Bölüm 12: Davranışsal ve Kolektif Karar

12.1Davranışsal karar

Oyun kuramının klasik modelinde her oyuncu beklenen faydasını maksimize eder, hesap hatası yapmaz ve yalnızca kendi kazancını önemser. Bu varsayımlar modelleri sade tutar ve çoğu zaman şaşırtıcı derecede iyi öngörüler verir. Ama insanlarla yapılan deneyler, bazı durumlarda öngörülerin açıkça tutmadığını gösterir. Davranışsal oyun kuramı bu sapmaları “insanlar irrasyoneldir” diye geçiştirmez; sapmaların hangi yönde ve ne büyüklükte olduğunu ölçer ve modele katar. Bu kısım önce bireysel kararları ele alır: risk altında seçim, referans noktası, çerçeveleme ve hatalı ama akıllı seçim.

12.1.1Bir oyunla başlangıç: Kamu Malı Oyunu

Bölümün bütün konularını bağlayan oyun, kamu malı oyunudur (public goods game). Kurallar kısadır. Dört oyuncu her tur 10 jeton alır. Her biri dilediği kadarını ortak havuza katar. Havuzdaki jetonlar 1,6 ile çarpılır ve dört oyuncuya eşit bölünür. Havuza katılmayan jeton oyuncunun cebinde kalır.

Oyuncu i'nin havuza kattığı jeton sayısı k_i olsun. Bir turdaki kazancı şöyle yazılır:

u_i = 10 − k_i + 1,6 · (k₁ + k₂ + k₃ + k₄) / 4 = 10 − k_i + 0,4 · Σk

Formüldeki 0,4, çarpanın (1,6) oyuncu sayısına (4) bölümüdür. Şekil 12.1 bir jetonun yolculuğunu gösterir. Oyuncu havuza 1 jeton kattığında o jeton 1,6 olur ve dörde bölünür; her oyuncuya 0,4 düşer. Katan oyuncu 1 jeton vermiş, 0,4 geri almıştır: neti −0,6'dır. Öteki üç oyuncunun her biri ise hiçbir şey vermeden 0,4 kazanmıştır; üçünün toplam kazancı +1,2'dir.

Bu küçük hesap bölümün ana gerilimini taşır. Grubun bakış açısından her jeton katkısı değerlidir: verilen 1 jeton gruba toplam 1,6 döndürür. Bireyin bakış açısından ise her jeton katkısı zararlıdır: verilen 1 jeton katana yalnızca 0,4 döndürür. Herkes 10 katarsa havuz 40 olur, 64'e çıkar ve herkes 16 alır. Kimse katmazsa herkes 10 ile kalır. Grubun en iyisi tam katkıdır, ama bireyin en iyisi (ötekiler ne yaparsa yapsın) hiç katmamaktır. Bu türden bir durum, bir grubun ortak çıkarına hizmet eden ama bireysel olarak maliyetli bir katkı gerektiren her yerde ortaya çıkar: ortak bir projede çalışmak, bir parkı temiz tutmak, açık kaynak bir yazılıma katkı vermek.

Oyuna başlamadan iki soru sorulabilir. Birincisi: dört kişilik bir grupta ilk turda ortalama kaç jeton katılır, on tur sonra kaç? İkincisi: katkısı 3 jetondan az olana 2 jeton ceza kesilirse (oyundaki “Cezalı katkı” senaryosu) katkılar nasıl değişir? Kuramın cevabı ve deneylerde gözlenen davranış birbirinden belirgin biçimde farklıdır. İki cevap da 12.4'te ayrıntılı olarak hesaplanır; bu arada bölümün öteki araçları, farkı açıklamak için gereken modelleri sağlar.

12.1.2Sınırlı rasyonellik

Klasik karar kuramında karar verici bütün seçenekleri bilir, her birinin sonuçlarını ve olasılıklarını hesaplar ve beklenen faydası en büyük olanı seçer. Herbert Simon 1955'te bu resmin gerçek insanlara uymadığını öne sürdü. Bilgimiz eksiktir, zamanımız kısıtlıdır, aklımızda aynı anda tutabildiğimiz seçenek sayısı azdır.

Bir örnekle düşünülebilir. Bir öğrenci yaz stajı için şirket arıyor. Tam rasyonel bir karar verici bütün şirketleri listeler, her birinin maaşını, öğrenme fırsatını, ulaşım süresini puanlar ve en yüksek toplamı seçer. Gerçek öğrenci ise birkaç şirkete başvurur ve “İstanbul'da olsun, en az asgari ücret versin, yazılım işi olsun” koşullarını sağlayan ilk teklifi kabul eder. Bu davranış hesap maliyetini düşürür; bedeli, belki de daha iyi bir teklifi kaçırmaktır.

Davranışsal araştırmanın en önemli bulgusu şudur: insanların rasyonel modelden sapmaları rastgele değil sistematiktir. Aynı hatalar farklı kişilerde, farklı ülkelerde, tekrar tekrar gözlenir. Rastgele hatalar ortalamada birbirini götürür ve modelleri bozmaz. Sistematik hatalar ise belirli bir yöne doğrudur; ama tam da bu yüzden ölçülebilir ve bir formülle modele eklenebilir. Bu bölümdeki modellerin hepsi bu fikre dayanır.

Sapmaların nedenleri dört başlıkta toplanabilir: bilgi eksikliği, zaman baskısı, duygular ve kısa yollar. Kısa yollara sezgisel kurallar (heuristics) denir: “herkes bu ürünü alıyorsa iyidir”, “geçen sefer işe yaradıysa yine yarar” gibi hızlı ama bazen yanıltan kurallar. Sık görülen dört sistematik sapma Tablo 12.1'de özetlenmiştir.

Aşırı güven (overconfidence), insanların kendi bilgisinin doğruluğunu abartmasıdır. Borsada sık alım satım yapan bireysel yatırımcılar, işlem maliyetleri yüzünden ortalamada daha az kazanır; ama her biri kendi tahmininin piyasadan iyi olduğuna inanır.

Taban oranı ihmali en iyi bir sayıyla anlaşılır. Bir hastalık nüfusun %1'inde görülsün. Bir test hastaların %90'ında pozitif, sağlıklıların %9'unda yanlışlıkla pozitif çıksın. 1000 kişilik bir grupta 10 hasta vardır; bunların 9'u pozitif çıkar. 990 sağlıklının yaklaşık 89'u da pozitif çıkar. Pozitif çıkan 98 kişiden yalnızca 9'u gerçekten hastadır; yani pozitif sonuçtan sonra hasta olma olasılığı yaklaşık %9'dur. İnsanların çoğu ise “test %90 doğru” diye düşünüp bu olasılığı %90'a yakın tahmin eder: hastalığın yaygınlığını, yani ön olasılığı göz ardı eder. Bu hesap, Bayes kuralının ön olasılık ve son olasılık arasındaki bağının sezgiye ne kadar ters gelebileceğini gösterir. Aynı Bayes hesabı bilgi şelalelerinde (12.6.2) yeniden kullanılır.

Çerçeveleme ve kayıptan kaçınma ise ayrı birer modelle açıklanır: beklenti kuramı.

12.1.3Beklenti kuramı ve değer fonksiyonu

Klasik beklenen fayda kuramında bir kişi sonuçları toplam servetine göre değerlendirir. Serveti 100.000 TL olan biri için 1.000 TL kazanmak, servetin 100.000'den 101.000'e çıkmasıdır. Daniel Kahneman ve Amos Tversky 1979'da bunun insanların gerçek değerlendirme biçimine uymadığını gösterdi. İnsanlar sonuçları bir referans noktasına (reference point) göre kazanç ya da kayıp olarak algılar. Referans noktası çoğu zaman mevcut durumdur, ama bir beklenti ya da hedef de olabilir.

Değer fonksiyonunun üç özelliği vardır ve her biri bir davranışı açıklar. Şekil 12.2 bu özellikleri tek bir eğri üzerinde gösterir.

1. Kazançta içbükeylik. x^0,88 fonksiyonu x'ten yavaş büyür. Üs 1'den küçük olduğu için sayı büyüdükçe artış hızı azalır. Sayılarla: v(100) = 100^0,88 ≈ 57,5 ve v(200) = 200^0,88 ≈ 105,9'dur. Tutar iki katına çıktığında değer 2 kat değil, yalnızca 2^0,88 ≈ 1,84 kat artar. Eğri sağa doğru gittikçe yatıklaşır. Bu, “ilk 100 TL'nin sevinci, ikinci 100 TL'ninkinden büyüktür” demektir. Bu özelliğin sonucu, kazanç bölgesinde riskten kaçınmadır: kesin 100 TL, yarı yarıya 200 TL ya da 0 TL'lik bir piyangodan daha değerli bulunur, çünkü 57,5 > ½ · 105,9 ≈ 53,0.

2. Kayıpta dışbükeylik. Kayıp tarafında da aynı azalan duyarlılık vardır: ilk 100 TL'lik kayıp, ikinci 100 TL'lik kayıptan daha acıdır. Ama bu kez sonuç ters yöndedir. Kesin 100 TL kayıp v(−100) ≈ −129,5 değerindedir; yarı yarıya 200 TL kayıp ya da 0 TL kayıp ise ½ · v(−200) ≈ ½ · (−238,3) ≈ −119,1 değerindedir. Riskli seçenek daha az kötü hissedilir: kayıp bölgesinde insanlar risk sever. “Kaybı kesinleştirmektense kumar oynamak” davranışı buradan gelir; zarar eden bir hisseyi “belki geri döner” diye satmamak buna bir örnektir.

3. Kayıpta daha dik. Aynı büyüklükteki kayıp, kazançtan λ = 2,25 kat daha ağır gelir: v(−100) = −2,25 · 57,5 ≈ −129,5. Eğrinin referans noktasında bir kırılma vardır; sağdan gelirken eğim yumuşak, soldan gelirken diktir. Bu kırılma, sıfır beklenen değerli adil bahislerin bile reddedilmesini açıklar (12.1.4).

Referans noktasının etkisi tek bir örnekle görülebilir. 10.000 TL yılsonu ikramiyesi bekleyen bir çalışan 9.000 TL alırsa bunu 1.000 TL'lik bir kayıp gibi yaşar. Hiç ikramiye beklemeyen biri için aynı 9.000 TL büyük bir kazançtır. İki kişinin serveti aynı miktarda artmıştır; klasik kurama göre ikisi de aynı derecede memnun olmalıdır. Beklenti kuramına göre ise memnuniyet, sonucun referans noktasına göre nerede durduğuna bağlıdır.

12.1.4Kayıptan kaçınma: yazı-tura bahsi

Kayıptan kaçınmanın en temiz testi adil bir bahistir. Bir para atılır; yazı gelirse 100 TL kazanılır, tura gelirse 100 TL kaybedilir. Beklenen değer ½ · 100 + ½ · (−100) = 0'dır. Risk nötr bir karar verici için bahse girmek ile girmemek aynıdır. Deneylerde ise insanların büyük çoğunluğu bu bahsi reddeder. Beklenti kuramı bunu şöyle açıklar.

Doğal soru şudur: kazanç ne kadar olursa bahis kabul edilir? Kazanç G olsun, kayıp yine 100 TL. Bahsin kabul edilmesi için beklenti değeri sıfırdan büyük olmalıdır. Sınır, iki terimin eşit olduğu noktadır.

Üçüncü adımdaki işlem, üslü denklemin tersini almaktır. y^a = b ise y = b^1/a'dır; çünkü (b^1/a)^a = b. Burada a = 0,88, 1/a ≈ 1,136 ve 2,25^1,136 ≈ 2,51'dir. Değer fonksiyonu doğrusal olsaydı (üs 1) eşik tam λ · 100 = 225 TL olurdu; içbükeylik büyük kazançları biraz daha az değerli kıldığı için eşik 251'e çıkar.

12.1.5Olasılık ağırlığı

Beklenti kuramının ikinci bileşeni olasılıkların algılanma biçimidir. Klasik kuramda %1'lik olasılık tam olarak 0,01 ağırlık alır. Deneyler, insanların küçük olasılıkları olduğundan büyük, büyük olasılıkları olduğundan küçük hissettiğini gösterir. Bu algılanan ağırlığa olasılık ağırlığı (probability weighting) denir ve w(p) ile gösterilir.

Tablo 12.2'ye göre %1'lik bir olasılık yaklaşık %5,5 gibi hissedilir: beş kattan fazla abartılır. %50 yaklaşık %42, %99 yaklaşık %91 gibi algılanır: orta ve büyük olasılıklar küçümsenir. Kesinlik ise (p = 1) tam ağırlık alır; bu yüzden %99'dan %100'e geçiş, %50'den %51'e geçişten çok daha değerli bulunur.

Bu ağırlıklar, birbirine zıt görünen iki davranışın aynı kişide neden birlikte görüldüğünü açıklar. Piyango bileti alan biri, çok küçük bir kazanma olasılığını abartır: %0,01'lik şans ona daha büyük gelir. Aynı kişi evini sigortalatırken de küçük bir felaket olasılığını abartır ve beklenen hasardan fazla prim ödemeye razı olur. Beklenen değere dayanan bir karar verici bu iki davranışı birlikte açıklayamaz: ya kumar sever ya sigorta sever. Olasılık ağırlığıyla ikisi de aynı kaynaktan gelir: küçük olasılıkların abartılması.

