s* profili ne zaman Nash dengesidir?

Nash dengesi tek taraflı sapmaya karşı kararlılıktır. A şıkkı Pareto optimalliği, D şıkkı toplam refahı tanımlar; baskın strateji dengesi ise daha güçlü, özel bir durumdur.

Mahkûmun İkilemi'nin tek dengesi (İhanet, İhanet)'tir ama (Sessiz, Sessiz) ikisine de daha iyidir. Bu ne gösterir?

Denge yalnızca karşılıklı en iyi tepkidir; kararlılık ≠ verimlilik. (Sessiz, Sessiz) denge değildir çünkü her oyuncu İhanet'e sapınca kazanır.

Hücrelerde (u₁, u₂). Saf Nash dengeleri hangileridir?

Sütunlarda en iyi satır: L→U, C→D, R→U; satırlarda en iyi sütun: U→R, D→C. İki işaretin çakıştığı hücreler (U, R) ve (D, C). (U, L)'de satır oyuncusu en iyidir ama sütun oyuncusu R'ye sapar.

Cournot duopolü: P = 18 − (q₁ + q₂), maliyet 0. Nash dengesinde her firma kaç birim üretir?

BR_i(q_j) = (18 − q_j)/2; simetrik kesişim q = (18 − q)/2 ⇒ q* = 6, fiyat 6, kâr 36. 4,5 kartel (tekel miktarının yarısı), 9 tek başına tekel miktarıdır.

En iyi tepki dinamiği: BR(q) = (12 − q)/2, başlangıç (q₁, q₂) = (0, 0). Önce 1. firma, sonra 2. firma uyum sağlarsa ilk turdan sonra profil nedir?

1. firma BR(0) = 6 seçer; 2. firma bu yeni miktara tepki verir: BR(6) = 3. Sıralı uyumda ikinci firma ilkinin güncel miktarını görür; (4, 4) ancak sonunda yakınsanan dengedir.

Cournot örneğinde (P = 12 − Q) kartel profili (3, 3) her firmaya 18 verir. Neden denge değildir?

BR(3) = 4,5 ve 4,5 · (12 − 7,5) = 20,25 > 18: tek taraflı sapma kârlıdır. Kartel ikisine de dengeden (16) fazla verir; sorun kendini doğrulamamasıdır.

Kesin ve zayıf baskılama için hangisi doğrudur?

Kesin eleme güvenlidir; zayıf eleme denge kaybettirebilir ve sıraya bağlı olabilir. Cinsiyetler Savaşı'nda hiçbir strateji baskılanmaz, yani eleme her zaman tek hücreye inmez.

Yinelemeli kesin eleme sonunda hangi hücre kalır?

R, C'yi kesin baskılar (2 > 1, 6 > 4, 8 > 6) → C elenir. Sonra T, M ve B'yi baskılar (4 > 2, 3; 6 > 3, 2). T satırında L (3) > R (2) → (T, L). En yüksek sayılar (B, C)'de olsa da C ilk adımda elenir.

Satır: Üst = (1, 1), (0, 1); Alt = (1, 1), (1, 1) (sütunlar Sol, Sağ). Kaç saf Nash dengesi vardır?

(Üst, Sol), (Alt, Sol), (Alt, Sağ) dengedir; (Üst, Sağ)'da satır Alt'a geçip 1 alır. Alt, Üst'ü yalnızca zayıf baskılar: Üst silinirse (Üst, Sol) dengesi kaybolur.

Kayıtsızlık ilkesine göre 2×2 bir oyunun karışık dengesinde satır oyuncusunun karışım olasılığı nasıl bulunur?

Dengede rakip karıştırıyorsa iki saf stratejisi ona aynı beklenen kazancı vermelidir; bu eşitlik satır oyuncusunun olasılığını belirler. Şaşırtıcı sonuç: kendi kazançların rakibinin karışımını belirler.

Hücrelerde (u₁, u₂); saf denge yok. Karışık dengede p = P(U) kaçtır?

