Bölüm 0: Hazırlık

Oyun Kuramı İçin Gerekli Matematik

Küme ve fonksiyonΣ, max, argmaxOlasılık ve beklenen değerKarışık strateji Kazanç matrisiEn iyi tepkiKayıtsızlık denklemiOyun ağacı

Sercan KÜLCÜ · Giresun Üniversitesi · Bilgisayar Mühendisliği

Giriş

Oyunla Başlangıç: Taş-Kağıt-Makas

İki oyuncu aynı anda Taş, Kağıt ya da Makas seçer: Taş Makas'ı, Makas Kağıt'ı, Kağıt Taş'ı yener; aynı seçim berabere biter. Kazanan 1 puan alır, kaybeden 1 puan verir.

Taş-Kağıt-Makas oyunu bilgisayara karşı oynanır; rakip rastgele oynayabilir ya da hamlelerinizin sıklığını veya örüntüsünü öğrenebilir.

Merak soruları

Sizce öğrenen bir bilgisayarın sizi uzun vadede yenemeyeceği bir oynayış var mı?

Hep Taş oynayan biri, rakibi bunu fark edince tur başına ortalama kaç puan kaybeder?

Giriş

Öğrenme Çıktıları

Gösterim

Küme, Kartezyen çarpım ve u₁(s₁, s₂) gibi fonksiyon gösterimini okumak.

Σ, max, argmax

Bir toplamı açıp hesaplamak; en büyük değeri ve onu veren seçeneği ayırmak.

Olasılık

Eşit olası sonuçları sayarak ve bağımsız olayları çarparak olasılık bulmak.

Beklenen değer

Bir piyangonun ve karışık stratejinin beklenen kazancını hesaplamak.

Matris ve en iyi tepki

(a, b) çiftini doğru okumak, en iyi tepkileri matriste işaretlemek.

Denklem ve ağaç

Kayıtsızlık denklemini çözmek; oyun ağacını yapraktan köke çözmek.

Kümeler ve Fonksiyonlar

Küme ve Kartezyen Çarpım

Sezgi: Küme, seçeneklerin listesidir; iki kümenin Kartezyen çarpımı ise "birinciden bir, ikinciden bir" seçilerek kurulabilecek tüm sıralı çiftlerdir.

Çalışılmış örnek

Ayşe'nin strateji kümesi S₁ = {Taş, Kağıt, Makas}; Taş ∈ S₁ ("Taş, S₁'in elemanı"), eleman sayısı |S₁| = 3.

Burak'ınki de S₂ = {Taş, Kağıt, Makas}. Oyunun tüm olası sonuçları S₁ × S₂ kümesidir: |S₁ × S₂| = 3 · 3 = 9 çift. Her çifte strateji profili denir.

Sık hata: (Taş, Kağıt) ile (Kağıt, Taş) aynı sanılır. Çiftte sıra önemlidir: ilk eleman Ayşe'nin, ikinci eleman Burak'ın seçimidir. Biri Ayşe'nin, diğeri Burak'ın kazandığı iki ayrı sonuçtur (şekilde turuncu hücreler).

Kümeler ve Fonksiyonlar

Fonksiyon Gösterimi

Sezgi: Fonksiyon bir makinedir: girdiyi alır, tek bir çıktı verir. Kazanç fonksiyonu u_i, bir strateji profilini alıp i. oyuncunun kazancını (bir sayı) verir.

Çalışılmış örnek (Taş-Kağıt-Makas)

u₁(Taş, Makas) = 1: Ayşe Taş, Burak Makas oynarsa Ayşe 1 puan alır.

u₂(Taş, Makas) = −1: aynı profilde Burak 1 puan verir.

u₁(Kağıt, Kağıt) = 0: berabere.

Yazım: u₁ : S₁ × S₂ → ℝ ("profilden gerçek sayıya").

Sık hata: u₁(Taş, Kağıt) değerini "Kağıt kazanır" diye okumak. Fonksiyonun değeri bir sayıdır: u₁(Taş, Kağıt) = −1. Alt indis kimin kazancına baktığımızı söyler; u₁ ile u₂ aynı profilde farklı sayılar verir.

