Bölüm 5: Açık Artırmalar

5.1Temel kavramlar

Açık artırma (auction), bir ya da birden çok nesnenin, katılımcıların verdiği tekliflere göre önceden ilan edilmiş kurallarla dağıtıldığı bir satış yöntemidir. Bu bölümde nesneyi satın almak isteyen katılımcılara teklifçi (bidder) denir. Kurallar iki soruyu cevaplar: nesneyi kim alır ve ne öder? Bu iki soru, mekanizma tasarımındaki tahsis kuralı (allocation rule) ile ödeme kuralı (payment rule) kavramlarının ta kendisidir. Açık artırmalar bu yüzden mekanizma tasarımının en yaygın ve en eski uygulamasıdır.

Bu kısımda önce küçük bir oyunla bölümün ana sorusu ortaya konur. Ardından açık artırmaların günlük hayattaki yeri, kullanılan terimler, örneklerde gereken olasılık araçları ve teklifçilerin nesneye nasıl değer biçtiğini anlatan üç model verilir.

5.1.1Bir oyunla başlangıç: Vickrey açık artırması

Oyunun kuralı kısadır. Herkes teklifini kapalı bir zarfa yazar ve zarflar aynı anda açılır. En yüksek teklifi veren nesneyi alır. Ancak kazanan kendi teklifini değil, ikinci en yüksek teklifi öder. Bu kurala, onu 1961'de inceleyen ekonomist William Vickrey'nin adıyla Vickrey açık artırması ya da ikinci fiyat kapalı zarf açık artırması denir (Vickrey, 1961).

Oyunu oynayan biri için üç soru doğal olarak akla gelir:

• Nesne size 70 TL değerindeyse zarfa 70'ten azını mı, 70'i mi, yoksa fazlasını mı yazarsınız?
• Rakiplerin teklifini bilseydiniz teklifiniz değişir miydi?
• Kazanan kendi teklifini ödeseydi (birinci fiyat kuralı), 70 yazmak yine iyi bir fikir olur muydu?

Bir oyun turunda siz 70, birinci rakip 60, ikinci rakip 45 yazmış olsun. En yüksek teklif sizindir, nesneyi siz alırsınız. Ödediğiniz tutar ise ikinci en yüksek teklif, yani 60 TL'dir. Nesne size 70 TL değerinde olduğuna göre bu alışverişten 70 − 60 = 10 TL kazançlı çıkarsınız. Şekil 5.1'de bu tur gösterilir.

Şekildeki önemli ayrıntı şudur: kazananın ödediği 60 TL, kazananın kendi zarfında yazan sayı değildir. 70 yerine 65 ya da 100 yazılsaydı da kazanan değişmez, ödenen tutar yine 60 olurdu. Bu gözlem bölümün ilk büyük sonucunun tohumudur: ikinci fiyat kuralında teklif yalnızca kazanıp kazanmayacağınızı belirler, ne ödeyeceğinizi belirlemez. Bu gözlemin neden dürüst teklifi en iyi strateji yaptığı 5.3.2'de adım adım ispatlanır. Üçüncü sorunun cevabı ise farklıdır: kazanan kendi teklifini öderse, 70 yazıp kazanan biri 70 öder ve kazancı sıfır olur. Birinci fiyat kuralında bu yüzden teklif değerin altına çekilir; ne kadar çekileceği 5.3.5'in konusudur.

5.1.2Açık artırmalar neden önemli?

Açık artırmaların bu kadar yaygın olmasının üç nedeni vardır.

Birincisi, kaynak tahsisinde verimlidir. İyi tasarlanmış bir açık artırmada nesne, ona en çok değer veren kişiye gitme eğilimindedir. Bu, toplumun nesneden elde ettiği toplam faydanın büyük olması demektir. Bir tabloyu ona 85 TL değer biçen kişinin alması, 55 TL değer biçen kişinin almasından daha çok refah yaratır.

İkincisi, fiyat keşfi (price discovery) sağlar. Satıcı alıcıların değerlerini bilmez; bilseydi en yüksek değerli alıcıya doğrudan o fiyattan satardı. Açık artırma, alıcıların özel bilgisini tekliflere döker ve fiyat bu tekliflerden oluşur. Kurallar herkese aynı biçimde uygulandığı için piyasa şeffaflaşır.

Üçüncüsü, açık artırma mekanizma tasarımının en yaygın uygulamasıdır. Bir mekanizma, katılımcılardan bilgi (burada teklif) alıp bir sonuç (kim alır, kim ne öder) üreten kurallar bütünüdür. Açık artırma, tahsis kuralı ile ödeme kuralının en yalın birleşimidir.

Tablo 5.1'deki örnekler ölçek bakımından çok farklıdır. Bir müzayedede tek bir tablo satılır, bir arama motorunda ise saniyede binlerce küçük açık artırma çalışır. Spektrum açık artırmalarında aynı anda yüzlerce lisans satılır ve teklifçiler lisansları birlikte değerlendirir. Kamu ihalelerinde ise yön tersine döner: devlet alıcıdır, firmalar en düşük fiyatı vermek için yarışır. Bu bölümün çözümlemeleri tek nesneli ve tek satıcılı en basit durumda kurulur; ama ortaya çıkan fikirler (dürüst teklif, kırpma, gelir eşdeğerliği, rezerv fiyatı) büyük uygulamaların da temelidir.

5.1.3Temel terimler ve model

Açık artırma çözümlemesi dört kavrama dayanır. Bunları ayırt etmek, bölüm boyunca yapılan hataların çoğunu önler. En sık karıştırılan ikili değer ile tekliftir.