12.1.6Kod izleme: beklenti()

Kazanç tutarı değiştikçe bahsin değerinin nasıl değiştiğini görmek için kısa bir Python programı yazılabilir. Program önce değer fonksiyonu v(x)'i, sonra yarı yarıya +G kazanç ve −K kayıp veren bir bahsin beklenti değerini tanımlar ve dört farklı kazanç tutarını dener.

def v(x):
    if x >= 0: return x ** 0.88
    return -2.25 * (-x) ** 0.88
def beklenti(G, K):      # ½: +G, ½: −K
    return 0.5 * v(G) + 0.5 * v(-K)
for G in [100, 200, 251, 300]:
    print(G, round(beklenti(G, 100), 1))

Kod satır satır şöyle çalışır:

• v(x), Tanım 12.2'deki değer fonksiyonudur. x >= 0 ise kazanç kolu x ** 0.88 çalışır; değilse kayıp kolu -2.25 * (-x) ** 0.88 çalışır. Kayıp kolunda -x pozitif bir sayıdır; kuvvet alınır, sonra −2,25 ile çarpılır.
• beklenti(G, K), ½ olasılıkla +G ve ½ olasılıkla −K veren bahsin değeridir. Olasılık ağırlığı burada kullanılmaz; ½ doğrudan ağırlık alır.
• Döngü G için 100, 200, 251 ve 300 değerlerini dener; kayıp hep 100'dür. Her biri için değer bir ondalığa yuvarlanıp yazdırılır.

Program çıktısı dört satırdır: 100 -36.0, 200 -11.8, 251 -0.1, 300 10.9. Tablo 12.3 her satırın nasıl oluştuğunu gösterir. G = 100 iken bahis adildir ama beklenti değeri −36,0'dır. G = 200 iken beklenen değer +50'dir, yani risk nötr biri bahsi hemen kabul ederdi; beklenti değeri ise hâlâ −11,8'dir ve bahis reddedilir. G = 251'de değer neredeyse sıfırdır (−0,1): Örnek 12.3'teki eşik tam burasıdır. G = 300'de değer +10,9 olur ve bahis artık kabul edilir.

Şekil 12.3 iki ölçüt arasındaki farkı görsel olarak verir. Mavi çubuklar (beklenen değer) soldan sağa düzenli büyür. Turuncu çubuklar (beklenti değeri) ilk üç bahiste sıfırın altındadır. +200 / −100 bahsi, beklenen değeri +50 olduğu hâlde reddedilir. Kayıptan kaçınma bu farkın tamamını açıklar: λ = 2,25 ile kayıp o kadar ağır gelir ki kazanç 251 TL'yi aşmadan bahis kabul edilmez.

12.1.7Bağış etkisi ve statüko yanlılığı

Kayıptan kaçınma yalnızca bahislerde değil, sahip olunan eşyaların değerlendirilmesinde de görülür. Klasik kurama göre bir kupanın değeri, kupayı kimin elinde tuttuğuna bağlı değildir. Kahneman, Knetsch ve Thaler (1990) bu öngörüyü basit bir deneyle sınadı. Bir sınıftaki öğrencilerin yarısına rastgele birer kupa verildi. Kupa sahiplerine kupayı en az kaça satacakları, kupası olmayanlara en çok kaça alacakları soruldu.

Sonuç açıktı: kupa sahiplerinin istediği en düşük satış fiyatı, alıcıların ödemeye razı olduğu en yüksek fiyatın yaklaşık iki katıydı. Kupalar rastgele dağıtıldığı için iki grubun zevkleri ortalamada aynıdır. Klasik kurama göre kupaların yaklaşık yarısının el değiştirmesi gerekirdi; gerçekte beklenenden çok daha az takas oldu.

Beklenti kuramı bu etkiyi referans noktasıyla açıklar. Kupa sahibinin referans noktası “kupam var” durumudur; kupayı vermek bir kayıptır. Kupası olmayanın referans noktası “kupam yok” durumudur; kupayı almak bir kazançtır. Kayıp λ kat ağır geldiği için satıcı, alıcının ödeyeceğinden fazlasını ister.

Deneyde ölçülen oran (yaklaşık 2) bu modelin öngördüğüne yakındır. Bağış etkisinin önemli bir sonucu, kaynakların kendiliğinden en çok değer verenlere akmamasıdır. Ekonomide Coase teoremi, işlem maliyetleri yoksa kaynakların başlangıçta kime verildiğinin verimliliği etkilemediğini söyler. Bağış etkisi bu sonucu zayıflatır: başlangıç dağılımı, takasın ne kadar olacağını belirler.

Aynı mekanizmanın günlük hayattaki karşılığı statüko yanlılığıdır (status quo bias). Varsayılan seçenekten ayrılmak da bir kayıp gibi algılanır. Emeklilik planlarında “katılmak isteyen başvursun” kuralı yerine “herkes otomatik katılır, isteyen ayrılsın” kuralı uygulanınca katılım oranı belirgin biçimde artar. İki kuralda seçenekler aynıdır; değişen yalnızca referans noktasıdır. Yazılım tasarımında varsayılan ayarların bu kadar önemli olmasının nedeni de budur: kullanıcıların çoğu varsayılanı değiştirmez.

12.1.8Çerçeveleme etkisi

Referans noktası kişinin kendi durumundan gelebileceği gibi, seçeneklerin nasıl sunulduğundan da gelebilir. Tversky ve Kahneman (1981) bunu ünlü “Asya hastalığı” sorusuyla gösterdi. Katılımcılara 600 kişiyi etkilemesi beklenen bir salgın için iki program arasında seçim yaptırıldı. Bir gruba seçenekler kurtulanlar üzerinden, öteki gruba ölenler üzerinden anlatıldı.

Tablo 12.4'teki dört program aslında iki programdır. A'da 200 kişi kurtulur, yani 400 kişi ölür: A ile C aynı sonuçtur. B'de 1/3 olasılıkla herkes kurtulur, 2/3 olasılıkla herkes ölür; D'de de öyle: B ile D aynı piyangodur. Dört programda da beklenen kurtulan sayısı 200'dür: ⅓ · 600 = 200.

Beklenen fayda kuramına göre tercih değişmemelidir, çünkü iki çerçevedeki seçenekler aynıdır. Gözlenen ise çoğunluğun kesin seçenekten (%72) riskli seçeneğe (%78) dönmesidir. Beklenti kuramı bu dönüşü değer fonksiyonunun şekliyle açıklar. Kazanç çerçevesinde referans noktası “herkes ölür” durumudur ve kurtulanlar kazançtır. Kazanç bölgesinde değer fonksiyonu içbükeydir: kesin 200 kurtulan, yarıdan az bir olasılıkla 600 kurtulandan değerli gelir. Kayıp çerçevesinde referans noktası “kimse ölmez” durumudur ve ölenler kayıptır. Kayıp bölgesinde fonksiyon dışbükeydir: kesin 400 ölü, 2/3 olasılıkla 600 ölüden daha kötü hissedilir.

Çerçeveleme etkisinin uygulamadaki karşılıkları çoktur. “Bu ameliyatta hastaların %90'ı hayatta kalır” cümlesi, “%10'u ölür” cümlesinden daha fazla onay alır. Bir indirim “nakit ödemede indirim” olarak sunulduğunda, aynı fark “kartla ödemede ek ücret” olarak sunulduğundan daha az tepki çeker. Bir platform tasarlayan mühendis için ders şudur: seçeneklerin sunuluş biçimi tarafsız değildir ve kullanıcı davranışını değiştirir.

12.1.9Beklenti kuramında sık hatalar

Beklenti kuramının kavramları birbirine yakın olduğu için sık karıştırılır. Aşağıdaki dört yanılgı, sınavlarda ve tartışmalarda en sık görülenlerdir.

12.1.10Kuantal tepki

Nash dengesi her oyuncunun her zaman en iyi tepkiyi verdiğini varsayar. En iyi tepki, öteki oyuncuların seçimi sabitken kazancı en büyük yapan stratejidir. Gerçek insanlar ise daha iyi seçeneği daha sık seçer ama her zaman değil. Seçenekler arasındaki fark küçükse sık sık yanlış olanı seçerler; fark büyüdükçe hata azalır. Bir öğrenci, sınavda iki yakın şıktan birini seçerken yarı yarıya yanılabilir; şıklardan biri açıkça saçmaysa onu neredeyse hiç seçmez.

Bu davranışı modellemenin en yaygın yolu logit seçimdir (logit choice). Fikir şudur: her seçeneğe kazancıyla artan bir “çekim” verilir ve seçenekler çekimleriyle orantılı olasılıkla seçilir. Çekim olarak üstel fonksiyon kullanılır. e ≈ 2,718 sabit bir sayıdır ve e^x, x büyüdükçe hızla büyür; her zaman pozitiftir.

Buradaki λ, kayıptan kaçınmadaki λ = 2,25 ile ilgisizdir; iki ayrı modelde aynı harf kullanılması gelenekten kaynaklanır. Logit seçimde λ'yı “dikkat” ya da “hassasiyet” gibi düşünmek yararlıdır. λ = 0 iken bütün üsler e⁰ = 1 olur ve her seçenek eşit olasılık alır: oyuncu kazançlara hiç bakmıyordur. λ büyüdükçe kazanç farkları büyütülür; en yüksek kazançlı seçeneğin çekimi ötekileri bastırır ve sınırda bütün olasılık ona gider.

İki seçenek olduğunda formül sadeleşir. Seçenekler “iyi” ve “kötü” olsun, aradaki kazanç farkı d = u(iyi) − u(kötü) olsun. Pay ve payda e^λ·u(iyi)'ye bölünürse:

P(iyi) = 1 / (1 + e^−λ·d)

Bu yalnızca kazanç farkına bağlı olan S biçimli bir eğridir. Fark 0 iken olasılık ½'dir; fark büyüdükçe 1'e yaklaşır.

Üç seçenekte de formül aynı biçimde uygulanır. Kazançlar 4, 3 ve 1, λ = 1 olsun. Çekimler e⁴ ≈ 54,6, e³ ≈ 20,1 ve e¹ ≈ 2,7; toplam yaklaşık 77,4'tür. Olasılıklar yaklaşık 0,705, 0,259 ve 0,035 olur. En iyi seçenek en sık seçilir; ikinci seçenek, kazancı yakın olduğu için hâlâ dörtte bir olasılık alır; açıkça kötü olan üçüncü seçenek neredeyse hiç seçilmez. Logit seçim “hata yapılır ama büyük hata nadirdir” sezgisini tam olarak bu biçimde sayıya çevirir.

Oyunlarda bu fikir bir denge kavramına dönüşür. Her oyuncunun beklenen kazancı ötekilerin olasılıklarına bağlıdır; ötekiler de logit tepki veriyorsa olasılıklar birbirine bağlanır.

QRE, Nash dengesini genelleştirir: Nash dengesi “sıfır hatalı” uç durumdur. Bu sayede QRE, deneylerde gözlenen ama Nash'in açıklayamadığı sistematik sapmaları tek bir parametreyle (λ) yakalayabilir. Bunun en çarpıcı örneği asimetrik Yazı-Tura oyunudur (12.1.11).

Hatalı davranışı modellemenin tek yolu bu değildir. Ayrı bir model olan seviye-k düşünme (level-k reasoning) hatayı değil akıl yürütme derinliğini sınırlar (Nagel, 1995). Seviye-0 oyuncu rastgele oynar. Seviye-1 oyuncu ötekilerin seviye-0 olduğunu varsayar ve onlara en iyi tepkiyi verir. Genel olarak seviye-k oyuncu ötekileri seviye k−1 sayar. Klasik “ortalamanın 2/3'ünü tahmin et” oyununda seviye-0 ortalama 50 tahmin eder; seviye-1, ⅔ · 50 ≈ 33; seviye-2, ⅔ · 33 ≈ 22 der. Nash dengesi (herkes 0) ancak sonsuz derinlikte ulaşılan noktadır; deneylerde tahminler çoğunlukla 33 ve 22 civarında yoğunlaşır. QRE “her adımda biraz hata”, seviye-k ise “sınırlı sayıda adım” varsayar; iki model farklı deneyleri farklı başarıyla açıklar.

12.1.11Asimetrik Yazı-Tura

Klasik Yazı-Tura oyununda iki oyuncunun da tek saf dengesi yoktur ve karışık dengede ikisi de seçeneklerini ½ olasılıkla oynar. Goeree ve Holt (2001) bu oyunun asimetrik bir sürümünü inceledi: satır oyuncusunun bir hücredeki kazancı çok büyütüldü. Tablo 12.6'da hücrelerde önce satır, sonra sütun oyuncusunun kazancı yazılıdır.

Oyunda saf denge yoktur. (Üst, Sol)'da sütun Sağ'a kaçar (40 → 80); (Üst, Sağ)'da satır Alt'a kaçar (40 → 80); (Alt, Sağ)'da sütun Sol'a kaçar (40 → 80); (Alt, Sol)'da satır Üst'e kaçar (40 → 320). Döngü hiçbir hücrede durmaz. Karışık dengeyi bulmak için kayıtsızlık ilkesi kullanılır: karışık dengede bir oyuncu karıştırıyorsa, karıştırdığı her saf strateji ona aynı beklenen kazancı vermelidir. Aksi hâlde daha iyi olanı her zaman oynardı. Bu yüzden bir oyuncunun olasılığı, öteki oyuncuyu kayıtsız bırakacak biçimde belirlenir.

Bu sonuç ilk bakışta tuhaftır. Satır oyuncusu için (Üst, Sol) hücresinde çok büyük bir ödül vardır; sezgi, Üst'ü daha sık oynayacağını söyler. Nash dengesi ise “hayır, kendi kazancın senin olasılığını etkilemez” der. Deneyler sezginin tarafındadır: Goeree ve Holt'un (2001) deneylerinde satır oyuncuları büyük kazanca doğru açıkça kaydı ve Üst'ü yarıdan çok daha sık oynadı.