Toplam ve En Büyük

Toplam Sembolü Σ

Sezgi: Σ "hepsini topla" demektir. Altındaki sayı nereden başlayacağını, üstündeki nerede duracağını söyler: 3Σi=1 x_i = x₁ + x₂ + x₃.

Çalışılmış örnek: üç zar atışı

3Σi=1 x_i = 4 + 1 + 6 = 11

Adil zarda her yüzün olasılığı 1/6: 6Σi=1 p_i = 6 · 1/6 = 1. Olasılıkların toplamı her zaman 1'dir.

Beklenen değer de bir toplamdır: nΣi=1 x_i · p_i.

Sık hata: Kareyi toplamın dışına taşımak. (Σ x_i)² ile Σ x_i² farklıdır: (4 + 1 + 6)² = 121, ama 4² + 1² + 6² = 53. Önce Σ'nın içindeki ifadeyi her i için hesapla, sonra topla.

Toplam ve En Büyük

max ve argmax

Sezgi: max "en büyük değer kaç?" sorusunu, argmax "en büyük değeri hangi seçenek veriyor?" sorusunu cevaplar. Oyun kuramında oyuncu bir değer değil, bir eylem seçer; bu yüzden argmax daha sık kullanılır.

Çalışılmış örnek: kart seçimi

Dört kapalı karttan birini seçiyorsun; kartların ödülleri A: 3, B: 7, C: 2, D: 5 jeton.

max{3, 7, 2, 5} = 7 (bir sayı)

argmax = B (bir seçenek): "B'yi seç".

Sık hata: argmax yerine değeri yazmak ("argmax = 7") ya da tersi. İkinci tuzak eşitliktir: ödüller 3, 7, 2, 7 olsaydı argmax tek bir eleman değil, {B, D} kümesi olurdu; ikisi de en iyi seçimdir.

Toplam ve En Büyük

İzleme: Döngüyle argmax Bulma

eylem  = ["A", "B", "C", "D"]
kazanc = [3, 7, 2, 7]
en_iyi = 0             # en iyinin indisi
for i in range(1, 4):
    if kazanc[i] > kazanc[en_iyi]:
        en_iyi = i
print(kazanc[en_iyi], eylem[en_iyi])

Başlangıç: ilk kartı (A, 3 jeton) şimdilik en iyi kabul et.

i = 1: kazanc[1] = 7 > 3 mü? Evet.

en_iyi = 1: yeni en iyi B (7 jeton).

i = 2: kazanc[2] = 2 > 7 mü? Hayır, en iyi değişmez.

i = 3: 7 > 7 mü? Hayır: eşitlikte kesin ">" ilk bulunanı tutar.

max = 7, kod argmax olarak B verir; D de 7 verdiği için argmax kümesi aslında {B, D}.

Turuncu çubuk: şu an bakılan kart. Yeşil çerçeve: şimdiye kadarki en iyi kart.

Olasılık ve Beklenen Değer

Olasılık: Sayarak Hesaplamak

Sezgi: Sonuçlar eşit olasıysa P(olay) = istenen sonuç sayısı / tüm sonuç sayısı. Bağımsız olaylar (birbirini etkilemeyen atışlar) için olasılıklar çarpılır.

Çalışılmış örnekler

Zarda çift gelme: {2, 4, 6} → 3/6 = 1/2.

İki yazı-turada iki yazı: 1/2 · 1/2 = 1/4.

İki zarda en az bir 6: tümleyenle hesapla. Hiç 6 gelmemesi (5/6)·(5/6) = 25/36, o hâlde 1 − 25/36 = 11/36. Tabloda 11 turuncu hücre.

Sık hata: "İki zarda en az bir 6" için 1/6 + 1/6 = 12/36 demek. Bu toplam (6, 6) sonucunu iki kez sayar; doğru cevap 11/36. Olasılıklar ancak olaylar aynı anda olamıyorsa toplanır.

Olasılık ve Beklenen Değer

Olasılık Dağılımı

Sezgi: Olasılık dağılımı, her olası sonuca bir olasılık yazan bir tablodur. Her olasılık 0 ile 1 arasındadır ve hepsinin toplamı 1'dir.

