Bölüm 0: Hazırlık
Temel · Çoktan Seçmeli · Olasılık
Soru 1
Adil bir zar bir kez atılıyor. 5 ya da 6 gelme olasılığı kaçtır?
Doğru cevap C. Altı eşit olası sonuçtan ikisi istenen sonuçtur: 2/6 = 1/3. İki sonuç aynı atışta birlikte gelemediği için olasılıkları toplanabilir: 1/6 + 1/6. 1/36 iki ayrı zarda "5 ve 6" gibi iki olayın birlikte olması için çarpımdır; 5/6 ise "6 gelmemesi" olasılığıdır.
Temel · Çoktan Seçmeli · Toplam sembolü
Soru 2
Σi=14 2i toplamının değeri kaçtır?
Doğru cevap D. Σ'yı açınca her i için 2i yazılır ve toplanır: 2·1 + 2·2 + 2·3 + 2·4 = 2 + 4 + 6 + 8 = 20. 8 yalnızca son terimdir; 10, 2 çarpanı unutularak bulunan 1 + 2 + 3 + 4 toplamıdır.
Temel · Çoktan Seçmeli · max ve argmax
Soru 3
Ayşe'nin üç hamlesinin beklenen kazançları: Taş 2, Kağıt 5, Makas 1. argmax nedir?
Doğru cevap B. argmax "en büyük değeri hangi seçenek veriyor?" sorusunun cevabıdır: Kağıt. 5 sayısı ise max'tır (en büyük değer). Eşitlik olmadığı için argmax tek elemanlıdır; {Taş, Kağıt} gibi bir küme ancak iki değer eşit en büyük olsaydı doğru olurdu.
Temel · Çoktan Seçmeli · Kazanç matrisi
Soru 4
Ayşe satır, Burak sütun oyuncusudur. (Yukarı, Sağ) hücresinde (4, −1) yazıyor. Bu ne demektir?
Doğru cevap A. Çiftin ilk sayısı satır oyuncusunun (Ayşe), ikincisi sütun oyuncusunun (Burak) kazancıdır ve yalnızca o hücrenin profili için geçerlidir. Ayşe yalnızca satırı seçer; Burak Sol'a geçerse başka bir hücreye düşülür. Sıfır toplamlı olması için her hücrede toplamın 0 olması gerekirdi.
Temel · Çoktan Seçmeli · Bağımsız olaylar
Soru 5
Adil bir para iki kez atılıyor. İki atışın da tura gelme olasılığı kaçtır?
Doğru cevap D. Atışlar bağımsızdır, olasılıklar çarpılır: 1/2 · 1/2 = 1/4. Eşit olası dört sonuç vardır: YY, YT, TY, TT. 1/3 cevabı YT ile TY'yi tek sonuç sayıp "üç sonuç var" sanmaktan gelir; 3/4 ise "en az bir yazı" olasılığıdır.
Orta · Çoktan Seçmeli · Beklenen değer
Soru 6
Bir piyango bileti 0,1 olasılıkla 50 TL, 0,3 olasılıkla 10 TL kazandırıyor; diğer durumlarda hiçbir şey kazandırmıyor. Biletin beklenen ödülü kaçtır?
Doğru cevap B. E = 50 · 0,1 + 10 · 0,3 + 0 · 0,6 = 5 + 3 + 0 = 8 TL. 20 TL üç ödülün (50, 10, 0) düz ortalamasıdır; olasılıklar eşit olmadığı için yanlıştır. 30 TL iki ödülün ortalaması, 60 TL ise toplamıdır; hiçbiri olasılıkla çarpmaz.
Orta · Çoktan Seçmeli · Karışık strateji
Soru 7
Ayşe Taş-Kağıt-Makas'ta (1/3, 1/3, 1/3) karışık stratejisini oynuyor. Hangisi doğrudur?
Doğru cevap C. Karışık stratejide her turda tek bir saf hamle oynanır, hangisi olacağını şans belirler. Burak ne oynarsa oynasın Ayşe'nin beklenen kazancı 1/3 · (+1) + 1/3 · 0 + 1/3 · (−1) = 0'dır; bu yüzden Burak'ın hep Kağıt oynaması bunu değiştirmez. Sıra izlemek tahmin edilebilir ve yenilir; tek tek turlar berabere bitmek zorunda değildir.
