarpımını maksimize etmek log x_A + 2 log(1 − x_A) toplamını maksimize etmekle aynıdır; log x'in türevi 1/x olduğundan 1/x_A = 2/(1 − x_A) ⇒ x_A = 1/3. Kelly vd. (1998) TCP benzeri tıkanıklık denetimini, bağlantı başına tıkanıklık fiyatıyla bu paylaşıma yakınsayan dağıtık bir algoritma olarak yorumlar.

Kontrol ve Teşvikler

Tartışma Soruları

Navigasyon uygulamaları herkese “en hızlı” rotayı önerdiğinde Wardrop dengesine mi, sistem optimumuna mı yaklaşırız? Neden?
Bir şehir yeni köprü planlıyor. Braess etkisini önceden görmek için, köprü açıldığında sürücülerin varacağı denge nasıl hesaplanır?
İnternette yönlendiriciler (BGP) bencil ajan mıdır? Kimin maliyetini en aza indirirler?

Değerlendirme

Özet

Kavram	Özü	Örnek
Bencil yönlendirme	Herkes kendi gecikmesini küçültür	3.000 araç, iki yol
Wardrop dengesi	Kullanılan yollar eşit ve en hızlı	2.000 / 1.000, 25 dk
Sistem optimumu	Marjinal maliyetler eşit	1.500 / 1.500, 71.250 araç·dk
Braess paradoksu	Yeni yol → herkes daha yavaş	65 → 80 dk
Rosenthal potansiyeli	ΔΦ = hamle yapanın maliyet farkı	Φ: 26 → 23 → 21 → 20
Ağ oluşturma	Bağ maliyeti ↔ erişim	α = 1,5: yıldız / döngü denge, tam çizge optimum

Denge ile optimum çoğu zaman ayrışır: sürücü kendi gecikmesine, planlayıcı marjinal maliyete bakar.

Değerlendirme

Örnek Problemler

6.000 araç; Yol 1: ℓ₁ = 10 + x₁/200, Yol 2: ℓ₂ = 25 + x₂/100. Wardrop dengesini bulun.
Aynı ağda sistem optimumunu bulun.
Braess ağında (x/100 ve 45 dk) araç sayısı 6.000 olsun. Yeni yoldan önce ve sonra denge süresi nedir?
Atomik örneğin dengesinde (alt, zik, zik, üst) Φ'yi hesaplayın. Sürücü 4 zik'e geçerse Φ nasıl değişir?
n = 4, α = 0,5. Tam çizge bir Nash dengesi midir? Yıldız?
1. sorudaki ağda denge_bul ilk iki turda hangi x değerlerini dener, aralık ne olur?

Cevapları göster

10 + x₁/200 = 25 + (6000 − x₁)/100 → 3x₁ = 15.000 → x₁ = 5.000, x₂ = 1.000; ikisi de 35 dk.
Marjinal: 10 + x₁/100 = 25 + x₂/50 → x₁ = 4.500, x₂ = 1.500 (ℓ₁ = 32,5, ℓ₂ = 40).
Önce 3.000 / 3.000: 30 + 45 = 75 dk. Sonra zikzakta 3.000, eski yolların her birinde 1.500: s→A yükü 4.500 → tüm yollar 45 + 45 = 90 dk.
(1 + 2 + 3) + (1 + 2 + 3) + 4 + 4 + 0 = 20. Sürücü 4'ün maliyeti 7 → 7, dolayısıyla ΔΦ = 0.
Tam çizge: bağ bırakan 0,5 kazanır, 1 uzaklık kaybeder → denge. Yıldız: yaprak bağ alırsa 0,5 öder 1 kazanır → denge değil.
x = 3.000: ℓ₁ = 25 < ℓ₂ = 55 → lo = 3.000; x = 4.500: 32,5 < 40 → lo = 4.500. Aralık [4.500, 6.000] (denge 5.000).

Değerlendirme

Etkileşimli Oyunlar ve Simülatörler

Braess Paradoksu

Yeni yol açılınca ve kapanınca denge süresi.

Bencil Yönlendirme

Trafiğin yollara dağılımı: Wardrop dengesi ve optimum.

Ağ Oluşturma

İki taraflı bağ ve ikili kararlılık: bağ fiyatına göre hangi ağlar kararlıdır?

Değerlendirme

Kaynaklar

T. Roughgarden, Selfish Routing and the Price of Anarchy, MIT Press, 2005.
N. Nisan, T. Roughgarden, É. Tardos, V. Vazirani (ed.), Algorithmic Game Theory, Cambridge University Press, 2007 (Bölüm 18–19).
J. G. Wardrop, “Some Theoretical Aspects of Road Traffic Research”, Proc. Institution of Civil Engineers, 1952.
D. Braess, “Über ein Paradoxon aus der Verkehrsplanung”, Unternehmensforschung, 1968.
R. W. Rosenthal, “A Class of Games Possessing Pure-Strategy Nash Equilibria”, Int. J. Game Theory, 1973.
D. Monderer, L. Shapley, “Potential Games”, Games and Economic Behavior, 1996.
A. Fabrikant vd., “On a Network Creation Game”, PODC, 2003. · M. Jackson, A. Wolinsky, “A Strategic Model of Social and Economic Networks”, J. Economic Theory, 1996.