Fayda tanımına yarı doğrusal fayda (quasi-linear utility) denir. “Doğrusal” sözcüğü, ödemenin faydadan bire bir düşülmesini anlatır: 1 TL fazla ödemek faydayı tam 1 azaltır. Kaybeden teklifçi nesneyi almaz ve hiçbir şey ödemez; faydası sıfırdır. Bu, kaybetmenin “ceza” olmadığı, yalnızca “hiçbir şey olmaması” olduğu anlamına gelir. Teklifçinin amacı faydasını maksimize etmektir.

Şekil 5.2 faydayı bir çubuğun bölünmesi olarak gösterir. Değer çubuğun tamamıdır; ödeme bu çubuğun bir kısmını “yer”, kalan kısım teklifçiye kalır. Ödeme değerden büyük olsaydı kalan kısım negatif olurdu; teklifçi nesneyi almakla zarar etmiş olurdu. Bu durum, ileride “fazla teklif” stratejisinin neden tehlikeli olduğunu açıklayacaktır.

IPV modelinin iki parçası vardır. Özel olması, herkesin kendi değerini bildiği ve bu değerin başkalarının bilgisinden etkilenmediği anlamına gelir. Kendi oturma odası için tablo alan biri, başkalarının tabloyu ne kadar beğendiğini öğrense de kendi değerini değiştirmez. Bağımsız olması ise değerlerin birbirinden bağımsız rastgele sayılar olarak üretildiği anlamına gelir: Ayşe'nin değerini bilmek, Bora'nın değeri hakkında hiçbir şey söylemez. IPV, açık artırma kuramının temel modelidir. Bu bölümdeki teoremlerin çoğu bu modelde geçerlidir; model değişince sonuçlar da değişebilir (5.1.5).

Örneklerde iki varsayım daha sık kullanılır. Birincisi değerlerin [0, 1] aralığında düzgün dağılımlı olmasıdır; kısaca v_i ~ U[0, 1] yazılır. İkincisi teklifçilerin risk nötr (risk-neutral) olmasıdır: risk nötr bir teklifçi belirsiz sonuçları beklenen faydalarıyla karşılaştırır. Örneğin yarı yarıya 10 ya da 0 fayda veren bir seçeneği kesin 5 fayda veren seçenekle aynı görür. Bu iki varsayım, hesapları basit tutmak için seçilmiştir. Riskten kaçınan teklifçilerin durumu 5.4.3'te ayrıca incelenir.

5.1.4Örneklerde kullanılan olasılık araçları

Bölümün hesapları birkaç basit olasılık aracı kullanır. Bunlar burada kısaca toplanır; sonraki alt bölümlerde gerektikçe bu araçlara geri dönülür.

Düzgün dağılım. v ~ U[0, 1] demek, v'nin 0 ile 1 arasındaki her değeri “eşit şansla” alabilmesi demektir. Daha kesin söylemek gerekirse, [0, 1] içindeki herhangi bir aralığa düşme olasılığı o aralığın uzunluğuna eşittir. Örneğin P(v < 0,3) = 0,3 ve P(0,2 < v < 0,7) = 0,5'tir. Bu olasılığı veren fonksiyona dağılım fonksiyonu denir ve F(t) = P(v < t) diye yazılır; U[0, 1] için F(t) = t'dir. Dağılım fonksiyonunun türevi yoğunluk f(t)'dir; U[0, 1] için f(t) = 1'dir. Yoğunluk, olasılığın değerler üzerine ne kadar sık serpiştirildiğini gösterir; düzgün dağılımda her yerde aynıdır.

Bağımsız olayların çarpımı. İki olay bağımsızsa ikisinin birden gerçekleşme olasılığı olasılıkların çarpımıdır. İki teklifçinin değerleri bağımsız U[0, 1] ise “ikisinin de değeri 0,5'ten küçük” olayının olasılığı 0,5 · 0,5 = 0,25'tir. Bölümdeki kazanma olasılığı formüllerinin hepsi bu çarpım kuralından çıkar: bir teklifçi kazanmak için her rakibini geçmelidir ve rakipler bağımsızsa bu olasılıklar çarpılır.

Beklenen değer. Rastgele bir büyüklüğün beklenen değeri, aldığı değerlerin olasılıklarıyla ağırlıklandırılmış ortalamasıdır. Bir deneyi çok kez tekrarlayınca elde edilen ortalama beklenen değere yaklaşır. v ~ U[0, 1] için E[v] = 1/2'dir. Bölümde iki tür beklenen değer sık geçer: bir teklifçinin beklenen faydası (bir teklifin ortalamada ne kazandırdığı) ve satıcının beklenen geliri (bir kuralın satıcıya ortalamada ne getirdiği).

Kuyruk formülü. Değeri 0 ile 1 arasında olan rastgele bir X için beklenen değer şu formülle de hesaplanabilir:

E[X] = ∫₀¹ P(X > t) dt

Formülün anlamı şöyle düşünülebilir: X'i 0'dan başlayan bir çubuk olarak düşünelim. Her t noktasında çubuğun o noktayı geçme olasılığı P(X > t)'dir. Bu olasılıkları bütün t'ler boyunca toplamak (integral almak), çubuğun ortalama uzunluğunu verir. Örnek olarak X ~ U[0, 1] alınırsa P(X > t) = 1 − t ve ∫₀¹ (1 − t) dt = 1 − 1/2 = 1/2 çıkar; bu, bildiğimiz E[X] = 1/2 sonucudur. Kuyruk formülü, bir sayının en büyüğünün ya da en küçüğünün beklentisini bulmak için çok kullanışlıdır, çünkü “en büyük t'den küçük” gibi olayların olasılığı çarpım kuralıyla kolayca yazılır (5.4.1).

Polinomların integrali. Bölümde yalnızca polinomların integrali gerekir: ∫₀^a t^k dt = a^k+1/(k + 1). Örneğin ∫₀¹ t² dt = 1/3 ve ∫₀^r 2t² dt = 2r³/3'tür.

