Mekanizma tasarımı oyun kuramına göre neden “ters” bir yaklaşımdır?

Doğru cevap B. Oyun kuramı analizdir: kurallar verilir ve dengede ne olacağı tahmin edilir (A şıkkı tam olarak budur). Mekanizma tasarımı sentezdir: önce istenen sonuç (sosyal seçim fonksiyonu f) belirlenir, sonra bencil oyuncular kendi çıkarını gözetirken bile bu sonucu dengede doğuran kurallar aranır. C ve D yanlıştır: oyuncular stratejik kabul edilir ve tipleri tasarımcıdan gizlidir; zorluğun kaynağı da budur.

Açıklama ilkesi (revelation principle) ne söyler?

Doğru cevap A. Bir dolaylı mekanizma M'de s(θ) bir dengeyse, tasarımcı oyuncudan yalnızca tipini alıp s(b)'yi onun adına oynayan doğrudan mekanizma M* kurar; bu durumda yalan söylemek M'de denge dışı bir stratejiye sapmakla aynıdır ve kârlı değildir. Böylece aynı sonuç dürüst bildirimin denge olduğu doğrudan bir mekanizmayla uygulanır. B yanlıştır: ilke her mekanizma için değil, kurulan M* için konuşur ve denge kavramı Bayes–Nash ise yalnızca BIC verir. C ve D ilkede yer almaz.

DSIC ile BIC arasındaki ilişki hangisidir?

Doğru cevap C. DSIC'te dürüst bildirim, diğerleri ne bildirirse bildirsin en iyisidir; o hâlde diğerleri dürüstken ve tipler bir dağılımdan gelirken beklenen faydada da en iyisidir, yani DSIC ⇒ BIC. Tersi doğru değildir: birinci fiyat açık artırmasının Bayes–Nash dengesinden (herkes değerinin altında teklif verir) açıklama ilkesiyle kurulan doğrudan mekanizma BIC'tir ama rakip farklı bildirince dürüstlük en iyi olmayabilir. A bu yüzden yönü ters çevirir; D yanlıştır, DSIC parasız mekanizmalarda da (medyan, TTC) tanımlıdır.

Myerson–Satterthwaite teoremine göre iki taraflı ticarette hangi özellikler birlikte sağlanamaz?

Doğru cevap D. Myerson–Satterthwaite (1983): değerleri örtüşen aralıklardan gelen bir alıcı ile satıcı arasında ticarette verimlilik, Bayesçi teşvik uyumluluğu, bireysel rasyonellik ve bütçe dengesi birlikte sağlanamaz; tasarım bunlardan birinden vazgeçmeyi seçer. A eksiktir: IC istenmezse verimlilik ve bütçe dengesi tek başına kolayca sağlanır. C'deki monoton tahsis ve kritik teklif ödemesi Myerson lemmasında DSIC'i birlikte sağlar, çelişmez.

Hangisi VCG mekanizmasının bir sınırıdır?

Doğru cevap D. VCG'de toplanan ödemeler sakinlere geri dağıtılamaz (dağıtılırsa teşvikler bozulur); kamu projesi örneğinde 25 birim fazla kalır, yani tam bütçe dengesi sağlanmaz; ödemeler negatif olmadığı için zayıf bütçe dengesi (açık vermemek) sağlanır. A ve B VCG'nin tam da güçlü yönlerini tersine çevirir: VCG DSIC'tir ve sosyal refahı maksimize eder. C yanlıştır: Clarke pivotunda seçimi değiştirmeyen (dışsallık yaratmayan) kaybeden 0 öder. Diğer sınırlar: NP-zor argmax, danışıklılık ve sahte kimlik.

İkinci fiyat (Vickrey) açık artırmasında kapalı zarfla teklifler Ayşe 10, Bora 7, Cem 5 TL'dir. Nesneyi kim alır ve kaç TL öder?