QRE bu kendi kazancı etkisini yakalar. Satırın Üst ile Alt arasındaki beklenen kazanç farkı (40 + 280q) − (80 − 40q) = 320q − 40, sütunun Sol ile Sağ arasındaki farkı (80 − 40p) − (40 + 40p) = 40 − 80p'dir. QRE'de iki logit denklemi aynı anda sağlanmalıdır:

p = 1 / (1 + e^{−λ(320q − 40)}),    q = 1 / (1 + e^{−λ(40 − 80p)})

Bu iki denklem kapalı bir formülle çözülemez; değerler bilgisayarla sayısal olarak bulunur (örneğin bir q değeri tahmin edilir, p hesaplanır, p'den yeni q hesaplanır ve tahmin, iki değer tutarlı olana kadar ikiye bölme yöntemiyle düzeltilir). Sonuçlar Tablo 12.7'de verilmiştir.

Tablonun bir satırı elle denetlenebilir. λ = 0,02 ve q = 0,37 iken satırın farkı 320 · 0,37 − 40 = 78,4'tür; e^{−0,02 · 78,4} = e^−1,568 ≈ 0,208 ve p = 1/1,208 ≈ 0,83 olur. p = 0,83 iken sütunun farkı 40 − 80 · 0,83 = −26,4'tür; e^0,528 ≈ 1,70 ve q = 1/2,70 ≈ 0,37 olur. İki değer birbirini doğrular.

Tablo üç aşama gösterir. λ = 0 iken iki oyuncu da rastgele oynar. λ küçükken (0,02) satır oyuncusu 320'ye kapılıp Üst'ü sık oynar (0,83); sütun oyuncusu bunu sezip Sol'u biraz azaltır (0,37), ama tam tepki vermez. λ büyüdükçe satır oyuncusu, sütunun Sağ'a kaçtığını hesaba katar; Üst olasılığı 0,71'e, sonra 0,52'ye iner ve sınırda Nash'in 1/2'sine döner. Deneylerdeki davranış orta λ değerlerine benzer. QRE'nin gücü, Nash'in tamamen göz ardı ettiği “kendi kazancına tepki” etkisini, ek bir varsayım olmadan, yalnızca hata payıyla açıklamasıdır.

12.2Sosyal tercihler

Önceki kısımdaki sapmalar kişinin kendi kazancını nasıl değerlendirdiğiyle ilgiliydi. Bu kısımdaki sapmalar ise kişinin başkalarının kazancını önemsemesiyle ilgilidir. Klasik modelde oyuncu yalnızca kendi parasını önemser; karşısındakinin ne aldığı, ona nasıl davranıldığı ya da sonucun adil olup olmadığı fayda fonksiyonunda yer almaz. Laboratuvar deneyleri bu varsayımın da sistematik biçimde bozulduğunu gösterir. Sosyal tercih modelleri, adalet, kıskançlık, suçluluk ve karşılıklılık gibi güdüleri fayda fonksiyonunun içine yazar; böylece oyuncular yine rasyoneldir, ama farklı bir şeyi maksimize ederler.

12.2.1Diktatör ve ültimatom oyunları

Sosyal tercihlerin en yalın ölçüsü iki küçük oyundur.

Yalnızca parayı önemseyen biri için iki oyunun çözümü kısadır. Diktatör oyununda vermenin hiçbir getirisi yoktur; diktatör 0 verir. Ültimatom oyununda yanıtlayan, pozitif her teklifi kabul etmelidir, çünkü 1 jeton bile 0'dan iyidir. Bunu bilen teklif eden en küçük pozitif teklifi (1 jeton) yapar. Bu sonuç geriye doğru çıkarımla bulunan alt oyun yetkin dengedir.

Gözlenen davranış iki oyunda da bu öngörüden belirgin biçimde ayrılır. Yüzü aşkın diktatör oyunu çalışmasını birleştiren bir meta-analizde diktatörlerin verdiği pay ortalama yaklaşık %28'dir; azımsanmayacak bir kesim de hiç vermez (Engel, 2011). Ültimatom oyununda teklifler tipik olarak %40–50 arasındadır ve %20'nin altındaki teklifler sık sık reddedilir. Şekil 12.4 kuramla gözlemi karşılaştırır.

İki oyun birlikte okunduğunda güdüler birbirinden ayrılabilir. Diktatör oyununda karşı tarafın hiçbir gücü yoktur; verilen pay ancak adalet duygusundan ya da özgecilikten (başkasının iyiliğini önemsemekten) gelebilir. Ültimatom oyununda ise teklif edenin ret korkusu vardır; diktatördeki %28'in üzerine eklenen pay büyük ölçüde stratejiktir, yani reddedilmemek içindir. Yanıtlayanın düşük teklifleri reddetmesi ise kendi parasından vazgeçmek demektir: 2 jetonu reddeden yanıtlayan 2 jeton kaybeder, ama teklif edeni 8 jetondan mahrum bırakır. Bu ret davranışı, yalnızca parayı önemseyen modelle açıklanamaz. Sosyal tercih modelleri bu güdüleri fayda fonksiyonunun içine yazarak hem verme hem ret davranışını açıklar.

12.2.2Eşitsizlikten kaçınma: Fehr–Schmidt modeli

Ernst Fehr ve Klaus Schmidt'in (1999) modeli, insanların yalnızca kendi kazançlarını değil, kazançlar arasındaki farkı da önemsediğini varsayar. Fark iki yönde rahatsız edicidir: karşıdakinden az almak kıskançlık, fazla almak suçluluk duygusu yaratır.

Formüldeki max(·, 0) ifadeleri, iki ceza teriminden en çok birinin çalışmasını sağlar. Oyuncu gerideyse (x_j > x_i) yalnızca α terimi, öndeyse yalnızca β terimi sıfırdan farklıdır; eşitlikte ikisi de sıfırdır. Parametrelere konan kısıtların her birinin bir anlamı vardır:

• β ≤ α: insanlar geride kalmaktan, önde olmaktan daha çok rahatsız olur.
• β < 1: önde olan biri, sırf eşitsizliği azaltmak için kendi parasını yakmaz. 1 jeton yakmak farkı 1 azaltır ve en çok β < 1 fayda kazandırır; yakılan 1 jetonun kaybı daha büyüktür.
• α = β = 0: klasik, yalnızca parayı önemseyen oyuncu elde edilir. Model klasik modeli özel bir durum olarak içerir.

Model üç oyunda farklı öngörüler verir. Her biri ayrı ayrı çözülür.

Bu sonuç, deneylerdeki iki kümeyi açıklar: diktatörlerin bir kısmı hiç vermez, bir kısmı eşit böler. Modelde ara değerler (ör. 2 ya da 3 vermek) ancak β = 1/2 sınır durumunda ortaya çıkar; gerçek verilerde görülen ara değerler, başka güdülerin (ör. iyi görünme isteği) de iş başında olduğunu düşündürür.

Kamu malı. Yeterince eşitsizlikten kaçınan bir oyuncu, ötekiler katkı yapıyorsa katkı yapar; çünkü katmazsa ötekilerden önde kalır ve β terimi onu rahatsız eder. Ötekiler katmıyorsa o da katmaz; çünkü tek başına katarsa geride kalır ve α terimi onu rahatsız eder. Bu davranışa koşullu işbirlikçi (conditional cooperator) denir. Laboratuvardaki kamu malı deneylerinin dinamiği (12.4) büyük ölçüde bu tipteki oyuncuların davranışından gelir.

12.2.3Ültimatomda kabul eşiği adım adım

α = 1 olan bir yanıtlayan için kabul eşiği 10/3'tür. Teklifler tam sayı jeton olduğunda hangi tekliflerin kabul edileceğini görmek için her teklif tek tek denetlenir. Kabul faydası u = s − 1 · (10 − 2s) = 3s − 10'dur ve reddin faydası 0'dır.

Tablo 12.8 her satırda aynı karşılaştırmayı yapar. 1 jetonluk teklif, 8 jetonluk farkın acısını karşılamaz; fayda −7'dir ve ret (0) daha iyidir. Teklif 1 artınca yanıtlayanın parası 1 artar, fark 2 azalır; fayda toplam 3 artar. Bu yüzden fayda −7, −4, −1, +2, +5 diye üçer üçer yükselir ve 3 ile 4 arasında sıfırı keser. Şekil 12.5 aynı sayıları çubuklarla gösterir.

Eşik 10α/(1 + 2α) = 10/3 ≈ 3,33 olduğundan en küçük kabul edilen tam sayı teklif 4'tür. Teklif eden yanıtlayanın α değerini biliyorsa 4 önerir ve 6 alır; 3 önerseydi reddedilir ve 0 alırdı. Bu sonuç, teklif edenin kendisi yalnızca parayı önemsese bile geçerlidir. Düşük teklifin reddi bir hata değil, adalet duygusunun sonucudur; teklif eden de bunu hesaba katan rasyonel bir oyuncudur. Böylece model hem yanıtlayanın reddini hem de teklif edenin “cömert” görünen teklifini aynı çerçevede açıklar.

12.2.4Karşılıklılık ve güven oyunu

Eşitsizlikten kaçınma yalnızca sonuçların dağılımına bakar: kim ne kadar aldı? İnsanlar ise çoğu zaman sonuca değil, o sonuca yol açan niyete tepki verir. Bunu ölçen klasik deney güven oyunudur.

Oyunun kurgusu dikkatle seçilmiştir. Gönderilen her dolar üçe katlandığı için, tam güven ve tam karşılıklılık durumunda iki taraf birlikte en çok kazanır: 10 dolar 30 dolar olur. Ama alıcının geri göndermek için hiçbir zorunluluğu yoktur. Deney tek atışta ve tam gizlilikte oynandı: katılımcılar birbirini tanımıyordu, birbirini bir daha görmeyecekti ve deneyi yapanlar bile kimin ne yaptığını bireysel olarak bilmiyordu. Böylece itibar ya da gelecekte karşılık görme gibi stratejik nedenler ortadan kaldırıldı.

Yalnızca parayı önemseyen oyuncular için çözüm geriye doğru çıkarımla bulunur. Son hamle alıcınındır; geri göndermek yalnızca kendi kazancını azaltır, bu yüzden y = 0'dır. Bunu bilen gönderen, gönderdiği her şeyi kaybedeceğini bilir; bu yüzden x = 0'dır. Kuramın öngörüsü: hiçbir şey gönderilmez, iki taraf da başlangıçtaki durumunda kalır.

Deneyde ise gönderenler ortalama 5,16 dolar gönderdi ve alıcılar ortalama 4,66 dolar geri yolladı (Şekil 12.6). Gönderenlerin büyük çoğunluğu bir miktar gönderdi; alıcıların bir kısmı gönderilenden fazlasını, bir kısmı hiçbir şeyi geri yolladı. Ortalama bir gönderen 10 dolarla başlayıp 10 − 5,16 + 4,66 = 9,50 dolarla bitirdi; ortalama bir alıcı 15,48 − 4,66 = 10,82 dolar tuttu.

Karşılıklılık ile eşitsizlikten kaçınma arasındaki fark bir düşünce deneyiyle görülebilir. Ültimatom oyununda yanıtlayana 2 jetonluk bir teklif gelsin. Birinci durumda teklifi karşıdaki kişi kendisi seçmiştir. İkinci durumda teklif, iki tarafın da etkileyemediği bir piyango ile belirlenmiştir. Eşitsizlikten kaçınma iki durumu ayırt edemez, çünkü iki durumda da sonuç (8, 2)'dir ve fayda aynıdır. Karşılıklılık ise ayırt eder: birinci durumda karşıdakinin bencil bir niyeti vardır ve ret bu niyeti cezalandırır; ikinci durumda cezalandırılacak bir niyet yoktur ve kabul daha olasıdır. Güven oyununda alıcının geri göndermesi de karşılıklılıkla açıklanır: gönderen güvendiğini göstermiştir ve alıcı bu iyi niyete yanıt verir.

12.3Kolektif kararlar ve ortak kaynaklar

Şimdiye kadar tek bir kişinin ya da iki kişinin kararları incelendi. Bu kısımdan itibaren odak, bir grubun birlikte ortaya çıkardığı sonuca kayar. Grup sonuçlarının temel sorunu, her bireyin kendi kararını verirken bunun öteki üyelere etkisini hesaba katmamasıdır. Bu kısım sorunu en klasik biçimiyle, ortak bir kaynağın aşırı kullanımıyla modeller; sonra çözümleri ve sonuçları değerlendirmek için kullanılan refah ölçütlerini ele alır.

12.3.1Bireysel ve toplumsal çıkar

Bir grubun aldığı karara kolektif karar (collective decision) denir. Grup kararlarında sosyal etki, uyma baskısı ve ortak çıkarlar rol oynar. Topluluklar kararlarını çoğunluk oyuyla, uzlaşıyla (consensus, herkesin razı olduğu ortak karar) ya da daha karmaşık oy sistemleriyle alır. Ama bir grubun sonucu her zaman açık bir oylamayla belirlenmez. Çoğu zaman sonuç, her bireyin kendi başına verdiği küçük kararların toplamıdır: kimse “trafik sıkışıklığı olsun” diye oy vermez, ama herkesin kendi yolunu seçmesi sıkışıklığı üretir.

Bireysel çıkar kişinin kendi faydasını, kolektif çıkar grubun toplam faydasını maksimize eder. İkisi çoğu zaman çelişir. Üç örnek bu çelişkinin farklı biçimlerini gösterir:

• Trafik. Her sürücü kendine en kısa yolu seçer; toplam gecikme, merkezi bir planlamanın sağlayacağından büyük olur. Bu, bencil yönlendirme ve anarşinin bedeli konusunun temel örneğidir: iki yollu Pigou ağında bencil denge, toplam gecikmeyi optimuma göre 4/3 kat artırır.
• İş grupları. Herkes kendi işine odaklanır; kimsenin tek başına sahiplenmediği ortak proje aksar. Bu bir kamu malı sorunudur (12.4).
• Ortak kaynak. Balıkçılık, mera, yeraltı suyu, atmosfer: herkesin kullanabildiği ama kullanıldıkça azalan kaynaklar aşırı kullanılır.