Türev ve en büyük nokta. Bir teklifçinin beklenen faydası teklifin bir fonksiyonudur. Bu fonksiyon önce artıp sonra azalıyorsa en büyük değerini türevin sıfır olduğu noktada alır. Kullanılan iki kural şunlardır: t^k'nın türevi k t^k−1'dir ve iki fonksiyonun çarpımının türevi (g h)' = g' h + g h''dir (çarpım kuralı).

5.1.5Değerleme modelleri

Teklifçilerin nesneye nasıl değer biçtiği, açık artırmanın nasıl çözümleneceğini belirler. Literatürde üç temel model ayırt edilir.

Şekil 5.3 üç modelin farkını görselleştirir. Özel değer modelinde başkalarının ne düşündüğünü öğrenmek kimsenin değerini değiştirmez. Ortak değer modelinde ise durum tersinedir: başka bir firmanın sahayı düşük değerlendirdiğini öğrenmek, sizin tahmininizin fazla iyimser olabileceğini düşündürür. Bilgi değerlidir, çünkü herkesin tahmini aynı gerçeğin gürültülü bir ölçümüdür.

Gerçek nesnelerin çoğu iki uç arasında bir yerdedir. Bir sanat eseri hem kişisel zevke (özel bileşen) hem de ileride satılabileceği fiyata (ortak bileşen) göre değerlendirilir. Bir şirket satın alımında alıcı firmanın kendi sinerjisi özel, hedef şirketin nakit akışları ortak bileşendir. Birbirine bağlı değerler modeli bu karışık durumu temsil eder.

Modeller arasındaki fark yalnızca kuramsal değildir. Ortak değer modeli, kazananın laneti (winner's curse) adı verilen olguya yol açar: açık artırmayı kazanan, büyük olasılıkla değeri en iyimser tahmin eden katılımcıdır ve bunu hesaba katmazsa beklenen olarak zarar eder. Bu olgu 5.4.8'de sayısal olarak incelenir. Bölümün geri kalanında aksi söylenmedikçe IPV modeli varsayılır.

5.2Dört temel tür

Açık artırma türleri iki ölçüte göre sınıflanır. Birinci ölçüt tekliflerin nasıl verildiğidir: herkesin gözü önünde, fiyat değişirken (açık, “sesli” açık artırma) ya da bir kez ve gizlice (kapalı zarf). İkinci ölçüt kazananın ne ödediğidir: kendi teklifini mi, yoksa ikinci en yüksek teklifi mi? Bu iki ölçütün birleşimi dört temel türü verir. Bu kısımda dört türün kuralları verilir, ardından dördü de aynı dört kişilik örnek üzerinde adım adım çalıştırılır.

5.2.1Dört kural

İngiliz açık artırması (English (ascending) auction) müzayede evlerinde görülen klasik biçimdir. Açık artırmacı düşük bir fiyattan başlar ve fiyatı adım adım yükseltir. Fiyat bir teklifçinin ödemeye razı olduğu tutarı geçince o teklifçi çekilir. Tek kişi kalınca açık artırma biter; son kalan, son rakibinin çekildiği fiyattan nesneyi alır. Kuramsal çözümlemede genellikle “saat” sürümü kullanılır: fiyat sürekli yükselir ve teklifçiler bir düğmeyi bırakarak çekilir. Böylece bir teklifçinin tek kararı “hangi fiyatta çekileceğim?” sorusuna indirgenir.

Hollanda açık artırması (Dutch (descending) auction) adını Hollanda'daki çiçek mezatlarından alır. Fiyat yüksek bir değerden başlar ve düşer. İlk “kabul” diyen nesneyi o anki fiyattan alır ve açık artırma hemen biter. Hızlı olduğu için çok sayıda küçük partinin satıldığı çiçek ve balık hallerinde kullanılır.

Birinci fiyat kapalı zarf açık artırması (first-price sealed-bid auction) kamu ihalelerinin bilinen biçimidir. Her teklifçi bir kez ve gizlice teklif verir. En yüksek teklif kazanır ve kazanan kendi teklifini öder.

İkinci fiyat kapalı zarf açık artırması (second-price (Vickrey) auction) da gizli ve tek seferliktir. Kazanan yine en yüksek teklifi verendir, ama ödediği tutar ikinci en yüksek tekliftir.

Dört türü karşılaştırmak için aynı dört kişi kullanılır. Her kişinin nesne için ödemeye razı olduğu en yüksek tutar, yani sınırı şöyledir: Ayşe 70, Bora 55, Cem 85, Deniz 60. Bu sınırlar özel değerlerdir. Şimdilik herkesin sınırını teklif ettiği, yani İngiliz açık artırmasında sınırına kadar kaldığı ve Hollanda açık artırmasında fiyat sınırına inince kabul ettiği varsayılır. Bu varsayımın ne zaman akıllıca olduğu 5.3'te incelenir.

5.2.2İngiliz açık artırması adım adım

Fiyat 40'tan başlasın ve yavaşça yükselsin. Her teklifçi, fiyat kendi sınırının altında kaldığı sürece içeride kalır.

Şekil 5.5'te görülen sonuç İngiliz açık artırmasının genel bir özelliğidir: kazanan en yüksek değerli kişidir ve ödediği fiyat ikinci en yüksek değerdir. Bunun nedeni basittir. Açık artırma, en yüksek ikinci değere sahip kişi çekilene kadar sürer; o kişi çekilince başka rakip kalmaz. Cem'in kendi sınırı olan 85, ödediği fiyatı hiç etkilemez. 85 yerine 75 ya da 100 olsaydı da Cem yine 70'te kazanırdı. Bu, 5.1.1'deki Vickrey gözlemiyle aynıdır.