Doğru cevap A. En yüksek teklifi veren Ayşe kazanır ve ikinci en yüksek teklifi öder: 7 TL. Kendi teklifini (10) ödemek birinci fiyat kuralıdır.

İkinci fiyat (Vickrey) açık artırmasında bir teklifçi için baskın strateji hangisidir?

Doğru cevap B. Ödenen tutar kazananın kendi teklifine değil rakibin teklifine bağlıdır. Bu yüzden değerini dürüstçe teklif etmek baskın stratejidir: az teklif kârlı bir satışı kaçırabilir, fazla teklif değerinden yüksek ödemeye yol açabilir.

Kazananın kendi teklifini ödediği birinci fiyat açık artırmasında bir teklifçinin nesneye verdiği değer 20 TL, rakibin teklifi 12 TL'dir. Teklifçi 15 TL teklif ederse faydası kaç olur? Değerini dürüstçe (20 TL) teklif ederse faydası kaç olur?

Doğru cevap C. Kazanan kendi teklifini öder: 15 teklifle fayda 20 − 15 = 5, dürüst teklifle 20 − 20 = 0. Cevap 5 ve 0: birinci fiyatta dürüst teklif teşvik uyumlu değildir. 8, ikinci fiyat kuralıyla (20 − 12) hesaplanır.

Para kullanılamayan ortamlarda hangi mekanizmada dürüst bildirim, ilgili katılımcılar için baskın stratejidir (DSIC)?

Doğru cevap A. TTC'de her ev sahibi için tercihlerini dürüst bildirmek baskın stratejidir; sonuç ayrıca çekirdektedir. B yanlıştır: Boston mekanizmasında ilk tercihte kaybeden sonraki okullarda da geride kalır, bu yüzden tercihini stratejik sıralamak kârlı olabilir. C yanlıştır: uçtaki bir köy konumunu abartarak ortalamayı kendine çeker. D yanlıştır: Gale–Shapley teklif verenler için DSIC'tir; teklif alan taraf bazı teklifleri reddederek daha iyi bir eşe ulaşabilir. Para olmadan teşvik ancak tercihlerin yapısı ya da hedef (kararlılık, takas) seçilerek sağlanır.

Gale–Shapley (ertelenmiş kabul) için hangisi doğrudur?

Doğru cevap A. Gale–Shapley'de teklif veren taraf tüm kararlı eşleştirmeler içinde en iyi eşini alır ve onun için dürüst bildirim baskın stratejidir; teklif alan taraf ise en kötü kararlı eşini alır ve yalanla kazanabilir. B yanlıştır: Roth (1982) hiçbir kararlı mekanizmanın iki taraf için birden DSIC olamayacağını gösterdi. C yönü ters çevirir; D yanlıştır, algoritma her girdide kararlı eşleştirme döndürür.

Gale–Shapley algoritmasının ürettiği eşleştirme için hangisi her zaman doğrudur?

Doğru cevap D. Gale–Shapley her zaman kararlı bir eşleştirme üretir. Kararlı eşleştirmeler arasında en iyisini yalnız teklif eden taraf alır; teklif alan taraf için sonuç en kötüsüdür. Herkesin ilk tercihini alması gerekmez.

P1 konser (K) ya da maç (M) seçer. P2, B tipi (buluşmak ister) ya da Ç tipidir (kaçınmak ister); P1 tipi bilmez. Bu kez P(B) = 1/4, P(Ç) = 3/4. Hangisi doğrudur?

Doğru cevap C. P1 saf oynadığında P2'nin her tipinin en iyi tepkisi bellidir, bu yüzden yalnızca iki aday vardır. P1 = K iken P2 (B→K, Ç→M) oynar; P1 için K → (1/4)·2 + (3/4)·0 = 0,5, M → (1/4)·0 + (3/4)·1 = 0,75: P1 M'ye sapar (A yanlış). P1 = M iken P2 (B→M, Ç→K) oynar; K → (3/4)·2 = 1,5, M → (1/4)·1 = 0,25: P1 K'ye sapar (B yanlış). D'de Ç tipi K'ye karşı M'yi seçerek 2 alır, yani hep K bir en iyi tepki değildir. B tipi az olası olunca P1 nereye gitse P2'nin çoğunluğu ondan kaçar ve saf denge kalmaz.

