Giriş

Oyunla Başlangıç: YZ'ye Karşı XOX

Giriş

Öğrenme Çıktıları

Oyun Ağacı

Oyun Ağacı: Konumlar ve Hamleler

Oyun Ağacı

Yapraklar ve Fayda

Oyun Ağacı

Dallanma Etkeni ve Derinlik

• Dallanma etkeni b: bir konumdaki yasal hamle sayısı (ortalama ya da en çok). Derinlik d: oyunun yarım hamle cinsinden uzunluğu.
• Her düğümün b çocuğu varsa d derinlikte b^d yaprak olur: ağaç boyutu ≈ b^d. Derinlik bir artınca iş b katına çıkar.

Minimaks

Minimaks Değeri

minimaks(s) =
  fayda(s)                        s oyun sonuysa
  max  minimaks(sonuç(s, a))      sıra MAX'taysa
   a
  min  minimaks(sonuç(s, a))      sıra MIN'deyse
   a

Minimaks

Kökün Değeri Ne Olur?

Üç katmanlı ağaçta kök MAX, ikinci katman MIN, üçüncü katman MAX. Kökün değeri kaçtır ve MAX hangi hamleyi seçer?

Minimaks

Minimaks Adım Adım

Turuncu: şu an işlenen düğüm · kırmızı çerçeve: yığındaki düğümler · gri sayı: henüz kesinleşmemiş değer · kalın kenar: kökün seçtiği hamle.

Minimaks

Kod İzleme: Minimaks Fonksiyonu

from math import inf
T = {"A": ["B", "C", "D"], "B": [3, 5],
     "C": [2, 9], "D": [6, 4]}
def minimaks(n, maks):
  if isinstance(n, int):        # yaprak
    return n
  deger = -inf if maks else inf
  for c in T[n]:
    v = minimaks(c, not maks)
    if maks:
      deger = max(deger, v)
    else:
      deger = min(deger, v)
  return deger
print(minimaks("A", True))

Minimaks

Minimaks, Geriye Doğru Çıkarım ve Maksimin

Minimaks

Minimaksın Varsayımı: Hatasız Rakip

Nim

Nim'in Oyun Ağacı

Sırası gelen tek bir yığından en az bir jeton alır, son jetonu alan kazanır. Düğümde yığın boyları; +1: A (ilk oynayan) kazanır. Nim oyunu →

Nim

P ve N Konumları = Minimaks Değeri

Nim

Minimaks ve Bouton'un XOR Kuralı

Bouton (1901): konum P'dir ⇔ yığınların nim toplamı (XOR) 0'dır. Kazandıran hamle XOR'u 0 yapan hamledir. Minimaksın tam ağaçta bulduğu hamleyle karşılaştırma:

XOX'ta Minimaks

XOX'ta Değer Ölçeği ve Derinlik Cezası

XOX'ta Minimaks

XOX Laboratuvarı

Bir kareye tıklanınca boş → X → O → boş döner; böylece istenen konum kurulur. Sayılar X'in gözünden minimaks değeri: MAX (X) en büyüğü, MIN (O) en küçüğü seçer; turuncu kare seçimdir. Gerekçe değerlerden sonra kurallarla açıklanır.

XOX'ta Minimaks

Hamlenin Gerekçesi

XOX'ta Minimaks

Orta Oyun Konumunun Tam Ağacı

XOX'ta Minimaks

Boş Tahtanın Değeri: Beraberlik

Alfa-Beta Budaması

Bazı Dalları Okumaya Gerek Yok

Alfa-Beta Budaması

α ve β

• Her düğüm [α, β] aralığını ebeveyninden alır ve çocuklarına aynen aktarır; ebeveyne geri dönen yalnız değerdir.
• Bir düğümün değeri bu aralığın dışına düşerse sonucu etkilemez: α'dan küçükse MAX onu seçmez, β'dan büyükse MIN onu seçmez.
• Aralık boşalırsa (α ≥ β) düğümün kalan çocuklarına bakmaya gerek kalmaz.

