Bölüm 4: Mekanizma Tasarımı

Algoritmik Oyun Kuramı

Sosyal seçim fonksiyonuDoğrudan mekanizmaAçıklama ilkesiTeşvik uyumluluğuMyerson lemmasıVCGGale–ShapleyMedyan mekanizmasıTTCBayesçi oyunlar

Sercan KÜLCÜ · Giresun Üniversitesi · Bilgisayar Mühendisliği

Temel Kavramlar

Oyunla Başlangıç: Ültimatom Oyunu

Oyunun kuralı

Teklif eden 10 jetonu bölüşür ve yanıtlayana bir pay önerir; yanıtlayan kabul ederse bölüşüm uygulanır, reddederse ikisi de 0 alır.

Merak sorusu

Yanıtlayan siz olsaydınız 1 jetonluk teklifi kabul eder miydiniz?
Teklif eden siz olsaydınız kaç jeton önerirdiniz?

Ültimatom Oyunu →

Temel Kavramlar

Öğrenme Çıktıları

Kavramlar

Sosyal seçim fonksiyonu, doğrudan mekanizma, açıklama ilkesi ve Bayes–Nash dengesini açıklamak.

Teşvik analizi

Bir mekanizmanın teşvik uyumlu (IC) ve bireysel rasyonel (IR) olup olmadığını sınamak.

VCG hesabı

Verimli sonucu ve her oyuncunun VCG ödemesini “o olmasaydı” refahıyla hesaplamak.

Parasız tasarım

Gale–Shapley ile kararlı eşleştirme, TTC ile takas bulmak; medyan mekanizmasının neden stratejiye dayanıklı olduğunu göstermek.

Temel Kavramlar

Mekanizma Tasarımı Nedir?

Oyun kuramının “ters” yaklaşımı: oyun verilmez, oyunu biz kurarız.
İstenen sonuç için kurallar (kim ne alır, kim ne öder) tasarlanır.
Zorluk: oyuncuların özel bilgisi (değer, tercih, maliyet) tasarımcıdan gizlidir.
Amaç: bencil ve stratejik oyuncular kendi çıkarını gözetirken bile istenen sonuca ulaşmak.
Örnekler: vergiler, ihaleler, seçim sistemleri, okul yerleştirme, reklam açık artırmaları.

2007 Nobel Ekonomi Ödülü: Hurwicz, Maskin ve Myerson — “mekanizma tasarımı kuramının temellerini attıkları için”. 2012'de Roth ve Shapley kararlı eşleştirme ve piyasa tasarımı çalışmalarıyla ödüllendirildi.

Temel Kavramlar

Oyun Kuramı ve Mekanizma Tasarımı

Oyun kuramı: Kurallar → Sonuç. Mekanizma tasarımı: Sonuç → Kurallar. Tasarımcı oyuncuları zorlayamaz; yalnızca kuralları seçer.

Temel Kavramlar

Teşvikler (Incentives)

İnsanlar teşviklere göre davranır

Kurallar belli bir davranışı kârlı yaparsa oyuncular o davranışa yönelir.

İyi bir mekanizma

Dürüst davranışı ödüllendirir, stratejik yalanı caydırır: teşvik uyumluluğu (incentive compatibility).

Beleşçi (free-rider) sorunu

Kamu malı finansmanında herkes katkısını düşük gösterip başkalarının ödemesinden yararlanmak ister.

Stratejik oy

Seçmen gerçek tercihi yerine kazanma şansı olan adaya oy verebilir.

Teşvik uyumsuzluğu → yanlış bilgi → verimsiz ya da adil olmayan sonuçlar.

Temel Kavramlar

Gerçek Hayat Uygulamaları

Vergi sistemleri

Gelir beyanı özel bilgidir; denetim ve oranlar dürüst beyanı teşvik etmelidir.

Kamu malı finansmanı

Park, yol, kütüphane: kim ne kadar ödemeli, proje yapılmalı mı?

İhale ve açık artırmalar

Kamu alımları, frekans lisansları, sanat eserleri.

Çevrim içi reklam

Her arama sorgusunda milisaniyeler içinde çalışan reklam açık artırmaları.

Eşleştirme piyasaları

Okul yerleştirme, tıp ihtisası, yurt odası değişimi: para yok, kurallar var.

Grup proje notlama

Öğrenciler katkılarını kendileri bildirirse notlama kuralı abartmayı caydırmalıdır.

Doğrudan Mekanizmalar

Sosyal Seçim Fonksiyonu (Social Choice Function)

Her oyuncunun bir tipi θ_i ∈ Θ_i vardır: değeri, tercihi, maliyeti. Tip özel bilgidir.
Olası sonuçlar kümesi O (ör. nesneyi kim alır, hangi proje yapılır).
Sosyal seçim fonksiyonu f : Θ₁ × … × Θ_n → O, her tip profiline “istenen” sonucu atar.
Sorun: tasarımcı θ'yı bilmez; f(θ)'yı uygulamak için oyunculardan bilgi alması gerekir.

Verimli seçim: f(θ) = en yüksek değerli oyuncu → Cem. Ama herkes “benim değerim 1000” derse?

Mekanizma tasarımının sorusu: f'yi, oyuncular kendi çıkarlarını gözetirken de uygulayan kurallar var mı?

Doğrudan Mekanizmalar

Doğrudan Mekanizma (Direct Mechanism)

Doğrudan mekanizmada katılımcılar özel bilgilerini (tiplerini) bildirir: b_i (bildirim; yalan olabilir).
Mekanizma bu bildirimlerden sonucu x(b) ve ödemeleri p(b) hesaplar. Yarı doğrusal fayda: u_i = v_i(x) − p_i (v_i: tipi θ_i olan oyuncunun değerlemesi; tek nesnede v_i = θ_i).
Dolaylı mekanizmada ise strateji başka bir şeydir: artırmada el kaldırmak, sırayla teklif vermek…

Doğrudan Mekanizmalar

Açıklama İlkesi (Revelation Principle)

Bir sonuç dolaylı bir mekanizmada denge olarak uygulanabiliyorsa, uygun koşullarda dürüst bildirimin denge olduğu doğrudan bir mekanizma da aynı sonucu uygulayabilir.
Neden? Yalan söylemek, M'de denge dışı bir strateji oynamakla aynıdır; dengede bu kârlı değildi.
Örnek: İngiliz açık artırmasında herkes değerine kadar kalır. Tasarımcı “değerini yaz, senin yerine ben kalayım” derse doğrudan bir mekanizma (ikinci fiyat) çıkar ve dürüst yazmak en iyisidir.
İlke dürüst bildirimin baskın strateji olduğunu her durumda söylemez: kullanılan denge kavramına (baskın strateji / Bayes–Nash) göre teşvik koşulu değişir.

Doğrudan Mekanizmalar

Teşvik Uyumluluğu (IC) ve Bireysel Rasyonellik (IR)

Baskın stratejide teşvik uyumlu (DSIC)

Gerçek tipi θ_i olan oyuncu için doğruyu söylemenin faydası ≥ b_i yalanını söylemenin faydası (diğerleri ne bildirirse bildirsin):

u_i(θ_i; θ_i, b_−i) ≥ u_i(θ_i; b_i, b_−i)

Bayesçi teşvik uyumlu (BIC)

Diğerleri doğruyu söylerken, tiplerin dağılımına göre beklenen faydada doğruyu söylemek en iyisidir. DSIC ⇒ BIC.