Çalışılmış örnek: iki zarın toplamı

36 eşit olası sonuç var. Toplam 7'yi veren çiftler (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1): P(7) = 6/36. Toplam 2 yalnızca (1,1) ile olur: P(2) = 1/36.

Kontrol: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 36, yani toplam olasılık 36/36 = 1.

Sık hata: Her toplamı eşit olası sanmak ("11 farklı toplam var, her biri 1/11"). Sonuçlar (zar çiftleri) eşit olasıdır, toplamlar değil. Çubukların üstündeki sayılar 36 sonuçtan kaçının o toplamı verdiğini gösterir.

Olasılık ve Beklenen Değer

Beklenen Değer

Sezgi: Beklenen değer, aynı rastgele deney çok kez tekrarlansaydı tur başına ortalama ne elde edeceğimizdir: her sonucu olasılığıyla çarp, topla.

E[X] = Σx x · P(X = x)

Çalışılmış örnek: adil zar

E[X] = 1·(1/6) + 2·(1/6) + 3·(1/6) + 4·(1/6) + 5·(1/6) + 6·(1/6)

= 21/6 = 3,5

Sık hata: Beklenen değeri "en olası sonuç" ya da "kesin gelecek sonuç" sanmak. Zarda 3,5 hiç gelmez; 3,5 yalnızca çok sayıda atışın ortalamasıdır. Kazancı 0 ya da 100 olan bir piyangonun beklenen değeri 30 olabilir ama piyango hiçbir zaman 30 ödemez.

Olasılık ve Beklenen Değer

İzleme: Piyangonun Beklenen Değeri

odul = [100, 20, 0]          # TL
olas = [0.05, 0.25, 0.70]
E = 0
for i in range(3):
    E = E + odul[i] * olas[i]
print("E =", E)
print("net =", E - 12)  # bilet 12 TL

Üç ödül ve olasılıkları; toplam olasılık 0,05 + 0,25 + 0,70 = 1. Toplayıcı E = 0.

100 · 0,05 = 5 eklenir: E = 5.

20 · 0,25 = 5 eklenir: E = 10.

0 · 0,70 = 0: boş bilet E'yi değiştirmez ama olasılığı yine sayılır.

Bir biletin beklenen ödülü 10 TL.

Bilet 12 TL: net beklenen kazanç 10 − 12 = −2 TL. Çok kez oynayan, bilet başına ortalama 2 TL kaybeder.

Olasılık ve Beklenen Değer

Örnek: Bu Zar Oyunu Oynanır mı?

Panayırda bir oyun: 10 TL ödeyip bir zar atıyorsun. 6 gelirse 40 TL, 5 gelirse 10 TL alıyorsun; başka bir sayıda hiçbir şey almıyorsun.

Zar	Ödül x	P(x)	x · P(x)
6	40	1/6	40/6
5	10	1/6	10/6
1, 2, 3, 4	0	4/6	0
Toplam		6/6 = 1	50/6 ≈ 8,33

Sonuç

Beklenen ödül ≈ 8,33 TL, giriş 10 TL: net ≈ −1,67 TL her oyunda. Risk umursanmıyorsa oynamak kârlı değil.

Ne olsaydı adil olurdu?

6 için ödül y olsun: (y + 10)/6 = 10 ⇒ y = 50 TL. Bu, tek bilinmeyenli bir denklemdir.

Sık hata: "Kazanma şansım 2/6, fena değil" diye karar vermek. Kazanma olasılığı tek başına yetmez; ödüllerin büyüklüğü ve giriş ücreti de hesaba girer. Karar, net beklenen değere göre verilir.

Karışık Strateji

Karışık Strateji Fikri

Sezgi: Karışık strateji (mixed strategy), oyuncunun kendi eylemleri üzerine koyduğu bir olasılık dağılımıdır: "Hangi hamleyi yapacağımı bir zar/para karar versin."

Çalışılmış örnek

Zar at: 1–2 → Taş, 3–4 → Kağıt, 5–6 → Makas. Bu, (1/3, 1/3, 1/3) karışık stratejisidir.