VCG, orantılı maliyet paylaşımı, TTC ve birinci fiyat açık artırmasından hangisi para kullanmadan DSIC'tir ve Pareto optimal, çekirdekte bir sonuç verir?

Doğru cevap C. TTC'de para yoktur, dürüst tercih bildirmek baskın stratejidir (Roth, 1982) ve sonuç Pareto optimal ve çekirdektedir: hiçbir grup kendi odalarını aralarında takas ederek daha iyisini yapamaz. A da DSIC'tir ama para (ödeme) kullanır. B IC değildir (beleşçilik), D ise DSIC değildir: kazanan, teklifini değerinin altına kırparak kazanır.

Üç sakin, iki projeye değerlerini (bin TL) bildiriyor; yalnızca bir proje yapılacak. VCG mekanizması toplam değeri en büyük projeyi seçer. Her sakinin ödemesi = (o sakin olmasaydı diğerlerinin en iyi toplamı) − (seçilen projede diğerlerinin toplamı). Hangi proje seçilir ve Bora kaç öder?

Doğru cevap A. Toplamlar Park 30, Kütüphane 35 olduğundan Kütüphane seçilir. Bora olmasaydı Park 30, Kütüphane 15 olurdu; en iyisi 30. Kütüphane'de diğerlerinin toplamı 15. Bora'nın ödemesi 30 − 15 = 15. (Ayşe 0, Cem 10 öder.)

Üç okul (X, Y, Z) birer koltuklu. Tercihler A: Y ≻ X ≻ Z, B: Y ≻ X ≻ Z, C: X ≻ Y ≻ Z. Öncelikler Y: A, B, C; X: B, C, A; Z: A, B, C. Boston mekanizmasında (her turda yerleşmemiş öğrenciler sıradaki tercihine başvurur; okul, o turda kendisini seçenlere boş koltuklarını öncelik sırasına göre verir ve verilen koltuk geri alınmaz) B dürüst bildirdiğinde hangi okula, “X ≻ Y ≻ Z” bildirdiğinde hangi okula yerleşir?

Doğru cevap A. Dürüst bildirimde tur 1'de Y'ye A ve B başvurur, öncelikli A alır; X'e başvuran C, X'i alır. Tur 2'de B'nin ikinci tercihi X dolmuştur; tur 3'te B, Z'ye yerleşir. B “X ≻ Y ≻ Z” derse tur 1'de X'e B ve C başvurur, X'te önceliği yüksek olan B kazanır: B, Z yerine ikinci tercihi X'i alır, yalan kazandırır. Boston mekanizması bu yüzden DSIC değildir. Aynı profilde öğrencilerin teklif verdiği Gale–Shapley dürüst bildirimle de B'yi X'e yerleştirir. D yanlıştır: Y'yi önceliği yüksek A alır.

Bir açık artırmada her katılımcı önce 5 TL katılım ücreti öder, sonra ikinci fiyat kuralı uygulanır. Değeri 8 olan Ayşe dürüst teklif verir; diğer en yüksek teklif 6'dır. Hangisi doğrudur?

Doğru cevap C. Katılım ücreti teklife bağlı değildir; katıldıktan sonra ikinci fiyat kuralında dürüst teklif yine baskın stratejidir, yani IC korunur (B yanlış). Ama Ayşe kazanıp 6 öder ve ücretle birlikte faydası 8 − 6 − 5 = −3 olur: dışarıda kalmanın faydası 0'dan düşüktür, IR bozulur. Kazanmak IR için yetmez (A yanlış); ücret faydadan düşülür (D yanlış). Kaybeden her teklifçinin faydası da −5'tir.