Bireysel rasyonellik (IR)

Katılım, oyuncuya sistemin dışında kalmaktan daha düşük fayda vermemelidir:

u_i(θ_i; θ_i, b_−i) ≥ 0 (dürüst bildirimde)

Değer 10, rakip teklif 6. Kazananın kendi teklifini ödediği kuralda (birinci fiyat) dürüst teklif 0, 7 teklifi 3 fayda verir: IC değil. Kazananın rakip teklifi ödediği kuralda (ikinci fiyat) 6'nın üstündeki her teklif 4 verir.

Doğrudan Mekanizmalar

Oyuna Dönüş: Ültimatom Oyunu

Kuramın cevabı

Yalnız jetonu önemseyen yanıtlayana kabul x, ret 0 verir: x ≥ 0 her teklifi kabul etmek en iyi tepkidir (IR); x = 0'da ret de olabilir. Teklif eden bir “al ya da bırak” mekanizması sunar. Tam sayı tekliflerde iki alt oyun mükemmel denge vardır: (10, 0) (0 da kabul edilir) ve (9, 1) (kayıtsızken ret).

Gerçekte

İlk deneyden (Güth, Schmittberger ve Schwarze, 1982) beri sonuç benzer: en sık teklif pastanın %40–50'sidir ve %20'nin altındaki tekliflerin yaklaşık yarısı reddedilir (Camerer, 2003). İnsanlar adaletsiz bulduğu teklifi, kendi kazancı pahasına cezalandırır.

Oyundaki yanıtlayan	Kabul ettiği en küçük teklif	Teklif edenin kazancı
Kuram (yalnızca jeton)	1 (0'ı da kabul ederse 0)	9 (o zaman 10)
Seviye 1: hoşgörülü	1	9
Seviye 2: stratejik	3	7
Seviye 3: adalete duyarlı	5	5

Teşvik uyumlu bir mekanizma tasarlarken fayda fonksiyonu doğru seçilmelidir: oyuncu adaleti de önemsiyorsa, IR koşulu “x ≥ 0” değil, “x, adil bulduğu payı aşıyor” olur.

Doğrudan Mekanizmalar

Adım Adım: Orantılı Maliyet Paylaşımı IC mi?

	Ayşe	Bora	Cem	Toplam
Gerçek değer v	30	25	20	75
Bildirim	—	—	—	—
Ödeme	—	—	—	—
Fayda u = v − ödeme	—	—	—	—
Park yapılır mı?	—

Park 60 bin TL. Kural: bildirimlerin toplamı ≥ 60 ise park yapılır, maliyet bildirimlerle orantılı paylaşılır.

	Ayşe	Bora	Cem	Toplam
Gerçek değer v	30	25	20	75
Bildirim	30	25	20	75
Ödeme	24	20	16	60
Fayda u = v − ödeme	6	5	4	15
Park yapılır mı?	Evet (toplam ≥ 60)

Herkes dürüst: toplam 75 ≥ 60, park yapılır. Ödemeler 60·30/75 = 24, 20, 16; faydalar 6, 5, 4. Herkes ≥ 0 → IR sağlanır.

	Ayşe	Bora	Cem	Toplam
Gerçek değer v	30	25	20	75
Bildirim	30	25	5	60
Ödeme	30	25	5	60
Fayda u = v − ödeme	0	0	15	15
Park yapılır mı?	Evet (toplam ≥ 60)

Cem değerini 5 gösterir: toplam yine 60, park yine yapılır; Cem artık 5 öder ve faydası 4 → 15. Yalan kazandırdı → IC değil.

	Ayşe	Bora	Cem	Toplam
Gerçek değer v	30	25	20	75
Bildirim	15	12,5	10	37,5
Ödeme	0	0	0	0
Fayda u = v − ödeme	0	0	0	0
Park yapılır mı?	Hayır (toplam < 60)

Herkes aynı mantıkla yarısını bildirirse toplam 37,5 < 60: park yapılmaz, toplam fayda 15 → 0. Beleşçilik verimsizlik doğurur.

Çözüm fikri: oyuncunun bildirimi ödemesini yalnızca seçilen sonucu değiştirerek etkileyebilmeli → VCG.

Doğrudan Mekanizmalar

Mekanizma Tasarımının Ölçütleri

Teşvik uyumluluğu (IC): gerçek bilgiyi açıklamak en iyi seçenektir.
Bireysel rasyonellik (IR): katılmak, dışarıda kalmaktan kötü değildir.
Verimlilik (efficiency): sosyal refahı SW(x) = Σ_i v_i(x) en yüksek sonuç (dürüst bildirimde).
Bütçe dengesi: ödemelerin toplamı ≥ 0 (zayıf: dış finansman gerekmez) ya da = 0 (tam: fazla da kalmaz).

Örnek mekanizmalar: her biri bir ölçütten vazgeçiyor.

Bu ölçütler her zaman birlikte sağlanamaz: iki taraflı ticarette verimlilik + (Bayesçi) IC + IR + bütçe dengesi birlikte imkânsızdır (Myerson–Satterthwaite, 1983). Tasarım problemi aralarındaki ödünleşimi belirler.

Doğrudan Mekanizmalar

Uygulama Kuramı: Dürüstlük Tek Denge mi?

Açıklama ilkesi yalnızca dürüst bildirimin bir denge olduğunu söyler; aynı mekanizmada istenmeyen başka dengeler de bulunabilir.
Kurallar iyi bir dengeyi mümkün kılar ama oyuncuların o dengede buluşacağını garanti etmez. Bütün dengeleri istenen sonuca götüren mekanizmaları uygulama kuramı (implementation theory) inceler (ek okuma: Maskin, 1999).

Vickrey'de kötü denge

Değerler Ayşe 10, Bora 5. Ayşe 0, Bora 100 teklif eder: Bora kazanır ve 0 öder (fayda 5). Ayşe kazanmak için 100'ü geçip 100 ödemeli (fayda −90), bu yüzden sapmaz. Bora da sapmakla daha fazla kazanamadığı için bu teklifler bir Nash dengesi oluşturur, ama nesne değeri düşük olan Bora'ya gider.

Dürüst teklif baskın stratejidir; bu denge zayıf baskılanan tekliflerle kurulur.

Ders: DSIC'te oyuncu rakibini tahmin etmek zorunda değildir; bu yüzden yalnızca Nash dengesine dayanan tasarımlardan daha sağlamdır. Yine de tek denge garantisi vermez.

Doğrudan Mekanizmalar

Tek Parametreli Ortamlar: Myerson Lemması

Her oyuncunun tek bir özel sayısı vardır: birim değer v_i. Mekanizma tahsis x_i(b) ve ödeme p_i(b) seçer; fayda v_i·x_i − p_i.
Myerson lemması (1981): x, DSIC bir mekanizmada kullanılabilir ⇔ x monoton (teklif artınca x_i azalmaz). Ödeme de tek biçimde belirlenir (p_i(0) = 0 ile):

p_i(b) = b_i·x_i(b) − ∫₀^b_i x_i(z, b_−i) dz = eğrinin solunda, 0 ile x(b) arasında kalan boyalı alan (b × x(b) dikdörtgeninden eğrinin altındaki alan çıkınca kalan kısım)

0/1 tahsiste ödeme = kritik teklif (kazanmak için gereken en düşük teklif): Vickrey'nin ikinci fiyatı tam olarak budur. Ödeme kritik teklif değilse IC bozulur: eşik 50, sabit ödeme 20 ise değeri 20 ile 50 arasındaki oyuncu 50'yi aşan bir teklifle abartıp kazanır.