Orta · Çoktan Seçmeli · En iyi tepki
Soru 8
Burak Taş-Kağıt-Makas'ta (0,5 Taş, 0,3 Kağıt, 0,2 Makas) oynuyor (kazanan +1, kaybeden −1). Ayşe'nin en iyi tepkisi hangi hamledir?
Doğru cevap A. Her hamlenin beklenen kazancı: E[Taş] = −0,3 + 0,2 = −0,1; E[Kağıt] = 0,5 − 0,2 = 0,3; E[Makas] = −0,5 + 0,3 = −0,2. argmax = Kağıt. Hamleler ancak Burak (1/3, 1/3, 1/3) oynasaydı eşit iyi olurdu.
Orta · Hesaplama Sorusu · Beklenen değer
Soru 9: Kart Çekme Oyunu
52 kartlık desteden rastgele bir kart çekiliyor. As (4 kart) gelirse 26 TL, resim kartı (Vale, Kız, Papaz: 12 kart) gelirse 5 TL kazanılıyor; diğer kartlar hiçbir şey kazandırmıyor. Oyuna giriş 3 TL.
a) Üç sonucun olasılıklarını yazın ve toplamlarının 1 olduğunu kontrol edin.
b) Beklenen ödülü bulun.
c) Net beklenen kazanç kaçtır? Bu oyun oynanır mı?
Cevabı göster
a) P(as) = 4/52, P(resim) = 12/52, P(diğer) = 36/52. Toplam (4 + 12 + 36)/52 = 52/52 = 1 ✓
b) E = 26 · 4/52 + 5 · 12/52 + 0 · 36/52 = 104/52 + 60/52 = 164/52 ≈ 3,15 TL.
c) Net ≈ 3,15 − 3 = +0,15 TL her oyunda: uzun vadede küçük bir kâr. Tek bir oyunda ise büyük olasılıkla (36/52) hiçbir şey kazanılmaz; beklenen değer tek oyunun sonucunu değil, ortalamayı söyler.
Orta · Hesaplama Sorusu · En iyi tepki
Soru 10: En İyi Tepkileri İşaretle
Ayşe satır (Yukarı/Aşağı), Burak sütun (Sol/Sağ) oyuncusudur.
| Ayşe ↓ / Burak → | Sol | Sağ |
|---|---|---|
| Yukarı | (4, 1) | (1, 3) |
| Aşağı | (2, 2) | (3, 0) |
a) Burak'ın her sütunu için Ayşe'nin, Ayşe'nin her satırı için Burak'ın en iyi tepkisini bulun.
b) İki sayısı da işaretli bir hücre var mı? Bu ne anlama gelir?
Cevabı göster
a) Burak Sol → Ayşe Yukarı (4 > 2); Burak Sağ → Ayşe Aşağı (3 > 1). Ayşe Yukarı → Burak Sağ (3 > 1); Ayşe Aşağı → Burak Sol (2 > 0).
b) Hayır: her hücrede en az bir oyuncu başka seçeneğe geçmek ister. En iyi tepkiler döngü kurar (Yukarı-Sol → Yukarı-Sağ → Aşağı-Sağ → Aşağı-Sol → …). Saf strateji dengesi yoktur; oyuncular karıştırmalıdır (Soru 13).
İleri · Hesaplama Sorusu · Doğrusal denklem
Soru 11: İki Bilinmeyenli Denklem
Burak Sol'u x, Sağ'ı y olasılığıyla oynuyor. Ayşe'nin Yukarı'da 4 (Sol) ve 0 (Sağ), Aşağı'da 1 (Sol) ve 2 (Sağ) kazancı var. Ayşe'nin kayıtsız olması için:
x + y = 1 ve 4x + 0y = 1x + 2y
a) Sistemi çözün.
b) Sonucu iki denklemde de kontrol edin ve Ayşe'nin beklenen kazancını bulun.
Cevabı göster
a) İkinci denklem: 4x − x = 2y ⇒ 3x = 2y ⇒ y = 3x/2. Birinciye yerleştir: x + 3x/2 = 1 ⇒ 5x/2 = 1 ⇒ x = 2/5, y = 3/5.
b) 2/5 + 3/5 = 1 ✓. Yukarı: 4 · 2/5 = 8/5; Aşağı: 1 · 2/5 + 2 · 3/5 = 2/5 + 6/5 = 8/5 ✓. İki satır eşit: Ayşe'nin beklenen kazancı 8/5 = 1,6.