Para kullanılmayan bir ortamda en az üç seçenek var ve seçmenler her tercih sıralamasını bildirebiliyor. Kural örten (her seçenek kazanabilir) ve stratejiye dayanıklı olsun. Gibbard–Satterthwaite teoremine göre hangisi doğrudur?

Doğru cevap D. Genel tercihlerde, en az üç seçenekle, örten ve stratejiye dayanıklı her kural diktatörlüktür: sonucu hep aynı kişinin tercihi belirler. A yanlıştır: diktatörlük stratejiye dayanıklıdır, çünkü diktatör en sevdiğini zaten alır, diğerlerinin bildirimi sonucu etkilemez. B yanlıştır: medyan kuralı yalnız tek tepeli tercihlerde dayanıklıdır; tercih alanını kısıtlamak teoremden kaçış yoludur. C yanlıştır: iki seçenekte basit çoğunluk kuralı stratejiye dayanıklıdır.

Dört öğrenci dört odayı seri diktatörlükle paylaşıyor; kurada çıkan sıra C, A, D, B. Tercihler A: 2 ≻ 1 ≻ 3 ≻ 4, B: 2 ≻ 3 ≻ 4 ≻ 1, C: 1 ≻ 2 ≻ 4 ≻ 3, D: 2 ≻ 4 ≻ 1 ≻ 3. Hangisi doğrudur?

Doğru cevap B. C ilk seçer ve 1'i alır; A kalanlardan 2'yi, D (2 gitti) 4'ü alır, B'ye 3 kalır. Kimse kendi sırasından önce seçenleri etkileyemez ve sırası gelince kalanların en iyisini alır, bu yüzden dürüst bildirim baskındır (DSIC). A yanlıştır: B'nin sırası geldiğinde 2 zaten A'dadır; hangi listeyi yazarsa yazsın 3'ten iyisi kalmamıştır. C sırayı yok sayar: D'den önce seçen A, 2'yi almıştır. D yanlıştır: B'ye 2'yi vermek A'yı kötüleştirir; seri diktatörlük Pareto optimaldir.

Vickrey (ikinci fiyat) açık artırmasında değerler Ayşe 12, Bora 4. Aşağıdaki teklif profillerinden (Ayşe, Bora) hangisi, nesneyi Bora'ya veren bir Nash dengesidir?

Doğru cevap D. Ayşe kazanmak için 20'yi geçmeli ve 20 ödemelidir: fayda 12 − 20 = −8 < 0, sapmaz. Bora 0 ödeyerek en yüksek faydayı (4) almıştır. Nesne değeri düşük olana gider: dürüstlük baskın olsa da kötü bir denge vardır; uygulama kuramı tam da bunu sorar. A dengedir ama Ayşe kazanır. B'de Ayşe 8'in üstünde teklif edip 8 öder (fayda 4 > 0); C'de 10'un üstünde teklif edip 10 öder (fayda 2 > 0): ikisinde de sapma kârlıdır.

Sunumdaki ttc fonksiyonu (biraz kısaltılmış) aşağıdaki girdiyle çağrılıyor. Ne döndürür?

def ttc(pref):
    kalan, atama = list(pref), {}
    while kalan:
        g = {i: next(j for j in pref[i] if j in kalan) for i in kalan}
        i, yol = kalan[0], []
        while i not in yol: yol.append(i); i = g[i]
        for k in yol[yol.index(i):]: atama[k] = g[k]; kalan.remove(k)
    return atama
ttc({'A': ['B','D','A'], 'B': ['C','A','B'], 'C': ['B','C'], 'D': ['A','D']})

Doğru cevap B. Tur 1: A→B, B→C, C→B, D→A; yol A, B, C, döngü [B, C]: B ile C takas eder; A yolda ama döngüde değil (A yanlış). Tur 2: A→D, D→A: A ile D takas eder (C yanlış). D ilk turun oklarıdır; B'nin odası C'ye gitmiştir.