VCG Mekanizması

Vickrey–Clarke–Groves (VCG) Mekanizması

Bildirilen değerlere göre sosyal refahı en yüksek yapan sonucu seçer: x* = argmax_x Σ_i b_i(x) (b_i(x): i'nin x için bildirdiği değer).
Her oyuncunun ödemesi, katılımının diğer oyuncular üzerinde oluşturduğu dışsallığa (externality) dayanır (Clarke pivot kuralı):

p_i = max_x Σ_j≠i b_j(x) − Σ_j≠i b_j(x*)
= (i olmasaydı diğerlerinin en iyi refahı) − (i varken diğerlerinin refahı)

Kamu projesi örneğinde Bora'nın dışsallığı.

Bildirim ödemeyi yalnızca x* üzerinden etkiler; bu yüzden uygun koşullarda dürüst bildirim baskın stratejidir.
Oyuncunun faydası = sosyal refah − (kendisinden bağımsız bir terim): herkes sosyal refahı maksimize etmek ister.

VCG Mekanizması

Adım Adım: VCG ile Kamu Projesi Seçimi

	Park	Kütüphane	Spor salonu	Ödeme p_i	Fayda u_i
Ayşe	40	5	0	—	—
Bora	0	30	20	—	—
Cem	10	20	45	—	—
(a) Σ herkes	—	—	—
(b) Σ i olmadan	—	—	—

Üç sakin, üç proje. Her sakin her projeye değerini (bin TL) bildiriyor. Yalnızca bir proje yapılacak.

	Park	Kütüphane	Spor salonu	Ödeme p_i	Fayda u_i
Ayşe	40	5	0	—	—
Bora	0	30	20	—	—
Cem	10	20	45	—	—
(a) Σ herkes	50	55	65 ✓
(b) Σ i olmadan	—	—	—

(a) Herkesle en iyi seçim: her projede üç değerin toplamı (sosyal refah) Park 50, Kütüphane 55, Spor 65. En yüksek toplam Spor salonunda: x* = Spor salonu, refah 65.

	Park	Kütüphane	Spor salonu	Ödeme p_i	Fayda u_i
Ayşe	40	5	0	—	—
Bora	0	30	20	—	—
Cem	10	20	45	—	—
(a) Σ herkes	50	55	65 ✓
(b) Σ Ayşe olmadan	10	50	65

(b) Ayşe olmasaydı: yalnız Bora ve Cem değerlerinin toplamı Park 10, Kütüphane 50, Spor 65. En iyisi Spor; diğerlerinin refahı 65.

	Park	Kütüphane	Spor salonu	Ödeme p_i	Fayda u_i
Ayşe	40	5	0	—	—
Bora	0	30	20	—	—
Cem	10	20	45	—	—
(a) Σ herkes	50	55	65 ✓
(b) Σ Ayşe olmadan	10	50	65

(c) Ayşe varken seçilen proje Spor salonu. Spor salonunda diğerlerinin refahı: Bora 20 + Cem 45 = 65.

	Park	Kütüphane	Spor salonu	Ödeme p_i	Fayda u_i
Ayşe	40	5	0	0	—
Bora	0	30	20	—	—
Cem	10	20	45	—	—
(a) Σ herkes	50	55	65 ✓
(b) Σ Ayşe olmadan	10	50	65

(d) Ödeme = (b) − (c) = 65 − 65 = 0. Ayşe olsa da olmasa da Spor seçiliyor; Ayşe başkalarına zarar vermiyor.

	Park	Kütüphane	Spor salonu	Ödeme p_i	Fayda u_i
Ayşe	40	5	0	0	—
Bora	0	30	20	—	—
Cem	10	20	45	—	—
(a) Σ herkes	50	55	65 ✓
(b) Σ Bora olmadan	50	25	45

(b) Bora olmasaydı: yalnız Ayşe ve Cem değerlerinin toplamı Park 50, Kütüphane 25, Spor 45. En iyisi Park; diğerlerinin refahı 50.

	Park	Kütüphane	Spor salonu	Ödeme p_i	Fayda u_i
Ayşe	40	5	0	0	—
Bora	0	30	20	—	—
Cem	10	20	45	—	—
(a) Σ herkes	50	55	65 ✓
(b) Σ Bora olmadan	50	25	45

(c) Bora varken seçilen proje Spor salonu. Spor salonunda diğerlerinin refahı: Ayşe 0 + Cem 45 = 45.

	Park	Kütüphane	Spor salonu	Ödeme p_i	Fayda u_i
Ayşe	40	5	0	0	—
Bora	0	30	20	5	—
Cem	10	20	45	—	—
(a) Σ herkes	50	55	65 ✓
(b) Σ Bora olmadan	50	25	45

(d) Ödeme = (b) − (c) = 50 − 45 = 5. Bora olmasaydı Park seçilirdi ve diğerleri 50 alırdı; Bora yüzünden Spor seçiliyor ve diğerleri 45 alıyor. Bora'nın başkalarına verdiği zarar 5.

	Park	Kütüphane	Spor salonu	Ödeme p_i	Fayda u_i
Ayşe	40	5	0	0	—
Bora	0	30	20	5	—
Cem	10	20	45	—	—
(a) Σ herkes	50	55	65 ✓
(b) Σ Cem olmadan	40	35	20

(b) Cem olmasaydı: yalnız Ayşe ve Bora değerlerinin toplamı Park 40, Kütüphane 35, Spor 20. En iyisi Park; diğerlerinin refahı 40.

	Park	Kütüphane	Spor salonu	Ödeme p_i	Fayda u_i
Ayşe	40	5	0	0	—
Bora	0	30	20	5	—
Cem	10	20	45	—	—
(a) Σ herkes	50	55	65 ✓
(b) Σ Cem olmadan	40	35	20

(c) Cem varken seçilen proje Spor salonu. Spor salonunda diğerlerinin refahı: Ayşe 0 + Bora 20 = 20.

	Park	Kütüphane	Spor salonu	Ödeme p_i	Fayda u_i
Ayşe	40	5	0	0	—
Bora	0	30	20	5	—
Cem	10	20	45	20	—
(a) Σ herkes	50	55	65 ✓
(b) Σ Cem olmadan	40	35	20

(d) Ödeme = (b) − (c) = 40 − 20 = 20. Cem olmasaydı Park seçilirdi ve diğerleri 40 alırdı; Cem yüzünden Spor seçiliyor ve diğerleri 20 alıyor. Cem'in başkalarına verdiği zarar 20.

	Park	Kütüphane	Spor salonu	Ödeme p_i	Fayda u_i
Ayşe	40	5	0	0	0
Bora	0	30	20	5	15
Cem	10	20	45	20	25
(a) Σ herkes	50	55	65 ✓	25	40
(b) Σ i olmadan	—	—	—

Faydalar (değer − ödeme): Ayşe 0 − 0 = 0, Bora 20 − 5 = 15, Cem 45 − 20 = 25. Herkesin faydası ≥ 0 (IR). Toplanan 25 kimseye geri dağıtılmaz: bütçe fazlası.

Ödeme p_i = (b) − (c) = (i olmasaydı diğerlerinin en iyi refahı) − (i varken diğerlerinin refahı): i'nin başkalarına verdiği zarar.

VCG Mekanizması

Kod İzleme: `vcg(v, A)`

	Park	Kütüphane	Spor salonu
w(a, N)	—	—	—
w(a, D)	—	—	—

Oyuncu listesi çıkarılır. v[i][a]: i'nin a projesine bildirdiği değer.

	Park	Kütüphane	Spor salonu
w(a, N)	50	55	65
w(a, D)	—	—	—

Her proje için w(a, N) hesaplanır; en büyüğü Spor (65) → x = S.

	Park	Kütüphane	Spor salonu
w(a, N)	50	55	65
w(a, D)	—	—	—

Ödeme sözlüğü boş başlar; şimdi her oyuncu için “o olmasaydı” sorusu sorulacak.