Sık hata: y = 1 − x yazmayı unutup tek denklemle iki bilinmeyen bulmaya çalışmak.
İleri · Çoktan Seçmeli · Kayıtsızlık
Soru 12
2×2 bir oyunun karışık dengesinde Ayşe Yukarı'yı p olasılığıyla oynuyor. p hangi koşuldan bulunur?
Doğru cevap B. Ayşe karıştırdığında amacı Burak'ın bir sütunu sömürmesini önlemektir: p, Burak'ı kayıtsız bırakacak biçimde seçilir. Ayşe'nin kendi iki satırını eşitleyen koşul Burak'ın olasılığını (q) verir. p = 1/2 yalnızca bazı oyunlarda doğru çıkar (Kart Gösterme'de p = 1/3).
İleri · Hesaplama Sorusu · Kayıtsızlık
Soru 13: Karışık Dengeyi Bul
Soru 10'daki oyun (saf dengesi yok):
| Ayşe ↓ / Burak → | Sol | Sağ |
|---|---|---|
| Yukarı | (4, 1) | (1, 3) |
| Aşağı | (2, 2) | (3, 0) |
Ayşe Yukarı'yı p, Burak Sol'u q olasılığıyla oynasın.
a) Ayşe'yi kayıtsız bırakan q'yu bulun.
b) Burak'ı kayıtsız bırakan p'yi bulun.
c) İki oyuncunun beklenen kazancı kaçtır?
Cevabı göster
a) E[Yukarı] = 4q + 1(1 − q) = 1 + 3q; E[Aşağı] = 2q + 3(1 − q) = 3 − q. Eşitle: 1 + 3q = 3 − q ⇒ 4q = 2 ⇒ q = 1/2.
b) E[Sol] = 1p + 2(1 − p) = 2 − p; E[Sağ] = 3p + 0(1 − p) = 3p. Eşitle: 2 − p = 3p ⇒ p = 1/2.
c) Ayşe: 1 + 3 · 1/2 = 2,5 (kontrol: 3 − 1/2 = 2,5 ✓). Burak: 3 · 1/2 = 1,5 (kontrol: 2 − 1/2 = 1,5 ✓).
Dikkat: Ayşe'nin denklemi Burak'ın q'sunu, Burak'ın denklemi Ayşe'nin p'sini verir.
İleri · Çoktan Seçmeli · Geriye doğru çıkarım
Soru 14
Ayşe önce Sol ya da Sağ der; Burak bunu görüp cevap verir. Yapraklarda (Ayşe, Burak) kazançları var. Geriye doğru çıkarımla hangi sonuca ulaşılır?
Doğru cevap D. Yapraktan başla. Sol'dan sonra Burak b'yi seçer (3 > 1) ⇒ (0, 3). Sağ'dan sonra Burak c'yi seçer (2 > 0) ⇒ (1, 2). Ayşe kökte 0 ile 1'i karşılaştırır ve Sağ der: sonuç (1, 2). (3, 0) Ayşe'nin en büyük sayısıdır ama Burak d'yi hiç seçmez; (2, 1) için de Burak'ın a'yı seçmesi gerekirdi.
İleri · Hesaplama Sorusu · Olasılık ve beklenen değer
Soru 15: En Az Bir 6
İki zar atılıyor. En az birinde 6 gelirse 10 TL kazanılıyor, aksi hâlde hiçbir şey kazanılmıyor. Oyuna giriş 3 TL.
a) En az bir 6 gelme olasılığını bulun.
b) Net beklenen kazanç kaçtır?
c) "1/6 + 1/6" ile hesaplayan biri hangi yanlış sonuca ulaşır?
Cevabı göster
a) Tümleyen: hiç 6 gelmemesi (5/6) · (5/6) = 25/36. O hâlde P(en az bir 6) = 1 − 25/36 = 11/36. (36 sonuçtan 6 içerenleri saymak da aynı sonucu verir: 6 + 6 − 1 = 11.)
b) E[ödül] = 10 · 11/36 = 110/36 ≈ 3,06 TL; net ≈ 3,06 − 3 = +0,06 TL: neredeyse adil, çok hafif kârlı.
c) 12/36 = 1/3 bulur; E[ödül] = 10/3 ≈ 3,33 TL ve net ≈ +0,33 TL der. (6, 6) sonucu iki kez sayıldığı için kâr olduğundan büyük görünür.