Özel değerlerde bir teklifçinin İngiliz açık artırmasındaki en iyi stratejisi sınırına kadar kalmaktır. Sınırdan önce çekilmek, kazanılabilecek bir kârı kaçırabilir: fiyat 65'teyken çekilen Ayşe, Cem olmasaydı 60'ı biraz geçen bir fiyattan nesneyi alabilirdi. Sınırdan sonra kalmak ise zararına kazanma riskini doğurur. Bu akıl yürütme Vickrey açık artırmasındaki dürüstlük ispatının açık artırma sürümüdür (5.3.2).

5.2.3Hollanda açık artırması adım adım

Hollanda açık artırmasında fiyat 100'den başlar ve her adımda 5 düşer. Her teklifçi, fiyat kendi sınırına inince “kabul” der.

Şekil 5.6 ile İngiliz açık artırmasının şekli karşılaştırıldığında önemli bir fark göze çarpar. İngiliz açık artırmasında süreç boyunca bilgi ortaya çıkar: kimin hangi fiyatta çekildiğini herkes görür. Hollanda açık artırmasında ise ilk kabul eden kazandığı için açık artırma biter; kimse başkasının sınırı hakkında bir şey öğrenmez. Bir teklifçi önceden yalnızca tek bir soruyu cevaplar: “fiyat kaça inince kabul ederim?” Bu sorunun cevabı tek bir sayıdır ve bu sayı fiilen gizli bir tekliftir. Bu gözlemin sonuçları 5.2.5'te tartışılır.

Örnekte Cem sınırında kabul ettiği için faydası sıfır çıktı. Bu, gerçekçi bir davranış değildir. Cem 85'te kabul etmek yerine biraz bekleyip örneğin 75'te kabul etseydi, rakiplerin sınırları 70'in altında kaldığı sürece yine kazanır ve 10 fayda elde ederdi. Beklemenin riski, fiyat bir rakibin sınırına inince o rakibin önce kabul etmesidir. Bu ödünleşim birinci fiyat açık artırmasındaki teklif kırpmanın aynısıdır.

5.2.4Birinci ve ikinci fiyat kapalı zarf

Kapalı zarf açık artırmasında herkes teklifini bir kez ve gizlice verir. Kimse diğerlerinin teklifini görmez; zarflar aynı anda açılır. Dört kişi sınırlarını yazarsa zarflardan 70, 55, 85 ve 60 çıkar.

Birinci fiyat kuralında kazananın ödemesi kendi teklifine eşittir, ikinci fiyat kuralında ise kendi teklifinden bağımsızdır. Şekil 5.7'de Cem'in çubuğu ne kadar uzun olursa olsun ödeme çizgisi 70'te kalır. Bu tek fark, iki kuralda akıllı bir teklifçinin davranışını tamamen değiştirir: ikinci fiyatta değerini yazmak en iyisidir, birinci fiyatta ise değerin altına inmek gerekir.

5.2.5Aynı teklifler, dört sonuç

Dört kuralın sonucu Tablo 5.3'te yan yana konur.

Tablo iki ikiliyi ortaya çıkarır.

İngiliz ≈ ikinci fiyat. Özel değerlerde iki türde de kazanan en yüksek değerli kişidir ve ikinci en yüksek değeri öder. İngiliz açık artırmasında bunun nedeni sınırına kadar kalmanın baskın olmasıdır; ikinci fiyatta ise dürüst teklifin baskın olmasıdır. İki tür arasındaki “≈” işareti fiyat artımının yarattığı küçük farkı anlatır: İngiliz açık artırmasında ödeme ikinci en yüksek değere en fazla bir artım kadar yakındır. Ayrıca bu denklik yalnızca özel değerlerde tamdır. Ortak ya da birbirine bağlı değerlerde İngiliz açık artırmasında rakiplerin hangi fiyatta çekildiğini görmek bilgi verir; bu bilgi kapalı zarfta yoktur ve iki tür farklılaşabilir.

Hollanda ≡ birinci fiyat. Bu iki tür, değerleme modelinden bağımsız olarak stratejik olarak özdeştir. Hollanda açık artırmasında bir teklifçi açık artırma bitene kadar işe yarar hiçbir bilgi edinmez; çünkü açık artırma biri kabul ettiği anda biter. Bu yüzden önceden “fiyat şu değere inince kabul ederim” diye bir sayı belirlemek, bu sayıyı kapalı zarfa yazmakla aynıdır. Her iki kuralda da en yüksek sayıyı belirleyen kazanır ve kendi sayısını öder. Üçlü eşitlik işareti (≡) bu özdeşliğin yaklaşık değil tam olduğunu anlatır.

5.3Kapalı zarf stratejileri

Önceki kısımda herkesin sınırını teklif ettiği varsayıldı. Bu kısımda varsayım kaldırılır ve soru şöyle sorulur: akıllı bir teklifçi zarfa ne yazmalıdır? Cevap kurala göre çok farklıdır. İkinci fiyat kuralında cevap “değerini” olur ve rakiplerin ne yaptığına bağlı değildir. Birinci fiyat kuralında ise cevap rakiplerin davranışına bağlıdır ve bir denge hesabı gerektirir.

5.3.1Vickrey açık artırmasının stratejik özelliği

Vickrey açık artırmasının kuralı bir kez daha yazılırsa: en yüksek teklifi veren kazanır ve ikinci en yüksek teklif kadar ödeme yapar. Bu kuralın en önemli sonucu, teklifçinin rakiplerini tahmin etmesine gerek bırakmamasıdır. Bunu ifade etmek için önce baskın strateji kavramı hatırlanmalıdır.

