Bölüm 3: Nash Dengesi

Algoritmik Oyun Kuramı
Biçimsel tanımEn iyi tepkiBaskın strateji elemeKarışık stratejiVarlık teoremiCournot ve BertrandDenge seçimiKorelasyonlu dengeMinimaksGüvenlik oyunlarıPPAD
Sercan KÜLCÜ · Giresun Üniversitesi · Bilgisayar Mühendisliği

Temeller

Oyunla Başlangıç: Mahkûmun İkilemi

Kural: Sam ve John ayrı odalarda sorgulanır; her biri diğerinin seçimini bilmeden Sessiz kalır ya da İhanet eder ve tablodaki kadar hapis yatar. Hücrelerde kazanç = −(hapis yılı): büyük sayı iyidir.

Oyun: Mahkûmun İkilemi oyunu, iki kişi aynı ekranda ya da bilgisayara karşı, çok turlu.

JohnSamSessizİhanetSessizİhanet(−1,−1)(−3,0)(0,−3)(−2,−2)?Sam?Johnseçimler gizli,sonra birlikte açılır

Hücrede (Sam, John) kazanç = −(hapis yılı)

Soru 1Sam'in yerinde olsanız, John'un ne seçeceğini bilmeden sessiz mi kalırdınız, ihanet mi ederdiniz?
Soru 2Bilgisayar Tit-for-Tat oynarken (ilk tur sessiz, sonra sizin önceki seçiminizi kopyalar) on turda en az kaç yıl birikir?

Temeller

Öğrenme Çıktıları

TanımNash dengesini biçimsel olarak tanımlamak ve en iyi tepki (best response) kavramıyla ilişkilendirmek.
Saf denge bulmaKazanç matrisinde en iyi tepkileri işaretlemek, yinelemeli baskın strateji eleme uygulamak; Cournot ve Bertrand gibi sürekli stratejili oyunlarda dengeyi bulmak.
Karışık dengeKayıtsızlık ilkesiyle karışık dengeyi elle ve kodla hesaplamak; sıfır toplamlı oyunlarda ve güvenlik oyunlarında minimaks değerini bulmak.
Varlık ve karmaşıklıkNash'in varlık teoremini, çoklu denge sorununu ve denge hesaplamanın PPAD-tamlığını yorumlamak.

Temeller

John Nash Kimdir?

  • Amerikalı matematikçi John Forbes Nash Jr. (1928–2015).
  • 1950'de Princeton'da kısa doktora tezi Non-Cooperative Games; aynı yıl PNAS'ta varlık ispatını veren iki sayfalık bir not.
  • 1994 Nobel Ekonomi Ödülü (Harsanyi ve Selten ile birlikte).
  • 2015 Abel Ödülü: kısmi diferansiyel denklemlere katkıları.
  • Hayatı A Beautiful Mind (2001) filmine konu oldu.
John Nash'in yaşlılık dönemine ait portre fotoğrafı; gözlüğünü tutuyor.

John F. Nash Jr.

Katkısı: von Neumann'ın iki kişilik sıfır toplamlı oyunlar için kurduğu çözümü, n kişilik genel (sıfır toplamlı olmayan) oyunlara taşıdı.

Temeller

Stratejik Davranış ve Uygulama Alanları

  • Oyuncular kendi kazançlarını maksimize etmeye çalışır.
  • Herkesin kazancı diğerlerinin seçimlerine de bağlıdır: “Ben ne yapmalıyım?” sorusu “Onlar ne yapacak?” sorusundan ayrılamaz.
Fiyat rekabetiİki firma fiyat indirir; ikisi de kâr kaybeder.Mahkûmun İkilemi yapısı
Reklam / silahlanmaHerkes harcar, göreli konum değişmez.baskın strateji: harca
Penaltı atışıAtıcı ve kaleci tahmin edilemez olmalı.karışık strateji, sıfır toplamlı
Trafikte şerit seçimiHerkes hızlı şeride geçerse o şerit yavaşlar.tıkanıklık oyunu
Standart seçimiAynı teknolojiyi seçmek herkese kazandırır.koordinasyon, çoklu denge
Kaynak paylaşımıOrtak bant genişliği, sunucu, yol.Anarşinin Bedeli

Temeller

Kimsenin Pişman Olmadığı Durum

7 ve 3 kişiKasa 1Kasa 2sondaki geçer: 7. yerine 4. sıra5 ve 5 kişiKasa 1Kasa 2geçen 6. sıraya düşer:kimse geçmez = denge
  • Yemekhanede iki kasa var; herkes daha kısa beklemek istiyor ve kuyruk değiştirmek serbest.
  • 7 – 3: uzun kuyruğun sonundaki öğrenci geçerse beklemesi kısalır → bu durum kalıcı değil.
  • 5 – 5: kim geçerse geçsin daha geriye düşer → kimse yerini değiştirmez.
  • Pişmanlık testi: “Diğerlerinin ne yaptığını görseydim, kendi seçimimi değiştirir miydim?” Herkesin cevabı hayır ise durum bir Nash dengesidir.
Denge, kendi kendini sürdüren durumdur: herkes diğerlerinin davranışını doğru bekler ve buna göre elinden gelenin en iyisini yapar. “En iyi sonuç” ya da “adil sonuç” anlamına gelmez.

Temeller

Nash Dengesi: Biçimsel Tanım

Normal form oyun G = (N, (Si), (ui)):

  • N = {1, …, n} oyuncular; Si oyuncu i'nin strateji kümesi.
  • Strateji profili s = (s1, …, sn); s−i: i dışındakilerin stratejileri.
  • ui(s): i'nin kazancı (ui: kazanç fonksiyonu).
Nash dengesi: s* profili, her oyuncu i ve her si ∈ Si için
ui(si*, s−i*) ≥ ui(si, s−i*)
Tek taraflı sapmaDiğerleri sabitken hiçbir oyuncu stratejisini değiştirerek kazancını artıramaz.
Kendini doğrulayan anlaşmaHerkes diğerlerinin uyacağına inanıyorsa, kendisi de uyar.
Kararlılık ≠ verimlilikDenge adalet ya da verimlilik (Pareto optimallik) garantisi vermez.

Temeller

Sık Yapılan Hatalar: Nash Dengesi Tanımı

“Denge en iyi sonuçtur.”Hayır. Mahkûmun İkilemi'nde denge (İ, İ) iki oyuncuya da (S, S)'den kötüdür. Denge kararlılık söyler, verimlilik değil.
“İkisi birlikte değişirse kazanır.”Tanım yalnızca tek taraflı sapmaya bakar. İki oyuncunun birlikte sapması (koalisyon) Nash dengesini bozmaz.
“Bir oyuncu memnunsa yeter.”Test her oyuncu için ayrı yapılır; tek bir oyuncu bile sapmak isterse hücre denge değildir.
“Satır oyuncusu sütunu da seçer.”Her oyuncu yalnız kendi stratejisini değiştirir: satır oyuncusu aynı sütunda yukarı-aşağı, sütun oyuncusu aynı satırda sağa-sola gider.
“Her oyunda tek bir saf denge var.”Yazı-Tura'da saf denge yoktur; Geyik Avı'nda iki saf, bir karışık denge vardır.
Ceza mı, kazanç mı?Hapis yılı gibi maliyetlerde küçük sayı iyidir. Kazanca çevirmek için eksi işaret konur: 2 yıl → −2.

En İyi Tepki

En İyi Tepki (Best Response)

  • Oyuncu i'nin, diğerlerinin s−i seçimine en iyi tepkisi: kazancını en yüksek yapan stratejiler kümesi
    BRi(s−i) = argmaxsi ∈ Si ui(si, s−i)
  • Eşdeğer tanım: s* Nash dengesidir ⇔ her i için si* ∈ BRi(s−i*). Denge = karşılıklı en iyi tepki.
1. Satır oyuncusuHer sütunda, satır oyuncusunun en büyük kazancını (u1) işaretle.
2. Sütun oyuncusuHer satırda, sütun oyuncusunun en büyük kazancını (u2) işaretle.
3. Kesişimİki kazancı da işaretli hücreler saf strateji Nash dengeleridir.

m × n matriste maliyet O(mn): her hücre bir sütun maksimumu ve bir satır maksimumuyla karşılaştırılır.

En İyi Tepki

En İyi Tepkileri İşaretleyerek Dengeyi Bulmak

JohnSessizİhanetSamSessiza−1−1(,)b−30(,)İhanetc0−3(,)d−2−2(,)Kazanç = −(hapis yılı)Sam satır, John sütun oyuncusuHücre: (Sam'in, John'un kazancı)

Kazançlar hapis yılının eksi işaretlisidir (−1 = 1 yıl). Her oyuncu kendi sayısını büyütmek ister.

JohnSessizİhanetSamSessiza−1−1(,)b−30(,)İhanetc0−3(,)d−2−2(,)John Sessiz → Sam: İhanet (0 > −1)

John'un Sessiz kaldığını varsayalım: Sam bu sütunda yalnızca ilk sayılara bakar. 0 > −1, en iyi tepki İhanet.

JohnSessizİhanetSamSessiza−1−1(,)b−30(,)İhanetc0−3(,)d−2−2(,)John Sessiz → Sam: İhanet (0 > −1)John İhanet → Sam: İhanet (−2 > −3)

John İhanet ederse: −2 > −3, Sam için en iyi tepki yine İhanet.

JohnSessizİhanetSamSessiza−1−1(,)b−30(,)İhanetc0−3(,)d−2−2(,)John Sessiz → Sam: İhanet (0 > −1)John İhanet → Sam: İhanet (−2 > −3)⇒ Sam için İhanet baskın

İki sütunda da işaret aynı satırda: John ne yaparsa yapsın İhanet daha iyi. Bu bir baskın stratejidir.

JohnSessizİhanetSamSessiza−1−1(,)b−30(,)İhanetc0−3(,)d−2−2(,)John Sessiz → Sam: İhanet (0 > −1)John İhanet → Sam: İhanet (−2 > −3)⇒ Sam için İhanet baskınSam Sessiz → John: İhanet (0 > −1)

Şimdi John: Sam Sessiz kalırsa John ikinci sayılara bakar: 0 > −1, en iyi tepki İhanet.

JohnSessizİhanetSamSessiza−1−1(,)b−30(,)İhanetc0−3(,)d−2−2(,)John Sessiz → Sam: İhanet (0 > −1)John İhanet → Sam: İhanet (−2 > −3)⇒ Sam için İhanet baskınSam Sessiz → John: İhanet (0 > −1)Sam İhanet → John: İhanet (−2 > −3)

Sam İhanet ederse: −2 > −3, John için de İhanet. Oyun simetrik olduğu için sonuç şaşırtıcı değil.

JohnSessizİhanetSamSessiza−1−1(,)b−30(,)İhanetc0−3(,)d−2−2(,)John Sessiz → Sam: İhanet (0 > −1)John İhanet → Sam: İhanet (−2 > −3)⇒ Sam için İhanet baskınSam Sessiz → John: İhanet (0 > −1)Sam İhanet → John: İhanet (−2 > −3)⇒ John için de İhanet baskın

İki işaretin buluştuğu tek hücre d = (İhanet, İhanet): kimse tek başına sapmak istemez. Nash dengesi (−2, −2).

JohnSessizİhanetSamSessiza−1−1(,)b−30(,)İhanetc0−3(,)d−2−2(,)John Sessiz → Sam: İhanet (0 > −1)John İhanet → Sam: İhanet (−2 > −3)⇒ Sam için İhanet baskınSam Sessiz → John: İhanet (0 > −1)Sam İhanet → John: İhanet (−2 > −3)⇒ John için de İhanet baskına = (−1, −1) ikisi için de daha iyi!

Oysa a = (Sessiz, Sessiz) ikisine de yalnızca 1'er yıl verirdi. Denge Pareto optimal değil: ikilemin özü budur.

En İyi Tepki

Basit Örnek: En İyi Tepkileri İşaretle

Sütun oyuncusuSatır oyuncusuXYZABC(4,3)(0,2)(1,1)(2,1)(3,3)(0,2)(1,4)(2,0)(3,2)

Hücrede (u1, u2): önce satır, sonra sütun oyuncusunun kazancı. Henüz işaret yok.

Sütun oyuncusuSatır oyuncusuXYZABC(4,3)(0,2)(1,1)(2,1)(3,3)(0,2)(1,4)(2,0)(3,2)

Sütun oyuncusu X oynarsa satır oyuncusu u1 değerlerini karşılaştırır: A:4, B:2, C:1 → en iyisi A (4).

Sütun oyuncusuSatır oyuncusuXYZABC(4,3)(0,2)(1,1)(2,1)(3,3)(0,2)(1,4)(2,0)(3,2)

Sütun oyuncusu Y oynarsa satır oyuncusu u1 değerlerini karşılaştırır: A:0, B:3, C:2 → en iyisi B (3).