Son örneğin klasik adı ortak mallar trajedisidir (tragedy of the commons). Garrett Hardin 1968'de yayımladığı makalede, herkese açık bir meraya hayvan salan çobanları örnek verdi. Her çoban için bir hayvan daha eklemek, kazancın tamamını kendisine getirir; meranın bozulmasının maliyeti ise bütün çobanlara bölünür. Bu yüzden her çoban hayvan eklemeye devam eder ve mera tükenir. Hardin'in sözlü argümanı, oyun kuramıyla sayısal bir modele çevrilebilir.

12.3.2Ortak mallar trajedisi: sayısal model

Dört çoban ortak bir meraya hayvan salar. Çoban i'nin saldığı hayvan sayısı g_i, toplam hayvan sayısı G = g₁ + g₂ + g₃ + g₄ olsun. Mera kalabalıklaştıkça her hayvan daha az besi alır; hayvan başına değer 100 − G olsun. 100 hayvanda mera tamamen tükenir ve hayvanlar değersizleşir. Çobanın kazancı, hayvan sayısı çarpı hayvan başına değerdir:

u_i = g_i · (100 − G)

Bu model Cournot duopolüne çok benzer: orada firmalar üretim miktarı seçer ve fiyat toplam üretimle düşer; burada çobanlar hayvan sayısı seçer ve hayvan başına değer toplam hayvanla düşer. Bu benzerlik, çözüm yönteminin de aynı olduğunu gösterir: en iyi tepki türevle bulunur. Önce grubun en iyisi, sonra bireyin en iyisi hesaplanır.

Optimum bir anlaşma olarak düşünülebilir: “herkes 12,5 hayvan salsın.” Soru, bu anlaşmanın kendi kendini sürdürüp sürdürmediğidir. Bunun için bir çobanın, ötekiler anlaşmaya uyarken sapmak isteyip istemediğine bakılır.

Herkes aynı mantıkla hareket ederse sonuç Nash dengesidir. Dengeyi bulmak için çoban i'nin genel en iyi tepkisi yazılır. Ötekilerin toplam hayvanı G_−i olsun:

u_i = g_i(100 − g_i − G_−i)  ⇒  türev 100 − 2g_i − G_−i = 0  ⇒  g_i = (100 − G_−i) / 2

Şekil 12.7 üç durumu aynı eğri üzerinde gösterir. Eğrinin tepesi optimumdur. Tek bir çobanın sapması toplamı tepenin sağına iter; herkes sapınca toplam hayvan 80'e çıkar ve grup kazancı 1.600'e düşer. Trajedi şudur: dengede toplam kazanç optimumun yalnızca %64'üdür ve her çoban, anlaşmaya uyulsaydı alacağı 625 yerine 400 alır. Herkes kendi açısından doğru hesap yapmıştır; sonuç herkes için kötüdür. Bu yapı, Mahkûmun İkilemi'nin çok oyunculu ve sürekli stratejili bir biçimidir.

Dengenin neden optimumdan uzak olduğu dışsallık (externality) kavramıyla açıklanır. Dışsallık, bir kişinin kararının başkalarına verdiği ve kendi hesabına girmeyen etkidir. Çoban bir hayvan daha eklediğinde hayvan başı değer 1 azalır ve bu azalma meradaki bütün hayvanlara yansır. Çoban, bu kaybın yalnızca kendi hayvanlarına düşen kısmını hisseder; simetrik durumda dört çobandan biri olduğu için kaybın kabaca 1/4'ünü. Geri kalan 3/4, öteki çobanların sırtına biner ve çobanın hesabında yer almaz. Her çoban maliyetin bir kısmını görmezden geldiği için herkes fazla hayvan salar.

Dengeye nasıl ulaşılır? Çobanlar sırayla en iyi tepki verse de bu dengeye yakınsarlar. Başlangıçta mera boş olsun. Çoban 1, kimse yokken (100 − 0)/2 = 50 salar; çoban 2, 50'ye karşı 25; çoban 3, 75'e karşı 12,5; çoban 4, 87,5'e karşı 6,25 salar. Sonraki turlarda çoban 1 ötekilerin 43,75'ine karşı hayvanlarını azaltır, öteki çobanlar artırır. Turlar ilerledikçe dört sayı da 20'ye yaklaşır. Denge bu anlamda kararlıdır: yalnızca bir varsayım değil, makul bir öğrenme sürecinin vardığı noktadır.

12.3.3Çoban sayısı arttıkça ve çözümler

Çoban sayısı n değiştiğinde aynı hesap genel olarak yapılabilir. Simetrik dengede g = (100 − (n − 1)g)/2, yani (n + 1)g = 100 ve

g* = 100 / (n + 1),   G* = 100n / (n + 1)

Tablo 12.9 trajedinin çoban sayısıyla nasıl derinleştiğini gösterir. Tek çoban (n = 1) meranın tek sahibidir; bütün maliyeti kendisi hisseder ve optimumu seçer. İki çobanda kayıp küçüktür (%88,9). On çobanda grup, olası kazancın üçte birini bile alamaz. Yüz çobanda mera neredeyse tamamen tükenir (G* = 99) ve toplam kazanç sıfıra yaklaşır: n → ∞ iken G* → 100 ve toplam → 0. Bunun nedeni dışsallığın büyümesidir: n çobanlı merada her çoban kendi verdiği zararın yalnızca kabaca 1/n'ini hisseder. Büyük ve anonim gruplarda ortak kaynakların daha kolay tükenmesinin nedeni budur.

Trajediden çıkış için üç tür çözüm önerilmiştir.

1. Pigou vergisi. Ekonomist Arthur Pigou'nun adını taşıyan bu çözümde, dışsallık yaratan her birime bir vergi konur. Böylece bireyin hesabına, görmezden geldiği maliyet yeniden eklenir. Çoban hayvan başına t vergi öderse kazancı u_i = g_i(100 − G − t) olur.

Kontroldeki sayılar Pigou vergisinin önemli bir özelliğini gösterir: vergi toplam değeri yok etmez, yalnızca yer değiştirir. Toplanan vergi çobanlara geri dağıtılırsa (örneğin her birine eşit pay olarak, ama hayvan sayısından bağımsız biçimde) her çoban 625 alır ve herkes vergisiz dengeye göre daha iyi durumdadır. Verginin büyüklüğü, dengedeki dışsallığın büyüklüğüne denk gelecek biçimde seçilmiştir.

2. Kota ya da izin. Toplam hayvan sayısı doğrudan 50 ile sınırlanır ve haklar çobanlar arasında paylaştırılır. Haklar alınıp satılabilirse, hakkı en verimli kullanacak çobanlar onları satın alır. Balıkçılıktaki av kotaları ve karbon salımı izinleri bu çözümün örnekleridir. Kota, miktarı doğrudan belirler; vergi ise fiyatı belirler ve miktarı bireylerin kararına bırakır.

3. Yerel kurumlar. Elinor Ostrom'un çalışmaları, yerel toplulukların izleme, kademeli yaptırım ve ortak kurallarla kaynaklarını yüzyıllarca sürdürebildiğini gösterdi. Ostrom bu çalışmalarıyla 2009'da Nobel ekonomi ödülünü aldı. Bu üçüncü yolun ilkeleri 12.3.4'te verilir.

12.3.4Ostrom'un tasarım ilkeleri

Hardin'e göre ortak malın trajedisinden yalnızca iki çıkış vardı: ya kaynak devlet tarafından merkezi olarak denetlenir ya da özelleştirilip bölünür. Ostrom (1990) bu ikiliği sorguladı. İsviçre'nin Alp meralarından Japon köy ormanlarına, İspanya'nın sulama birliklerinden Filipinler'in sulama sistemlerine kadar, yüzyıllardır süren pek çok yerel yönetim düzenini inceledi. Bu düzenlerde kaynak ne devletindi ne de bölünmüştü; kullanıcılar ortak kurallarla kendi kendilerini yönetiyordu. Başarılı örneklerde ortak ilkeler buldu.

İlkeler oyun kuramının diliyle okunabilir. Açık sınırlar oyuncu kümesini sabitler; yabancıların gelip kaynağı tüketmesini önler ve “kim kime karşı oynuyor” sorusunu netleştirir. Kurallara katılım, kuralların yerel bilgiyle yapılmasını ve meşru görülmesini sağlar. İzleme, tekrarlı oyunda sapmanın fark edilmesini mümkün kılar; sapma görülmezse hiçbir ceza tehdidi işe yaramaz. Kademeli yaptırım iki işe yarar: küçük bir hata ya da yanlış anlama, topluluğu dağıtacak bir cezaya yol açmaz; tekrar eden ihlal ise giderek pahalılaşır. Ucuz çatışma çözümü, kuralların belirsiz kaldığı durumlarda anlaşmazlığın büyümeden çözülmesini sağlar. Bu mekanizmaların hepsi, tekrarlı oyunlarda işbirliğini sürdüren koşulları (gözlem, ceza, uzun ilişki) somut kurumlara çevirir.

Ostrom'un incelediği örneklerden biri Türkiye'dendir: Alanya'nın kıyı balıkçıları. 1970'lerde artan rekabet ve avlak yerleri için yaşanan kavgalar sonrasında balıkçılar kendi düzenlerini kurdu. Her sezon başında, avlanma hakkı olan balıkçılar listelenir ve adlandırılmış avlak yerleri kurayla dağıtılır. Sezon boyunca tekneler, balığın göç yönüne göre her gün bir sonraki avlağa geçerek sırayla yer değiştirir. Böylece herkes iyi ve kötü avlaklardan eşit yararlanır, kavga eden tekne sayısı azalır ve kuralın izlenmesi kolaydır: yanlış yerde avlanan tekne, o günün sahibi olan balıkçı tarafından hemen fark edilir. Kural devletten gelmemiştir, kaynak da bölünüp satılmamıştır; ama kurumsal düzen işler.

12.3.5Sosyal refah ölçütleri ve cehalet peçesi

Ortak mera örneğinde “optimum” sözcüğü toplam kazancı en büyük yapan durum için kullanıldı. Ama bir grubun sonuçlarını değerlendirmenin tek yolu toplam değildir. Bir politika toplamı artırırken birkaç kişiyi çok kötü durumda bırakabilir. Bu yüzden sosyal refah (social welfare) için birden çok ölçüt kullanılır.

Üç ölçüt aynı seçenekleri farklı sıralayabilir. Ortak meradaki optimum (G = 50, toplam 2.500) faydacı ölçütün en iyisidir. Nash sosyal refahı arada bir yerde durur: çarpım, toplamı önemser ama bir faydanın sıfıra yaklaşmasını ağır cezalandırır, çünkü tek bir sıfır bütün çarpımı sıfırlar.

Hangi ölçütün seçileceği felsefi bir sorudur, ama karar kuramı bu soruyu netleştiren bir araç verir. Filozof John Rawls'un ünlü düşünce deneyinde, bir toplumun kuralları, kimin hangi konumda olacağı bilinmeden seçilir. Karar verici bir cehalet peçesi (veil of ignorance) ardındadır: zengin mi yoksul mu, sağlıklı mı hasta mı doğacağını bilmez. Bu durumda toplumsal seçim, belirsizlik altında bir bireysel karar problemine dönüşür. Her politika bir “eylem”, her konum bir “doğa durumu”dur ve karar kuramının belirsizlik ölçütleri uygulanabilir.

• Her konuma eşit olasılık verip beklenen faydayı maksimize eden karar verici Laplace kuralını uygular. Beklenen fayda (1/n)Σu_i olduğundan bu kural faydacı ölçütle aynı politikayı seçer (Harsanyi, 1955).
• En kötü durumu en iyi yapmaya çalışan karar verici maksimin kuralını uygular ve eşitlikçi ölçüte varır (Rawls, 1971).

Peçe argümanının gücü, adalet üzerine bir tartışmayı, herkesin üzerinde anlaşabileceği bir karar probleminin yapısına indirmesidir. Tartışma ortadan kalkmaz; yalnızca yer değiştirir: “Hangi politika adildir?” sorusu “Belirsizlik altında hangi karar kuralı makuldür?” sorusuna dönüşür. Riskten çok kaçınan biri maksimine, risk nötr biri Laplace kuralına yakın durur. Bu ölçütler, kaynakların ve görevlerin adil paylaşımını inceleyen algoritmik adalet çalışmalarında da temel araçlardır.

12.4Kamu malı ve ceza

Ortak mera bir “alma” sorunudur: herkes ortak kaynaktan fazla alır. Kamu malı ise bir “verme” sorunudur: herkes ortak projeye az verir. İki sorunun yapısı aynıdır: bireyin kararı, kendi hesabına girmeyen bir etki yaratır. Bu kısım, bölümün başındaki Kamu Malı Oyunu'nu kuramsal olarak çözer, laboratuvar deneylerinin sonuçlarını sayısal bir modelle açıklar ve cezanın işbirliğini nasıl koruduğunu, nerede yetersiz kaldığını inceler.

12.4.1Laboratuvarda kamu malı

Kamu malı (public good), bir kişinin yararlanmasının başkasının yararlanmasını azaltmadığı ve kimsenin yararlanmaktan dışlanamadığı maldır: sokak aydınlatması, temiz hava, ulusal savunma, açık kaynak yazılım. Dışlanamama, katkı yapmayanın da yararlanabilmesi demektir. Katkı yapmadan başkalarının katkısından yararlanan kişiye beleşçi (free rider), bu davranışa beleşçilik (free riding) denir.