Alfa-Beta Budaması

Budama Koşulu: α ≥ β

İki durum aynı koşuldur: α ≥ β. Bazı kitaplar MIN düğümündekine α kesmesi, MAX düğümündekine β kesmesi der.

Alfa-Beta Budaması

Budama Sonucu Neden Değiştirmez?

• Alfa-beta, [α, β] aralığıyla çağrıldığında şunu sağlar (v gerçek minimaks değeri, r döndürülen değer):

• Kök (−∞, +∞) aralığıyla çağrılır; v bu aralığın her zaman içindedir, bu yüzden kökün değeri kesindir.
• Budanan bir dalın gerçek değeri ne olursa olsun, ebeveynin max ya da min işleminin sonucunu değiştiremez: MAX için ≤ α olan bir değer α'yı geçemez, MIN için ≥ β olan bir değer β'nın altına inemez.
• İç düğümlerde döndürülen sayı bir sınır olabilir; kökte seçilen hamle yine minimaksın seçtiği hamledir.

Alfa-Beta Budaması

Alfa-Beta Adım Adım

Düğümün solunda [α, β] aralığı, sağında değeri · kesik çizgi ve soluk düğüm: budanan dal · sayaç: değerlendirilen yaprak.

Alfa-Beta Budaması

Minimaks ve Alfa-Beta: Aynı Ağaç

Alfa-Beta Budaması

Kod İzleme: Alfa-Beta Fonksiyonu

from math import inf
T = {"A": ["B", "C", "D"], "B": [3, 5],
     "C": [2, 9], "D": [6, 4]}
def alfabeta(n, a, b, maks):
  if isinstance(n, int):        # yaprak
    return n
  deger = -inf if maks else inf
  for c in T[n]:
    v = alfabeta(c, a, b, not maks)
    if maks:
      deger = max(deger, v); a = max(a, deger)
    else:
      deger = min(deger, v); b = min(b, deger)
    if a >= b:
      break                  # budama
  return deger
print(alfabeta("A", -inf, inf, True))

Alfa-Beta Budaması

Elle Alfa-Beta: Soru

Alfa-Beta Budaması

Elle Alfa-Beta: Çözüm

Hamle Sıralaması

Hamle Sıralaması

b = 35 (satranç ortalaması) için okunan yaprak sayısı.

Hamle Sıralaması

Sıralama Laboratuvarı

Derinlik 3, dallanma 3: 27 yaprak. Düğme yalnız çocukların sırasını değiştirir (ağaç aynı ağaçtır); alfa-beta her seferinde baştan çalışır. Soluk yapraklar ve kesik kenarlar budanan dallardır. En iyi sırada 11 yaprak okunur, en kötü sırada budama hiç olmaz.

XOX'ta Alfa-Beta

XOX'ta Alfa-Beta: Düğüm Sayıları

• Sayılar sayfa açılınca bu tarayıcıda hesaplanır; derinlik cezalı ölçek kullanılır. ±1 ölçeğiyle alfa-beta 18.297 ve 7.275 düğüm ziyaret eder: budama değer ölçeğine de bağlıdır.
• İyi sıralama düğüm sayısını 2,7 kat azaltır; minimaksa göre kazanç yaklaşık 70 kattır.
• Geçiş tablosu aynı konumu ikinci kez aramaz; alfa-betayla birlikte kullanıldığında tabloya değerin kesin mi, sınır mı olduğu da yazılır.

Dörtlü Bağla

Dörtlü Bağla: Tam Arama Neden Olmaz?