Sütun oyuncusuSatır oyuncusuXYZABC(4,3)(0,2)(1,1)(2,1)(3,3)(0,2)(1,4)(2,0)(3,2)

Sütun oyuncusu Z oynarsa satır oyuncusu u1 değerlerini karşılaştırır: A:1, B:0, C:3 → en iyisi C (3).

Sütun oyuncusuSatır oyuncusuXYZABC(4,3)(0,2)(1,1)(2,1)(3,3)(0,2)(1,4)(2,0)(3,2)

Satır oyuncusu A oynarsa sütun oyuncusu u2 değerlerini karşılaştırır: X:3, Y:2, Z:1 → en iyisi X (3).

Sütun oyuncusuSatır oyuncusuXYZABC(4,3)(0,2)(1,1)(2,1)(3,3)(0,2)(1,4)(2,0)(3,2)

Satır oyuncusu B oynarsa sütun oyuncusu u2 değerlerini karşılaştırır: X:1, Y:3, Z:2 → en iyisi Y (3).

Sütun oyuncusuSatır oyuncusuXYZABC(4,3)(0,2)(1,1)(2,1)(3,3)(0,2)(1,4)(2,0)(3,2)

Satır oyuncusu C oynarsa sütun oyuncusu u2 değerlerini karşılaştırır: X:4, Y:0, Z:2 → en iyisi X (4).

Sütun oyuncusuSatır oyuncusuXYZABC(4,3)(0,2)(1,1)(2,1)(3,3)(0,2)(1,4)(2,0)(3,2)

İki kazancı da işaretli hücreler: (A, X) = (4, 3) ve (B, Y) = (3, 3) → iki saf Nash dengesi. (C, Z) gibi hücrelerde en az bir oyuncu sapmak ister.

Sütun oyuncusuSatır oyuncusuXYZABC(4,3)(0,2)(1,1)(2,1)(3,3)(0,2)(1,4)(2,0)(3,2)

Sapma testi (A, X): satır oyuncusu B veya C'ye geçerse 2 ya da 1 alır (< 4); sütun oyuncusu Y veya Z'ye geçerse 2 ya da 1 alır (< 3). Kimse kazanamaz ✓

En İyi Tepki

Adım Adım: Altını Çizme Yöntemi (Eşitlikli Örnek)

BoraAyşePythonJavaCPythonJavaC(4,2)(1,1)(1,0)(0,1)(2,4)(1,2)(1,0)(0,2)(1,1)

Ayşe ve Bora ortak proje için dil seçiyor; hücrede (Ayşe, Bora). Kural: Ayşe için her sütunda ilk sayıların, Bora için her satırda ikinci sayıların en büyüğünün altı çizilir.

BoraAyşePythonJavaCPythonJavaC(4,2)(1,1)(1,0)(0,1)(2,4)(1,2)(1,0)(0,2)(1,1)

Bora Python seçerse Ayşe yalnız ilk sayılara bakar: 4, 0, 1 → en büyük 4 (Python) çizilir.

BoraAyşePythonJavaCPythonJavaC(4,2)(1,1)(1,0)(0,1)(2,4)(1,2)(1,0)(0,2)(1,1)

Bora Java seçerse: 1, 2, 0 → en büyük 2 (Java).

BoraAyşePythonJavaCPythonJavaC(4,2)(1,1)(1,0)(0,1)(2,4)(1,2)(1,0)(0,2)(1,1)

Bora C seçerse: 1, 1, 1 → üçü eşit, üçünün de altı çizilir. Eşitlikte hepsi en iyi tepkidir; yalnız birini işaretlemek sık yapılan hatadır.

BoraAyşePythonJavaCPythonJavaC(4,2)(1,1)(1,0)(0,1)(2,4)(1,2)(1,0)(0,2)(1,1)

Şimdi Bora: Ayşe Python seçerse Bora ikinci sayılara bakar: 2, 1, 0 → 2 (Python).

BoraAyşePythonJavaCPythonJavaC(4,2)(1,1)(1,0)(0,1)(2,4)(1,2)(1,0)(0,2)(1,1)

Ayşe Java seçerse: 1, 4, 2 → 4 (Java).

BoraAyşePythonJavaCPythonJavaC(4,2)(1,1)(1,0)(0,1)(2,4)(1,2)(1,0)(0,2)(1,1)

Ayşe C seçerse: 0, 2, 1 → 2 (Java).

BoraAyşePythonJavaCPythonJavaC(4,2)(1,1)(1,0)(0,1)(2,4)(1,2)(1,0)(0,2)(1,1)

İki sayının da altı çizili olduğu hücreler: (Python, Python) = (4, 2) ve (Java, Java) = (2, 4). (C, C)'de yalnız ilk sayı çizili: Bora Java'ya geçip 1 yerine 2 alır.

BoraAyşePythonJavaCPythonJavaC(4,2)(1,1)(1,0)(0,1)(2,4)(1,2)(1,0)(0,2)(1,1)

Kesin eleme burada yetmez: Java, C sütununu siler; sonra Python, C satırını siler. Kalan 2×2'de baskılanan yok, iki denge kalır. Altını çizme ikisini de doğrudan buldu.

En İyi Tepki

Sık Yapılan Hatalar: En İyi Tepki İşaretleme

Sütun oyuncusuSatır oyuncusuSolSağÜstAlt(3,1)(0,0)(1,0)(2,2)satır oyuncusu: aynı sütundailk sayıları karşılaştırırSütun oyuncusuSatır oyuncusuSolSağÜstAlt(3,1)(0,0)(1,0)(2,2)sütun oyuncusu: aynı satırdaikinci sayıları karşılaştırır
Yanlış yönSatır oyuncusunun en iyisini satır boyunca aramak. O yalnız satırını değiştirir: aynı sütunda bakılır.
Yanlış sayıSütun oyuncusu için ilk sayılara bakmak. Sütun oyuncusu ikinci sayıyı büyütmek ister.
Eşitlikte tek işaretEn büyük değer iki kez geçiyorsa ikisi de en iyi tepkidir, ikisi de işaretlenir.
Tek işaret yeter sanmakYalnız bir oyuncunun işareti olan hücre denge değildir; iki işaret gerekir.
En büyük hücreyi aramakDenge, sayıları büyük olan hücre değil, karşılıklı en iyi tepki olan hücredir.
Kontrol etmemekHer aday hücrede sapma testi: oyuncu başka seçeneğe geçince daha çok alıyor mu?

En İyi Tepki

Üç Oyuncu: Grup Ödevi Oyunu

Üç öğrenci aynı anda Katıl ya da Katılma der. En az iki kişi katılırsa ödev başarılı olur ve herkes 3 puan alır; katılmanın maliyeti 1. Tablo katılan sayısına (k) göre.

Katılan sayısıKazançlarTek taraflı sapmaDenge mi?
k = 3 (herkes)3 − 1 = 2'şerBiri bırakırsa ödev yine başarılı: 3 > 2Hayır
k = 2katılanlar 2, katılmayan 3Katılan bırakırsa ödev batar: 0 < 2. Katılmayan katılırsa 2 < 3Evet (3 profil)
k = 1katılan −1, ötekiler 0Katılan bırakırsa 0 > −1Hayır
k = 0 (kimse)0'arTek başına katılan −1 alır: −1 < 0Evet
Dört saf dengeTam iki kişinin katıldığı üç profil ve kimsenin katılmadığı profil. Test n oyuncuda da aynı: her oyuncu için, ötekiler sabitken.
Koordinasyon başarısızlığı“Kimse katılmaz” dengesi herkese 0 verir; kimse tek başına onu bozamaz. Birlikte sapmak ise Nash tanımının dışındadır.

En İyi Tepki

Kod İzleme: Saf Nash Dengelerini Bul

XYZABC(4,3)(0,2)(1,1)(2,1)(3,3)(0,2)(1,4)(2,0)(3,2)

U1: satır oyuncusunun, U2: sütun oyuncusunun kazanç matrisi. m = n = 3, denge = [].

XYZABC(4,3)(0,2)(1,1)(2,1)(3,3)(0,2)(1,4)(2,0)(3,2)

Hücre (A, X): U1 = 4 bu sütunun en büyüğü, U2 = 3 bu satırın en büyüğü → koşul doğru.

XYZABC(4,3)(0,2)(1,1)(2,1)(3,3)(0,2)(1,4)(2,0)(3,2)

(0, 0) listeye eklenir: denge = [(0, 0)].

XYZABC(4,3)(0,2)(1,1)(2,1)(3,3)(0,2)(1,4)(2,0)(3,2)

Hücre (A, Y): U1 = 0 < 3 ve U2 = 2 < 3 → koşul yanlış, denge değil.

XYZABC(4,3)(0,2)(1,1)(2,1)(3,3)(0,2)(1,4)(2,0)(3,2)

Hücre (A, Z): U1 = 1 < 3 ve U2 = 1 < 3 → koşul yanlış, denge değil.

XYZABC(4,3)(0,2)(1,1)(2,1)(3,3)(0,2)(1,4)(2,0)(3,2)

Hücre (B, X): U1 = 2 < 4 ve U2 = 1 < 3 → koşul yanlış, denge değil.

XYZABC(4,3)(0,2)(1,1)(2,1)(3,3)(0,2)(1,4)(2,0)(3,2)

Hücre (B, Y): U1 = 3 bu sütunun en büyüğü, U2 = 3 bu satırın en büyüğü → koşul doğru.

XYZABC(4,3)(0,2)(1,1)(2,1)(3,3)(0,2)(1,4)(2,0)(3,2)

(1, 1) listeye eklenir: denge = [(0, 0), (1, 1)].

XYZABC(4,3)(0,2)(1,1)(2,1)(3,3)(0,2)(1,4)(2,0)(3,2)

Hücre (B, Z): U1 = 0 < 3 ve U2 = 2 < 3 → koşul yanlış, denge değil.

XYZABC(4,3)(0,2)(1,1)(2,1)(3,3)(0,2)(1,4)(2,0)(3,2)

Hücre (C, X): U1 = 1 < 4 → koşul yanlış, denge değil.

XYZABC(4,3)(0,2)(1,1)(2,1)(3,3)(0,2)(1,4)(2,0)(3,2)

Hücre (C, Y): U1 = 2 < 3 ve U2 = 0 < 4 → koşul yanlış, denge değil.

XYZABC(4,3)(0,2)(1,1)(2,1)(3,3)(0,2)(1,4)(2,0)(3,2)

Hücre (C, Z): U2 = 2 < 4 → koşul yanlış, denge değil.

XYZABC(4,3)(0,2)(1,1)(2,1)(3,3)(0,2)(1,4)(2,0)(3,2)

Tüm 9 hücre tarandı: return [(0, 0), (1, 1)] → (A, X) ve (B, Y). Toplam iş O(mn·(m+n)); maksimumlar önceden hesaplanırsa O(mn).

def saf_nash(U1, U2):
    m, n, denge = len(U1), len(U1[0]), []
    for i in range(m):
        for j in range(n):
            br1 = max(U1[k][j] for k in range(m))
            br2 = max(U2[i][l] for l in range(n))
            if U1[i][j] == br1 and U2[i][j] == br2:
                denge.append((i, j))
    return denge

En İyi Tepki

Sürekli Stratejiler: Cournot Duopolü

034612034612y₁ (1. firma)y₂ (2. firma)BR₁: y₁ = (12 − y₂)/2BR₂: y₂ = (12 − y₁)/2kartel (3, 3)Nash (4, 4)
  • İki firma aynı anda üretim miktarı y₁, y₂ ≥ 0 seçer (strateji kümesi sonsuz). Fiyat P = 12 − (y₁ + y₂), maliyet 0.
  • Kâr u₁ = y₁ (12 − y₁ − y₂). Türev: 12 − 2y₁ − y₂ = 0 ⇒ BR₁(y₂) = max{0, (12 − y₂)/2} (miktar negatif olamaz; y₂ ≥ 12 ise en iyisi üretmemek).
  • Nash dengesi = en iyi tepki doğrularının kesişimi: y₁ = y₂ = 4, fiyat 4, kâr 16'şar.
  • Kartel (3'er üretim) ikisine de 18 verir ama dengede değildir: BR₁(3) = 4,5 ve sapan firma 20,25 alır.
Firmalar sırayla birbirine en iyi tepki verirse üretimler (6, 3), sonra (4,5 ile 3,75), … diye ilerler ve (4, 4)'e yaklaşır. Cournot, 1838.