Yazı-tura at, yazıda Taş; turada ikinci bir yazı-tura ile Kağıt ya da Makas: (1/2, 1/4, 1/4).

Tek bir eylemi kesin oynamak saf stratejidir: (1, 0, 0) = hep Taş.

Sık hata: Karışık stratejiyi "sırayla değiştirmek" sanmak (Taş, Kağıt, Makas, Taş, …). Bu düzen tahmin edilebilir ve kolayca yenilir. Karışık stratejide her turda tek bir saf hamle oynanır; hangisinin oynanacağı rastgele seçilir.

Karışık Strateji

Karışık Stratejiye Karşı Beklenen Kazanç

Burak (1/2 Taş, 1/4 Kağıt, 1/4 Makas) oynuyor. Ayşe'nin her saf hamlesinin beklenen kazancı: tablodaki satırı Burak'ın olasılıklarıyla çarp ve topla.

Ayşe ↓ / Burak →	Taş (1/2)	Kağıt (1/4)	Makas (1/4)	Beklenen kazanç
Taş	0	−1	+1	0 − 1/4 + 1/4 = 0
Kağıt	+1	0	−1	1/2 + 0 − 1/4 = 1/4
Makas	−1	+1	0	−1/2 + 1/4 + 0 = −1/4

argmax = Kağıt: Taş ağırlıklı bir rakibe karşı Kağıt tur başına ortalama 1/4 puan kazandırır. Beklenen değer + argmax birlikte "en iyi tepki" verir.

Sık hata: Yalnızca rakibin en sık hamlesine bakmak. Burak (0,4 Taş, 0,25 Kağıt, 0,35 Makas) oynasaydı Taş'ı yenen Kağıt 0,4 − 0,35 = 0,05 getirirdi; Taş ise −0,25 + 0,35 = 0,10 getirir. Her satırın beklenen değerini hesaplamadan karar verme.

Kazanç Matrisi

Kazanç Matrisini Okumak

Sezgi: Satırları satır oyuncusu, sütunları sütun oyuncusu seçer; ikisinin kesiştiği hücre oyunun sonucudur. Hücredeki (a, b): a satır, b sütun oyuncusunun kazancı.

Çalışılmış örnek: Kart Gösterme

Ayşe elinde kırmızı ya da siyah bir kart tutar; Burak rengi tahmin eder. Burak kırmızıyı bilirse Ayşe'den 3, siyahı bilirse 1 jeton alır; yanılırsa Ayşe'ye 1 jeton verir. (Kırmızı, Kırmızı) = (−3, 3): Ayşe kırmızı tuttu, Burak bildi; Ayşe 3 verir, Burak 3 alır. Her hücrede a + b = 0: oyun sıfır toplamlıdır.

Sık hata: b sayısını satır oyuncusunun kazancı sanmak ya da Ayşe'nin sonucu tek başına seçtiğini düşünmek. Ayşe yalnızca satırı seçer; hangi hücreye düşeceğini Burak'ın sütunu belirler.

Kazanç Matrisi

Matrisi Okuma Alıştırması

Ayşe Siyah tutar, Burak "Kırmızı" derse kim kaç jeton alır?
Ayşe Siyah tutarken Burak'ın alabileceği kazançlar hangileri?
Burak her turda "Kırmızı" diyorsa Ayşe hangi kartı tutmalı?
Oyunda Ayşe'nin alabileceği en büyük ve en küçük kazanç kaç?

Cevapları göster

(Siyah, Kırmızı) = (1, −1): Burak yanıldı; Ayşe 1 jeton alır, Burak 1 verir.
Siyah satırındaki ikinci sayılar: −1 ("Kırmızı" derse) ve 1 ("Siyah" derse).
"Kırmızı" sütununda Ayşe'nin sayıları: Kırmızı −3, Siyah 1. 1 > −3 ⇒ Siyah.
Ayşe'nin sayıları (ilk sayılar): −3, 1, 1, −1. En büyük 1, en küçük −3.