Dörtlü Bağla

Derinlik Sınırlı Arama

H(s, d) =
  fayda(s)            s oyun sonuysa
  E(s)                d = 0 ise
  max  H(sonuç(s, a), d − 1)   MAX
   a
  min  H(sonuç(s, a), d − 1)   MIN
   a

Dörtlü Bağla

Değerlendirme Fonksiyonu

E(s) = Σ p(w) + 3 · (Korta − Morta)

Dörtlü Bağla

Ufuk Etkisi

Dörtlü Bağla

Laboratuvardaki Arama

def alfabeta(s, d, a, b, maks):
  if s.bitti():                # oyun sonu
    return s.fayda()           # ±(1000 − k) ya da 0
  if d == 0:
    return E(s)                # değerlendirme
  deger = -inf if maks else inf
  for m in sirala(s.hamleler()):
    v = alfabeta(s.oyna(m), d-1, a, b, not maks)
    if maks:
      deger = max(deger, v); a = max(a, deger)
    else:
      deger = min(deger, v); b = min(b, deger)
    if a >= b:
      break
  return deger

def en_iyi_hamle(s, d):     # kök: MAX
  a, en = -inf, None
  for m in sirala(s.hamleler()):
    v = alfabeta(s.oyna(m), d-1,
                 a, inf, False)
    if v > a:
      a, en = v, m
  return en

Dörtlü Bağla

Dörtlü Bağla Laboratuvarı

Sütun düğmesine tıklanınca insan oyuncunun taşı düşer. Düğmelerdeki sayılar YZ'nin gözünden o sütunun minimaks puanı; turuncu sütun seçimdir. Derinlik 1–7 arası. Dörtlü Bağla oyunu →

Dörtlü Bağla

Ortadan Dışa Sıralamanın Etkisi

• Boş tahtadan aramada ziyaret edilen düğüm sayısı; sayılar sayfa açılınca bu tarayıcıda yeniden hesaplanır.
• Minimaks yaklaşık 7^d ile büyür. Alfa-beta derinlik 7'de soldan sağa sırayla 14 kat, ortadan dışa (4, 3, 5, 2, 6, 1, 7) sırayla 189 kat az düğüm ziyaret eder.
• Kök değeri üç yöntemde de aynı: sıra yalnız maliyeti değiştirir. Orta sütun en çok dörtlüye girdiği için iyi hamleler çoğunlukla ortadadır; önce onlar denenince α ve β erken daralır.

Dörtlü Bağla

Yinelemeli Derinleştirme ve Geçiş Tablosu

Kapanış

Sık Yapılan Hatalar

Kapanış

Gerçek Dünyada Oyun Ağacı Araması

Kapanış

Özet

Kapanış

Kaynaklar

• S. Russell, P. Norvig, Artificial Intelligence: A Modern Approach, 4. baskı, Pearson, 2020 (Bölüm 5: Adversarial Search and Games).
• D. E. Knuth, R. W. Moore, “An analysis of alpha-beta pruning”, Artificial Intelligence 6(4), 293–326, 1975.
• C. E. Shannon, “Programming a computer for playing chess”, Philosophical Magazine 41(314), 1950.
• J. von Neumann, “Zur Theorie der Gesellschaftsspiele”, Mathematische Annalen 100, 1928 · H. W. Kuhn, “Extensive games and the problem of information”, Contributions to the Theory of Games II, 1953.
• C. L. Bouton, “Nim, a game with a complete mathematical theory”, Annals of Mathematics 3, 1901–1902.
• L. V. Allis, A Knowledge-Based Approach of Connect-Four, yüksek lisans tezi, Vrije Universiteit Amsterdam, 1988 · J. Tromp, John's Connect Four Playground (konum sayısı).
• J. Tromp, G. Farnebäck, “Combinatorics of Go”, Computers and Games, 2016.
• A. L. Zobrist, “A new hashing method with application for game playing”, Tech. Rep. 88, University of Wisconsin, 1970.
• M. Campbell, A. J. Hoane, F. Hsu, “Deep Blue”, Artificial Intelligence 134, 57–83, 2002.
• R. Coulom, “Efficient selectivity and backup operators in Monte-Carlo tree search”, Computers and Games, 2006 · L. Kocsis, C. Szepesvári, “Bandit based Monte-Carlo planning”, ECML, 2006.
• D. Silver vd., “Mastering the game of Go with deep neural networks and tree search”, Nature 529, 484–489, 2016.