En İyi Tepki

Rakip Ne Kadar Üretirse Ben Ne Kadar Üretmeliyim?

u₁(y₁) = y₁ · max{0, 12 − y₁ − y₂}  ⇒  BR₁(y₂) = max{0, (12 − y₂)/2}

Rakip daha çok ürettikçe benim en iyi miktarım azalır; y₂ ≥ 12 iken üretmemek en iyisidir. İki firmanın birbirine en iyi tepki verdiği tek nokta y₁ = y₂ = 4'tür.

En İyi Tepki

Bertrand: Miktar Yerine Fiyatla Rekabet

  • İki firma aynı malı satar; birim maliyet c = 2 TL, pazar 100 birim. Firmalar aynı anda fiyat seçer: ucuz olan pazarın hepsini alır, eşit fiyatta pazar yarı yarıya bölünür.
  • (5, 5): her biri (5 − 2) · 50 = 150 kazanır. Biri 4,99'a inerse ≈ 2,99 · 100 ≈ 299: sapma kârlı. c'nin üstündeki her ortak fiyatta aynı şey olur.
  • c'nin altına inmek zarar ettirir. Tek Nash dengesi p₁ = p₂ = c = 2, kâr 0.
2345678910p = cher ortak fiyattan biraz aşağı kırmak kârlıfiyat (TL)
Rekabet aracıDengeFirma kârı
Cournot (miktar), P = 12 − Y, maliyet 0y = 4'er, fiyat 416'şar
Bertrand (fiyat), maliyet cp = c0
Sık hata: “İki firma varsa kâr yüksek kalır” demek. Fiyatla rekabette iki firma bile fiyatı maliyete indirir (Bertrand paradoksu); kâr ancak ürün farkı, kapasite sınırı ya da tekrarlanan etkileşimle korunur. Sonuç sürekli fiyat içindir; 1 TL'lik adımlarda c'nin hemen üstündeki fiyatlar da denge olabilir.

Baskın Strateji Eleme

Baskın ve Baskılanan Strateji

Kesin baskılama (strict dominance)si′, si'yi kesin baskılar: her s−i için ui(si′, s−i) > ui(si, s−i).Rasyonel oyuncu kesin baskılanan stratejiyi asla oynamaz.
Zayıf baskılama (weak dominance)Her s−i için ≥ ve en az bir s−i için >.Silinirse bazı dengeler kaybolabilir; sonuç eleme sırasına bağlı olabilir.
  • Baskın strateji: diğer tüm stratejilerini baskılayan strateji (Mahkûmun İkilemi'nde İhanet). Sahibi rakibini tahmin etmek zorunda değildir; herkesin baskın stratejisi varsa bu profil bir Nash dengesidir (baskın strateji dengesi). Her oyunda bulunmaz (TKM).
  • Yinelemeli eleme (IESDS): kesin baskılanan stratejileri sil, küçülen oyunda tekrarla. Herkes rasyonel ve bunu herkes biliyor (ortak bilgi) varsayımı.
  • Kesin baskılamada sıra önemsizdir; hiçbir Nash dengesi silinmez. Tek hücre kalırsa o hücre oyunun tek Nash dengesidir.
  • Test her karşı seçim için ayrı yapılır; “ortalamada daha iyi” yetmez. 2/3 ortalaması oyununda 60'ın üstündeki sayılar 60'tan hiçbir zaman iyi değildir ama bazen eşit kalır; oradaki eleme bu yüzden zayıf baskılamadır.

Baskın Strateji Eleme

Oyuna Dönüş: Mahkûmun İkilemi

JohnSamSessizİhanetSessizİhanet(−1,−1)(−3,0)(0,−3)(−2,−2)

Kazanç = −yıl: her oyuncunun en iyi tepkisi işaretli

  • Sessiz mi, ihanet mi? Kuramın cevabı: İhanet baskın strateji: John sessizse 0 > −1, ihanet ederse −2 > −3. Tek Nash dengesi (İhanet, İhanet): (−2, −2), yani 2'şer yıl.
  • Gerçekte: tek seferlik oyunda insanlar kuramdan çok daha sık işbirliği yapar: 1958–1992 deneylerini birleştiren meta-analize göre katılımcıların kabaca yarısı işbirliği yapar ve iletişim bu oranı belirgin biçimde artırır (Sally, 1995). Güven, adalet ve karşılıklılık da seçimi etkiler.
John Tit-for-Tat oynarken Sam'in 10 turluk planıSam'in toplam yılı
Hep Sessiz10 × 1 = 10
Hep İhanet0 + 9 × 2 = 18
9 tur Sessiz, son tur İhanet9 × 1 + 0 = 9 (en az)

Tekrarlanan oyunda ihanet sonraki turlarda cezalandırılır; yalnız son turda ceza kalmaz. Bu “son tur etkisi” geriye doğru çıkarımın konusudur.

Baskın Strateji Eleme

Yinelemeli Eleme: 3×3 Örnek

Sütun oyuncusuSatır oyuncusuXYZABC(3,2)(3,3)(1,4)(3,2)(0,4)(5,3)(2,1)(2,0)(6,6)

Başlangıç: hiçbir satır diğerini kesin baskılamıyor (ör. A ile B: 3 = 3). Önce sütun oyuncusuna bakalım.

Sütun oyuncusuSatır oyuncusuXYZABC(3,2)(3,3)(1,4)(3,2)(0,4)(5,3)(2,1)(2,0)(6,6)

Kalan satırlarda Z, X'i kesin baskılar (u2: 4 > 2, 3 > 2, 6 > 1) → X elenir.

Sütun oyuncusuSatır oyuncusuXYZABC(3,2)(3,3)(1,4)(3,2)(0,4)(5,3)(2,1)(2,0)(6,6)

Kalan sütunlarda C, B'yi kesin baskılar (u1: 2 > 0, 6 > 5) → B elenir.

Sütun oyuncusuSatır oyuncusuXYZABC(3,2)(3,3)(1,4)(3,2)(0,4)(5,3)(2,1)(2,0)(6,6)

Kalan satırlarda Z, Y'yi kesin baskılar (u2: 4 > 3, 6 > 0) → Y elenir.

Sütun oyuncusuSatır oyuncusuXYZABC(3,2)(3,3)(1,4)(3,2)(0,4)(5,3)(2,1)(2,0)(6,6)

Kalan sütunlarda C, A'yı kesin baskılar (u1: 6 > 1) → A elenir.

Sütun oyuncusuSatır oyuncusuXYZABC(3,2)(3,3)(1,4)(3,2)(0,4)(5,3)(2,1)(2,0)(6,6)

Tek hücre kaldı: (C, Z) = (6, 6). Bu, oyunun tek Nash dengesidir (en iyi tepki işaretlemesi de aynı sonucu verir).

Baskın Strateji Eleme

Adım Adım: Bir Eleme Ötekinin Yolunu Açar

Sütun oyuncusuSatır oyuncusuSolMerkezSağÜstOrtaAlt(1,5)(5,6)(6,2)(3,5)(6,0)(2,2)(2,2)(0,2)(1,5)

Hiçbir oyuncunun baskın stratejisi yok; başta tek bir kesin baskılama var. Satırlar yalnız ilk sayılarla, sütunlar yalnız ikinci sayılarla karşılaştırılır.

Sütun oyuncusuSatır oyuncusuSolMerkezSağÜstOrtaAlt(1,5)(5,6)(6,2)(3,5)(6,0)(2,2)(2,2)(0,2)(1,5)

Orta, Alt'ı her sütunda yener: 3 > 2, 6 > 0, 2 > 1 → Alt silinir.

Sütun oyuncusuSatır oyuncusuSolMerkezSağÜstOrtaAlt(1,5)(5,6)(6,2)(3,5)(6,0)(2,2)(2,2)(0,2)(1,5)

Kalan satırlarda Sol, Sağ'ı yener: 5 > 2 (Üst), 5 > 2 (Orta) → Sağ silinir. Alt dururken olmazdı: orada Sağ 5 > Sol 2.

Sütun oyuncusuSatır oyuncusuSolMerkezSağÜstOrtaAlt(1,5)(5,6)(6,2)(3,5)(6,0)(2,2)(2,2)(0,2)(1,5)

Kalan sütunlarda Orta, Üst'ü yener: 3 > 1, 6 > 5 → Üst silinir. Sağ dururken Üst orada 6 > 2 ile kurtuluyordu.

Sütun oyuncusuSatır oyuncusuSolMerkezSağÜstOrtaAlt(1,5)(5,6)(6,2)(3,5)(6,0)(2,2)(2,2)(0,2)(1,5)

Yalnız Orta satırı kaldı: Sol 5, Merkez 0 → Merkez silinir.

Sütun oyuncusuSatır oyuncusuSolMerkezSağÜstOrtaAlt(1,5)(5,6)(6,2)(3,5)(6,0)(2,2)(2,2)(0,2)(1,5)

Kalan (Orta, Sol) = (3, 5) tek Nash dengesidir. (Üst, Merkez) = (5, 6) ikisine de daha iyi ama dengede değil: satır oyuncusu Orta'ya geçip 6 alır.

Baskın Strateji Eleme

Kod İzleme: Yinelemeli Baskın Strateji Eleme

XYZABC(3,2)(3,3)(1,4)(3,2)(0,4)(5,3)(2,1)(2,0)(6,6)

Kalan satır ve sütun listeleri: R = [0, 1, 2] (A, B, C), S = [0, 1, 2] (X, Y, Z).

XYZABC(3,2)(3,3)(1,4)(3,2)(0,4)(5,3)(2,1)(2,0)(6,6)

Hiçbir satır baskılanmıyor (x = []). Sütun X, Z tarafından baskılanıyor → y = [0].

XYZABC(3,2)(3,3)(1,4)(3,2)(0,4)(5,3)(2,1)(2,0)(6,6)

S.remove(0): X sütunu silinir; sıradaki turda satırlar yeniden denetlenir.

XYZABC(3,2)(3,3)(1,4)(3,2)(0,4)(5,3)(2,1)(2,0)(6,6)

Satır B, C tarafından baskılanıyor → x = [1]. Sütunlara da bakılır: y = [].

XYZABC(3,2)(3,3)(1,4)(3,2)(0,4)(5,3)(2,1)(2,0)(6,6)

R.remove(1): B satırı silinir, döngü küçülen oyunla yeniden başlar.

XYZABC(3,2)(3,3)(1,4)(3,2)(0,4)(5,3)(2,1)(2,0)(6,6)

Hiçbir satır baskılanmıyor (x = []). Sütun Y, Z tarafından baskılanıyor → y = [1].

XYZABC(3,2)(3,3)(1,4)(3,2)(0,4)(5,3)(2,1)(2,0)(6,6)

S.remove(1): Y sütunu silinir; sıradaki turda satırlar yeniden denetlenir.

XYZABC(3,2)(3,3)(1,4)(3,2)(0,4)(5,3)(2,1)(2,0)(6,6)

Satır A, C tarafından baskılanıyor → x = [0]. Sütunlara da bakılır: y = [].

XYZABC(3,2)(3,3)(1,4)(3,2)(0,4)(5,3)(2,1)(2,0)(6,6)

R.remove(0): A satırı silinir, döngü küçülen oyunla yeniden başlar.

XYZABC(3,2)(3,3)(1,4)(3,2)(0,4)(5,3)(2,1)(2,0)(6,6)

Ne satır ne sütun baskılanıyor: x = y = [].

XYZABC(3,2)(3,3)(1,4)(3,2)(0,4)(5,3)(2,1)(2,0)(6,6)

return [2], [2] → yalnızca (C, Z) kaldı. 4 elemede sırayla X, B, Y, A silindi.

def ele(U1, U2):
    R, S = [0, 1, 2], [0, 1, 2]   # kalanlar
    while True:
        x = [r for r in R for k in R if
             all(U1[k][c] > U1[r][c] for c in S)]
        y = [c for c in S for d in S if
             all(U2[r][d] > U2[r][c] for r in R)]
        if x: R.remove(x[0])      # satır elenir
        elif y: S.remove(y[0])    # sütun elenir
        else: return R, S

Baskın Strateji Eleme

Karışık Stratejiyle Baskılama

u1SolSağ
Üst40
Orta11
Alt04
  • Orta'yı hiçbir saf satır baskılamaz: Sağ'da Üst'ten (1 > 0), Sol'da Alt'tan (1 > 0) iyidir.
  • Üst ile Alt'ı ½–½ karıştıran satır oyuncusu her sütunda 2 alır: 2 > 1 ve 2 > 1 → Orta, karışık stratejiyle kesin baskılanır ve silinebilir.
  • Grafikte: Orta'nın doğrusu (1) her q için Üst ile Alt'ın üst zarfının (en az 2) altında: Orta hiçbir inanca karşı en iyi tepki değildir.
12340½1q = P(sütun oyuncusu Sol)beklenen kazançÜst: 4qAlt: 4 − 4qOrta: 1½Üst + ½Alt: 2
Sık hata: “Onu yenen tek bir saf strateji yok, o hâlde silinemez.” Karışımlar da karşılaştırmaya girer; eleme yaparken önce saf, sonra ½–½ gibi basit karışımlar denenir.