Kamu Malı Oyunu (12.1.1) bu yapının laboratuvar modelidir. Katılan her jeton katana 0,4, gruba toplam 1,6 döndürür. Kuramsal çözüm tek satırdır.

Kuram açık bir öngörü verir: 0 katkı. Laboratuvar deneyleri ise farklı bir tablo gösterir (Ledyard, 1995):

• İlk turlar: bütçenin yaklaşık %40–60'ı katılır. Denekler ne tam işbirlikçi ne tam beleşçidir.
• Tekrarla düşüş: oyun aynı grupla on tur kadar tekrarlandığında katkılar tur tur azalır ve son turlarda beleşçilik düzeyine yaklaşır.
• Kimler? Fischbacher, Gächter ve Fehr (2001), deneklere “öteki üyeler ortalama şu kadar katarsa sen ne kadar katarsın?” diye sorarak her deneğin bir katkı şeması çıkardı. Deneklerin yaklaşık yarısı koşullu işbirlikçidir: diğerleri ne kadar katarsa o kadar katmak ister. Yaklaşık üçte biri beleşçidir: diğerleri ne yaparsa yapsın 0 katar.

Şekil 12.8 iki tipin şemalarını gösterir. Düşüşün mekanizması bu şekilden okunur. Koşullu işbirlikçiler ortalamanın biraz altında katar; mavi çizgi kesikli çizginin altındadır. Beleşçiler ortalamayı aşağı çeker. Bir sonraki turda koşullu işbirlikçiler bu daha düşük ortalamaya bakar ve yine biraz altında katar. Katkı her tur biraz daha erir.

12.4.2Kod izleme: kosullu_katki()

Model şöyledir: dört oyuncudan O1 hep 0 verir (beleşçi); O2, O3 ve O4 koşullu işbirlikçidir ve bu tur, diğerlerinin önceki turdaki ortalaması kadar verir. Başlangıçta (t = 0) üç işbirlikçi 10'ar jeton katmıştır. Fonksiyon her turun katkı listesini döndürür.

def kosullu_katki(c, tur):
  gecmis = [c]
  for t in range(tur):
    yeni = [0]                  # O1 hep beleşçi
    for i in range(1, len(c)):
      digerleri = sum(c) - c[i]
      yeni.append(digerleri / (len(c) - 1))
    c = yeni
    gecmis.append(c)
  return gecmis

Kod satır satır şöyle çalışır:

• gecmis, turların katkı listelerini saklar; ilk eleman başlangıç katkılarıdır.
• Her turda yeni listesi [0] ile başlar: O1 (indis 0) her zaman beleşçidir.
• İç döngü O2–O4'ü (indis 1, 2, 3) dolaşır. digerleri = sum(c) - c[i], oyuncu i dışındaki üç oyuncunun önceki turdaki toplam katkısıdır. Bu toplam len(c) - 1 = 3'e bölünerek ortalama bulunur ve oyuncunun yeni katkısı olur.
• Tur sonunda c yeni katkılarla değiştirilir ve geçmişe eklenir. Bu sıra önemlidir: bir turdaki bütün oyuncular önceki turun katkılarına bakar; aynı turda birbirlerinin yeni kararlarını görmezler.

Tablo 12.11 her turu ayrıntılı gösterir. t = 0'dan tur 1'e geçerken O2, diğerlerinin toplamına bakar: O1'in 0'ı, O3'ün 10'u ve O4'ün 10'u, toplam 20. Ortalama 20/3 ≈ 6,7'dir. O3 ve O4 de aynı hesabı yapar. Böylece tur 1'de katkılar [0, 6,7, 6,7, 6,7] olur. Tur 2'de O2 için diğerlerinin toplamı 0 + 6,7 + 6,7 ≈ 13,3, ortalama 4,4'tür; ve bu böyle sürer.

Örüntü genel olarak yazılabilir. İşbirlikçiler bir turda x katıyorsa, sonraki turda her biri için diğerlerinin toplamı 0 + x + x = 2x, ortalaması 2x/3'tür. Her tur katkı bir önceki değerin üçte ikisine iner (üçte bir oranında azalır):

x_t = 10 · (2/3)^t:   10 → 6,7 → 4,4 → 3,0 → 2,0 → 1,3

Şekil 12.9 düşüşü gösterir. Beş turda katkı 10'dan 1,3'e iner: tek bir beleşçi, çoğunluğun işbirliğini çözer. Kazanç sütunları da öğreticidir. Her turda beleşçi O1, işbirlikçilerden daha çok kazanır: t = 0'da 22'ye karşı 12. Beleşçilik her turda kârlıdır; işbirlikçilerin “cezası” ise katkılarını azaltmaktır. Ama bu ceza herkese, kendilerine de vurur: tur 5'te işbirlikçiler 12 yerine 10,3 alır. Bu basit model, laboratuvardaki düşüşün nitel özelliklerini yakalar: yüksek bir başlangıç, tur tur erime ve son turlarda beleşçilik düzeyine yaklaşma.

12.4.3Cezalı ve cezasız: Fehr ve Gächter

Koşullu işbirlikçilerin elindeki tek silah katkılarını azaltmaksa, beleşçiyi cezalandırırken kendilerini de cezalandırırlar. Fehr ve Gächter (2000) deneklere ikinci bir silah verdi: doğrudan ceza.

Deneyin tasarımı şöyledir. 4 kişilik gruplar kamu malı oyunu oynar; katılan her jeton katana 0,4 jeton döndürür. Her turun sonunda katkılar (isimsiz olarak) açıklanır. Ardından her denek, kendi parasından ödeyerek diğer üyelere ceza puanı verebilir; ceza puanı alanın kazancı düşer. Her grup cezalı ve cezasız koşulda 10'ar tur oynar. Deney iki ayrı biçimde yapıldı: aynı kişilerin her tur birlikte oynadığı sabit gruplar ve her tur yeniden karıştırılan gruplar.

• Cezasız koşul: katkılar ilk turlarda yüksektir, sonra sıfıra doğru düşer. 12.4.2'deki dinamik görülür.
• Cezalı koşul: katkılar yükselir; sabit gruplarda tam işbirliğine yaklaşır. Grup ortalamasından en çok aşağıda katan en çok cezayı alır.

En şaşırtıcı bulgu, her tur karışan gruplarla ilgilidir. Bu gruplarda aynı kişiyle bir daha karşılaşma olasılığı yok denecek kadar azdır. Ceza vermek, ceza verene hiçbir şey kazandırmaz: cezalandırılan kişinin gelecekteki davranışı, ceza verenin gelecekteki gruplarını etkilemez. Yine de denekler ceza verdi. Kendine hiçbir maddi getirisi olmadığı hâlde, normu çiğneyeni maliyetine katlanarak cezalandırma davranışına özgeci ceza (altruistic punishment) denir (Fehr ve Gächter, 2002).

Kuramın öngörüsü ise açıktır. Yalnızca parayı önemseyen biri için ceza vermek saf maliyettir; bu yüzden kimse ceza vermez. Bunu bilen herkes, ceza imkânı yokmuş gibi davranır ve yine 0 katar. Deneyde hem ceza verildi hem de katkılar yüksek kaldı: kuramın iki öngörüsü de tutmadı. Eşitsizlikten kaçınma ve karşılıklılık bu davranışı açıklar: beleşçi öndedir ve kötü niyetlidir; onu cezalandırmak eşitsizliği azaltır ve niyete karşılık verir.

12.4.4Kod izleme: ceza()

Ceza beleşçiliği kârsız kılabilir mi? Aşağıdaki fonksiyon, katkılar ve ceza puanları verildiğinde oyuncuların kazançlarını hesaplar. Kural şudur: ceza veren her puan için 1 jeton öder, cezalı her puan için 3 jeton kaybeder. Ceza puanının etkisinin maliyetinden büyük olması, cezayı etkili ama pahalı bir araç yapar.

def ceza(c, p):         # p[i][j]: i'nin j'ye puanı
    n = len(c)
    pay = 1.6 * sum(c) / n
    u = [10 - c[i] + pay for i in range(n)]
    for i in range(n):
        for j in range(n):
            u[i] -= p[i][j]       # puan başı 1 öder
            u[j] -= 3 * p[i][j]   # cezalı 3 kaybeder
    return u

Kod satır satır şöyle çalışır:

• p[i][j], oyuncu i'nin oyuncu j'ye verdiği ceza puanıdır; p bir puan matrisidir.
• pay, havuzdan her oyuncuya düşen paydır: toplam katkı 1,6 ile çarpılıp n'ye bölünür.
• u, ceza öncesi kazançlardır: elde kalan 10 - c[i] artı havuz payı.
• İç içe döngü her (i, j) çiftini dolaşır. Ceza veren i'nin kazancından puan sayısı kadar, cezalı j'nin kazancından puanın 3 katı düşülür.

Çağrı ceza([0, 10, 10, 10], p) olsun: O1 beleşçi, O2–O4 tam katkı yapıyor. Her işbirlikçi O1'e 2 ceza puanı verir; puan matrisinde p[1][0] = p[2][0] = p[3][0] = 2, öteki her şey 0'dır.

Tablo 12.12 ve Şekil 12.10 sonucu verir. Ceza öncesi beleşçi, katkı yapanlardan 10 fazla alıyordu (22'ye karşı 12). O3'ün cezası sonrasında (i = 2) beleşçinin üstünlüğü biter: O1 ile O2, O3 eşit 10'dadır. Üç ceza sonrasında beleşçi 4 alır. Katkı yapsaydı ve kimse ceza vermeseydi, herkes 10 katmış olurdu ve O1 16 alırdı. Ceza tehdidi inandırıcıysa katmak kârlıdır: 16 > 4. Ama ceza verenler de 2'şer kaybetmiştir; ceza herkese maliyetlidir. Bu gözlem bir sonraki sorunun kapısını açar: cezayı kim verecek?

12.4.5İkinci derece beleşçilik ve antisosyal ceza

Ceza beleşçiliği caydırır, ama ceza vermek de maliyetlidir. Aynı ceza() fonksiyonu üç farklı ceza düzeninde çalıştırılsın (Tablo 12.13).

Son satıra dikkat edilmelidir. O4 katkı yapmış ama ceza vermemiştir. O2 ve O3'ün cezası beleşçinin üstünlüğünü zaten silmiştir; O4 ise cezanın maliyetine katlanmadan bu faydadan yararlanır ve gruptaki en yüksek kazancı (12) alır. Ceza da bir kamu malıdır: maliyeti cezalandırana, faydası (beleşçinin caydırılması, gelecekte daha yüksek katkı) herkese düşer. Ceza vermeyen işbirlikçiye ikinci derece beleşçi, bu davranışa ikinci derece beleşçilik (second-order free riding) denir. Ceza vermeyenleri cezalandırmak bir çözüm gibi görünür, ama o ceza da maliyetlidir ve sorun bir üst düzeye taşınır: üçüncü derece beleşçilik.

Yalnızca parayı önemseyen oyuncular için sonuç geriye doğru çıkarımla bulunur. Son turda ceza vermek yalnızca maliyettir, çünkü cezanın caydıracağı bir gelecek tur yoktur; kimse vermez. Bunu bilen oyuncular son turda katkı yapmaz. Bir önceki turda da gelecek turların davranışı zaten belirlenmiştir; ceza yine yalnızca maliyettir. Bu mantık başa kadar yürür: tehdit inandırıcı değildir ve katkı 0'a iner. Deneylerde ise, bölüm başında anlatıldığı gibi, insanlar ceza verir: özgeci ceza, ikinci derece beleşçilik sorununu kısmen aşar.

Cezanın her yerde aynı biçimde işlemediği de görülmüştür. Herrmann, Thöni ve Gächter (2008), aralarında İstanbul'un da bulunduğu 16 şehirde aynı cezalı kamu malı deneyini yaptı. Bazı şehirlerde denekler yalnızca düşük katkı yapanları değil, yüksek katkı yapanları da cezalandırdı. Normlara uyanların cezalandırılmasına antisosyal ceza (antisocial punishment) denir. Antisosyal cezanın sık görüldüğü yerlerde cezanın işbirliğini artırıcı etkisi büyük ölçüde silindi. Yazarlar, yurttaşlık normlarının ve hukukun üstünlüğünün zayıf olduğu toplumlarda antisosyal cezanın daha sık olduğunu buldu. Antisosyal cezanın olası nedenlerinden biri intikamdır: önceki turda cezalandırılan beleşçi, kendisini cezalandırdığını düşündüğü yüksek katkı yapanlara karşılık verir.

Bu bulgunun dersi şudur: ceza bir kurumdur ve işleyişi, onu çevreleyen normlara bağlıdır. Bir platform ya da kurum tasarlarken “kullanıcılar birbirini cezalandırabilsin” kuralı tek başına işbirliği üretmez; kuralın kim tarafından, kime karşı ve hangi gerekçeyle kullanılacağı da önemlidir. Ostrom'un kademeli yaptırım ve hesap veren izleme ilkeleri (12.3.4), cezanın kötüye kullanılmasını sınırlayan kurumsal önlemler olarak da okunabilir.

12.4.6Kamu Malı Oyunu'na dönüş

Bölümün başındaki iki soruya artık cevap verilebilir. Birinci soru, kuramın ve deneylerin katkı öngörüsüydü. Kuramın cevabı Teorem 12.1'de verildi: 0 jeton. Katılan her jeton katana yalnızca 1,6/4 = 0,4 döndürür; diğerleri ne yaparsa yapsın, katmamak jeton başına 0,6 daha iyidir. Gerçekte ise tekrarlı deneylerde katkılar ilk turlarda bütçenin yaklaşık %40–60'ı kadardır ve turlar ilerledikçe azalır (Ledyard, 1995). Katılımcılar birbirini kendi parasından ödeyerek cezalandırabildiğinde katkılar yüksek kalır (Fehr ve Gächter, 2000).