	Park	Kütüphane	Spor salonu
w(a, N)	50	55	65
w(a, D) · D = N − Ayşe	10	50	65

i = Ayşe: D, Ayşe dışındaki oyunculardır.

	Park	Kütüphane	Spor salonu
w(a, N)	50	55	65
w(a, D) · D = N − Ayşe	10	50	65

Ayşe yokken en iyi proje Spor salonu: yok = 65.

	Park	Kütüphane	Spor salonu
w(a, N)	50	55	65
w(a, D) · D = N − Ayşe	10	50	65

Ayşe varken seçilen Spor'da D'nin refahı: var = 65.

	Park	Kütüphane	Spor salonu
w(a, N)	50	55	65
w(a, D) · D = N − Ayşe	10	50	65

p[Ayşe] = 65 − 65 = 0.

	Park	Kütüphane	Spor salonu
w(a, N)	50	55	65
w(a, D) · D = N − Bora	50	25	45

i = Bora: D, Bora dışındaki oyunculardır.

	Park	Kütüphane	Spor salonu
w(a, N)	50	55	65
w(a, D) · D = N − Bora	50	25	45

Bora yokken en iyi proje Park: yok = 50.

	Park	Kütüphane	Spor salonu
w(a, N)	50	55	65
w(a, D) · D = N − Bora	50	25	45

Bora varken seçilen Spor'da D'nin refahı: var = 45.

	Park	Kütüphane	Spor salonu
w(a, N)	50	55	65
w(a, D) · D = N − Bora	50	25	45

p[Bora] = 50 − 45 = 5.

	Park	Kütüphane	Spor salonu
w(a, N)	50	55	65
w(a, D) · D = N − Cem	40	35	20

i = Cem: D, Cem dışındaki oyunculardır.

	Park	Kütüphane	Spor salonu
w(a, N)	50	55	65
w(a, D) · D = N − Cem	40	35	20

Cem yokken en iyi proje Park: yok = 40.

	Park	Kütüphane	Spor salonu
w(a, N)	50	55	65
w(a, D) · D = N − Cem	40	35	20

Cem varken seçilen Spor'da D'nin refahı: var = 20.

	Park	Kütüphane	Spor salonu
w(a, N)	50	55	65
w(a, D) · D = N − Cem	40	35	20

p[Cem] = 40 − 20 = 20.

	Park	Kütüphane	Spor salonu
w(a, N)	50	55	65
w(a, D)	—	—	—

Sonuç: Spor salonu yapılır; ödemeler {Ayşe: 0, Bora: 5, Cem: 20}. Toplam 25.

def vcg(v, A):
  N = list(v)            # oyuncular
  def w(a, S):           # S'nin a'daki refahı
    return sum(v[i][a] for i in S)
  x = max(A, key=lambda a: w(a, N))
  p = {}
  for i in N:
    D = [j for j in N if j != i]
    yok = max(w(a, D) for a in A)  # i yokken
    var = w(x, D)                  # i varken
    p[i] = yok - var
  return x, p

VCG Mekanizması

VCG'de Yalan Söylemek Kazandırır mı?

Durum	Bildirim (P, K, S)	Seçilen	Ödeme	Gerçek fayda
Cem dürüst	10, 20, 45	Spor salonu	20	45 − 20 = 25

Referans: Cem dürüst bildirir → Spor seçilir, 20 öder, gerçek faydası 45 − 20 = 25.

Durum	Bildirim (P, K, S)	Seçilen	Ödeme	Gerçek fayda
Cem dürüst	10, 20, 45	Spor salonu	20	45 − 20 = 25
Cem abartır	10, 20, 100	Spor salonu	20	45 − 20 = 25

Cem Spor'u 100 gösterir: sonuç değişmez, ödeme de değişmez (ödeme diğerlerinin bildirimlerine bağlı) → yine 25.

Durum	Bildirim (P, K, S)	Seçilen	Ödeme	Gerçek fayda
Cem dürüst	10, 20, 45	Spor salonu	20	45 − 20 = 25
Cem abartır	10, 20, 100	Spor salonu	20	45 − 20 = 25
Cem küçültür	10, 20, 25	Kütüphane	5	20 − 5 = 15

Cem Spor'u 25 gösterir: toplamlar 50, 55, 45 → Kütüphane seçilir. Cem 5 öder ama gerçek değeri 20 → fayda 15 < 25.

Durum	Bildirim (P, K, S)	Seçilen	Ödeme	Gerçek fayda
Cem dürüst	10, 20, 45	Spor salonu	20	45 − 20 = 25
Cem abartır	10, 20, 100	Spor salonu	20	45 − 20 = 25
Cem küçültür	10, 20, 25	Kütüphane	5	20 − 5 = 15
Bora abartır	0, 60, 20	Kütüphane	25	30 − 25 = 5

Bora Kütüphane'yi 60 gösterir: Kütüphane seçilir ama Bora 25 öder → 30 − 25 = 5 < 15. Hiçbir yalan kazandırmıyor.

Tüm bildirimler (her proje için 0, 10, …, 100) denendiğinde hiçbir oyuncu dürüst bildirimden daha yüksek fayda elde edemiyor.

VCG Mekanizması

VCG'nin Özellikleri ve Sınırları

Güçlü yönler

DSIC: dürüst bildirim baskın strateji.
Verimli: sosyal refahı en yüksek sonuç seçilir.
Clarke pivotu ve negatif olmayan değerlerde IR; ödemeler ≥ 0.
Tek nesnede VCG = Vickrey (ikinci fiyat) açık artırması.

Sınırlar

Tam bütçe dengesi yok: örnekte 25 birim fazla kalır (fazla verir, açık vermez; zayıf bütçe dengesi sağlanır).
argmax hesabı kombinatoryal problemlerde NP-zor olabilir.
Danışıklılığa (collusion) ve sahte kimliklere açık; gelir düşük kalabilir.
Oyuncuların tüm değerlerini açıklaması mahremiyet sorunu doğurur.

Yüksek hesaplama maliyeti ve bütçe dengesi sorunları gerçek uygulamalarda sınırlayıcı olabilir. Sponsorlu arama reklamlarında VCG yerine çoğunlukla GSP kullanılır.

VCG Mekanizması

Kod İzleme: Tek Nesnede `vcg()` = Vickrey

Tek nesne: sonuç a = nesneyi kim alır. v[i][a] = i'nin değeri (a = i ise), yoksa 0.

w(a, N) yalnızca alıcının değeridir: 70, 55, 85 → x = Cem (en yüksek değer).

Ödemeler için her teklifçiye “sen olmasaydın?” diye sorulur.

i = Ayşe: Ayşe'nin satırı silikleşir; D = diğerleri.

Ayşe yokken nesne Cem'e giderdi: yok = 85.

Nesne Cem'de; D'nin oradaki refahı var = 85. p[Ayşe] = 85 − 85 = 0 → kaybeden ödemez.

i = Bora: Bora'nın satırı silikleşir; D = diğerleri.

Bora yokken nesne Cem'e giderdi: yok = 85.

Nesne Cem'de; D'nin oradaki refahı var = 85. p[Bora] = 85 − 85 = 0 → kaybeden ödemez.

i = Cem: Cem'in satırı silikleşir; D = diğerleri.

Cem yokken nesne Ayşe'ye giderdi: yok = 70.

Nesne Cem'de; D'nin oradaki refahı var = 0. p[Cem] = 70 − 0 = 70 = ikinci en yüksek değer!