Baskın Strateji Eleme

Zayıf Baskılamanın Tuzağı

SütunSatırSolSağÜstAlt(1,1)(0,1)(1,1)(1,1)
  • Satır için Alt, Üst'ü zayıf baskılar (1 = 1, 1 > 0). Sütun oyuncusu her durumda kayıtsızdır.
  • Saf Nash dengeleri: (Üst, Sol), (Alt, Sol), (Alt, Sağ) — üç tane.
  • Üst silinirse (Üst, Sol) dengesi kaybolur; eleme sırası farklı sonuçlar bırakabilir.
  • Ders: kesin baskılama güvenli; zayıf baskılama denge kaybettirebilir.
Kesin eleme her oyunda tek hücreye inmez: Cinsiyetler Savaşı'nda hiçbir strateji baskılanmaz. O zaman en iyi tepki işaretlemesine ve karışık stratejilere başvururuz.

Baskın Strateji Eleme

Sık Yapılan Hatalar: Baskın Strateji Eleme

Yanlış sayılarİki satırı sütun oyuncusunun kazançlarıyla karşılaştırmak. Satır ↔ ilk sayı, sütun ↔ ikinci sayı.
“Çoğunlukla büyük” yeter sanmakKesin baskılama için kalan her sütunda büyük olmalı; tek bir eşitlik ya da küçüklük elemeyi durdurur.
Silinenleri saymakSilinmiş sütun artık karşılaştırmaya girmez. Bir eleme zincirinde bir strateji (ör. Üst) ancak başka bir strateji (Sağ) silindikten sonra elenebilir.
Zayıfı kesin sanmakEşitlik varsa baskılama zayıftır; silmek denge kaybettirebilir ve sonuç sıraya bağlı olabilir.
Baskın ≠ baskılananBaskın strateji diğer hepsini yener; baskılanan strateji en az birine yenilir. Baskın strateji olmadan da eleme yapılır.
Kalanların hepsi denge sanmakEleme birden çok hücre bırakırsa (ör. dil seçimi oyununda 2×2 kalır) dengeler kalan küçük oyunda altını çizerek bulunur.

Karışık Strateji

Karışık Strateji ve Kayıtsızlık İlkesi

  • Karışık strateji: oyuncunun her saf stratejisine verdiği olasılıklar (ör. Taş 1/3, Kağıt 1/3, Makas 1/3). Kazanç, beklenen kazançtır. 2×2 oyunlarda p = σ1(ilk satır), q = σ2(ilk sütun).
  • Saf dengesi olmayan oyunlarda (Yazı-Tura, TKM, penaltı, denetim, blöf) oyuncular tahmin edilemez olmak ister. TKM dengesi (1/3, 1/3, 1/3): her eylem 0 getirir. TKM'de 1/3–1/3–1/3 dışındaki her karışımı rakip sömürebilir.
  • Destek (support): pozitif olasılık verilen saf stratejiler.
Kayıtsızlık ilkesi: Dengede her oyuncu, desteğindeki tüm saf stratejilerden aynı beklenen kazancı alır (destek dışındakiler daha fazla vermez). Aksi hâlde daha iyi olana tüm olasılığı kaydırırdı.
Şaşırtıcı sonuçSatır oyuncusunun karışımı, sütun oyuncusunun kazançlarından hesaplanır (ve tersi).
YorumOlasılıklar “zar atmak” ya da büyük bir nüfustaki davranış oranları (ör. penaltıların yönü) olarak okunabilir.

Karışık Strateji

Karışık Denge Hesabı: Denetim Oyunu

MüdürİşçiDenetleDenetlemeÇalışKaytar(2,1)(2,2)(0,−1)(4,−4)
Denetim oyunu (inspection game)Satır: işçi, sütun: müdür. Ücret 4, çaba maliyeti 2, üretim 6, denetim maliyeti 1. Kaytaran yakalanırsa ücret alamaz. Örnek: Çalış–Denetle hücresinde işçi 4 − 2 = 2, müdür 6 − 4 − 1 = 1 alır.

Oklar: her hücreden bir oyuncu kârlı sapıyor → en iyi tepkiler döngü oluşturur, saf Nash dengesi yok.
DenetleDenetlemeÇalışKaytar(2,1)(2,2)(0,−1)(4,−4)0½¾1−4−2024q (Denetle olasılığı)beklenen kazançp ve q seçilince çizgiler burada
  1. İşçi p olasılıkla Çalış, müdür q olasılıkla Denetle oynar.
DenetleDenetlemeÇalışKaytar(2,1)(2,2)(0,−1)(4,−4)0½¾1−4−2024q (Denetle olasılığı)beklenen kazançÇalışKaytarİşçinin kazancı
  1. İşçi p olasılıkla Çalış, müdür q olasılıkla Denetle oynar.
  2. İşçi: E[Çalış] = 2q + 2(1−q) = 2;  E[Kaytar] = 0·q + 4(1−q) = 4 − 4q
DenetleDenetlemeÇalışKaytar(2,1)(2,2)(0,−1)(4,−4)0½¾1−4−2024q (Denetle olasılığı)beklenen kazançÇalışKaytarİşçinin kazancı
  1. İşçi p olasılıkla Çalış, müdür q olasılıkla Denetle oynar.
  2. İşçi: E[Çalış] = 2q + 2(1−q) = 2;  E[Kaytar] = 0·q + 4(1−q) = 4 − 4q
  3. İşçi kayıtsız: 2 = 4 − 4q ⇒ q* = 1/2
DenetleDenetlemeÇalışKaytar(2,1)(2,2)(0,−1)(4,−4)0½¾1−4−2024p (Çalış olasılığı)beklenen kazançDenetleDenetlemeMüdürün kazancı
  1. İşçi p olasılıkla Çalış, müdür q olasılıkla Denetle oynar.
  2. İşçi: E[Çalış] = 2q + 2(1−q) = 2;  E[Kaytar] = 0·q + 4(1−q) = 4 − 4q
  3. İşçi kayıtsız: 2 = 4 − 4q ⇒ q* = 1/2
  4. Müdür: E[Denetle] = 1·p − 1·(1−p) = 2p − 1;  E[Denetleme] = 2p − 4(1−p) = 6p − 4
DenetleDenetlemeÇalışKaytar(2,1)(2,2)(0,−1)(4,−4)0½¾1−4−2024p (Çalış olasılığı)beklenen kazançDenetleDenetlemeMüdürün kazancı
  1. İşçi p olasılıkla Çalış, müdür q olasılıkla Denetle oynar.
  2. İşçi: E[Çalış] = 2q + 2(1−q) = 2;  E[Kaytar] = 0·q + 4(1−q) = 4 − 4q
  3. İşçi kayıtsız: 2 = 4 − 4q ⇒ q* = 1/2
  4. Müdür: E[Denetle] = 1·p − 1·(1−p) = 2p − 1;  E[Denetleme] = 2p − 4(1−p) = 6p − 4
  5. Müdür kayıtsız: 2p − 1 = 6p − 4 ⇒ p* = 3/4
DenetleDenetlemeÇalışKaytar(2,1)(2,2)(0,−1)(4,−4)0½¾1−4−2024p (Çalış olasılığı)beklenen kazançDenetleDenetlemeMüdürün kazancı
  1. İşçi p olasılıkla Çalış, müdür q olasılıkla Denetle oynar.
  2. İşçi: E[Çalış] = 2q + 2(1−q) = 2;  E[Kaytar] = 0·q + 4(1−q) = 4 − 4q
  3. İşçi kayıtsız: 2 = 4 − 4q ⇒ q* = 1/2
  4. Müdür: E[Denetle] = 1·p − 1·(1−p) = 2p − 1;  E[Denetleme] = 2p − 4(1−p) = 6p − 4
  5. Müdür kayıtsız: 2p − 1 = 6p − 4 ⇒ p* = 3/4
  6. Denge: (p*, q*) = (3/4, 1/2). Beklenen kazanç: işçi 2, müdür 1/2.
DenetleDenetlemeÇalışKaytar(2,1)(2,2)(0,−1)(4,−4)0½¾1−4−2024p (Çalış olasılığı)beklenen kazançDenetleDenetlemeMüdürün kazancı
  1. İşçi p olasılıkla Çalış, müdür q olasılıkla Denetle oynar.
  2. İşçi: E[Çalış] = 2q + 2(1−q) = 2;  E[Kaytar] = 0·q + 4(1−q) = 4 − 4q
  3. İşçi kayıtsız: 2 = 4 − 4q ⇒ q* = 1/2
  4. Müdür: E[Denetle] = 1·p − 1·(1−p) = 2p − 1;  E[Denetleme] = 2p − 4(1−p) = 6p − 4
  5. Müdür kayıtsız: 2p − 1 = 6p − 4 ⇒ p* = 3/4
  6. Denge: (p*, q*) = (3/4, 1/2). Beklenen kazanç: işçi 2, müdür 1/2.
  7. Ceza sertleşirse (yakalanan kaytarıcı −2): q* = 1/3 olur, p* = ¾ değişmez!

Karışık Strateji

Ceza Değişince Kimin Olasılığı Değişir?

İşçi kayıtsız: 2 = c·q + 4(1 − q) ⇒ q* = 2/(4 − c)  ·  Müdür kayıtsız: 2p − 1 = 6p − 4 ⇒ p* = 3/4

İşçinin kendi kazancı c değişse de işçinin karışımı p* = 3/4 olarak kalır; değişen, müdürün denetleme olasılığı q*'dır. Her oyuncunun denge olasılığını rakibinin kazançları belirler.

Karışık Strateji

Adım Adım: Kayıtsızlık Yöntemiyle Karışık Denge

Bora (arar)Ayşe (saklanır)BahçeEvBahçeEv(0,3)(2,0)(1,0)(0,1)

Ayşe saklanır (satır), Bora arar (sütun); hücrede keyif puanı (Ayşe, Bora). Bora bahçede bulursa 3, evde bulursa 1 alır; Ayşe bahçede bulunmazsa 2, evde bulunmazsa 1.

Bora (arar)Ayşe (saklanır)BahçeEvBahçeEv(0,3)(2,0)(1,0)(0,1)Sapma döngüsü (Ayşe, Bora)(Bahçe, Bahçe)(Bahçe, Ev)(Ev, Ev)(Ev, Bahçe)Ayşe Ev'eBora Ev'eAyşe Bahçe'yeBora Bahçe'ye

Altını çizince hiçbir hücrede iki çizgi yok: en iyi tepkiler bir döngü kurar (oklar). Saf Nash dengesi yok → karışık denge aranır.

Bora (arar)Ayşe (saklanır)BahçeEvBahçeEv(0,3)(2,0)(1,0)(0,1)p = P(Ayşe Bahçe), q = P(Bora Bahçe)

Değişkenler: Ayşe Bahçe'yi p, Bora Bahçe'yi q olasılıkla seçer. Ayşe karıştırıyorsa iki seçeneği ona eşit kazanç vermeli; bu eşitlik q'yu verir.

Bora (arar)Ayşe (saklanır)BahçeEvBahçeEv(0,3)(2,0)(1,0)(0,1)p = P(Ayşe Bahçe), q = P(Bora Bahçe)Ayşe: E[Bahçe] = 0·q + 2·(1 − q) = 2 − 2q

Ayşe Bahçe'de: Bora q ile bahçeye bakar (0), 1 − q ile eve bakar (2). Beklenen kazanç 2 − 2q.

Bora (arar)Ayşe (saklanır)BahçeEvBahçeEv(0,3)(2,0)(1,0)(0,1)p = P(Ayşe Bahçe), q = P(Bora Bahçe)Ayşe: E[Bahçe] = 0·q + 2·(1 − q) = 2 − 2qAyşe: E[Ev] = 1·q + 0·(1 − q) = q

Ayşe Ev'de: Bora bahçeye bakarsa (q) 1, eve bakarsa 0. Beklenen kazanç q.

Bora (arar)Ayşe (saklanır)BahçeEvBahçeEv(0,3)(2,0)(1,0)(0,1)p = P(Ayşe Bahçe), q = P(Bora Bahçe)Ayşe: E[Bahçe] = 0·q + 2·(1 − q) = 2 − 2qAyşe: E[Ev] = 1·q + 0·(1 − q) = q2 − 2q = q ⇒ 2 = 3q ⇒ q* = 2/3

Eşitle ve çöz: 2 − 2q = q ⇒ q* = 2/3. Bora bahçeye 2/3 olasılıkla bakmalı ki Ayşe kayıtsız kalsın.