Sütun oyuncusu kayıtsız olmalı: E[L] = p + 3(1 − p), E[R] = 2p ⇒ 3 − 2p = 2p ⇒ p = 3/4. 1/2 ise q = P(L)'dir (3q = 2 − q); karıştırmamak gerekir.

Denetim oyununda yakalanan kaytarıcının cezası sertleşince denetim olasılığı q* 1/2'den 1/3'e iner. İşçinin çalışma olasılığı p* ne olur?

p* müdürü kayıtsız bırakan olasılıktır; ceza yalnızca işçinin kazancını değiştirir, bu da müdürün karışımını (q*) etkiler. Sezgiye aykırı ama kayıtsızlık ilkesinin doğrudan sonucudur.

Nash'in varlık teoremi her sonlu oyun için neyi garanti eder?

Kakutani/Brouwer sabit nokta teoremiyle karışık profiller kümesinde bir sabit nokta vardır. Saf denge olmayabilir (Yazı-Tura), denge tek olmayabilir ve Pareto optimal olması gerekmez.

Geyik Avı: ikisi de Geyik avlarsa 5'er alır; Tavşan avlayan karşı taraftan bağımsız 2 alır, yalnız Geyik'e giden 0 alır. Geyik'in en iyi tepki olması için ortağın Geyik olasılığı en az kaç olmalı?

Geyik'in beklenen kazancı 5q, Tavşan'ınki 2: 5q ≥ 2 ⇒ q ≥ 2/5. Bu sayılarla sapma kayıpları çarpımı (G, G) için 9, (T, T) için 4'tür; yani (Geyik, Geyik) hem Pareto hem risk baskındır.

Trafik ışığı (Tavuk oyunu) üç hücreyi 1/3'er olasılıkla önerir: (Kır, Kır), (Kır, Düz), (Düz, Kır). “Kır” önerisi alan sürücü için rakibin “Düz” önerisi alma olasılığı nedir?

“Kır” önerisi iki hücrede çıkar: (Kır, Kır) ve (Kır, Düz). Bayes kuralıyla bunlar eşit olasılıklıdır, rakip ½ Düz alır. Uymak −½, sapmak −4,5 verir; uymak daha iyidir.

“İstanbul'da buluşacaksak saat 12'de Taksim” örneğinde dengeyi seçtiren ölçüt hangisidir?

Kültür, alışkanlık ya da belirginlik bir dengeyi öne çıkarır: odak noktası. Korelasyonlu dengede bir aracı oyunculara özel öneriler verir; burada aracı yoktur.

Sıfır toplamlı oyunda satır oyuncusunun kazançları A = [[2, 5, 1], [4, 6, 3], [0, 7, 2]]. Hangisi doğrudur?

Satır minimumları 1, 3, 0 → maksimin 3; sütun maksimumları 4, 7, 3 → minimaks 3. Eşit oldukları için (2, 3) hücresi satırının en küçüğü, sütununun en büyüğüdür: v = 3.

Sıfır toplamlı A = [[3, −1], [−2, 2]] (satırın kazancı). Satır oyuncusu 1. satırı p ile oynar. Minimaks stratejisi ve oyunun değeri nedir?

Eyer noktası yok (maksimin −1 < minimaks 2). 3p − 2(1 − p) = −p + 2(1 − p) ⇒ 5p − 2 = 2 − 3p ⇒ p = 1/2, v = 1/2. 3/8, sütun oyuncusunun 1. sütun olasılığıdır.

Minimaks teoremine göre sıfır toplamlı bir oyunda (x, y) ve (x′, y′) iki Nash dengesiyse hangisi doğrudur?

Değiştirilebilirlik: denge stratejileri maksimin/minimaks stratejileridir, karıştırılarak eşleşebilir; değer v tektir. Bu yüzden sıfır toplamlı oyunda koordinasyon sorunu yoktur.

İki kişilik genel (sıfır toplamlı olmayan) bir oyunda karışık Nash dengesi bulma probleminin karmaşıklığı nedir?

Chen–Deng (2006): PPAD-tam. Denge her zaman var olduğu için “var mı?” sorusu önemsizdir; NP-tamlık bu tür problemlere uymaz. LP ile polinom çözüm sıfır toplamlı oyunlar içindir.