Sonuç: Cem kazanır ve 70 öder; kaybedenler 0. Tek nesnede VCG = Vickrey (ikinci fiyat).

def vcg(v, A):
  N = list(v)            # oyuncular
  def w(a, S):           # S'nin a'daki refahı
    return sum(v[i][a] for i in S)
  x = max(A, key=lambda a: w(a, N))
  p = {}
  for i in N:
    D = [j for j in N if j != i]
    yok = max(w(a, D) for a in A)  # i yokken
    var = w(x, D)                  # i varken
    p[i] = yok - var
  return x, p

Parasız Mekanizmalar

Para Olmadan Mekanizma Tasarımı

Okul yerleştirme, yurt odası değişimi, oy verme: ödeme yapmak ya yasak ya da uygunsuzdur.
Para yoksa ödeme ile teşvik düzeltilemez; yalnızca sonuç kuralı tasarlanabilir.
Genel tercihlerde kötü haber: en az üç seçenekli, her sonucu mümkün kılan, stratejiye dayanıklı (yalan söylemenin hiç kazandırmadığı) her kural diktatörlüktür: sonucu hep aynı tek kişinin tercihi belirler (Gibbard–Satterthwaite).
Çıkış yolları: tercihlerin yapısını kullan (tek tepeli → medyan) ya da hedefi değiştir (“en iyi” yerine kararlı → Gale–Shapley; takas → TTC).

Parasız Mekanizmalar

Kararlı Eşleştirme Problemi

İki taraf: öğrenciler ve bitirme projeleri (her proje tek öğrenci alır). Her iki taraf da karşı tarafı sıralar.
Engelleyici çift (blocking pair): birbirlerini şu anki eşlerine tercih eden öğrenci–proje çifti.
Engelleyici çifti olmayan eşleştirme kararlıdır (stable): kimse anlaşmayı bozup kaçmak istemez.

Öğrenci	1.	2.	3.
A	X	Y	Z
B	X	Z	Y
C	Y	X	Z

Proje	1.	2.	3.
X	B	A	C
Y	A	C	B
Z	A	B	C

Kararsız örnek {A–X, B–Y, C–Z}: B, X'i Y'ye; X de B'yi A'ya tercih eder → (B, X) engelleyici. Aynı mantıkla (B, Z) ve (C, Y) de engelleyici (9 çiftin hepsi denetlendiğinde başka engelleyici çift çıkmaz).

Parasız Mekanizmalar

Gale–Shapley: Ertelenmiş Kabul (Teklif Turları)

Başlangıç: herkes serbest. Öğrenciler tercih sırasına göre teklif verir; proje en iyi adayı geçici tutar, diğerlerini reddeder.

Tur 1 teklifleri: A→X, B→X, C→Y (serbest her öğrenci, henüz reddetmemiş en iyi projesine).

Tur 1 kararı — X: B tutulur, A reddedilir (1. sıradaki B daha iyi); Y: C kabul (geçici).

Tur 2 teklifleri: A→Y (serbest her öğrenci, henüz reddetmemiş en iyi projesine).

Tur 2 kararı — Y: A tutulur, C reddedilir (1. sıradaki A daha iyi).

Tur 3 teklifleri: C→X (serbest her öğrenci, henüz reddetmemiş en iyi projesine).

Tur 3 kararı — X: B tutulur, C reddedilir (1. sıradaki B daha iyi).

Tur 4 teklifleri: C→Z (serbest her öğrenci, henüz reddetmemiş en iyi projesine).

Tur 4 kararı — Z: C kabul (geçici).

Herkes eşleşti → dur. A–Y, B–X, C–Z. Kontrol: A, X'i ister ama X, B'yi A'ya tercih eder; C'yi ise X de Y de istemez → engelleyici çift yok, kararlı.

Parasız Mekanizmalar

Kod İzleme: `gale_shapley(ogr, proj)`

Herkes serbest, projeler boş. proj[p][s]: p'nin s'ye verdiği sıra (0 = en iyi).

Her öğrencinin sıradaki tercihi 0. indis (en sevdiği proje).

Kuyruktan A çıkar ve sıradaki tercihi X'e teklif verir.

X boş (r = None) → A geçici olarak kabul edilir.

Kuyruktan B çıkar ve sıradaki tercihi X'e teklif verir.

X'in elinde A vardı; X için B daha iyi (sıra 0 < 1) → B kabul, A kuyruğa döner.

Kuyruktan C çıkar ve sıradaki tercihi Y'ye teklif verir.

Y boş (r = None) → C geçici olarak kabul edilir.

Kuyruktan A çıkar ve sıradaki tercihi Y'ye teklif verir.

Y'nin elinde C vardı; Y için A daha iyi (sıra 0 < 1) → A kabul, C kuyruğa döner.

Kuyruktan C çıkar ve sıradaki tercihi X'e teklif verir.

X, elindeki B'yi C'ye tercih eder → C reddedilir ve kuyruğa döner.

Kuyruktan C çıkar ve sıradaki tercihi Z'ye teklif verir.

Z boş (r = None) → C geçici olarak kabul edilir.

Kuyruk boş: 6 teklifle bitti. Sonuç eşzamanlı turlardakiyle aynı: A–Y, B–X, C–Z.

def gale_shapley(ogr, proj):
  serbest, es = list(ogr), {}
  sira = {s: 0 for s in ogr}
  while serbest:
    s = serbest.pop(0)
    p = ogr[s][sira[s]]        # sıradaki
    sira[s] += 1
    r = es.get(p)              # p'deki aday
    if r is None or proj[p][s] < proj[p][r]:
      es[p] = s                # kabul
      if r: serbest.append(r)
    else: serbest.append(s)    # red
  return es

Parasız Mekanizmalar

Gale–Shapley'in Özellikleri

Her zaman kararlı

Algoritma sonlanır ve sonuç kararlıdır (Gale ve Shapley, 1962). En fazla n² teklif → O(n²).

Teklif veren tarafa en iyi

Teklif verenler, tüm kararlı eşleştirmeler içinde en iyi eşlerini alır; teklif alan taraf ise en kötüsünü.

Teklif verenler için DSIC

Teklif veren taraf için dürüst tercih sırası bildirmek baskın stratejidir. Teklif alan taraf ise bazen yalanla kazanabilir.

Uygulamalar

ABD tıp ihtisası eşleştirmesi (NRMP), Boston ve New York okul seçimi. 2012 Nobel: Roth ve Shapley.

Örneğimizde tek bir kararlı eşleştirme var (3! = 6 eşleştirmenin hepsi denendiğinde); projeler teklif verse de sonuç A–Y, B–X, C–Z olur.

Parasız Mekanizmalar

Teklif Alan Taraf Yalanla Kazanabilir

Yeni örnek. Öğrenciler teklif verir. Projelerin gerçek tercihleri: X: B ≻ A ≻ C; Y ve Z: A ≻ B ≻ C.

Dürüst bildirimle teklifler A→X, B→Y, C→X, C→Y, C→Z → A–X, B–Y, C–Z. X, 2. sıradaki A'yı alır.

X yalan söyler: listesini B ≻ C ≻ A diye bildirir (A'yı en sona atar).

Teklifler A→X, B→Y, C→X, A→Y, B→X, C→Y, C→Z: A'nın reddi zincirleme B'yi X'e getirir → B–X. X, gerçek 1. tercihini aldı: yalan kazandırdı.

Bu örnekte iki kararlı eşleştirme var (3! = 6 eşleştirmenin hepsi denendiğinde): öğrencilere en iyi gelen A–X, B–Y, C–Z ve projelere en iyi gelen A–Y, B–X, C–Z. X'in yalanı sonucu projelere en iyi gelene taşır. Hiçbir kararlı mekanizma iki taraf için birden DSIC olamaz (Roth, 1982).