En İyi Tepki

En İyi Tepki Sezgisi

Sezgi: "Rakibin ne yapacağını bilseydim ne yapardım?" sorusunun cevabı en iyi tepkidir (best response). Rakibin seçimini sabitle, kendi kazançlarına bak, argmax'ı al.

Çalışılmış örnek: Kart Gösterme

Burak hep "Kırmızı" der: Ayşe'nin sütundaki ilk sayıları Kırmızı −3, Siyah 1 ⇒ en iyi tepki Siyah.

Burak hep "Siyah" der: Kırmızı 1, Siyah −1 ⇒ en iyi tepki Kırmızı.

Burak karıştırıyorsa: her satırın beklenen kazancını hesapla, büyüğünü seç.

Sık hata: En iyi tepkiyi seçerken rakibin kazancına (ikinci sayıya) bakmak. Ayşe yalnızca kendi sayılarını karşılaştırır. Ayrıca en iyi tepki sabit değildir: rakip değişince değişebilir.

En İyi Tepki

İzleme: 2×2 Matriste En İyi Tepkiler

Ayşe satırı (Yukarı/Aşağı), Burak sütunu (Sol/Sağ) seçer. Henüz işaret yok.

Burak Sol oynarsa Ayşe ilk sayıları karşılaştırır: Yukarı 1, Aşağı 2 ⇒ Aşağı; 2 işaretlenir.

Burak Sağ oynarsa: Yukarı 3, Aşağı 0 ⇒ Yukarı; 3 işaretlenir.

Ayşe Yukarı oynarsa Burak ikinci sayıları karşılaştırır: Sol 2, Sağ 1 ⇒ Sol.

Ayşe Aşağı oynarsa: Sol 3, Sağ 0 ⇒ Sol. Burak için Sol her durumda daha iyi.

İki sayısı da işaretli tek hücre (Aşağı, Sol) = (2, 3): ikisi de en iyi tepkisini oynuyor, kimse tek başına değiştirmek istemez. Bu özelliğe Nash dengesi denir.

Denklemler ve Kayıtsızlık

İki Bilinmeyenli Doğrusal Denklem

Sezgi: İki bilinmeyen için iki denklem gerekir: çıkararak ya da yerine koyarak biri yok edilir, kalan bulunur, sonra geri yerine konur.

Çalışılmış örnek: oyun dükkânı 2 zar ve 1 deste kart 50 TL, 1 zar ve 1 deste 35 TL. Birer tanesi kaç TL?

(1) 2z + d = 50 (2) z + d = 35 z: zar, d: deste fiyatı

(1) − (2): (2z + d) − (z + d) = 50 − 35 ⇒ z = 15

(2)'de yerine koy: 15 + d = 35 ⇒ d = 20

Kontrol (1): 2 · 15 + 20 = 50 ✓

Oyun kuramındaki tipik biçim: olasılıklar x ve y için x + y = 1 ve x = 2y ⇒ 2y + y = 1 ⇒ y = 1/3, x = 2/3.

Sık hata: Çıkarırken bir tarafı unutmak ya da işareti kaybetmek: (2z + d) − (z + d) işleminde d − d = 0 olur, sağ taraf da 50 − 35 olmalıdır. Bulduğun değerleri her iki denklemde de kontrol et.

Denklemler ve Kayıtsızlık

Kayıtsızlık Fikri

Sezgi: Bir oyuncu iki eylemi arasında gerçekten karıştırıyorsa iki eylem ona eşit beklenen kazanç vermelidir; biri daha iyi olsaydı hep onu oynardı. Buna kayıtsızlık denir.

Kart Gösterme'de

Burak "Kırmızı"yı q olasılıkla derse Ayşe için E[K] = 1 − 4q, E[S] = 2q − 1.

q < 1/3: Kırmızı daha iyi. q > 1/3: Siyah daha iyi. Yalnız q = 1/3'te Ayşe kayıtsızdır.

Sık hata: Ayşe'nin kendi olasılığını kendi kayıtsızlık denkleminden bulmaya çalışmak. Ayşe'nin kayıtsızlığı Burak'ın q değerini belirler; Ayşe'nin p değeri Burak'ı kayıtsız bırakan denklemden çıkar.