Teoremin arkasındaki fikir tek bir cümleyle söylenebilir: teklifin, ne ödeyeceğini değil yalnızca kazanıp kazanmayacağını belirler. Kazanırsanız ödediğiniz tutar rakiplerin en yüksek teklifidir; bu tutar sizin zarfınızdaki sayıdan bağımsızdır. O hâlde zarfa yazılan sayının tek işi bir eşik koymaktır: rakiplerin en yüksek teklifi bu eşiğin altındaysa kazanırsınız, üstündeyse kaybedersiniz. En iyi eşik, kazanmanın kârlı olduğu yerle zararlı olduğu yeri ayıran noktadır; bu nokta da değerinizin kendisidir.

Şekil 5.8 ispatın görsel özetidir. Yatay eksen rakiplerin en yüksek teklifi B'dir. Dürüst teklifçi B 70'in altındayken kazanır ve 70 − B fayda alır; bu fayda B büyüdükçe doğrusal olarak azalır. B 70'i geçince dürüst teklifçi kaybeder ve faydası 0'dır. 50 teklif eden biri B 50 ile 70 arasındayken kaybeder; oysa bu aralıkta kazanmak kârlıydı (gri bölge). 90 teklif eden biri B 70 ile 90 arasındayken kazanır; ama bu aralıkta kazanmak zararlıdır (kırmızı bölge, faydası negatif). Her iki sapma bazı B'lerde dürüst teklifle aynı, bazılarında daha kötüdür; hiçbir yerde daha iyi değildir.

Teoremin geçerlilik koşulları önemlidir. Sonuç bağımsız özel değerli tek nesne modelinde kanıtlanır. Ortak değerlerde, bütçe kısıtları olduğunda ya da değerler birbirine bağlı olduğunda aynı biçimde geçerli olmayabilir. Örneğin bütçesi değerinden küçük olan bir teklifçi değerini teklif edemez; ortak değerde ise “değer” zaten bilinmemektedir. Vickrey açık artırması, mekanizma tasarımındaki VCG (Vickrey–Clarke–Groves) mekanizmasının tek nesneli özel durumudur. VCG'de de her katılımcı, başkalarına yüklediği zarar kadar öder; tek nesnede bu zarar ikinci en yüksek değerdir.

5.3.2Dürüstlüğün ispatı adım adım

İspat bir durum analizidir: rakiplerin en yüksek teklifi B = max_j≠i b_j için olası durumlar tek tek incelenir. Teklifçi B'yi bilmez; ama ispat her B için ayrı ayrı yapıldığından bu bilgisizlik sorun olmaz. Önce sayısal bir örnekle başlanır: değer v = 70'tir ve üç strateji karşılaştırılır: dürüst b = 70, fazla b = 90, eksik b = 50.

Tablo 5.4 bir örüntü gösterir. Sapmanın sonucu, B'nin b ile v arasına düşüp düşmediğine bağlıdır. B bu aralığın dışındaysa sapan teklifçi dürüst teklifçiyle aynı kararı verir (ikisi de kazanır ya da ikisi de kaybeder) ve kazanırsa aynı B'yi öder. B aralığın içindeyse karar değişir ve değişen karar hep yanlış yöndedir. Şekil 5.9 bu aralığı sayı doğrusu üzerinde gösterir: b ile v arasındaki bölge “tehlike bölgesi”dir. Sayısal kontrol olarak, v = 70 için bütün b, B ∈ {0, 1, …, 120} çiftleri denendiğinde hiçbir b dürüst teklifi geçemez.

Aynı akıl yürütme genel olarak şöyle yazılır.

İspatta rakiplerin nasıl teklif verdiği hiç kullanılmadı. Rakipler dürüst de olabilir, yalan da söyleyebilir, rastgele de davranabilir; sonuç değişmez. Bu, baskın stratejinin Nash dengesinden daha güçlü bir kavram olmasının nedenidir: Nash dengesinde bir oyuncunun stratejisi rakiplerin dengedeki stratejilerine göre en iyidir, baskın stratejide ise rakiplerin her stratejisine göre en iyidir. Bu özelliğe sahip mekanizmalara stratejiye dayanıklı (strategy-proof) ya da baskın stratejide teşvik uyumlu (DSIC) denir.

5.3.3Oyuna dönüş: kuram ve laboratuvar

5.1.1'deki açılış sorusunun kuramsal cevabı artık açıktır: değerinizi yazın. Açılıştaki zarflarda siz 70, rakipler 60 ve 45 yazmıştı. Dürüst teklifle kazanır ve 60 ödersiniz; kazancınız 10'dur. 65 ya da 100 yazsaydınız da kazanır ve aynı 60'ı öderdiniz. 55 yazsaydınız nesne 60 yazan rakibe gider ve 10'luk kazancı kaçırırdınız. Teklif değerden yukarı ya da aşağı çekildiğinde kazanç hiçbir B için artmaz; yalnızca bazı B değerlerinde azalır.

Üçüncü açılış sorusunun cevabı da bellidir. Aynı 70, birinci fiyat kuralında kazansanız bile 70 − 70 = 0 kazanç bırakır. Orada teklifi değerin altına çekmek gerekir; nasıl çekileceği 5.3.4'ün konusudur.

Gerçek davranış kuramdan farklı olabilir. Laboratuvar deneylerinde ikinci fiyat kapalı zarf açık artırmasında değerin üstünde teklif vermek yaygındır ve deney tekrarlansa da kolay kaybolmaz. Aynı denekler yükselen fiyatlı İngiliz açık artırmasında dengeye çok daha hızlı yaklaşır (Kagel, Harstad ve Levin, 1987). Bunun olası bir nedeni şudur: fazla teklifin zararı yalnızca B belirli bir aralığa düştüğünde ortaya çıkar ve bu durum seyrek yaşanır; denekler zararı nadiren gördüğü için alışkanlıklarını değiştirmez. İngiliz açık artırmasında ise fiyatın değeri geçtiği an herkesin gözü önündedir ve çekilmek doğal bir karardır.