Parasız Mekanizmalar

Tesis Yerleşimi: Ortalama mı, Medyan mı?

Durum	Tesis	E'nin uzaklığı

Beş köy bir yol üzerinde: 2, 5, 9, 14, 20 km. Tek bir tesis (hastane) kurulacak; her köy tesisin kendisine yakın olmasını ister (maliyet = uzaklık).

Durum	Tesis	E'nin uzaklığı
Ortalama, herkes dürüst	10	10

Ortalama mekanizması: (2+5+9+14+20)/5 = 10. E'nin uzaklığı 10 km.

Durum	Tesis	E'nin uzaklığı
Ortalama, herkes dürüst	10	10
Ortalama, E “40” der	14	6

E yalan söyleyip 40 bildirir: ortalama (2+5+9+14+40)/5 = 14. E'nin uzaklığı 10 → 6. Yalan kazandırdı: ortalama manipüle edilebilir.

Durum	Tesis	E'nin uzaklığı
Ortalama, herkes dürüst	10	10
Ortalama, E “40” der	14	6
Medyan, herkes dürüst	9	11

Medyan mekanizması: bildirimler sıralanır, ortadaki seçilir → 9. E'nin uzaklığı 11 km.

Durum	Tesis	E'nin uzaklığı
Ortalama, herkes dürüst	10	10
Ortalama, E “40” der	14	6
Medyan, herkes dürüst	9	11
Medyan, E “40” der	9	11

E 40 bildirir: sıralama 2, 5, 9, 14, 40 → medyan yine 9. Uç değer medyanı çekemez.

Durum	Tesis	E'nin uzaklığı
Ortalama, herkes dürüst	10	10
Ortalama, E “40” der	14	6
Medyan, herkes dürüst	9	11
Medyan, E “40” der	9	11
Medyan, E “8” der	8	12

E medyanın öbür yanına geçip 8 bildirir: medyan 8 olur, E'nin uzaklığı 11 → 12. Daha kötü!

Durum	Tesis	E'nin uzaklığı
Ortalama, herkes dürüst	10	10
Ortalama, E “40” der	14	6
Medyan, herkes dürüst	9	11
Medyan, E “40” der	9	11
Medyan, E “8” der	8	12

Her köy için 0–60 arası tüm bildirimler denendiğinde medyanda hiçbir yalan kazandırmıyor. Üstelik toplam uzaklık medyanda 27, ortalamada 28: medyan toplam uzaklığı da en aza indirir.

Parasız Mekanizmalar

Neden Medyan Stratejiye Dayanıklı?

1) xᵢ < m (B = 5, medyan 9): r ≤ 9 bildirimleri medyanı 9'da bırakır (uzaklık 4); r > 9 medyanı sağa, yani B'den uzağa iter. Hiçbir r 4'ün altına inemez.

2) xᵢ > m (D = 14): simetrik durum. r ≥ 9 medyanı değiştirmez (uzaklık 5); r < 9 medyanı sola, D'den uzağa çeker.

3) xᵢ = m (C = 9): tesis tam C'nin konumunda, uzaklık 0; her yalan medyanı ancak C'den uzaklaştırır.

Sonuç: her durumda dürüst bildirim baskın strateji → medyan mekanizması stratejiye dayanıklıdır (strategy-proof; Moulin, 1980). Aynı fikir tek tepeli tercihlerle oylamada da geçerlidir (Black).

Parasız Mekanizmalar

Seri Diktatörlük ve Boston Mekanizması

Seri diktatörlük (serial dictatorship)

Sırası gelen, kalanlar içinden en sevdiğini alır. Kimse öncekilerin seçimini etkileyemez → DSIC ve Pareto optimal. Sıra kurayla belirlenirse rastgele seri diktatörlük (RSD).

Boston mekanizması (doğrudan kabul)

Her turda öğrenciler sıradaki tercihlerine başvurur. Her okul, o turda kendisini seçen öğrencilere boş koltuklarını öncelik sırasına göre verir; verilen koltuk sonraki turlarda geri alınmaz. İlk tercihini kaybeden, ikincisini dolmuş bulabilir.

Tercihler A: X ≻ Y ≻ Z, B: X ≻ Y ≻ Z, C: Y ≻ X ≻ Z. Öncelik X ve Z: A, B, C; Y: B, A, C. Her okul tek koltuk.

Tur	B dürüst	B “Y ≻ X ≻ Z” der
1	X: A, B → A; Y: C → C	X: A → A; Y: B, C → B
2	B → Y dolu	C → X dolu
3	B → Z	C → Z
Sonuç	A–X, B–Z, C–Y	A–X, B–Y, C–Z

B ikinci tercihini ilk sıraya yazarak Z yerine Y'yi alır: yalan kazandırdı.

Gale–Shapley aynı profilde dürüst bildirimle A–X, B–Y, C–Z verir. Abdulkadiroğlu ve Sönmez (2003), Boston mekanizmasında tercihleri olduğu gibi yazmanın öğrenciye zarar verebildiğini gösterdi; Boston şehri 2005'te okul yerleştirmesinde öğrenci önerili ertelenmiş kabule (Gale–Shapley) geçti.

Parasız Mekanizmalar

Yurt Odası Takası: En İyi Takas Döngüleri (TTC)

Her öğrencinin bir yurt odası var, para yok; her öğrenci başkalarının odalarını sıralar (Shapley ve Scarf, 1974; algoritma Gale'e atfedilir).
TTC: herkes en sevdiği kalan odanın sahibini gösterir. Sonlu çizgede en az bir döngü vardır; döngüdekiler takas eder ve çıkar. Tekrarla.
Dürüst tercih bildirmek baskın strateji (Roth, 1982); sonuç Pareto optimal ve çekirdektedir: kimse grup kurup daha iyisini yapamaz (Roth ve Postlewaite, 1977).
Aynı kural nöbet ya da vardiya takasına da uyar; gerçek dünyada böbrek nakli eşleştirmelerinde de kullanılır (Roth, Sönmez ve Ünver, 2004).

Kişi	Tercih (oda sahibi)
A	C ≻ A ≻ B
B	A ≻ D ≻ B
C	B ≻ A ≻ C
D	C ≻ E ≻ B ≻ D
E	A ≻ D ≻ E

Örnek: beş öğrenci yurt odası takası. Listede olmayan odalar kişinin kendi odasından kötüdür.

Parasız Mekanizmalar

Kod İzleme: `ttc(pref)`

Herkes kalanlar listesinde; henüz kimse takas etmedi.

Tur 1: her kalan kişi en sevdiği kalan odanın sahibini gösterir (oklar).

A yola eklenir, ok C'yi gösterir.

C yola eklenir, ok B'yi gösterir.

B yola eklenir, ok A'yı gösterir; A zaten yolda → döngü bulundu.

Döngü: A → C → B → A. Döngüdeki herkes gösterdiği odayı alır.

Takas: A ← C'nin odası, C ← B'nin odası, B ← A'nın odası. Bu kişiler çıkar.

Tur 2: her kalan kişi en sevdiği kalan odanın sahibini gösterir (oklar).

D yola eklenir, ok E'yi gösterir.

E yola eklenir, ok D'yi gösterir; D zaten yolda → döngü bulundu.

Döngü: D → E → D. Döngüdeki herkes gösterdiği odayı alır.

Takas: D ← E'nin odası, E ← D'nin odası. Bu kişiler çıkar.