İkinci soru, oyundaki “Cezalı katkı” senaryosuydu: katkısı 3 jetondan az olana 2 jeton ceza kesilir. Burada ceza oyunculardan değil kuralın kendisinden gelir; ceza verenin bir maliyeti yoktur. Bu kural, oyuncuların teşviklerini değiştirir.

Tablo 12.14 üç durumu karşılaştırır. Ceza kuralı, ortak meradaki Pigou vergisi gibi teşvikleri değiştiren bir kurumdur: dengeyi 0'dan 3'e taşır ve herkesin kazancını 10'dan 11,8'e çıkarır. Ama optimuma (10 katkı, 16 kazanç) götürmez. Kuralın etkisi, eşiğin ve cezanın büyüklüğüne bağlıdır. Ceza 1 jeton olsaydı, 3 katmak 1,8 kaybettirir ama yalnızca 1 jeton kurtarırdı; katmamak 0,8 daha iyi olurdu ve denge yine 0 olurdu. Genel kural şudur: eşik e ve ceza c ise, c > 0,6 · e olduğunda e katmak baskın olur. Tam katkıyı (10) zorlamak için cezanın 6'dan büyük olması gerekir.

12.5Eşikli projeler

Kamu malı oyununda her jeton katkısı, havuzu biraz büyütür; katkı ile fayda arasındaki ilişki doğrusaldır. Pek çok gerçek projede ise fayda ancak belirli bir eşiğe ulaşıldığında ortaya çıkar. Bir köprü yarısı yapılınca işe yaramaz; bir kitlesel fonlama kampanyası hedefine ulaşmazsa ürün üretilmez; bir dilekçe yeterli imzayı toplamazsa gündeme alınmaz. Bu yapı, katkı sorununu bambaşka bir oyuna dönüştürür.

12.5.1Katkı bir koordinasyon oyunu olur

Bu oyunun dengeleri doğrusal kamu malı oyunundan çok farklıdır. Katmamak artık baskın değildir: eşiğin kıl payı kaçtığı bir durumda, eksik jetonu tamamlayan oyuncu 12 kazanır. Ama katmak da baskın değildir: eşiğe ulaşılamıyorsa her katkı boşa gider. Oyuncunun en iyi tepkisi, ötekilerin ne kattığına bağlıdır. Bu, oyunu bir koordinasyon oyununa dönüştürür: oyuncuların doğru kararı, ötekilerle aynı beklentiye sahip olmalarına bağlıdır.

İki tür denge vardır.

Denge 1: kimse katmaz. Herkes 0 katıyorsa, bir oyuncunun tek başına katabileceği en fazla 10 jetondur ve eşik 22'ye ulaşılamaz. Katan yalnızca kaybeder. Kimse sapmak istemez; herkes 10 alır, toplam 40.

Denge 2: toplam tam 22. Toplam katkı tam 22 ise her katkıcı belirleyicidir (pivotal): 1 jeton bile çekse toplam 21'e iner, eşik kaçar ve 12 jetonu kaybeder. Fazladan katmak da anlamsızdır: eşik zaten tutuyor, fazlası boşa gider. Örneğin (6, 6, 5, 5) profilinde kazançlar (16, 16, 17, 17), toplam 66'dır.

Hangi denge oynanır? Kuram bunu söylemez. Sıfır dengesi, katkı yapanı koruyan güvenli bir dengedir; eşik dengesi ise herkes için daha iyidir ama güven gerektirir. Katan oyuncu, diğerleri katmazsa katkısını yakar: 6 katan, diğerleri katmazsa 10 yerine 4'e düşer. Güven yoksa sıfır dengesi seçilebilir. Bu, Geyik Avı'ndaki ikilemin aynısıdır: işbirliği dengesi Pareto baskındır, ama yalnız kalan işbirlikçi büyük kayıp yaşar.

İkinci bir koordinasyon sorunu, eşiğe ulaşan dengelerin çokluğudur. (10, 10, 2, 0) katkı profili de dengedir; kazançlar (12, 12, 20, 22) olur. Toplamı tam 22 olan her profil dengedir ve bu profillerin hepsinde grubun toplam kazancı aynıdır: 40 − 22 + 4 · 12 = 66. Eşik dengeleri verimlidir, ama eşit olmayabilir. Kimin ne kadar katacağı bir pazarlık sorunudur: her oyuncu, başkalarının daha çok katmasını ister.

Gerçek hayattaki eşikli projelerde bu sorunları hafifleten bir mekanizma yaygındır: iade. Hedefe ulaşmayan kitlesel fonlama kampanyalarında para katkıcılara geri verilir. Bu durumda eşik tutmazsa katkı yanmaz; “katıp yakma” riski ortadan kalkar. Oyuncunun katkısı ancak eşik tuttuğunda harcanır, yani katkı ancak karşılığında 12 alındığında ödenir. Bu kural, sıfır dengesinin güvenlik avantajını siler ve koordinasyonu kolaylaştırır.

12.5.2Hangi katkı profili dengedir?

Bir profilin denge olup olmadığını denetlemek için her oyuncunun tek başına sapmakla kazancını artırıp artıramayacağına bakılır. Eşikli projede iki tür sapma vardır: katkıyı azaltmak (eşik tutuyorsa) ve katkıyı artırmak (eşik tutmuyorsa). Beş profil sırayla denetlenir.

Şekil 12.11 (6, 6, 5, 5) dengesini gösterir. Bu beş denetimden genel bir sonuç çıkar: bu oyunda Nash dengeleri tam olarak iki türdür. Ya herkes 0 katar, ya da toplam katkı tam 22'dir. Toplam 0 ile 22 arasındaysa eşik tutmuyordur; katkı yapan herhangi bir oyuncu katkısını 0'a çekerek kazanır, çünkü katkısı zaten boşa gitmektedir. Toplam 22'nin üstündeyse katkı yapan herhangi bir oyuncu katkısını 1 azaltır, eşik yine tutar ve 1 jeton kazanır. Geriye yalnızca toplamı 0 ve toplamı tam 22 olan profiller kalır; bunların ikisinin de denge olduğu 12.5.1'de gösterildi. Bütün olası profillerin bilgisayarla taranması da bu sonucu doğrular: her oyuncunun 0 ile 10 arasında katabildiği 11⁴ = 14.641 profilden toplamı tam 22 olan 850 profilin hepsi ve yalnızca bunlar, sıfır profiliyle birlikte dengedir. Verimli dengeler çoktur; kimin ne katacağı bir pazarlık ve koordinasyon sorunudur.

12.6Toplu bilgi

Önceki kısımlarda grup üyelerinin çıkarları çatışıyordu: biri fazla alınca ötekiler kaybediyordu. Bu kısımda ise herkesin çıkarı aynıdır: bir sorunun doğru cevabını bulmak. Sorun, her üyenin cevabı kısmen bilmesidir. Grubun bu dağınık bilgiyi bir araya getirip getiremeyeceği, bilginin nasıl paylaşıldığına bağlıdır. Üç model bu soruyu farklı açılardan ele alır: kalabalığın bilgeliği (tahminlerin ortalaması), bilgi şelaleleri (sırayla verilen ve birbirini izleyen kararlar) ve Condorcet jüri teoremi (çoğunluk oyu).

12.6.1Kalabalığın bilgeliği

Francis Galton 1906'da İngiltere'de bir hayvan fuarında ilginç bir yarışmaya rastladı. Ziyaretçiler, kesilip parçalanacak bir öküzün ağırlığını tahmin etmek için bilet alıyordu. Galton yarışmadan sonra 787 geçerli tahmini topladı ve inceledi. Tahminlerin ortancası (sıralandığında ortaya düşen tahmin) 1.207 libre, öküzün gerçek ağırlığı 1.198 libreydi: hata %1'den az (yaklaşık %0,75). Katılımcıların çoğu hayvancılıktan anlamayan sıradan ziyaretçilerdi; ama tahminlerinin birleşimi şaşırtıcı derecede isabetliydi (Galton, 1907).

Bu olgu kalabalığın bilgeliği (wisdom of crowds) adıyla bilinir. Temel açıklama, bağımsız hataların birbirini götürmesidir. Biri ağırlığı fazla, öteki az tahmin eder; hatalar farklı yönlerde ve birbirinden bağımsızsa, ortalamada büyük ölçüde sıfırlanır. Scott Page bu sezgiyi kesin bir eşitliğe çevirdi.

Teoremin sonuçları güçlüdür. Çeşitlilik hiçbir zaman negatif olmadığından, kalabalığın hatası hiçbir zaman ortalama bir üyenin hatasından büyük değildir: kalabalık, ortalama bir üyesinden her zaman en az onun kadar iyi tahmin eder. Çeşitlilik ne kadar büyükse kazanç o kadar büyüktür. Daha küçük bir örnek de aynı ilişkiyi gösterir: gerçek değer 10, tahminler 8, 12, 16 olsun. Ortalama 12, kalabalığın hatası 4'tür. Bireysel hata kareleri 4, 4, 36 (ortalama 44/3), çeşitlilik 16, 0, 16'dır (ortalama 32/3); fark 12/3 = 4 ✓.

Teorem bir eşitliktir ve her zaman doğrudur; ama kalabalığın gerçekten bilge olması iki koşula bağlıdır: bağımsızlık ve çeşitlilik. Tahminler birbirinden bağımsız değilse hatalar birbirini götürmez, aynı yönde birikir. Herkes birbirini izlerse tahminler birbirine yaklaşır, çeşitlilik çöker ve kalabalık, tek bir üye kadar yanılabilir. Bu çöküş, bilgi şelalelerinde rasyonel bireyler arasında bile ortaya çıkar (12.6.2).

12.6.2Bilgi şelaleleri

Yeni bir şehirde iki restoran yan yanadır. Birinde kuyruk var, öteki boştur. Çoğu kişi kuyruğa girer: “bu kadar insan yanılıyor olamaz”. Ama kuyruktaki insanların her biri de aynı şeyi düşünmüş olabilir. İlk birkaç kişi rastlantıyla o restorana girmiş, sonrakiler onları izlemiş olabilir. Bu durumda kuyruk, restoranın kalitesi hakkında neredeyse hiçbir bilgi taşımaz. Bikhchandani, Hirshleifer ve Welch (1992) bu olguyu kesin bir modelle inceledi.

Model. İki torba vardır. Torba A'da 2 a topu ve 1 b topu, torba B'de 1 a topu ve 2 b topu bulunur (Şekil 12.12). Torbalardan biri yazı-turayla seçilir; kimse hangisinin seçildiğini bilmez. Sırayla her kişi torbadan gizlice bir top çeker, topu görür, geri koyar. Sonra öncekilerin tahminlerini (toplarını değil) duyar ve torbanın A mı B mi olduğunu yüksek sesle tahmin eder. Doğru tahmin ödüllendirilir.

Her top, 2/3 olasılıkla torbanın kendi rengindedir; bu yüzden topa sinyal denir: torba hakkında gürültülü ama yararlı bir bilgi taşır. Kişinin sorusu şudur: elimdeki bilgilere göre torbanın A olma olasılığı nedir?

Bayes hesabı. Başlangıçta iki torba eşit olasılıklıdır: P(A) = 1/2. Bu ön olasılıktır. Bir a sinyali görüldükten sonra son olasılık Bayes kuralıyla hesaplanır:

P(A | a) = P(a | A) · P(A) / [P(a | A) · P(A) + P(a | B) · P(B)] = (⅔ · ½) / (⅔ · ½ + ⅓ · ½) = 2/3

Hesabı sadeleştirmenin yolu olasılık oranlarıyla düşünmektir. A lehine oran başlangıçta 1'e 1'dir. Bir a sinyali A'da 2/3, B'de 1/3 olasılıklıdır; bu yüzden her a, A lehine oranı 2 katına çıkarır. Her b ise oranı yarıya indirir. Bağımsız sinyallerde sıra önemli değildir; yalnızca a'ların b'lerden ne kadar fazla olduğu önemlidir. a'ların b'lerden f fazla olduğu durumda oran 2^f'e 1'dir ve

P(A) = 2^f / (2^f + 1)

Kişiler ne yapar? Birinci kişinin yalnızca kendi sinyali vardır; a görürse A, b görürse B der. Onun tahmini, sinyalini tam olarak ele verir. İkinci kişi birinci kişinin tahmininden onun sinyalini çıkarır ve kendi sinyaliyle birleştirir. İki sinyal aynıysa onu söyler. Farklıysa f = 0 olur, iki torba eşit olasılıklıdır; model gereği eşitlikte kişi kendi sinyalini izler. Böylece ikinci kişinin tahmini de sinyalini ele verir.

Şelale. İlk iki kişi a görüp A dediyse, üçüncü kişi öncekilerin tahminlerinden iki a çıkarır: f = 2. Kendi sinyali b ise f = 2 − 1 = 1 olur ve P(A) = 2/3 > 1/2. Kendi sinyalini yok sayıp A demek rasyoneldir. Kendi sinyali a olsaydı da A diyecekti. Demek ki üçüncü kişinin tahmini, sinyali ne olursa olsun A'dır ve sinyali hakkında hiçbir bilgi taşımaz. Dördüncü kişi, üçüncünün A demesinden hiçbir şey öğrenemez; o da üçüncüyle tam aynı durumdadır ve aynı nedenle A der. Bundan sonraki herkes A der.