Gündelik hayatta ikinci fiyat kuralına çok yakın bir örnek eBay'in otomatik (vekil) teklif sistemidir. Kullanıcı ödemeye razı olduğu en yüksek tutarı sisteme bildirir; sistem onun adına, rakipleri geçecek en küçük tutarda teklif verir. Sonuçta kazanan, ikinci en yüksek bildirimi bir artış miktarı kadar geçen fiyatı öder. Bu, ikinci fiyat kuralının artımlı bir sürümüdür.

5.3.4Birinci fiyatta teklif kırpma

Birinci fiyat kuralında dürüst teklif anlamsızdır: kazansanız bile v − v = 0 fayda elde edersiniz. Teklifi değerin altına çekmeye teklif kırpma (bid shading) denir. Kırpma bir ödünleşim yaratır. Teklifi düşürmek kazanınca kalan kârı (v − b) artırır, ama kazanma olasılığını azaltır. Bir teklifin beklenen faydası bu iki etkinin çarpımıdır:

E[u(b)] = (v − b) · P(b ile kazanmak)

Formüldeki ilk çarpan kazanınca elde edilen kârdır, ikinci çarpan bu kârın gerçekleşme olasılığıdır. Kaybedince fayda 0 olduğundan formüle başka terim girmez. b = 0 iken kazanma olasılığı 0'dır; b = v iken kâr 0'dır. İki uçta da beklenen fayda sıfırdır; en iyi teklif ikisinin arasında bir yerdedir.

Kazanma olasılığı rakiplerin nasıl teklif verdiğine bağlıdır. Bu yüzden birinci fiyatta en iyi teklif, ikinci fiyattaki gibi rakiplerden bağımsız değildir. Her teklifçinin stratejisi ötekilerin stratejisine bağlı olduğunda doğru çözüm kavramı bir dengedir. Ancak burada her teklifçi rakiplerinin değerlerini bilmez, yalnızca dağılımlarını bilir. Bu tür eksik bilgili oyunlarda kullanılan denge kavramı Bayes–Nash dengesidir.

Tanım, Nash dengesinin “kimse tek başına sapmak istemez” fikrini eksik bilgiye taşır. Fark, sapmanın beklenen fayda üzerinden değerlendirilmesidir: teklifçi rakiplerin değerlerini bilmediği için her teklifin ortalama sonucunu düşünür.

Şekil 5.10 ödünleşimi somutlaştırır. Rakibin değeri U[0, 1] ve teklifi değerinin yarısıdır; yani rakibin teklifi 0 ile 0,5 arasında düzgün dağılır. Teklif b ile kazanmak için rakibin teklifi b'den küçük olmalıdır: P(v_r/2 < b) = P(v_r < 2b) = 2b (b ≤ 0,5 iken). Böylece beklenen fayda (0,8 − b) · 2b olur. Bu bir parabol parçasıdır; türevi 2(0,8 − b) − 2b = 1,6 − 4b, b = 0,4'te sıfırdır. Tepe noktasında beklenen fayda (0,8 − 0,4) · 0,8 = 0,32'dir.

Hollanda açık artırması bu çözümlemeyle stratejik olarak aynıdır. “Fiyat kaça inince kabul ederim?” sorusunun cevabı kırpılmış bir tekliftir. Değeri 0,8 olan teklifçi, rakibi aynı biçimde davrandığında fiyat 0,4'e inince kabul eder.

5.3.5Denge teklifinin türetilmesi

Şimdi genel durum çözülür: n teklifçi vardır ve değerler bağımsız U[0, 1]'dir. Simetrik bir denge aranır. Bunun için tahmin edilen bir biçim varsayılır, en iyi tepki hesaplanır ve sonucun varsayımla tutarlı olduğu gösterilir. Varsayım şudur: rakipler değerlerinin sabit bir oranını teklif eder.

Türetmenin dördüncü adımı, türevin işaretine bakarak da doğrulanabilir. Köşeli parantez (n − 1)v − n b'ye eşittir. b denge teklifinden küçükken pozitif, büyükken negatiftir. Yani beklenen fayda önce artar, denge teklifinde tepe yapar, sonra azalır. Bulunan nokta gerçekten en büyük noktadır. Ayrıca b > β teklifleri her zaman kazanır, ama b = β de her zaman kazandığından bu teklifler yalnızca daha çok ödeme demektir; en iyi teklif bu bölgeye düşmez.

Dengede değeri v olan teklifçinin beklenen faydası da hesaplanabilir. Rakipler β v_j teklif ederken teklifçi β v teklif eder; bu teklif ancak her rakibin değeri v'den küçükse kazanır. Kazanma olasılığı vⁿ⁻¹, kâr v − (n − 1)v/n = v/n'dir. Çarpım vⁿ/n'dir. n = 2, v = 0,8 için 0,64/2 = 0,32, Şekil 5.10'daki tepe değeriyle aynıdır.

Formül sayısal olarak da denetlenebilir. n = 2, 3, 5, 10 ve v = 0,3; 0,6; 0,8 için E[u(b)] 10 001 noktalı bir ızgarada maksimize edildiğinde en iyi teklif her durumda (n − 1)v/n ile çakışır.