Bora (arar)Ayşe (saklanır)BahçeEvBahçeEv(0,3)(2,0)(1,0)(0,1)p = P(Ayşe Bahçe), q = P(Bora Bahçe)Ayşe: E[Bahçe] = 0·q + 2·(1 − q) = 2 − 2qAyşe: E[Ev] = 1·q + 0·(1 − q) = q2 − 2q = q ⇒ 2 = 3q ⇒ q* = 2/3Bora: E[Bahçe] = 3·p + 0·(1 − p) = 3pBora: E[Ev] = 0·p + 1·(1 − p) = 1 − p

Aynısı Bora için: Bora'nın iki seçeneği, Ayşe'nin p'sine göre: E[Bahçe] = 3p, E[Ev] = 1 − p.

Bora (arar)Ayşe (saklanır)BahçeEvBahçeEv(0,3)(2,0)(1,0)(0,1)p = P(Ayşe Bahçe), q = P(Bora Bahçe)Ayşe: E[Bahçe] = 0·q + 2·(1 − q) = 2 − 2qAyşe: E[Ev] = 1·q + 0·(1 − q) = q2 − 2q = q ⇒ 2 = 3q ⇒ q* = 2/3Bora: E[Bahçe] = 3·p + 0·(1 − p) = 3pBora: E[Ev] = 0·p + 1·(1 − p) = 1 − p3p = 1 − p ⇒ 4p = 1 ⇒ p* = 1/4

3p = 1 − p ⇒ p* = 1/4. Dikkat: p*, Ayşe'nin değil Bora'nın sayılarından çıktı.

Bora (arar)Ayşe (saklanır)BahçeEvBahçeEv(0,3)(2,0)(1,0)(0,1)p = P(Ayşe Bahçe), q = P(Bora Bahçe)Ayşe: E[Bahçe] = 0·q + 2·(1 − q) = 2 − 2qAyşe: E[Ev] = 1·q + 0·(1 − q) = q2 − 2q = q ⇒ 2 = 3q ⇒ q* = 2/3Bora: E[Bahçe] = 3·p + 0·(1 − p) = 3pBora: E[Ev] = 0·p + 1·(1 − p) = 1 − p3p = 1 − p ⇒ 4p = 1 ⇒ p* = 1/4Kazanç: Ayşe 2/3, Bora 3/4

Kontrol: 0 < 1/4 < 1 ve 0 < 2/3 < 1 ✓. Kazançlar: Ayşe 2 − 2·(2/3) = 2/3, Bora 3·(1/4) = 3/4. Bahçeyi seven Ayşe orada yalnız %25 saklanır.

Karışık Strateji

Kod İzleme: karisik_2x2(A, B)

sütun oyuncususatırOperaFutbolOperaFutbol(3,2)(0,0)(0,0)(2,3)

Cinsiyetler Savaşı: A satır, B sütun oyuncusunun kazançları (0 = Opera, 1 = Futbol).

sütun oyuncususatırOperaFutbolOperaFutbol(3,2)(0,0)(0,0)(2,3)

Satır oyuncusunun kazanç farklarından payda: da = 3 − 0 − 0 + 2 = 5.

sütun oyuncususatırOperaFutbolOperaFutbol(3,2)(0,0)(0,0)(2,3)sütun olasılığı2/53/5

da ≠ 0, denetim geçilir. u₁(Opera, q) = 3q, u₁(Futbol, q) = 2(1 − q) eşitlenir ⇒ q = (2 − 0)/5 = 2/5: sütun oyuncusu Opera'yı 2/5 olasılıkla oynar.

sütun oyuncususatırOperaFutbolOperaFutbol(3,2)(0,0)(0,0)(2,3)sütun olasılığı2/53/5

Şimdi sütun oyuncusunun kazançları: db = 2 − 0 − 0 + 3 = 5.

sütun oyuncususatırOperaFutbolOperaFutbol(3,2)(0,0)(0,0)(2,3)satır olasılığı3/52/5sütun olasılığı2/53/5

db ≠ 0. u₂(p, Opera) = 2p, u₂(p, Futbol) = 3(1 − p) eşitlenir ⇒ p = 3/5: satır oyuncusu Opera'yı 3/5 olasılıkla oynar.

sütun oyuncususatırOperaFutbolOperaFutbol(3,2)(0,0)(0,0)(2,3)satır olasılığı3/52/5sütun olasılığı2/53/5

0 < p, q < 1 doğru: iki olasılık da gerçek bir karışım ⇒ iç karışık denge var, return None atlanır.

sütun oyuncususatırOperaFutbolOperaFutbol(3,2)(0,0)(0,0)(2,3)satır olasılığı3/52/5sütun olasılığı2/53/5

Beklenen kazanç u₁ = 3·(2/5) + 0·(3/5) = 6/5; u₂ = 2·(3/5) = 6/5. İki saf dengenin (2 ya da 3) ikisinden de kötü.

sütun oyuncususatırOperaFutbolOperaFutbol(3,2)(0,0)(0,0)(2,3)satır olasılığı3/52/5sütun olasılığı2/53/5

Sonuç (3/5, 2/5, 6/5). Bedava Para'da q = 0 ⇒ None. Mahkûmun İkilemi'nde da = 0 ⇒ ilk denetim None döndürür.

from fractions import Fraction as F
def karisik_2x2(A, B):
    da = A[0][0] - A[0][1] - A[1][0] + A[1][1]
    if da == 0: return None     # denklem yok
    q = F(A[1][1] - A[0][1], da)  # satır kayıtsız
    db = B[0][0] - B[0][1] - B[1][0] + B[1][1]
    if db == 0: return None
    p = F(B[1][1] - B[1][0], db)  # sütun kayıtsız
    if not (0 < p < 1 and 0 < q < 1):
        return None               # iç denge yok
    u1 = A[0][0] * q + A[0][1] * (1 - q)
    return p, q, u1

Karışık Strateji

Altı Klasik Oyunun Karışık Dengeleri

OyunSaf NEKarışık NE (p*, q*)(u₁, u₂)Karışık dengede ne olur?
Yazı-Tura Eşleştirme01/2, 1/2(0, 0)Dört sonuç %25'er; tek denge budur, kimse sömürülemez
Tavuk (kavşak)29/10, 9/10(−1/10, −1/10)Çarpışma (1/10)² = %1; çarpışma −k olsaydı kırma (k − 1)/k
Cinsiyetler Savaşı23/5, 2/5(6/5, 6/5)Buluşamama 0,36 + 0,16 = %52
Geyik Avı (geyik 4, tavşan 3)23/4, 3/4(3, 3)Ayrı düşme 3/8 = %37,5; birlikte geyik 9/16 ≈ %56
Saf Koordinasyon21/3, 1/3(10/3, 10/3)Farklı karar 4/9 ≈ %44; parti ne kadar cazipse o kadar az seçilir
Bedava Para2yok (yalnız uç: 0, 0)—q > 0 ise Yazı kesin daha iyi; kayıtsızlık yalnız q = 0'da
p*, q*: ilk stratejinin (Yazı, Kır, Opera, Geyik, Parti, Yazı) oynanma olasılığı. Tavuk: (Kır, Kır) = (0, 0), (Kır, Düz) = (−1, 1), (Düz, Düz) = (−10, −10). Saf Koordinasyon: (Parti, Parti) = (10, 10), (Ev, Ev) = (5, 5). Bedava Para: yalnız (Yazı, Yazı) = (1, 1), öteki hücreler 0.

Karışık Strateji

Sık Yapılan Hatalar: Karışık Denge

p'yi kendi sayılarından bulmakSatır oyuncusunun p'si sütun oyuncusunu kayıtsız bırakır; bu yüzden sütun oyuncusunun kazançlarından hesaplanır.
(1 − q)'yu unutmakE = 0·q + 2·(1 − q) = 2 − 2q'dur; “2q” değil. Her terim kendi olasılığıyla çarpılır.
Sonucu sınamamakp ya da q, 0 ile 1 arasında çıkmazsa iç karışık denge yoktur (genelde bir strateji baskılanmıştır).
Saf dengeleri atlamakKarışık hesap saf dengelerin yerini tutmaz; önce altını çiz, sonra karışık dengeyi ara.
“Kayıtsızsa her p olur”Oyuncu kendi seçenekleri arasında kayıtsızdır, ama dengede rakibini kayıtsız bırakan tek p'yi oynar.
Eşitliği yanlış kurmakEşitlenen, aynı oyuncunun iki seçeneğinin beklenen kazancıdır; iki oyuncunun kazançları eşitlenmez.

Varlık ve Denge Seçimi

Nash'in Varlık Teoremi (1950)

Teorem. Sonlu sayıda oyuncu ve sonlu strateji kümesi olan her oyunun en az bir (karışık strateji) Nash dengesi vardır.
  • İspat fikri: “herkes herkese en iyi tepki veriyor” koşulunu sağlayan bir karışık profil her zaman vardır; bunu sabit nokta teoremleri (Kakutani, Brouwer) garanti eder. Bu profil Nash dengesidir.
  • Garanti karışık stratejiler içindir; saf denge olmayabilir (Yazı-Tura).
  • Sonsuz strateji kümelerinde denge olmayabilir (ör. “en büyük sayıyı söyleyen kazanır”).
0½¾10½1p = P(Çalış)q = P(Denetle)(¾, ½)BRişçi(q)BRmüdür(p)

Denetim oyunu: iki en iyi tepki eğrisinin kesişimi = denge

Varlık ve Denge Seçimi

Adım Adım: Kanal Paylaşımında Üç Denge

Cihaz 2Cihaz 1GönderBekleGönderBekle(−2,−2)(3,1)(1,3)(0,0)

İki cihaz aynı kanala paket göndermek ister. İkisi gönderirse çarpışır (−2'şer); biri gönderirse o 3, bekleyen 1 alır; ikisi de beklerse kanal boşa gider (0). Tavuk oyunu yapısı.

Cihaz 2Cihaz 1GönderBekleGönderBekle(−2,−2)(3,1)(1,3)(0,0)

Cihaz 1 (ilk sayılar): karşısı Gönder derse −2 < 1 → Bekle; karşısı Bekle derse 3 > 0 → Gönder. Karşısının tersini yapmak ister.

Cihaz 2Cihaz 1GönderBekleGönderBekle(−2,−2)(3,1)(1,3)(0,0)

Cihaz 2 için aynısı (ikinci sayılar). İki çizgili hücreler: (Gönder, Bekle) = (3, 1) ve (Bekle, Gönder) = (1, 3): iki saf denge.

Cihaz 2Cihaz 1GönderBekleGönderBekle(−2,−2)(3,1)(1,3)(0,0)q = P(Cihaz 2 Gönder)u₁(Gönder, q) = −2·q + 3·(1 − q) = 3 − 5q

Üçüncü denge karışık: q = P(Cihaz 2 Gönder). Cihaz 1'in Gönder'den beklentisi −2q + 3(1 − q) = 3 − 5q.

Cihaz 2Cihaz 1GönderBekleGönderBekle(−2,−2)(3,1)(1,3)(0,0)q = P(Cihaz 2 Gönder)u₁(Gönder, q) = −2·q + 3·(1 − q) = 3 − 5qu₁(Bekle, q) = 1·q + 0·(1 − q) = q

Bekle'den beklentisi: karşısı gönderirse 1, beklerse 0 → q.

Cihaz 2Cihaz 1GönderBekleGönderBekle(−2,−2)(3,1)(1,3)(0,0)q = P(Cihaz 2 Gönder)u₁(Gönder, q) = −2·q + 3·(1 − q) = 3 − 5qu₁(Bekle, q) = 1·q + 0·(1 − q) = q3 − 5q = q ⇒ q* = 1/2; simetri: p* = 1/2

Kayıtsızlık: 3 − 5q = q ⇒ q* = 1/2. Oyun simetrik olduğu için Cihaz 2'nin kayıtsızlığı da p* = 1/2 verir.

Cihaz 2Cihaz 1GönderBekleGönderBekle(−2,−2)(3,1)(1,3)(0,0)(Gönder, Bekle)(Bekle, Gönder)(½, ½)p = P(Cihaz 1 Gönder)q = P(Cihaz 2 Gönder)BR₁BR₂011

En iyi tepki eğrileri: BR₁ (düz) ve BR₂ (kesikli) üç noktada kesişir: iki köşe saf dengeler, orta nokta karışık denge.

Cihaz 2Cihaz 1GönderBekleGönderBekle(−2,−2)(3,1)(1,3)(0,0)Karışık dengede (½, ½) sonuçlar:çarpışma (G, G): ¼ → −2tek gönderen (başarı): ½boş kanal (B, B): ¼ → 0beklenen kazanç: ½ (saf dengede 3 ya da 1)

Karışık denge adil ama verimsiz: zamanın ¼'ünde çarpışma, ¼'ünde boş kanal; her cihaz ortalama ½ alır. Ağ protokollerindeki rastgele bekleme (backoff) bu rastgeleleştirmenin uygulamadaki karşılığıdır.