Şelalelerin iki önemli özelliği vardır. Birincisi, yanlış olabilirler. Gerçek torba B olsa bile, ilk iki kişinin a çekme olasılığı ⅓ · ⅓ = 1/9'dur; bu durumda bütün kalabalık yanlış A şelalesine girer ve sonradan kaç kişi b görürse görsün düzelmez. İkincisi, kırılgandırlar. Şelale yalnızca iki sinyale dayanır; yüzlerce kişinin A demesi, aslında iki topun bilgisidir. Tek bir kamuya açık bilgi (örneğin herkesin görebileceği iki b topu) onu bozabilir. Moda akımlarının, ürün yorumlarının ve finansal paniklerin ani dönüşleri bu kırılganlıkla açıklanır: uzun süren bir eğilim, küçük bir yeni bilgiyle tamamen tersine dönebilir.

Model laboratuvarda da sınandı. Anderson ve Holt (1997) bu torba deneyini öğrencilerle yaptı. Şelalelerin oluşabildiği durumların (yani tahminlerden çıkarılan farkın 2'ye ulaştığı durumların) çoğunda şelaleler gerçekten oluştu: denekler kendi sinyallerine aykırı olsa da öncekileri izledi.

12.6.3Kod izleme: selale()

Şelale modeli birkaç satırlık bir fonksiyonla yazılabilir. Fonksiyon sinyal dizisini alır ve her kişinin tahminini döndürür. f değişkeni, öncekilerin tahminlerinden çıkarılan a − b farkıdır.

def selale(sinyaller):
    f = 0                  # tahminlerden çıkan a − b
    tahmin = []
    for s in sinyaller:
        if f >= 2: t = 'A'     # A şelalesi
        elif f <= -2: t = 'B'  # B şelalesi
        else:
            t = 'A' if s == 'a' else 'B'
            f += 1 if s == 'a' else -1
        tahmin.append(t)
    return tahmin

Kod satır satır şöyle çalışır:

• f başlangıçta 0'dır: henüz hiç tahmin yoktur.
• f >= 2 ise A şelalesi vardır: kişi kendi sinyali ne olursa olsun A der. f <= -2 ise B şelalesi vardır: kişi B der. Bu iki durumda f değişmez, çünkü şelaledeki tahmin sonrakilere bilgi taşımaz.
• Aksi hâlde (|f| ≤ 1) kişi kendi sinyalini izler. f = 1 iken kendi a'sıyla f = 2, kendi b'siyle f = 0 olur ve eşitlikte kendi sinyalini izler; f = −1 iken simetrik. Bu durumda tahmin sinyali ele verir; sonraki kişiler onu çıkarabilir, bu yüzden f güncellenir.

Tablo 12.15 ve Şekil 12.13 izlemeyi gösterir. Kişi 1 a görür; f = 0 olduğundan kendi sinyalini izler ve A der. Tahmini sinyali ele verir: f = 1, sonraki kişi için P(A) = 2/3. Kişi 2 de a görür; kendi a'sıyla P(A) = 0,8 olur ve A der; f = 2. Kişi 3 b görür; ama öncekilerden çıkardığı iki a ile kendi b'si birleşince P(A) = 2/3 olur ve A der. Şelale başlamıştır; f artık değişmez. Kişi 4, 5 ve 6 da b görür ve aynı hesapla A der; onların tahminleri de bilgi taşımaz.

Fonksiyon ['A', 'A', 'A', 'A', 'A', 'A'] döndürür: herkes A dedi, oysa 6 sinyalin 4'ü b'dir. Sinyaller birleştirilseydi f = 2 − 4 = −2 ve P(A) = 0,2 olurdu; doğru cevap B bulunurdu. Her kişi, elindeki bilgiyle Bayes'e göre doğru davrandı; sorun, bilginin birikmemesidir. Dört b sinyali vardı, ama hiçbiri tahminlere yansımadığı için kayboldu.

12.6.4Condorcet jüri teoremi

Şelalelerde kişiler sırayla karar verir ve birbirini izler. Bir jüride ise herkes aynı anda ve birbirinden bağımsız oy verir; karar çoğunlukla alınır. Bir doğru cevap vardır (sanık suçlu mu, değil mi?). Soru, çoğunluk oyunun bu doğru cevabı bulma olasılığının jüri büyüdükçe nasıl değiştiğidir. Bu soru, tercihlerin döngüye girdiği Condorcet paradoksundan farklıdır: paradoks “grubun tercihi tutarlı mı?” diye sorar; jüri teoremi ise “grup doğruyu buluyor mu?” diye sorar.

Çoğunluğun doğru olma olasılığını hesaplamak için binom olasılığı kullanılır. n seçmenden tam k tanesinin doğru oy verme olasılığı, hangi k kişinin doğru olduğunun seçim sayısı ile bir seçimin olasılığının çarpımıdır:

P(tam k doğru) = C(n, k) · p^k · (1 − p)^{n − k}

Burada C(n, k), n kişiden k kişi seçme yollarının sayısıdır (örneğin C(5, 3) = 10). p^k, seçilen k kişinin hepsinin doğru olması; (1 − p)^{n − k}, geri kalanların hepsinin yanlış olmasıdır; bağımsızlık sayesinde olasılıklar çarpılır. Çoğunluk doğrudur, doğru oy sayısı n/2'den büyükse. Bu yüzden

P_n = Σ_{k > n/2} C(n, k) · p^k · (1 − p)^{n − k}

Tablo 12.16 teoremin iki yüzünü gösterir. p = 0,6 iken her seçmen yalnızca biraz bilgilidir, ama 101 kişilik bir çoğunluk %97,9 olasılıkla doğrudur. p = 0,4 iken tablo simetrik olarak tersine döner: 101 kişide çoğunluk yalnızca %2,1 olasılıkla doğrudur. Bunun nedeni büyük sayılar yasasıdır: seçmen sayısı arttıkça doğru oyların oranı p'ye yaklaşır. p > 1/2 ise bu oran yarıyı geçer ve çoğunluk doğrudur; p < 1/2 ise yarının altında kalır ve çoğunluk yanlıştır. İki tablo sütununun her satırda toplamı 1'dir; çünkü p = 0,4'teki doğru oy, p = 0,6'daki yanlış oyla aynı dağılıma sahiptir.

12.6.5Kod izleme: juri()

Binom toplamı kısa bir fonksiyonla hesaplanır. Python'un math.comb(n, k) fonksiyonu C(n, k)'yi verir.

from math import comb
def juri(n, p):
    toplam = 0
    for k in range(n // 2 + 1, n + 1):
        terim = comb(n, k) * p**k * (1 - p)**(n - k)
        toplam += terim
    return toplam
print(round(juri(5, 0.6), 4))

Kod satır satır şöyle çalışır:

• range(n // 2 + 1, n + 1), çoğunluk sağlayan doğru oy sayılarını üretir. n // 2 tam sayı bölmesidir; n = 5 için 2'dir, yani döngü k = 3, 4, 5 değerlerini alır.
• Her k için terim, tam k kişinin doğru olma olasılığıdır ve toplam'a eklenir.
• Son satır juri(5, 0.6)'yı dört ondalığa yuvarlayıp yazdırır.

Tablo 12.17 üç terimi tek tek verir; Şekil 12.14 ise bütün dağılımı gösterir. En olası sonuç tam 3 doğru oydur (0,3456). k = 0, 1, 2 (yanlış çoğunluk) durumlarının olasılıkları 0,010, 0,077 ve 0,230'dur ve toplamları 0,3174'tür; iki toplam 1 eder. Program 0.6826 yazdırır: P₅ = 0,6826 > 0,6. Beş bağımsız ve orta yetkinlikte seçmen, tek bir seçmenden daha iyi karar verir.

12.6.6Jüri teoremi ne zaman çöker?

Teoremin iki varsayımı vardır: oylar bağımsızdır ve her seçmenin doğruyu bulma olasılığı yarıdan büyüktür. Üçüncü, örtük bir varsayım da seçmenlerin bildiklerini dürüstçe oylamasıdır. Her birinin bozulması, teoremin sonucunu bozar.

Bağımlılık. 5 kişilik bir jüride 4 kişi bir kanaat önderinin oyunu izlerse, çoğunluk her zaman o kişinin oyudur ve doğru olma olasılığı 0,6'dır. Bağımsız oylarda 0,683'tü. Bağımlılık jüriyi tek bir seçmene indirir; kalabalığın avantajı kaybolur. Bilgi şelaleleri ve ortak bilgi kaynakları (herkesin aynı haberi okuması) bağımsızlığı bozan başlıca mekanizmalardır.

Yetkinlik. p < 1/2 olan bir konuda, örneğin herkesi aynı yöne yanıltan bir ipucu varsa, kalabalık büyüdükçe yanılgı kesinleşir: p = 0,4 iken 101 kişide çoğunluk yalnızca %2,1 olasılıkla doğrudur. Kalabalığı büyütmek bilgiyi değil, ortak yanılgıyı güçlendirir.

Stratejik oy. Seçmen, oyunun yalnızca belirleyici olduğu (diğer oyların tam eşit bölündüğü) durumda önemli olduğunu düşünürse, kendi sinyaline aykırı oy vermesi rasyonel olabilir (Austen-Smith ve Banks, 1996). Örneğin oybirliği kuralında, bir jüri üyesinin oyu ancak öteki bütün üyeler “suçlu” dediğinde belirleyicidir. O durumda öteki üyelerin hepsinin suçluluk işareti gördüğü bilinir; bu bilgi, kendi “masum” işaretini bastıracak kadar güçlü olabilir. Bu mantıkla jüri üyeleri “suçlu” oyuna kayabilir ve oybirliği kuralı, masumu mahkûm etme olasılığını artırabilir (Feddersen ve Pesendorfer, 1998). Masumları korumak için tasarlanan bir kural, stratejik davranış yüzünden tersine işleyebilir.

Kalabalığın bilgeliği, şelaleler ve jüri teoremi aynı dersi verir: bir grubun bilgisi, üyelerinin bağımsız bilgisinin bir araya gelebildiği ölçüde değerlidir. Ortalama alma, sıralı karar ve çoğunluk oyu, bilgiyi birleştirmenin üç farklı mekanizmasıdır; üçü de bağımsızlık bozulduğunda başarısız olur.

12.7Kolektif kararda sık hatalar ve örnek problemler

Bölümün ikinci yarısındaki modeller birbirine benzer sonuçlar verdiği için kolayca genellenir ve bazen yanlış genellenir. Aşağıdaki liste en sık görülen yanılgıları ve doğrularını bir arada verir.

Bölümün araçlarını birlikte kullanan beş problem ve ayrıntılı çözümleri şunlardır. Her biri, notta çözülen bir örneğin bir parametresini değiştirir; bu yüzden çözüm yolu tanıdıktır, ama sayılar yeniden hesaplanmalıdır.

12.8Özet

• Sınırlı rasyonellik: bilgi, zaman ve hesaplama sınırlı olduğundan insanlar “yeterince iyi”yi arar. Sapmalar rastgele değil sistematiktir; bu yüzden modellenebilir.
• Beklenti kuramı: sonuçlar referans noktasına göre kazanç ya da kayıp olarak değerlendirilir. Değer fonksiyonu kazançta içbükey, kayıpta dışbükey ve kayıpta λ ≈ 2,25 kat diktir. ±100 TL bahsi reddedilir (−36,0); kabul eşiği ≈ 251 TL'dir. Olasılık ağırlığı küçük olasılıkları abartır (w(0,01) ≈ 0,055).
• Bağış etkisi ve çerçeveleme aynı kökten gelir: referans noktası değişince aynı nesne ya da aynı program farklı değerlendirilir. Kupada satış/alış oranı λ'dır; salgın sorusunda %72 kesin seçenekten %78 riskli seçeneğe dönüş görülür.
• Kuantal tepki: logit seçimde iyi seçenek daha sık seçilir; λ = 0 rastgele, λ → ∞ en iyi tepkidir. QRE, asimetrik Yazı-Tura'da Nash'in 1/2'si yerine büyük kazanca kaymayı (λ = 0,02'de 0,83) yakalar.
• Sosyal tercihler: diktatörde ortalama pay yaklaşık %28, ültimatomda teklifler %40–50'dir. Fehr–Schmidt modelinde α = 1 olan yanıtlayan 10/3'ün altındaki teklifi reddeder; diktatör β > 1/2 ise eşit böler. Güven oyununda ortalama 5,16 $ gönderilir, 4,66 $ döner: karşılıklılık niyete yanıt verir.
• Ortak mallar: 4 çobanlı dengede g* = 20, toplam 1.600; optimum 2.500 (%64). n arttıkça dışsallık büyür ve toplam sıfıra gider. Pigou vergisi (t = 37,5), kota ve Ostrom'un sekiz ilkesine dayanan yerel kurumlar çözüm yollarıdır.
• Refah ölçütleri: faydacı, eşitlikçi ve Nash sosyal refahı farklı politikalar seçebilir. Cehalet peçesi ardında Laplace kuralı faydacı ölçüte (Harsanyi), maksimin eşitlikçi ölçüte (Rawls) götürür.
• Kamu malı ve ceza: kuramda katmamak baskındır; deneylerde katkılar %40–60'tan başlayıp erir. Koşullu işbirliği ve tek bir beleşçi bu düşüşü üretir (10 → 1,3). Ceza işbirliğini korur ama maliyetlidir; ikinci derece beleşçilik ve antisosyal ceza doğurabilir. Kural olarak konan ceza dengeyi 0'dan 3'e taşır.
• Eşikli projeler: katkı bir koordinasyon oyununa dönüşür; sıfır dengesi ile toplamı tam 22 olan her profil dengedir. Eşik dengeleri verimli (toplam 66) ama eşitsiz olabilir; iade koordinasyonu kolaylaştırır.
• Toplu bilgi: çeşitlilik teoremi (kalabalığın hatası = bireysel hata − çeşitlilik); şelalede bilgi birikmez (altı kişinin altısı yanılır); jüri teoremi bağımsız ve yetkin seçmenlerde çoğunluğu güçlendirir (5 kişi, p = 0,6 ⇒ 0,683). Üç mekanizma da bağımsızlığa dayanır.