5.3.6Kod izleme: en_iyi_teklif()

Türetmenin sonucu, bir bilgisayar programının kaba kuvvetle bulduğu en iyi teklifle karşılaştırılabilir. Aşağıdaki fonksiyon, rakipler β v teklif ederken değeri v olan teklifçinin beklenen faydasını 0, adim, 2·adim, … ızgarasındaki her teklif için hesaplar ve en büyüğünü döndürür.

def en_iyi_teklif(v, n, adim=0.1):
  beta = (n - 1) / n        # rakipler beta*v
  en, b_en = -1, 0
  b = 0.0
  while b <= v:
    p = min(1, b / beta) ** (n - 1)  # P(kazan)
    eu = (v - b) * p
    if eu > en:
      en, b_en = eu, b
    b = round(b + adim, 10)
  return b_en, en

Kod satır satır şöyle çalışır:

• beta = (n - 1) / n: rakiplerin değerlerinin hangi oranını teklif ettiği. n = 2 için 0,5'tir.
• en, b_en = -1, 0: şimdiye kadarki en büyük beklenen fayda ve onu veren teklif. Başlangıçta en −1'dir; beklenen fayda hiçbir zaman negatif olmadığı için ilk teklif kesin olarak “yeni en iyi” olur.
• while b <= v: teklifler 0'dan başlayıp değere kadar denenir. Değerin üstünde teklif vermek, kazanınca negatif fayda verdiği için anlamsızdır.
• p = min(1, b / beta) ** (n - 1): kazanma olasılığı (b/β)ⁿ⁻¹. min(1, …) koruması, b > β iken oranın 1'i geçmesini engeller; olasılık 1'den büyük olamaz.
• eu = (v - b) * p: beklenen fayda. Daha büyükse en iyi güncellenir.
• b = round(b + adim, 10): bir sonraki teklif. round, 0,1'in ikilik tabanda tam gösterilememesinden doğan küçük hataları (ör. 0,30000000000000004) temizler; aksi hâlde son adımda b 0,8'i çok az aşıp döngü erken bitebilirdi.

en_iyi_teklif(0.8, 2) çağrısında β = 0,5'tir ve ızgara b = 0; 0,1; …; 0,8'dir. Tablo 5.5 her turu gösterir.

Fonksiyon (0.4, 0.32) döndürür: en iyi teklif b = 0,4 = v/2, beklenen fayda 0,32. Sonuç türetmeyle aynıdır. Şekil 5.11 ödünleşimin iki ucunu gösterir: düşük teklif kazanmayı, yüksek teklif kârı öldürür. b = 0,5'ten sonra kazanma olasılığı 1'e ulaştığı için artık yalnızca kâr azalır ve çubuklar doğrusal olarak kısalır.

5.3.7Rekabet arttıkça kırpma azalır

Denge teklifi b(v) = (n − 1)v/n, teklifçi sayısı n'ye bağlıdır. Kırpma miktarı, yani değer ile teklif arasındaki fark v − b(v) = v/n'dir. Teklifçi sayısı arttıkça kırpma küçülür.

Şekil 5.12 sonucun mantığını gösterir. Çok teklifçi varken birinin değerinizden biraz düşük bir değere sahip olma olasılığı yüksektir; kazanmak için değere yakın teklif vermek gerekir. Az teklifçi varken rakibin değeri büyük olasılıkla sizinkinden çok düşüktür ve teklifi rahatça kırpabilirsiniz. Limitte n → ∞ iken b → v olur: kalabalık bir piyasada birinci fiyat kuralı da teklifçileri neredeyse dürüst davranmaya zorlar.

Aşağıdaki etkileşimli şekil aynı ilişkiyi teklifçi sayısı değiştikçe gösterir. Solda dürüst teklif ve denge teklifi doğruları ile aradaki kırpma bölgesi, sağda iki kuralın beklenen geliri vardır. Varsayılan değer n = 2'dir.

Şekil 5.13'te dikkat çeken ikinci olgu sağdaki çubuklardır: birinci ve ikinci fiyat kurallarının beklenen geliri her n için eşittir ve n arttıkça artar. n = 2'de 1/3, n = 3'te 1/2, n = 10'da 9/11'dir. Bu eşitliğin nedeni bir sonraki kısmın konusudur.

5.4Gelir ve bilgi

Şimdiye kadar soru teklifçinin bakış açısından soruldu: ne teklif etmeliyim? Bu kısımda bakış açısı satıcıya geçer: hangi kural bana daha çok kazandırır? Sorunun cevabı şaşırtıcıdır: standart varsayımlar altında bütün temel kurallar ortalamada aynı geliri getirir. Ardından bu eşitliğin hangi varsayımlar bozulunca ortadan kalktığı, satıcının geliri nasıl artırabileceği (rezerv fiyatı) ve bilginin ortak olduğu durumda ortaya çıkan kazananın laneti incelenir.

5.4.1İki teklifçide beklenen gelir

En basit durumla başlanır: iki teklifçi vardır ve değerleri v₁, v₂ bağımsız U[0, 1]'dir. Satıcı ikinci fiyat kuralını mı, birinci fiyat kuralını mı seçmelidir? Her kuralda önce satıcının bir açık artırmadaki geliri yazılır, sonra bu gelirin beklentisi hesaplanır.

Son satır bir Monte Carlo simülasyonunun sonucudur: bilgisayar 200 bin kez iki rastgele değer çeker, her çekilişte iki kuralın gelirini hesaplar ve ortalamasını alır. İki ortalama da 0,333'e çok yakındır. Simülasyon, integral hesabını bilmeyen biri için de sonucu doğrulamanın yoludur.

Eşitliğin beklenen gelir için geçerli olduğunu vurgulamak gerekir. Tek tek açık artırmalarda gelirler farklıdır. Değerler 0,9 ve 0,2 ise ikinci fiyat 0,2, birinci fiyat 0,9/2 = 0,45 getirir. Değerler 0,6 ve 0,5 ise ikinci fiyat 0,5, birinci fiyat 0,3 getirir. Değerler birbirine yakınken ikinci fiyat, uzakken birinci fiyat daha çok kazandırır. Ortalamada bu farklar tam olarak birbirini götürür.