Bitti: A, B, C üçlü döngüyle; D ve E ikili döngüyle takas etti. Her kişinin tüm yalan listeleri denendiğinde hiçbiri daha iyi oda getirmiyor (DSIC); sonuç Pareto optimal.

def ttc(pref):
  kalan, atama = list(pref), {}
  while kalan:
    g = {i: next(j for j in pref[i]
             if j in kalan) for i in kalan}
    i, yol = kalan[0], []
    while i not in yol:          # okları izle
      yol.append(i); i = g[i]
    dongu = yol[yol.index(i):]
    for k in dongu:              # takas
      atama[k] = g[k]; kalan.remove(k)
  return atama

Bayesçi Oyunlar

Eksik Bilgi: Bayesçi Oyunlar (Bayesian Games)

Şimdiye kadar tasarımcı tipleri bilmiyordu; oyuncular da çoğu zaman birbirinin tipini bilmez.
Bayesçi oyun: oyuncular, tip kümeleri Θ_i, tipler üzerinde ortak ön olasılık (common prior) π, kazançlar u_i(a, θ).
Önce şans (Doğa) her oyuncunun tipini seçer; her oyuncu yalnızca kendi tipini görür (Harsanyi dönüşümü).
Strateji artık bir kuraldır: her tip için hangi eylemin seçileceği.
Bayes–Nash dengesi: her oyuncu, her tipinde, diğerlerinin stratejilerine karşı beklenen kazancını maksimize eder.

Örnek oyun: P2'nin tipi B (buluşmak ister) ya da Ç (kaçınmak ister).

Mekanizma bağlantısı: açıklama ilkesinin Bayesçi sürümü → Bayes–Nash dengesinde uygulanabilen her sonuç, BIC bir doğrudan mekanizmayla da uygulanabilir.

Bayesçi Oyunlar

Adım Adım: Bayes–Nash Dengesini Bulmak

Tip B · olasılık 1/2	P2: K	P2: M
P1: K	(2, 1)	(0, 0)
P1: M	(0, 0)	(1, 2)

Tip Ç · olasılık 1/2	P2: K	P2: M
P1: K	(2, 0)	(0, 2)
P1: M	(0, 1)	(1, 0)

Aday profil	P1: K beklenen	P1: M beklenen	Denge?

P1 konser (K) ya da maç (M) seçer ve K'yi tercih eder. P2 ya B (buluşmak ister) ya da Ç (kaçınmak ister) tipindedir; P1 tipi bilmez, olasılıklar 1/2–1/2.

Tip B · olasılık 1/2	P2: K	P2: M
P1: K	(2, 1)	(0, 0)
P1: M	(0, 0)	(1, 2)

Tip Ç · olasılık 1/2	P2: K	P2: M
P1: K	(2, 0)	(0, 2)
P1: M	(0, 1)	(1, 0)

Aday profil	P1: K beklenen	P1: M beklenen	Denge?

Aday: P1 = K. P2'nin en iyi tepkisi tipe göre değişir: B tipi K (1 > 0), Ç tipi M (2 > 0) seçer → s₂ = (B→K, Ç→M).

Tip B · olasılık 1/2	P2: K	P2: M
P1: K	(2, 1)	(0, 0)
P1: M	(0, 0)	(1, 2)

Tip Ç · olasılık 1/2	P2: K	P2: M
P1: K	(2, 0)	(0, 2)
P1: M	(0, 1)	(1, 0)

Aday profil	P1: K beklenen	P1: M beklenen	Denge?
P1 = K; B→K, Ç→M	½·2 + ½·0 = 1	½·0 + ½·1 = 0,5	✓ evet

P1'in beklenen kazancı: K → ½·2 + ½·0 = 1; M → ½·0 + ½·1 = 0,5. K en iyisi → (K; B→K, Ç→M) Bayes–Nash dengesi.

Tip B · olasılık 1/2	P2: K	P2: M
P1: K	(2, 1)	(0, 0)
P1: M	(0, 0)	(1, 2)

Tip Ç · olasılık 1/2	P2: K	P2: M
P1: K	(2, 0)	(0, 2)
P1: M	(0, 1)	(1, 0)

Aday profil	P1: K beklenen	P1: M beklenen	Denge?
P1 = K; B→K, Ç→M	½·2 + ½·0 = 1	½·0 + ½·1 = 0,5	✓ evet

Öbür aday: P1 = M. O zaman B tipi M (2 > 0), Ç tipi K (1 > 0) seçer → s₂ = (B→M, Ç→K).

Tip B · olasılık 1/2	P2: K	P2: M
P1: K	(2, 1)	(0, 0)
P1: M	(0, 0)	(1, 2)

Tip Ç · olasılık 1/2	P2: K	P2: M
P1: K	(2, 0)	(0, 2)
P1: M	(0, 1)	(1, 0)

Aday profil	P1: K beklenen	P1: M beklenen	Denge?
P1 = K; B→K, Ç→M	½·2 + ½·0 = 1	½·0 + ½·1 = 0,5	✓ evet
P1 = M; B→M, Ç→K	½·0 + ½·2 = 1	½·1 + ½·0 = 0,5	✗ K'ye sapar

P1: K → ½·0 + ½·2 = 1; M → ½·1 + ½·0 = 0,5. P1 M'den K'ye sapar → denge değil. Tek saf Bayes–Nash dengesi: (K; B→K, Ç→M).

Hücrelerde (P1 kazancı, P2 kazancı). 2 × 2 × 2 = 8 saf strateji profilinin hepsi denendi.

Bayesçi Oyunlar

Bayesçi Bakışla Mekanizmalar

Örnek: birinci fiyat

Dürüst teklif kazanınca fayda 0 bırakır; dengede herkes değerinin altında teklif verir. Bu denge Bayesçidir: rakiplerin değerleri hakkındaki inanca dayanır.

DSIC mi, BIC mi?

DSIC diğerlerinin inançlarından bağımsız ve sağlamdır. BIC daha zayıftır ama daha fazla hedefe izin verir: ör. verimli ve tam bütçe dengeli kamu malı mekanizması (d'Aspremont ve Gérard-Varet, 1979; Arrow, 1979).

En yüksek gelir

Satıcının beklenen gelirini maksimize eden mekanizma da Bayesçi bir sorudur; cevabı rezerv fiyatlı (satıcının belirlediği en düşük fiyatın altında satılmayan) bir açık artırmadır (Myerson, 1981).

Poker ve blöf

Rakibin eli (tipi) gizlidir; blöf, karışık Bayesçi stratejinin parçasıdır.

Değerlendirme

Tartışma: Davranış, Adalet ve Etik

İnsanlar her zaman teşviklere göre mi davranır?

Kuram: oyuncular faydasını maksimize eder.
Gerçekte duygular, ahlak, alışkanlık ve adalet duygusu da etkilidir (ör. Ültimatom oyununda düşük teklifler reddedilir).
Teşvikler güçlüdür, ama tek belirleyici değildir; basit ve anlaşılır kurallar önemlidir.

Mekanizma tasarımında etik sorunlar

Manipülasyon ve bilgi saklama; güçlü oyuncuların avantaj sağlaması.
Adil olmayan gelir dağılımı; ödeme gücü olmayanların dışlanması.
Etik sınırlar toplum ve kurumlarca belirlenmeli: iyi mekanizma yalnızca verimli değil, adil ve etik de olmalıdır.