12.9Kavram listesi

Terimlerin İngilizce karşılıkları ve öteki bölümlerdeki kullanımları terim sözlüğünde bulunur.

• sınırlı rasyonellik bounded rationality
• yeterince iyiyi arama satisficing
• sezgisel kurallar heuristics
• aşırı güven overconfidence
• risk altında karar decision under risk
• beklenti kuramı prospect theory
• referans noktası reference point
• değer fonksiyonu value function
• kayıptan kaçınma loss aversion
• olasılık ağırlığı probability weighting
• bağış etkisi endowment effect
• statüko yanlılığı status quo bias
• çerçeveleme etkisi framing effect
• logit seçim logit choice
• kuantal tepki dengesi quantal response equilibrium
• seviye-k düşünme level-k reasoning
• diktatör oyunu dictator game
• ültimatom oyunu ultimatum game
• eşitsizlikten kaçınma inequity aversion
• güven oyunu trust game
• karşılıklılık reciprocity
• kolektif karar collective decision
• uzlaşı consensus
• ortak mallar trajedisi tragedy of the commons
• dışsallık externality
• sosyal optimum social optimum
• Pigou vergisi Pigouvian tax
• sosyal refah social welfare
• faydacı ölçüt utilitarian criterion
• eşitlikçi ölçüt egalitarian criterion
• Nash sosyal refahı Nash social welfare
• cehalet peçesi veil of ignorance
• Laplace ölçütü Laplace criterion
• maksimin maximin
• kamu malı public good
• kamu malı oyunu public goods game
• beleşçi free rider
• beleşçilik free riding
• koşullu işbirlikçi conditional cooperator
• özgeci ceza altruistic punishment
• ikinci derece beleşçilik second-order free riding
• antisosyal ceza antisocial punishment
• eşikli kamu malı (eşikli proje) threshold public good
• kalabalığın bilgeliği wisdom of crowds
• çeşitlilik tahmin teoremi diversity prediction theorem
• Bayes kuralı Bayes' rule
• bilgi şelalesi information cascade
• Condorcet jüri teoremi Condorcet jury theorem

12.10Kendini Dene

1. Beklenti kuramı parametreleriyle (v(x) = x^0,88, λ = 2,25) yarı yarıya +150 TL ya da −50 TL veren bahis kabul edilir mi? 50 TL kaybı göze almak için en az ne kadar kazanç gerekir?

   Cevap

   v(150) = 150^0,88 ≈ 82,2, v(−50) = −2,25 · 50^0,88 ≈ −2,25 · 31,3 ≈ −70,4. Beklenti değeri ½ · 82,2 − ½ · 70,4 ≈ 5,9 > 0: kabul edilir. Eşik G = 50 · 2,25^1/0,88 ≈ 50 · 2,51 ≈ 125,7 TL'dir; 150 bu eşiğin üstündedir. Oran (≈ 2,51) kayıp tutarından bağımsızdır.

2. Fehr–Schmidt modelinde 10 jetonluk ültimatom oyunu oynanıyor ve teklifler tam sayıdır. α = 0,5 olan yanıtlayan en az kaç jetonu kabul eder? α = 3 olan yanıtlayan için cevap nedir?

   Cevap

   Eşik 10α/(1 + 2α)'dır. α = 0,5: 5/2 = 2,5; s = 2 için 2 − 0,5 · 6 = −1 (ret), s = 3 için 3 − 0,5 · 4 = +1 (kabul): en az 3. α = 3: 30/7 ≈ 4,29; s = 4 için 4 − 3 · 2 = −2 (ret), s = 5 eşit bölüşümdür ve kabul edilir: en az 5. α ne kadar büyük olursa olsun eşik 5'i aşmaz.

3. Üç çoban ortak meraya hayvan salıyor; hayvan başı değer 60 − G, çoban i'nin kazancı g_i(60 − G). Simetrik Nash dengesi, sosyal optimum, dengenin optimuma oranı ve optimumu sağlayan hayvan başı vergi nedir?

   Cevap

   En iyi tepki g_i = (60 − G_−i)/2. Simetrik: g = (60 − 2g)/2 ⇒ 4g = 60 ⇒ g* = 15, G* = 45; hayvan başı değer 15, kişi başı 225, toplam 675. Kontrol: diğerleri 30 iken (60 − 30)/2 = 15. Optimum: G(60 − G) en büyük ⇒ G = 30, toplam 900. Oran 675/900 = %75. Vergiyle g = (60 − t)/4, G = 3(60 − t)/4 = 30 ⇒ t = 20.

4. Kamu Malı Oyunu'nda (4 oyuncu, 10'ar jeton, çarpan 1,6) kural “5 jetondan az katana 2 jeton ceza” olsaydı denge katkısı ne olurdu? Ceza 4 jeton olsaydı denge katkısı ve kişi başı kazanç ne olurdu?

   Cevap

   5 katmak, 0 katmaya göre 5 · 0,6 = 3 jeton kaybettirir. Ceza 2 ise kurtarılan ceza 3'ten azdır: katmamak 1 jeton daha iyidir, denge katkısı 0. Ceza 4 ise 4 > 3: 5 katmak 1 jeton daha iyidir; 5'ten fazlası jeton başına 0,6 kaybettirir, 1–4 arası hem kaybettirir hem cezadan kurtarmaz. 5 baskındır. Herkes 5 katar: havuz 20 · 1,6 = 32, kişi başı 8, kazanç 10 − 5 + 8 = 13.

5. Eşikli projede (4 oyuncu, 10'ar jeton, eşik 22, ödül 12) (9, 9, 4, 0) profili Nash dengesi midir? Kazançlar nedir? (5, 5, 5, 5) profili için cevap nedir?

   Cevap

   (9, 9, 4, 0): toplam 22, kazançlar (13, 13, 18, 22). Katkı yapan biri 1 azaltırsa toplam 21 olur ve eşik kaçar (ör. O3 3 katarsa 7 alır < 18); fazladan katmak boşa ödemedir; O4 katarsa yalnızca kaybeder. Nash dengesidir; toplam 66. (5, 5, 5, 5): toplam 20, eşik kaçar ve herkes 5 alır. O1 7 katarsa toplam 22 olur ve 10 − 7 + 12 = 15 > 5 alır: denge değildir.

6. İki torbalı şelale modelinde gerçek torba A'dır. Beş kişinin sırayla gördüğü sinyaller a, b, b, b, a. Her kişinin tahmini ne olur? Beş sinyal birleştirilseydi P(A) kaç olurdu?

   Cevap

   Kişi 1: a ⇒ A, f = 1. Kişi 2: b görür; öncekiyle birlikte f = 0, P(A) = 1/2; eşitlikte kendi sinyalini izler ⇒ B, f = 0. Kişi 3: b ⇒ P(A) = 1/3, B, f = −1. Kişi 4: b ⇒ kendi b'siyle f = −2, P(A) = 1/5, B; öncekilerden çıkan f = −2 olur ve B şelalesi başlar. Kişi 5: a görür; öncekilerden −2, kendi a'sıyla −1, P(A) = 1/3 < 1/2 ⇒ B. Tahminler A, B, B, B, B. Beş sinyal birleştirilseydi 2 a, 3 b ⇒ f = −1, P(A) = 1/3; bu örnekte sinyallerin kendisi de yanıltıcıdır ve bilgiyi birleştirmek bile doğru cevabı vermezdi.

7. Her seçmen bağımsız olarak p = 0,8 olasılıkla doğru oy veriyor. 3 ve 5 kişilik jürilerde çoğunluğun doğru olma olasılığı kaçtır? 5 kişilik jüride dört üye beşincinin oyunu kopyalarsa ne olur?

   Cevap

   P₃ = 0,8³ + 3 · 0,8² · 0,2 = 0,512 + 0,384 = 0,896. P₅ = 10 · 0,8³ · 0,2² + 5 · 0,8⁴ · 0,2 + 0,8⁵ = 0,2048 + 0,4096 + 0,32768 ≈ 0,942. Dört üye kopyalarsa beş oy hep aynıdır; çoğunluk tek kişinin oyudur ve olasılık 0,8'e düşer.

8. Üç konumlu bir toplumda politikaların faydaları P = (9, 4, 2), Q = (4, 4, 4), R = (6, 5, 3). Faydacı ölçüt (Laplace), eşitlikçi ölçüt (maksimin) ve Nash sosyal refahı hangi politikayı seçer?

   Cevap

   Ortalamalar 15/3 = 5, 12/3 = 4, 14/3 ≈ 4,67 ⇒ faydacı ölçüt P'yi seçer. En kötü konumlar 2, 4, 3 ⇒ maksimin Q'yu seçer. Çarpımlar 9 · 4 · 2 = 72, 4³ = 64, 6 · 5 · 3 = 90 ⇒ Nash sosyal refahı R'yi seçer. Üç ölçüt üç farklı politika seçer.

12.11İleri okuma

• D. Kahneman, Thinking, Fast and Slow (2011): beklenti kuramını, kayıptan kaçınmayı, çerçevelemeyi ve sezgisel kuralları kuramın kurucularından biri, teknik olmayan bir dille anlatır.
• C. F. Camerer, Behavioral Game Theory: Experiments in Strategic Interaction (2003): diktatör, ültimatom ve güven oyunlarından kuantal tepki ve seviye-k modellerine kadar davranışsal oyun kuramının deneysel bulgularını kapsamlı biçimde derler.
• E. Ostrom, Governing the Commons (1990): ortak kaynakların yerel yönetimine ilişkin vaka çalışmalarını (Alanya balıkçıları dahil) ve tasarım ilkelerinin ortaya çıkışını ayrıntılı verir.
• D. Easley ve J. Kleinberg, Networks, Crowds, and Markets (2010), Bölüm 16: bilgi şelalelerini bu bölümdeki torba modeliyle, Bayes hesabını adım adım göstererek anlatır.

12.12Kaynaklar

1. L. R. Anderson, C. A. Holt, “Information cascades in the laboratory”, American Economic Review 87(5), 1997.
2. D. Austen-Smith, J. S. Banks, “Information aggregation, rationality, and the Condorcet jury theorem”, American Political Science Review 90(1), 1996.
3. J. Berg, J. Dickhaut, K. McCabe, “Trust, reciprocity, and social history”, Games and Economic Behavior 10(1), 1995.
4. S. Bikhchandani, D. Hirshleifer, I. Welch, “A theory of fads, fashion, custom, and cultural change as informational cascades”, J. Political Economy 100(5), 1992.
5. Marquis de Condorcet, Essai sur l'application de l'analyse à la probabilité des décisions rendues à la pluralité des voix, 1785.
6. C. Engel, “Dictator games: A meta study”, Experimental Economics 14(4), 2011.
7. T. Feddersen, W. Pesendorfer, “Convicting the innocent”, American Political Science Review 92(1), 1998.
8. E. Fehr, S. Gächter, “Cooperation and punishment in public goods experiments”, American Economic Review 90(4), 2000.
9. E. Fehr, S. Gächter, “Altruistic punishment in humans”, Nature 415, 2002.
10. E. Fehr, K. M. Schmidt, “A theory of fairness, competition, and cooperation”, Quarterly J. Economics 114(3), 1999.
11. U. Fischbacher, S. Gächter, E. Fehr, “Are people conditionally cooperative? Evidence from a public goods experiment”, Economics Letters 71(3), 2001.
12. F. Galton, “Vox populi”, Nature 75, 1907.
13. J. K. Goeree, C. A. Holt, “Ten little treasures of game theory and ten intuitive contradictions”, American Economic Review 91(5), 2001.
14. G. Hardin, “The tragedy of the commons”, Science 162, 1968.
15. J. C. Harsanyi, “Cardinal welfare, individualistic ethics, and interpersonal comparisons of utility”, J. Political Economy 63, 1955.
16. B. Herrmann, C. Thöni, S. Gächter, “Antisocial punishment across societies”, Science 319, 2008.
17. D. Kahneman, J. L. Knetsch, R. H. Thaler, “Experimental tests of the endowment effect and the Coase theorem”, J. Political Economy 98(6), 1990.
18. D. Kahneman, A. Tversky, “Prospect theory: An analysis of decision under risk”, Econometrica 47(2), 1979.
19. J. O. Ledyard, “Public goods: A survey of experimental research”, J. H. Kagel, A. E. Roth (ed.), The Handbook of Experimental Economics, Princeton University Press, 1995.
20. R. D. McKelvey, T. R. Palfrey, “Quantal response equilibria for normal form games”, Games and Economic Behavior 10(1), 1995.
21. R. Nagel, “Unraveling in guessing games: An experimental study”, American Economic Review 85(5), 1995.
22. E. Ostrom, Governing the Commons, Cambridge University Press, 1990.
23. S. E. Page, The Difference, Princeton University Press, 2007.
24. M. Rabin, “Incorporating fairness into game theory and economics”, American Economic Review 83(5), 1993.
25. J. Rawls, A Theory of Justice, Harvard University Press, 1971.
26. H. A. Simon, “A behavioral model of rational choice”, Quarterly J. Economics 69, 1955.
27. A. Tversky, D. Kahneman, “The framing of decisions and the psychology of choice”, Science 211, 1981.
28. A. Tversky, D. Kahneman, “Advances in prospect theory: Cumulative representation of uncertainty”, J. Risk and Uncertainty 5, 1992.

© Sercan Külcü. Tüm hakları saklıdır.