Varlık ve Denge Seçimi

Kaç Denge Olur? Tek Sayı Kuralı

OyunSaf dengeKarışık dengeToplam
Mahkûmun İkilemi101
Saklambaç, Denetim, Yazı-Tura011
Kanal paylaşımı, Tavuk, Cinsiyetler Savaşı, Geyik Avı, Saf Koordinasyon213
Dil seçimi (3×3)21 (Ayşe Python'u 3/4, Bora Python'u 1/5 olasılıkla seçer)3
Zayıf Baskılamanın Tuzağı (eşitlikli)3sonsuz—
Bedava Para (eşitlikli)202 (çift)
Tek sayılılık (Wilson, 1971)Kazançlarında özel eşitlikler olmayan (dejenere olmayan) oyunlarda denge sayısı sonludur ve tek sayıdır (1, 3, 5, …).
Pratik kuralİki saf denge buldunuz mu? Büyük olasılıkla bir karışık denge daha vardır; kayıtsızlıkla onu da arayın. Eşitlikli oyunlarda kural bozulabilir.

Varlık ve Denge Seçimi

Çoklu Denge: Geyik Avı

Avcı 2Avcı 1GeyikTavşanGeyikTavşan(4,4)(0,3)(3,0)(3,3)

Geyik Avı: geyik ancak birlikte avlanır (4'er); tavşan, ortak ne yaparsa yapsın tek başına 3 garanti eder.

Avcı 2Avcı 1GeyikTavşanGeyikTavşan(4,4)(0,3)(3,0)(3,3)

En iyi tepkiler iki hücrede çakışır: (Geyik, Geyik) ve (Tavşan, Tavşan). Hangisi oynanacak?

Avcı 2Avcı 1GeyikTavşanGeyikTavşan(4,4)(0,3)(3,0)(3,3)

Üçüncü denge karışık: karşı taraf Geyik'i q ile seçiyorsa 4q = 3 ⇒ q = ¾. Geyik ancak ortağın ≥ %75 olasılıkla geleceğine inanılırsa en iyi tepkidir.

Avcı 2Avcı 1GeyikTavşanGeyikTavşan(4,4)(0,3)(3,0)(3,3)

Pareto baskınlık: (Geyik, Geyik) iki avcıya da daha çok verir (4 > 3) → verimlilik ölçütü onu seçer.

Avcı 2Avcı 1GeyikTavşanGeyikTavşan(4,4)(0,3)(3,0)(3,3)

Risk baskınlık (Harsanyi–Selten): sapma kayıpları çarpımı (G,G): (4−3)·(4−3) = 1; (T,T): (3−0)·(3−0) = 9 → (Tavşan, Tavşan) daha “güvenli”.

Oyuncu adları: satırda Avcı 1, sütunda Avcı 2; hücrede (Avcı 1, Avcı 2).

Varlık ve Denge Seçimi

Denge Seçimi: Hangisi Oynanır?

Pareto baskınlıkHerkesi daha iyi yapan dengeyi seç. Geyik Avı'nda (G, G). Güven gerektirir.
Risk baskınlıkKarşı tarafın ne yapacağından emin değilsen kayıp riski düşük olanı seç. Geyik Avı'nda (T, T).
Odak noktası (Schelling, 1960)Kültür, alışkanlık ya da belirginlik bir dengeyi öne çıkarır: “İstanbul'da buluşacaksak saat 12'de Taksim”.
Korelasyonlu denge (correlated equilibrium)Aumann (1974): ortak bir sinyal (trafik ışığı) oyuncuları dengelerden birine yönlendirir; kavşaktaki Tavuk oyununu çözer.
Öğrenme ve evrimTekrarlanan oyunda oyuncular deneyerek öğrenir; hangi dengeye varılacağı başlangıçtaki davranışa bağlıdır.
Adalet sorunuCinsiyetler Savaşı'nda saf dengelerin biri bir oyuncuyu, diğeri öbürünü kayırır; karışık denge ise ikisine de yalnızca 6/5 verir.

Varlık ve Denge Seçimi

Varsayımı Değiştir: Ya Bir Oyuncu Hata Yaparsa?

Mahkûmun İkilemi (eksi hapis yılı)
Sessizİhanet
Sessiz(−1, −1)(−3, 0)
İhanet(0, −3)(−2, −2)
Geyik Avı
GeyikTavşan
Geyik(4, 4)(0, 3)
Tavşan(3, 0)(3, 3)
Rakip ε olasılıkla niyet etmediği hamleyi yaparsa en iyi tepki değişir mi?
Mahkûmun İkilemi (eksi hapis yılı)
Sessizİhanet
Sessiz(−1, −1)(−3, 0)
İhanet(0, −3)(−2, −2)
Geyik Avı
GeyikTavşan
Geyik(4, 4)(0, 3)
Tavşan(3, 0)(3, 3)
Rakip ε olasılıkla niyet etmediği hamleyi yaparsa en iyi tepki değişir mi?
Mahkûmun İkilemi: değişmezRakip p olasılıkla Sessiz kalsın.
Sessiz: −1·p − 3·(1 − p) = 2p − 3
İhanet: 0·p − 2·(1 − p) = 2p − 2
İhanet her p için 1 yıl daha iyi.
Mahkûmun İkilemi (eksi hapis yılı)
Sessizİhanet
Sessiz(−1, −1)(−3, 0)
İhanet(0, −3)(−2, −2)
Geyik Avı
GeyikTavşan
Geyik(4, 4)(0, 3)
Tavşan(3, 0)(3, 3)
Rakip ε olasılıkla niyet etmediği hamleyi yaparsa en iyi tepki değişir mi?
Mahkûmun İkilemi: değişmezRakip p olasılıkla Sessiz kalsın.
Sessiz: −1·p − 3·(1 − p) = 2p − 3
İhanet: 0·p − 2·(1 − p) = 2p − 2
İhanet her p için 1 yıl daha iyi.
Geyik Avı: hata payına bağlıRakip q olasılıkla Tavşan'a kaçsın.
Geyik: 4·(1 − q)  ·  Tavşan: her durumda 3
Geyik ancak 4(1 − q) ≥ 3, yani q ≤ 1/4 iken en iyi tepki. q daha büyükse güvenli seçim risk baskın Tavşan'dır.
Baskın strateji dengesi hatalara dayanıklıdır, koordinasyon dengeleri değildir.

Varlık ve Denge Seçimi

Korelasyonlu Denge (Aumann, 1974): Kavşakta Trafik Işığı

Sürücü 2Sürücü 1KırDüz gitKır(0, 0)(−1, 1)Düz git(1, −1)(−10, −10)Saf dengeler: (Kır, Düz), (Düz, Kır)Karışık denge: kırma 9/10çarpışma 1/100, kazanç −1/10

Işıksız kavşağa iki sürücü aynı anda gelir: yol verir (Kır) ya da geçer (Düz git). Bu bir Tavuk oyunudur: iki saf denge birer sürücüyü kayırır; koordinasyon yoksa simetrik karışık dengede her sürücü 9/10 olasılıkla kırar, %1 çarpışma olur ve beklenen kazanç −1/10'dur.

Sürücü 2Sürücü 1KırDüz gitKır(0, 0)μ = 1/3(−1, 1)μ = 1/3Düz git(1, −1)μ = 1/3(−10, −10)μ = 0Işık 3 hücreden birini 1/3 ile seçer,her sürücüye YALNIZ kendiönerisini söyler.

Bir aracı (trafik ışığı) ortak olasılık dağılımı μ'den bir hücre çeker ve her sürücüye yalnız kendi önerisini fısıldar.

Sürücü 2Sürücü 1KırDüz gitKır(0, 0)μ = 1/3(−1, 1)μ = 1/3Düz git(1, −1)μ = 1/3(−10, −10)μ = 0S1'e “Kır” dendi ⇒ S2: Kır ½, Düz ½Uy (Kır): 0·½ + (−1)·½ = −½Sap (Düz): 1·½ + (−10)·½ = −4,5−½ > −4,5 ⇒ uymak iyi

Öneri “Kır” ise Bayes kuralıyla rakip ½–½ Kır/Düz; uymak (−½) sapmaktan (−4,5) iyidir.

Sürücü 2Sürücü 1KırDüz gitKır(0, 0)μ = 1/3(−1, 1)μ = 1/3Düz git(1, −1)μ = 1/3(−10, −10)μ = 0S1'e “Düz git” dendi ⇒ S2 kesin KırUy (Düz): 1 Sap (Kır): 01 > 0 ⇒ uymak iyiSürücü 2 için de simetrik.

Öneri “Düz git” ise rakibe kesin “Kır” denmiştir; uymak (1) sapmaktan (0) iyidir. Hiçbir öneriden sapmak kârlı değil ⇒ korelasyonlu denge.

Sürücü 2Sürücü 1KırDüz gitKır(0, 0)μ = 1/3(−1, 1)μ = 1/3Düz git(1, −1)μ = 1/3(−10, −10)μ = 0Korelasyonlu dengeKarışık NashSaf Nashışığın μ’sü burada, kazanç (0, 0)

Beklenen kazanç 0'ar (karışık dengedeki −1/10'dan iyi), çarpışma hiç yok. Her Nash dengesi bir korelasyonlu dengedir; tersi doğru değil. Korelasyonlu denge doğrusal programla polinom zamanda bulunur; ışık sürelerini yoğunluğa göre ayarlamak ise ayrı bir tasarım kararıdır.

Minimaks ve Karmaşıklık

Sıfır Toplamlı Oyun: Maksimin ve Minimaks

Sütun (min.)Satır (maks.)XYZABC435216520

Sıfır toplamlı: hücrede yalnızca satır oyuncusunun kazancı var; sütun oyuncusu aynı miktarı kaybeder (u2 = −u1).

Sütun (min.)Satır (maks.)XYZABC435216520satır min.310

Satır oyuncusu kötümser düşünür: her satırda rakibin ona bırakacağı en kötü değer: 3, 1, 0.

Sütun (min.)Satır (maks.)XYZABC435216520satır min.310

Maksimin = max(3, 1, 0) = 3 (satır A). Satır oyuncusu en az 3'ü garanti eder.

Sütun (min.)Satır (maks.)XYZABC435216520satır min.310sütun maks.536

Sütun oyuncusu da kötümser: her sütunda satır oyuncusunun alabileceği en yüksek değer: 5, 3, 6.

Sütun (min.)Satır (maks.)XYZABC435216520satır min.310sütun maks.536

Minimaks = min(5, 3, 6) = 3 (sütun Y). Sütun oyuncusu en fazla 3 kaybetmeyi garanti eder.

Sütun (min.)Satır (maks.)XYZABC435216520satır min.310sütun maks.536

Maksimin = minimaks = 3 ⇒ eyer noktası (A, Y): satırının en küçüğü, sütununun en büyüğü. Saf Nash dengesidir; oyunun değeri v = 3.