Değerlendirme

Özet: Bu Bölümün Mekanizmaları

Mekanizma	Para	Teşvik özelliği	Ne sağlar?
Orantılı maliyet paylaşımı	var	IC değil (beleşçilik)	—
VCG (Clarke pivotu)	var	DSIC, IR	Verimli sonuç; bütçe fazlası olabilir
Vickrey (tek nesne VCG)	var	DSIC, IR	En yüksek değerli kazanır
Gale–Shapley	yok	Teklif verenler için DSIC	Kararlı eşleştirme, O(n²)
Medyan (tesis yerleşimi)	yok	DSIC (stratejiye dayanıklı)	Toplam uzaklık en az
TTC (ev takası)	yok	DSIC	Pareto optimal, çekirdekte
Bayesçi mekanizmalar	var	BIC (Bayes–Nash)	Beklenen hedefler (ör. gelir)

Açıklama ilkesi sayesinde doğrudan, dürüst bildirimli mekanizmalara odaklanmak yeterlidir; ama IC + IR + verimlilik + bütçe dengesi her zaman birlikte sağlanamaz.

Değerlendirme

Örnek Problemler

İki özdeş nesne, üç teklifçi (birer nesne ister), değerler 10, 8, 5. VCG'de kim kazanır, kim ne öder?
Maliyet paylaşımı örneğinde (60; 30, 25, 20) diğerleri dürüstse Bora'nın en kârlı bildirimi nedir?
Köyler 3, 7, 8, 12, 30: medyan ve ortalama? Ortalamada 30'daki köy tesisi kendine çekmek için ne bildirir?
Gale–Shapley örneğinde projeler teklif verseydi sonuç ne olurdu?
Bayesçi örnekte B tipinin olasılığı 1/4 olsaydı (K; B→K, Ç→M) yine denge olur muydu?
TTC, tercihler A: B ≻ C ≻ A, B: A ≻ C ≻ B, C: A ≻ B ≻ C. Kim hangi odayı alır?

Cevapları göster

10 ve 8 kazanır; her biri 5 öder (ör. 10'luk: onsuz 8 + 5 = 13, onunla 8 → 13 − 8 = 5).
10: toplam 60'ta kalır, ödemesi 10'a iner, faydası 5 → 15 (IC değil).
Medyan 8, ortalama 12. (3 + 7 + 8 + 12 + x)/5 = 30 → x = 120.
Aynı: A–Y, B–X, C–Z (örnekte tek kararlı eşleştirme var).
Hayır: K → ¼·2 = 0,5, M → ¾·1 = 0,75; P1 sapar. Saf denge yok, karışık denge gerekir.
Tur 1: A→B, B→A, C→A; döngü A ↔ B takas eder. Tur 2: C kendini gösterir, kendi odasında kalır.

Değerlendirme

Etkileşimli Oyunlar ve Simülatörler

Teşvik Uyumluluğu Laboratuvarı

Dürüst ve stratejik bildirimlerde ödemeler ve fayda.

Kararlı Eşleştirme

Adım adım ertelenmiş kabul; kararlılık ve toplam memnuniyet.

Ültimatom Oyunu

Pazarlık, ret ve adalet duygusu: teşviklerin sınırı.

Tesis Yerleşimi

Ortalama ve medyan kuralı: hangisinde yalan kazandırır?

Değerlendirme

Kaynaklar

N. Nisan, T. Roughgarden, É. Tardos, V. Vazirani (ed.), Algorithmic Game Theory, Cambridge University Press, 2007.
T. Roughgarden, Twenty Lectures on Algorithmic Game Theory, Cambridge University Press, 2016.
Y. Shoham, K. Leyton-Brown, Multiagent Systems, Cambridge University Press, 2009.
D. Gale, L. S. Shapley, “College Admissions and the Stability of Marriage”, American Mathematical Monthly, 1962.
H. Moulin, “On Strategy-Proofness and Single Peakedness”, Public Choice, 1980 · M. J. Osborne, An Introduction to Game Theory, Oxford University Press, 2004 (Bayesçi oyunlar).
R. Myerson, “Optimal Auction Design”, Mathematics of Operations Research, 1981 · L. Shapley, H. Scarf, “On Cores and Indivisibility”, Journal of Mathematical Economics, 1974.
A. E. Roth, T. Sönmez, M. U. Ünver, “Kidney Exchange”, Quarterly Journal of Economics, 2004.
A. E. Roth, A. Postlewaite, “Weak versus Strong Domination in a Market with Indivisible Goods”, J. Math. Econ. 4(2), 1977 · C. d'Aspremont, L.-A. Gérard-Varet, “Incentives and Incomplete Information”, J. Public Econ. 11(1), 1979 · A. Abdulkadiroğlu, T. Sönmez, “School Choice: A Mechanism Design Approach”, AER 93(3), 2003.
E. Maskin, “Nash Equilibrium and Welfare Optimality”, Review of Economic Studies 66(1), 1999.
A. R. Karlin, Y. Peres, Game Theory, Alive, AMS, 2017 (mekanizma tasarımı, kararlı eşleştirme) · D. Easley, J. Kleinberg, Networks, Crowds, and Markets, Cambridge, 2010 (Bölüm 10 ve 15).
Ders sayfaları: Roughgarden CS364A · Shah CSC304 · Procaccia 15-896 · Dinitz AGT

Son

Bölüm 4: Mekanizma Tasarımı

Sonraki bölüm: Bölüm 5: Açık Artırmalar
Çalışma soruları · Terim sözlüğü

Bölüm 4: Mekanizma Tasarımı

Oyunla Başlangıç: Ültimatom Oyunu

Öğrenme Çıktıları

Mekanizma Tasarımı Nedir?

Oyun Kuramı ve Mekanizma Tasarımı

Teşvikler (Incentives)

Gerçek Hayat Uygulamaları

Sosyal Seçim Fonksiyonu (Social Choice Function)

Doğrudan Mekanizma (Direct Mechanism)

Açıklama İlkesi (Revelation Principle)

Teşvik Uyumluluğu (IC) ve Bireysel Rasyonellik (IR)

Oyuna Dönüş: Ültimatom Oyunu

Adım Adım: Orantılı Maliyet Paylaşımı IC mi?

Mekanizma Tasarımının Ölçütleri

Uygulama Kuramı: Dürüstlük Tek Denge mi?

Tek Parametreli Ortamlar: Myerson Lemması

Vickrey–Clarke–Groves (VCG) Mekanizması

Adım Adım: VCG ile Kamu Projesi Seçimi

Kod İzleme: vcg(v, A)

VCG'de Yalan Söylemek Kazandırır mı?

VCG'nin Özellikleri ve Sınırları

Güçlü yönler

Sınırlar

Kod İzleme: Tek Nesnede vcg() = Vickrey

Para Olmadan Mekanizma Tasarımı

Kararlı Eşleştirme Problemi

Gale–Shapley: Ertelenmiş Kabul (Teklif Turları)

Kod İzleme: gale_shapley(ogr, proj)

Gale–Shapley'in Özellikleri

Teklif Alan Taraf Yalanla Kazanabilir

Tesis Yerleşimi: Ortalama mı, Medyan mı?

Neden Medyan Stratejiye Dayanıklı?

Seri Diktatörlük ve Boston Mekanizması

Yurt Odası Takası: En İyi Takas Döngüleri (TTC)

Kod İzleme: ttc(pref)

Eksik Bilgi: Bayesçi Oyunlar (Bayesian Games)

Adım Adım: Bayes–Nash Dengesini Bulmak

Bayesçi Bakışla Mekanizmalar

Tartışma: Davranış, Adalet ve Etik

Özet: Bu Bölümün Mekanizmaları

Örnek Problemler

Etkileşimli Oyunlar ve Simülatörler

Kaynaklar

Son

Kod İzleme: `vcg(v, A)`

Kod İzleme: Tek Nesnede `vcg()` = Vickrey

Kod İzleme: `gale_shapley(ogr, proj)`

Kod İzleme: `ttc(pref)`