Değerlendirme

Kaynaklar: Makaleler, Kitaplar ve Dersler

A. Fabrikant, C. Papadimitriou, K. Talwar, “The Complexity of Pure Nash Equilibria”, STOC, 2004. · M. Beckmann, C. B. McGuire, C. B. Winsten, Studies in the Economics of Transportation, Yale University Press, 1956.
A. Rapoport, T. Kugler, S. Dugar, E. J. Gisches, “Choice of Routes in Congested Traffic Networks: Experimental Tests of the Braess Paradox”, Games and Economic Behavior 65(2), 2009. · W. Knödel, Graphentheoretische Methoden und ihre Anwendungen, Springer, 1969. · G. Kolata, “What if They Closed 42d Street and Nobody Noticed?”, The New York Times, 25 Aralık 1990.
I. Milchtaich, “Network Topology and the Efficiency of Equilibrium”, Games and Economic Behavior 57, 2006. · T. Roughgarden, “On the Severity of Braess's Paradox”, J. Computer and System Sciences 72, 2006.
F. Kelly, “Charging and Rate Control for Elastic Traffic”, European Trans. Telecommunications 8, 1997. · F. Kelly, A. Maulloo, D. Tan, J. Operational Research Society 49, 1998.
D. Easley, J. Kleinberg, Networks, Crowds, and Markets, Cambridge University Press, 2010 (Bölüm 8: trafik ağları ve Braess; Bölüm 17: ağ etkileri).
A. R. Karlin, Y. Peres, Game Theory, Alive, American Mathematical Society, 2017 (anarşinin bedeli ve trafik yönlendirme).
Ders sayfaları: T. Roughgarden, CS364A (Stanford) · M. Hoefer, AGT (Frankfurt) · M. Dinitz, AGT (Johns Hopkins)

Son

Bölüm 8: Ağ Tasarımı ve Yönlendirme

Sonraki bölüm: Bölüm 9: Anarşinin Bedeli
Çalışma soruları · Terim sözlüğü

Bölüm 8: Ağ Tasarımı ve Yönlendirme

Oyunla Başlangıç: Braess Paradoksu

Öğrenme Çıktıları

Ağ Tasarımı ve Yönlendirme

Temel Ağ Tasarım Kavramları

Klasik Yönlendirme Algoritmaları

Gecikme Yüke Bağlıdır: ℓe(x)

Bencil Yönlendirme (Selfish Routing)

Wardrop İlkeleri (1952)

1. ilke: kullanıcı dengesi

2. ilke: sistem optimumu

Adım Adım: İki Yollu Ağda Wardrop Dengesi

Denge ile Sistem Optimumu Aynı Değil

Denge ve Optimum: İki Ayrı En Aza İndirme

Kod İzleme: denge_bul(l1, l2, r)

Adım Adım: Braess Paradoksu (4.000 Araç)

Neden Herkes Zikzağa Geçer?

Braess Paradoksu: Ders ve Örnekler

Oyuna Dönüş: Braess Paradoksu

Kod İzleme: en_iyi_alt_ag(ag, r)

Bencil Kullanıcılar İçin Ağ Tasarımı

Tıkanıklık Oyunları (Congestion Games)

Rosenthal Potansiyel Fonksiyonu

Adım Adım: En İyi Tepki Dinamiği ve Φ

Potansiyel Oyunlar: Ne Kazandık?

Ağ Dışsallıkları: Olumsuz ve Olumlu

Olumsuz: tıkanıklık

Olumlu: ağ etkisi

Ağ Oluşturma Oyunları (Network Formation)

İki Taraflı Bağ: İkili Kararlılık (n = 4)

Adım Adım: Ağ Oluşturma Oyunu (n = 4, α = 1,5)

Kod İzleme: maliyet(i, bag, alpha)

Bağ Fiyatı Değişince Denge ve Optimum

Ağlarda Yönlendirme: Merkezî mi, Dağıtık mı?

Teşvikler, Yük Dengeleme ve Gerçek Hayat

Doğru teşvikler

Yanlış teşvikler

Verimlilik ile Adalet: Bant Genişliği Paylaşımı

Tartışma Soruları

Özet

Örnek Problemler

Etkileşimli Oyunlar ve Simülatörler

Kaynaklar

Kaynaklar: Makaleler, Kitaplar ve Dersler

Son

Gecikme Yüke Bağlıdır: ℓ_e(x)

Kod İzleme: `denge_bul(l1, l2, r)`

Kod İzleme: `en_iyi_alt_ag(ag, r)`

Kod İzleme: `maliyet(i, bag, alpha)`