Minimaks ve Karmaşıklık

Eyer Noktası Yoksa: Penaltı Atışı

KaleciAtıcıSolSağSolSağ60959070min6070maks909504/1115060708090100p = P(atıcı Sol)gol %
  1. Satır min. 60, 70 → maksimin 70; sütun maks. 90, 95 → minimaks 90. 70 < 90: eyer noktası yok.
KaleciAtıcıSolSağSolSağ6095907004/1115060708090100p = P(atıcı Sol)gol %kaleci Solkaleci Sağ
  1. Satır min. 60, 70 → maksimin 70; sütun maks. 90, 95 → minimaks 90. 70 < 90: eyer noktası yok.
  2. Atıcı p ile Sol: kaleci Sol ⇒ 60p + 90(1−p) = 90 − 30p; kaleci Sağ ⇒ 95p + 70(1−p) = 70 + 25p.
KaleciAtıcıSolSağSolSağ6095907004/1115060708090100p = P(atıcı Sol)gol %kaleci Solkaleci Sağalt zarf
  1. Satır min. 60, 70 → maksimin 70; sütun maks. 90, 95 → minimaks 90. 70 < 90: eyer noktası yok.
  2. Atıcı p ile Sol: kaleci Sol ⇒ 60p + 90(1−p) = 90 − 30p; kaleci Sağ ⇒ 95p + 70(1−p) = 70 + 25p.
  3. Kaleci gol yüzdesini en aza indirir: atıcının garantisi iki doğrunun alt zarfı.
KaleciAtıcıSolSağSolSağ6095907004/1115060708090100p = P(atıcı Sol)gol %kaleci Solkaleci Sağalt zarfv ≈ 79,1
  1. Satır min. 60, 70 → maksimin 70; sütun maks. 90, 95 → minimaks 90. 70 < 90: eyer noktası yok.
  2. Atıcı p ile Sol: kaleci Sol ⇒ 60p + 90(1−p) = 90 − 30p; kaleci Sağ ⇒ 95p + 70(1−p) = 70 + 25p.
  3. Kaleci gol yüzdesini en aza indirir: atıcının garantisi iki doğrunun alt zarfı.
  4. Alt zarfın tepesi: 90 − 30p = 70 + 25p ⇒ p* = 4/11 ≈ 0,36, v = 870/11 ≈ %79,1.
KaleciAtıcıSolSağSolSağ6095907004/1115060708090100p = P(atıcı Sol)gol %kaleci Solkaleci Sağalt zarfv ≈ 79,1
  1. Satır min. 60, 70 → maksimin 70; sütun maks. 90, 95 → minimaks 90. 70 < 90: eyer noktası yok.
  2. Atıcı p ile Sol: kaleci Sol ⇒ 60p + 90(1−p) = 90 − 30p; kaleci Sağ ⇒ 95p + 70(1−p) = 70 + 25p.
  3. Kaleci gol yüzdesini en aza indirir: atıcının garantisi iki doğrunun alt zarfı.
  4. Alt zarfın tepesi: 90 − 30p = 70 + 25p ⇒ p* = 4/11 ≈ 0,36, v = 870/11 ≈ %79,1.
  5. Kaleci q ile Sol: 60q + 95(1−q) = 90q + 70(1−q) ⇒ q* = 5/11; kalecinin garantisi de %79,1 ⇒ maks-min = min-maks.

Örnek değerler (gerçek veride benzer yapı: Palacios-Huerta, 2003). Sol/Sağ atıcıya göredir.

Minimaks ve Karmaşıklık

Güvenlik Oyunları (Security Games): Rastgele Devriye

  • Sınırlı kaynakla çok sayıda hedef korunur: havalimanı, liman, orman devriyesi. Savunucu n hedeften k'sini korur: C(n, k) saf strateji; n = 20, k = 5 için 15.504.
  • Saldırgan devriye düzenini gözlemleyebilir: sabit düzen atlatılır, bu yüzden savunucu rastgeleleştirir. Los Angeles Havalimanı'nda ARMOR sistemi (2007) devriyeleri bu modelle planladı (Tambe, 2011).
Tek bekçi, iki hedef

Havalimanı H değeri 4, liman L değeri 2. Bekçi H'yi p, L'yi 1 − p olasılıkla korur; korunmayan hedefe saldıran değerini kazanır, korunana saldıran 0.

Eşitle: 4(1 − p) = 2p ⇒ p = 2/3; saldırganın kazancı 4/3. Bekçi hep H'yi korusa saldırgan L'den 2 alırdı.

01/32/3101234psaldırganın kazancı● p* = 2/3, kazanç 4/3H'ye saldır: 4(1 − p)L'ye saldır: 2phep H: 2

Minimaks ve Karmaşıklık

von Neumann Minimaks Teoremi (1928)

Her sonlu iki kişilik sıfır toplamlı oyunda   maxx miny xTAy = miny maxx xTAy = v
Denge = minimaks stratejileri(x*, y*) Nash dengesi ⇔ x* maksimin, y* minimaks stratejisi. Tüm dengelerde değer aynı: v.
Değiştirilebilirlikİki denge (x, y) ve (x′, y′) ise (x, y′) de dengedir: koordinasyon sorunu yok.
Doğrusal programlamaSatır oyuncusu, her sütuna karşı en az v alacağı x karışımını ve en büyük v'yi arar; bu bir doğrusal programdır ve bilgisayar hızlı çözer.
Öğrenme bağlantısıOyuncular geçmişte iyi giden stratejilerin ağırlığını artırarak öğrenirse ortalama stratejileri minimaksa yaklaşır.

Nash teoremi, minimaks teoreminin sıfır toplamlı olmayan n kişilik oyunlara genellemesi olarak görülebilir; ama genel oyunda değer tek değildir ve LP ile çözülemez.

Minimaks ve Karmaşıklık

Kod İzleme: maksimin(A) — 2 × n Sıfır Toplamlı

01/31/22/31024pX: 4pY: 3 − 2pZ: 2 + paday pg(p)

A = [[4, 1, 3], [0, 3, 2]]: satır oyuncusu p ile 1. satırı oynarsa her sütun bir doğru verir. Saf maksimin 1, minimaks 3: eyer noktası yok.

01/31/22/31024pX: 4pY: 3 − 2pZ: 2 + paday pg(p)0·1·

n = 3 sütun. Adaylar önce uç noktalar: p = 0 ve p = 1.

01/31/22/31024pX: 4pY: 3 − 2pZ: 2 + paday pg(p)0·1·1/2·

Sütun X ile Y: d = 6 ≠ 0 ⇒ doğrular p = 1/2'de kesişir, aday listesine eklenir.

01/31/22/31024pX: 4pY: 3 − 2pZ: 2 + paday pg(p)0·1·1/2·2/3·

Sütun X ile Z: d = 3 ≠ 0 ⇒ doğrular p = 2/3'te kesişir, aday listesine eklenir.

01/31/22/31024pX: 4pY: 3 − 2pZ: 2 + paday pg(p)0·1·1/2·2/3·1/3·

Sütun Y ile Z: d = −3 ≠ 0 ⇒ doğrular p = 1/3'te kesişir, aday listesine eklenir.

01/31/22/31024pX: 4pY: 3 − 2pZ: 2 + paday pg(p)0·1·1/2·2/3·1/3·

g(p) = minj [p·A[0][j] + (1 − p)·A[1][j]]: sütun oyuncusu her p'ye en kötü sütunla yanıt verir (alt zarf).

01/31/22/31024pX: 4pY: 3 − 2pZ: 2 + paday pg(p)001·1/2·2/3·1/3·

max, adayı dener: g(0) = 0. Şimdiye kadarki en iyi.

01/31/22/31024pX: 4pY: 3 − 2pZ: 2 + paday pg(p)00111/2·2/3·1/3·

max, adayı dener: g(1) = 1. Şimdiye kadarki en iyi.

01/31/22/31024pX: 4pY: 3 − 2pZ: 2 + paday pg(p)00111/222/3·1/3·

max, adayı dener: g(1/2) = 2. Şimdiye kadarki en iyi.

01/31/22/31024pX: 4pY: 3 − 2pZ: 2 + paday pg(p)00111/222/35/31/3·

max, adayı dener: g(2/3) = 5/3.

01/31/22/31024pX: 4pY: 3 − 2pZ: 2 + paday pg(p)00111/222/35/31/34/3

max, adayı dener: g(1/3) = 4/3.

01/31/22/31024pX: 4pY: 3 − 2pZ: 2 + pv = 2aday pg(p)00111/222/35/31/34/3

En büyük garanti p = 1/2'de: v = 2. Z sütununun doğrusu zarfın üstünde kalır: sütun oyuncusu Z'yi hiç oynamaz.

01/31/22/31024pX: 4pY: 3 − 2pZ: 2 + pv = 2aday pg(p)00111/222/35/31/34/3

Dönüş (1/2, 2). Minimaks tarafı: sütun oyuncusu X'i 1/3, Y'yi 2/3 ile oynarsa satır en fazla 2 alır ⇒ max-min = min-max = 2.

from fractions import Fraction as F
def maksimin(A):                  # A: 2 x n
    n, aday = len(A[0]), [F(0), F(1)]
    for j in range(n):
        for k in range(j + 1, n):
            d = A[0][j] - A[1][j] - A[0][k] + A[1][k]
            if d != 0:
                aday.append(F(A[1][k] - A[1][j], d))
    g = lambda p: min(p*a+(1-p)*b for a, b in zip(*A))
    p = max((c for c in aday if 0 <= c <= 1), key=g)
    return p, g(p)

Minimaks ve Karmaşıklık

Dengeyi Hesaplamak Ne Kadar Zor?

ProblemKarmaşıklıkYöntem / kaynak
Saf Nash dengesi (matris verili)PolinomEn iyi tepki işaretleme, O(mn)
İki kişilik sıfır toplamlı, karışıkPolinomDoğrusal programlama (minimaks)
İki kişilik genel oyun, karışıkPPAD-tamChen–Deng (2006)
Üç ve daha çok oyuncu, tam dengeFIXP-tamEtessami–Yannakakis (2007)
Üç ve daha çok oyuncu, ε-yaklaşık dengePPAD-tamDaskalakis–Goldberg–Papadimitriou (2006)
En yüksek refahlı denge / tek denge mi?NP-zorGilboa–Zemel (1989); Conitzer–Sandholm (2008)
  • Destek sayımı ve Lemke–Howson pratikte çalışır ama en kötü durumda üsteldir.
  • Üç oyunculu oyunlarda denge irrasyonel olabilir; bu yüzden ε-yaklaşık denge (sapmanın en çok ε kazandırdığı profil) aranır. İki kişilik oyunlarda dengeler rasyoneldir.
  • İleri okuma: son satır “özel bir dengeyi” aramanın zorluğudur. Sabit ε (ör. 0,1) için iki kişilik oyunlarda yarı-polinom algoritma vardır (Lipton–Markakis–Mehta, 2003); çok oyunculu oyunlarda PPAD-zor kalır (Rubinstein, 2015).

Minimaks ve Karmaşıklık

PPAD: Var Olduğu Bilinen Çözümü Bulmak

  • Nash dengesi her zaman vardır → “denge var mı?” sorusu önemsiz; NP-tamlık bu tür (çözümü garanti) problemler için uygun değildir.
  • PPAD (Papadimitriou, 1994): çözümün var olduğu kesin bilinen, ama bulmak için çok uzun bir yolu adım adım izlemek gerekebilen problemlerin sınıfı.
bilinen kaynakaranan uç = dengebaşka yollar
  • Benzetme: bir yolun başından yürüyüp sonunu aramak; yolun sonu kesin vardır, ama yol üstel uzunlukta olabilir.
  • Nash dengesi bulmak bu sınıftadır. Sonuç: genel oyunlarda denge verimli bulunamayabilir → oyuncular dengeyi “bulur” mu?

Minimaks ve Karmaşıklık

Pratikte: Yaklaşık Denge ve Hesaplama Araçları

  • ε-Nash dengesi: kazançlar [0, 1] aralığına ölçeklenmişken hiçbir oyuncu tek taraflı sapmayla ε'dan fazla kazanamaz. Gerçek zamanlı sistemler (reklam açık artırmaları, piyasalar) çoğu zaman buna yetinir.
  • Tam dengeyi bulmak zor olabilir, ama “neredeyse kimsenin sapmak istemediği” bir profil çoğu zaman hızlıca bulunur; az sayıda stratejiyi karıştıran basit profiller bile iyi yaklaşıklık verir.
  • İleri okuma: iki en iyi tepki ve bir yarı yarıya karıştırmayla kurulan ½-yaklaşık denge (Daskalakis–Mehta–Papadimitriou, 2006); küçük destekli ε-dengeler (Lipton–Markakis–Mehta, 2003).
import nashpy as nash
A = [[2, 2], [0, 4]]    # işçi: Çalış / Kaytar
B = [[1, 2], [-1, -4]]  # müdür: Denetle / Denetleme
oyun = nash.Game(A, B)
for x, y in oyun.support_enumeration():
    print(x, y)  # [0.75 0.25] [0.5 0.5]

Denetim oyunu Nashpy ile: destek sayımı p* = 3/4, q* = 1/2 dengesini verir. Gambit de aynı işi (destek sayımı, Lemke–Howson, LP) arayüzle yapar.

Nash dengesinin başka türleri de vardır; ör. korelasyonlu denge ve sıralı oyunlarda alt oyun mükemmel denge.

Özet

Tartışma: Denge, Adalet ve Rasyonellik

Denge adil mi?Hayır, gerekmez. Denge yalnızca karşılıklı en iyi tepkidir: Cinsiyetler Savaşı'nda kazançlar eşit değildir, Mahkûmun İkilemi'nde herkes için daha iyi bir sonuç vardır. Adalet ≠ denge.
İnsanlar rasyonel mi?Gerçek kararlar bilgi eksikliği, zaman baskısı, duygular ve sosyal normlardan etkilenir (sınırlı rasyonellik, Herbert Simon). Model, stratejik bağımlılığı incelemek için açık bir karşılaştırma noktasıdır.
Etik sınırlarAldatma, manipülasyon, adil olmayan avantaj… “Kazanmak için her yol mubah mı?” Stratejik davranışın sınırlarını kurallar ve kurumlar çizer — bu da mekanizma tasarımının konusudur.