Denklemler ve Kayıtsızlık

İzleme: Kayıtsızlık Denklemi

p: Ayşe'nin Kırmızı tutma olasılığı. q: Burak'ın "Kırmızı" deme olasılığı.

Burak "Kırmızı"yı q, "Siyah"ı 1 − q olasılıkla desin (toplam 1).

Ayşe Kırmızı tutarsa: E[K] = −3 · q + 1 · (1 − q) = 1 − 4q

Ayşe Siyah tutarsa: E[S] = 1 · q + (−1) · (1 − q) = 2q − 1

Kayıtsızlık: 1 − 4q = 2q − 1 ⇒ 2 = 6q ⇒ q = 1/3

Kontrol: E[K] = 1 − 4/3 = −1/3 ve E[S] = 2/3 − 1 = −1/3 ✓

Burak için aynı yol: E["K"] = 3p − (1 − p) = 4p − 1, E["S"] = −p + (1 − p) = 1 − 2p ⇒ 4p − 1 = 1 − 2p ⇒ p = 1/3

Sonuç: Ayşe kırmızıyı 1/3, Burak "Kırmızı"yı 1/3 olasılıkla seçer; Ayşe tur başına ortalama 1/3 jeton kaybeder.

Denklemler ve Kayıtsızlık

Oyuna Dönüş: Taş-Kağıt-Makas

Yenilmeyen oynayış var mı?

Evet: (1/3, 1/3, 1/3). Rakip ne oynarsa oynasın beklenen kazanç 0'dır; ör. rakip Kağıt: 1/3 · (−1) + 1/3 · 0 + 1/3 · (+1) = 0. Üç hamle de kayıtsız olduğu için sömürülecek bir taraf kalmaz.

Hep Taş oynayan ne kaybeder?

Rakibin en iyi tepkisi hep Kağıt: tur başına −1. Daha hafif bir yanlılık da kaybettirir: (1/2, 1/4, 1/4) oynayana karşı Kağıt, 1/2 · (−1) + 1/4 · 0 + 1/4 · (+1) = −1/4 getirir.

Senin karışımın (T, K, M)	Rakibin en iyi tepkisi	Senin beklenen kazancın
(1, 0, 0): hep Taş	Kağıt	−1
(1/2, 1/4, 1/4)	Kağıt	−1/4
(1/3, 1/3, 1/3)	hepsi eşit	0

İnsanlar nasıl oynuyor? Laboratuvar deneylerinde üç hamlenin toplam sıklığı 1/3'e yakın çıksa da ardışık hamleler bağımsız değildir: kazanan aynı hamleyi tekrarlamaya, kaybeden hamlesini değiştirmeye eğilimlidir (Wang, Xu ve Zhou, 2014). Örüntü öğrenen bir rakip tam olarak bunu sömürür.

Oyun Ağacı

Oyun Ağacını Okumak

Sezgi: Sıralı oyunlarda oyun ağacı kullanılır: daire içindeki düğüm sıranın kimde olduğunu, dallar eylemleri, alttaki yapraklar oyun bitince (Ayşe, Burak) kazançlarını gösterir.

Çalışılmış örnek

Ayşe kartını saklar ya da gösterir. Burak, Ayşe'nin ne yaptığını görerek devam eder ya da çekilir.

Yol Sakla → Çekil: yaprak (3, 0); Ayşe 3, Burak 0 alır.

Burak'ın iki düğümü vardır; her birinde ayrı karar verir.

Sık hata: Yapraktaki sırayı karıştırmak: ilk sayı ilk hamleyi yapan oyuncunun (Ayşe), ikinci sayı Burak'ın kazancıdır. Bir de matristen farkı unutmak: burada Burak, Ayşe'nin hamlesini görür.

Oyun Ağacı

İzleme: Geriye Doğru Çıkarım

Fikir: son hamleyi yapandan başla. Burak'ın her düğümde ne seçeceği belli olunca Ayşe'nin kararı kolaylaşır.

Sakla'dan sonra Burak ikinci sayıları karşılaştırır: Devam 2, Çekil 0 ⇒ Devam. Bu düğümün değeri (1, 2).

Göster'den sonra Burak: Devam 1, Çekil 3 ⇒ Çekil. Bu düğümün değeri (2, 3).

Ayşe kökte, Burak'ın cevaplarını bilerek karşılaştırır: Sakla → 1, Göster → 2 ⇒ Göster.

Sonuç yolu: Göster → Çekil, kazanç (2, 3). (3, 0) yaprağı Ayşe için en büyük sayıdır ama Burak oraya hiç gitmez.

Özet

Sık Yapılan Hatalar

Konu	Hata	Doğrusu
Profil	(Taş, Kağıt) = (Kağıt, Taş)	Sıra önemli: önce Ayşe, sonra Burak
Σ	(Σ x_i)² = Σ x_i²	Önce terimleri hesapla, sonra topla
argmax	"argmax = 7"	argmax bir seçenektir (B); max değerdir (7)
Olasılık	En az bir 6: 1/6 + 1/6	1 − (5/6)² = 11/36
Beklenen değer	"E = 3,5 gelecek"	Uzun vadeli ortalama; tek atışta gelmeyebilir
Karışık strateji	Sırayla değiştirmek	Her tur rastgele tek bir saf hamle
Matris	b'yi satır oyuncusuna yazmak	(a, b): a satır, b sütun oyuncusunun
En iyi tepki	Rakibin sayısına bakmak	Rakibin seçimini sabitle, kendi sayılarını karşılaştır
Kayıtsızlık	p'yi Ayşe'nin denkleminden bulmak	p, Burak'ı kayıtsız bırakan denklemden çıkar
Oyun ağacı	Kökten başlamak	Yapraktan köke: önce son hamle

Özet

Gösterim

S₁ × S₂: tüm profiller. u_i(profil) = i. oyuncunun kazancı (bir sayı).

Σ, max, argmax

Σ: terimleri hesapla, topla. max: en büyük değer; argmax: onu veren seçenek.

Olasılık

Eşit olası: say ve böl. Bağımsız: çarp. "En az bir": 1 − hiç.

Beklenen değer

E[X] = Σ x · P(x): tur başına uzun vadeli ortalama.

Karışık strateji

Kendi eylemlerin üzerinde olasılık dağılımı; her tur bir saf hamle.

Kazanç matrisi

(a, b): a satır, b sütun oyuncusunun kazancı.

En iyi tepki

Rakibin seçimini sabitle; kendi kazancının argmax'ı.

Kayıtsızlık

Karıştıran oyuncunun eylemleri eşit beklenen kazanç verir ⇒ rakibin olasılığı bulunur.

Geriye doğru çıkarım

Ağacı yapraktan köke çöz: her düğümde sıradaki oyuncu en iyisini seçer.

Özet

Kendini Dene

İki yazı-tura atılıyor. En az bir yazı gelme olasılığı kaç?
Bir piyango 0,2 olasılıkla 50 TL, 0,8 olasılıkla 0 TL ödüyor; bilet 8 TL. Net beklenen kazanç kaç?
Kazançlar Taş: 2, Kağıt: −1, Makas: 2. max ve argmax nedir?
Burak (1/4 Taş, 1/2 Kağıt, 1/4 Makas) oynuyor. Ayşe'nin en iyi tepkisi hangi hamle?
x + y = 1 ve 3x = y ise x ve y kaçtır?

Cevapları göster

1 − P(iki tura) = 1 − 1/4 = 3/4.
E = 50 · 0,2 = 10 TL; net 10 − 8 = +2 TL.
max = 2; argmax = {Taş, Makas} (eşitlik: iki seçenek).
E[Taş] = −1/2 + 1/4 = −1/4; E[Kağıt] = 1/4 − 1/4 = 0; E[Makas] = −1/4 + 1/2 = 1/4 ⇒ Makas.
x + 3x = 1 ⇒ x = 1/4, y = 3/4.

Son

Bölüm 0: Hazırlık — Oyun Kuramı İçin Gerekli Matematik

Sonraki bölüm: Bölüm 1: Oyun Kuramı Temelleri
Çalışma soruları · Terim sözlüğü · Ön koşullar