Özet

Özet

KavramNe söyler?Nasıl bulunur?
Nash dengesiKimse tek başına sapmak istemezKarşılıklı en iyi tepki
Baskın strateji elemeRasyonel oyuncu baskılananı oynamazKesin baskılananları yinelemeli sil
Karışık dengeDestekteki stratejiler eşit kazandırırKayıtsızlık denklemleri
Varlık (Nash 1950)Sonlu oyunda karışık denge hep varKakutani / Brouwer sabit noktası
Çoklu dengeKuram tek sonucu seçmeyebilirPareto / risk baskınlık, odak noktası
Korelasyonlu dengeAracının önerisine uymak herkesin çıkarınaUyma kısıtları + doğrusal programlama
MinimaksSıfır toplamlıda maks-min = min-maks = vEyer noktası ya da LP
KarmaşıklıkGenel oyunda denge PPAD-tamLemke–Howson, destek sayımı

Özet

Kontrol Listesi: Bir Oyunu Adım Adım Çözmek

Hamleler görülüyor mu?Evet: sıralı oyungeriye doğru çıkarımHayır: matris1. Elekesin baskılananlar2. Altını çizsaf dengeler3. Kayıtsızlıkkarışık denge4. Doğrulasapma testi5. Say: genellikle tek sayıda denge
Önce okumaKim satır, kim sütun? Hücrede ilk sayı kimin? Sayılar kazanç mı, maliyet mi (yıl, dakika)?
Sonra yazmaHer dengeyi profil olarak yazın: (Orta, Sol) = (3, 5); karışıkta her iki oyuncunun olasılığını ve beklenen kazancı verin.

Özet

Kendini Sına (1/2)

Oyun ASolOrtaSağÜstAlt(3,1)(1,2)(2,0)(0,2)(2,3)(1,1)
Oyun BSolSağ
Üst(2, 1)(0, 0)
Alt(0, 0)(1, 2)
  1. Oyun A'da sütun oyuncusunun baskın stratejisi var mı?
  2. Oyun A'nın saf Nash dengelerini altını çizerek bulun.
  3. Oyun B'nin kaç dengesi vardır? Karışık dengede p = P(Üst) ve q = P(Sol) nedir?
  4. Oyun B'de karışık dengedeki beklenen kazançlar saf dengelerinkinden iyi mi?
Cevapları göster
  1. Evet: Orta. Üst satırında 2 > 1, 2 > 0; Alt satırında 3 > 2, 3 > 1.
  2. Satır en iyileri: Sol → Üst, Orta → Alt, Sağ → Üst; sütun en iyileri: Orta, Orta. Tek denge (Alt, Orta) = (2, 3).
  3. Üç: (Üst, Sol), (Alt, Sağ) ve karışık. Satır kayıtsız: 2q = 1 − q ⇒ q = 1/3; sütun kayıtsız: p = 2(1 − p) ⇒ p = 2/3.
  4. Hayır: karışıkta ikisi de 2/3 alır; saf dengelerde en az 1.

Özet

Kendini Sına (2/2)

Doğru mu, yanlış mı?

  1. Kesin baskılanan bir strateji bir Nash dengesinde oynanabilir.
  2. Karışık dengede satır oyuncusunun olasılığı kendi kazançlarından hesaplanır.
  3. Alt oyun mükemmel denge (oyun ağacında geriye doğru çıkarımla bulunan denge) her zaman bir Nash dengesidir.
  4. Üç oyunculu oyunda iki oyuncunun birlikte sapması da denenir.

Sıralı oyun

  1. Oyuncu 1 Sol ya da Sağ der. Sağ → oyun (1, 1) ile biter. Sol → Oyuncu 2, a → (3, 0) ya da b → (0, 2) seçer. Geriye doğru çıkarımla dengeyi ve sonucu bulun.
  2. Oyuncu 2 “Sol derse a seçerim” sözü verse, Oyuncu 1 buna güvenmeli mi?
Cevapları göster
  1. Yanlış: kesin baskılanan strateji hiçbir duruma en iyi tepki değildir.
  2. Yanlış: rakibini kayıtsız bırakmalıdır; rakibin kazançlarından hesaplanır.
  3. Doğru; tersi doğru değildir (inandırıcı olmayan tehditler).
  4. Yanlış: Nash dengesi yalnız tek taraflı sapmaya bakar.
  5. Oyuncu 2, Sol'dan sonra b seçer (2 > 0) → değer (0, 2). Oyuncu 1: Sağ 1 > 0. Denge (Sağ; b), sonuç (1, 1).
  6. Hayır: o anda a, Oyuncu 2'ye 0, b ise 2 verir; söz inandırıcı değildir.

Özet

Örnek Problemler

Oyun 1LMR
U(2, 1)(1, 2)(0, 0)
D(3, 0)(0, 1)(1, 3)
Oyun 2LR
U(4, 1)(0, 3)
D(1, 2)(2, 0)
  1. Oyun 1'in saf Nash dengelerini en iyi tepki işaretlemesiyle bulun.
  2. Oyun 2'nin karışık dengesini kayıtsızlık ilkesiyle bulun.
  3. Sıfır toplamlı A = [[3, −1, 2], [1, 0, 4], [−2, −3, 5]]: eyer noktası var mı? Değer?
  4. “Her Nash dengesi Pareto optimaldir.” Doğru mu?
  5. Varlık teoremi neden karışık stratejiler için ifade edilir?
  6. Cournot, P = 15 − Y, maliyet 0: Nash dengesindeki miktarlar? Üretimi eşit bölen kartelde her firma kaç üretir, kartel neden dengede değildir?
Cevapları göster
  1. Sütunlarda en iyi satır: D, U, D; satırlarda en iyi sütun: M, R. Dengeler: (U, M) ve (D, R).
  2. q = P(L): 4q = q + 2(1−q) ⇒ q = 2/5; p = P(U): p + 2(1−p) = 3p ⇒ p = 1/2.
  3. Maksimin = max(−1, 0, −3) = 0 = minimaks = min(3, 0, 5): eyer noktası (2. satır, 2. sütun), v = 0.
  4. Yanlış: Mahkûmun İkilemi'nde (İ, İ) dengedir ama (S, S) ikisine de daha iyidir.
  5. Saf denge olmayabilir (Yazı-Tura). Olasılıklar sürekli değişebildiği için sabit nokta teoremi karışık profillerde bir denge garanti eder.
  6. BR(y) = (15 − y)/2 ⇒ y* = 5, kâr 25; kartel (3,75'er) dengede değil: BR(3,75) = 5,625.

Özet

Alıştırmalar (1/2)

Oyun 1SolSağ
Üst(4, 3)(1, 2)
Alt(3, 1)(2, 4)
Oyun 2012
0(2, 5)(1, 3)(3, 1)
1(5, 2)(3, 3)(1, 2)
2(0, 0)(5, 5)(0, 0)
  1. Oyun 1'de baskın strateji var mı? Saf Nash dengelerini en iyi tepki işaretlemesiyle bulun.
  2. Oyun 2'de (satır i, sütun j) kesin baskılanan stratejileri yinelemeli olarak silin. Ne kalır? Saf Nash dengesiyle karşılaştırın.
  3. TKM'de rakip yarı yarıya Taş ve Kağıt oynuyor (hiç Makas yok). En iyi tepkiniz ve beklenen kazancınız nedir?
Cevapları göster
  1. Baskın strateji yok (satır: Sol'a Üst, Sağ'a Alt; sütun: Üst'e Sol, Alt'a Sağ). İki saf denge: (Üst, Sol) = (4, 3) ve (Alt, Sağ) = (2, 4).
  2. Silme sırası: sütun 2 (baskılayan: 1) → satır 0 (baskılayan: 1) → sütun 0 (baskılayan: 1) → satır 1 (baskılayan: 2). Kalan hücre (2, 1) = (5, 5); aynı zamanda tek saf Nash dengesi.
  3. E[Taş] = −1/2, E[Kağıt] = +1/2, E[Makas] = 0 → hep Kağıt, beklenen kazanç +1/2.

Özet

Alıştırmalar (2/2)

  1. Sıfır toplamlı A = [[3, 1, 4], [2, 0, 1], [5, 2, 3]] ve B = [[0, 2], [3, 1]] matrislerinde maksimin ve minimaksı bulun. Hangisinde eyer noktası var?
  2. (X, X) = (4, 1), (Y, Y) = (1, 4), diğer hücreler (0, 0). Karışık dengede p* = P(satır X), q* = P(sütun X) ve buluşamama olasılığı nedir?
  3. Tavuk'ta çarpışma −10 yerine −20 olsaydı karışık dengede kırma ve çarpışma olasılıkları ne olurdu?
  4. Geyik Avı'nda (geyik 4, tavşan 3) tavşan 3 yerine 2 kazandırsaydı karışık dengede geyik olasılığı ne olurdu? Güven kolaylaşır mı?
Cevapları göster
  1. A: satır min'leri 1, 0, 2 → maksimin 2; sütun max'ları 5, 2, 4 → minimaks 2: eyer noktası (3. satır, 2. sütun), değer 2. B: maksimin 1 < minimaks 2, eyer yok; satır 1/2–1/2 karıştırınca değer 3/2.
  2. Satır kayıtsız: 4q = 1 − q ⇒ q* = 1/5; sütun kayıtsız: p = 4(1 − p) ⇒ p* = 4/5. Buluşamama (4/5)(4/5) + (1/5)(1/5) = 17/25 = %68.
  3. Çarpışma bedeli k iken kırma olasılığı (k − 1)/k = 19/20; çarpışma (1/20)² = 1/400.
  4. 4q = 2 ⇒ q* = 1/2 (önceki 3/4): ortağın gelme olasılığı %50 olması yeter; güven kolaylaşır.

Özet

Etkileşimli Oyunlar ve Laboratuvarlar

Matris ve Nash LaboratuvarıHerhangi bir matriste en iyi tepkiler ve dengeler.
Nashpy ve GambitDengeyi bilgisayarla bulma: destek sayımı, Lemke–Howson.
Albay BlottoBirlik dağıtma: saf dengesi olmayan sıfır toplamlı oyun.
Mahkûmun İkilemiBaskın strateji ve denge simülatörü.
Taş-Kağıt-MakasKarışık denge: 1/3–1/3–1/3.

Özet

Kaynaklar

  • J. F. Nash, “Equilibrium points in n-person games”, PNAS 36(1), 1950; “Non-cooperative games”, Annals of Mathematics 54(2), 1951.
  • J. von Neumann, “Zur Theorie der Gesellschaftsspiele”, Mathematische Annalen 100, 1928.
  • M. J. Osborne, An Introduction to Game Theory, Oxford University Press, 2004 (Bölüm 2–4).
  • N. Nisan, T. Roughgarden, É. Tardos, V. Vazirani (ed.), Algorithmic Game Theory, Cambridge, 2007 (Bölüm 1–3).
  • T. Roughgarden, Twenty Lectures on Algorithmic Game Theory, Cambridge, 2016 (Ders 13, 18 ve 20).
  • C. Daskalakis, P. Goldberg, C. Papadimitriou, “The complexity of computing a Nash equilibrium”, SIAM J. Computing 39(1), 2009.
  • K. Etessami, M. Yannakakis, “On the complexity of Nash equilibria and other fixed points”, SIAM J. Computing 39(6), 2010 · R. J. Lipton, E. Markakis, A. Mehta, “Playing large games using simple strategies”, ACM EC, 2003 · A. Rubinstein, “Inapproximability of Nash equilibrium”, STOC, 2015.

Özet

Kaynaklar (2/2)

  • J. C. Harsanyi, R. Selten, A General Theory of Equilibrium Selection in Games, MIT Press, 1988.
  • A. R. Karlin, Y. Peres, Game Theory, Alive, AMS, 2017 (sıfır toplamlı ve genel oyunlar, Nash teoremi).
  • D. Easley, J. Kleinberg, Networks, Crowds, and Markets, Cambridge, 2010 (Bölüm 6: Oyunlar).
  • M. Tambe, Security and Game Theory, Cambridge University Press, 2011 (güvenlik oyunları, ARMOR).
  • D. Sally, “Conversation and cooperation in social dilemmas: a meta-analysis of experiments from 1958 to 1992”, Rationality and Society 7(1), 1995 · R. Wilson, “Computing equilibria of n-person games”, SIAM J. Applied Mathematics 21, 1971.
  • Ders sayfaları: Roughgarden CS364A · Shah CSC304 · Araçlar: Gambit, Nashpy · Video: Game Theory 101

Son

Bölüm 3: Nash Dengesi
Sonraki bölüm: Bölüm 4: Mekanizma Tasarımı
Çalışma soruları · Terim sözlüğü
1 / 1 Sercan KÜLCÜ, Tüm hakları saklıdır.