5.4.2Gelir eşdeğerliği teoremi

İki teklifçideki eşitlik bir rastlantı değildir. Daha genel bir teoremin özel durumudur.

Teoremin neden doğru olduğu Myerson'un ödeme formülüyle açıklanır. Bir açık artırmada değeri v olan teklifçinin kazanma olasılığı x(v), beklenen ödemesi p(v) olsun. Teklifçiler dengede davranıyorsa bu ikisi arasında şu ilişki vardır:

p(v) = v · x(v) − ∫₀^v x(z) dz

Formülün sağ tarafında yalnızca tahsis kuralı x(·) vardır. Formülün arkasındaki fikir mekanizma tasarımındaki Myerson lemmasıdır: değeri v olan bir teklifçi daha düşük bir değere sahipmiş gibi davranmayı da seçebileceğinden, dengede beklenen faydası v arttıkça tam olarak kazanma olasılığı hızında artmak zorundadır. Bu koşul, en düşük tipin faydası (burada 0) sabitlenince beklenen ödemeyi tek biçimde belirler. Sonuç şudur: aynı x(·) → aynı p(·) → aynı beklenen gelir. Standart açık artırmaların hepsinde en yüksek değerli teklifçi kazandığı için x(·) aynıdır; bu yüzden gelirleri de aynıdır.

Aynı hesap n teklifçi için de yapılabilir. Bu durumda x(v) = vⁿ⁻¹, p(v) = vⁿ − vⁿ/n = (n − 1)vⁿ/n ve beklenen gelir n · (n − 1)/n · E[vⁿ] = (n − 1)/(n + 1) çıkar. Aynı sonuca ikinci fiyat tarafından da ulaşılır: n bağımsız U[0, 1] değerinin ikinci büyüğünün beklentisi (n − 1)/(n + 1)'dir. Birinci fiyat tarafından ise en büyük değerin beklentisi n/(n + 1) ile teklif oranı (n − 1)/n'nin çarpımı yine (n − 1)/(n + 1)'dir.

Tablo 5.8 iki sonucu birlikte gösterir: her n için iki kural aynı geliri getirir ve gelir n ile artar. Simülasyon değerleri kuramdan üçüncü basamakta ayrılır; bu, sonlu sayıda çekilişin doğal rastgele hatasıdır.

Teoremin varsayımları önemlidir. Riskten kaçınma, bütçe kısıtları, ortak değerler ya da asimetrik bilgi sonucu değiştirebilir. Teklifçiler simetrik değilse (örneğin birinin değeri genellikle daha yüksekse) birinci fiyatta en yüksek değerli kişi her zaman kazanmayabilir; tahsis kuralı değişir ve eşitlik bozulur. Teorem bu yüzden “hangi kural daha çok kazandırır?” sorusunu ortadan kaldırmaz; sorunun cevabını varsayımlara taşır. Pratikte açık artırma biçimi yalnızca gelirle değil; sadelik, şeffaflık ve katılım teşvikiyle birlikte seçilir.

5.4.3Varsayımı değiştirmek: riskten kaçınma

Gelir eşdeğerliğinin bir varsayımı teklifçilerin risk nötr olmasıdır. Bu varsayım kaldırılınca ne olur? İki teklifçi ve U[0, 1] değerlerle bir model kurulur. Kazananın kârı x = v − fiyat, faydası ise

u(x) = x^ρ, 0 < ρ ≤ 1

olsun. ρ = 1 risk nötr teklifçidir: fayda kârın kendisidir. ρ < 1 riskten kaçınan teklifçidir; örneğin ρ = ½ iken u(x) = √x'tir. Karekök eğrisi küçük kârlarda dik, büyük kârlarda yataydır. Bu, riskten kaçınan bir kişinin “az ama kesin” bir kârı “çok ama belirsiz” bir kâra tercih etmesi demektir: ilk birkaç liralık kâr ona çok değerli gelir, fazlası o kadar değil.

İkinci fiyat değişmez. Fiyatı teklif değil, rakibin teklifi belirler. 5.3.2'deki ispat faydanın kârla artan bir fonksiyon olmasından başka bir şey kullanmadı; bu yüzden dürüst teklif hâlâ zayıf baskındır. Gelir yine E[min] = 1/3'tür.

Birinci fiyatta teklif yükselir. Rakip β v_r teklif ediyorsa teklif b ile kazanma olasılığı b/β'dır ve beklenen fayda (v − b)^ρ · b/β'dır. Türev alınırsa [−ρ (v − b)^ρ−1 b + (v − b)^ρ]/β bulunur. Sıfıra eşitleyip (v − b)^ρ−1 ortak çarpanı atılırsa −ρ b + (v − b) = 0, yani

b(v) = v / (1 + ρ)

elde edilir. ρ = 1 iken v/2, bildiğimiz risk nötr dengedir; ρ = ½ iken 2v/3'tür. Riskten kaçınan teklifçi kaybetme riskini azaltmak için daha yüksek teklif verir; bir anlamda kazanma olasılığını artırmak için “sigorta primi” öder.

Tablo 5.9 sonucu özetler: riskten kaçınma gelir eşdeğerliğini bozar ve birinci fiyat kuralı satıcıya daha çok kazandırır. Satıcı teklifçilerin riskten kaçındığını düşünüyorsa birinci fiyat kuralını (ya da onunla özdeş Hollanda açık artırmasını) seçmek için bir nedeni vardır.

5.4.4Gelir maksimizasyonu: Myerson ve rezerv fiyatı

Gelir eşdeğerliği standart açık artırmaların aynı geliri getirdiğini söyler. Peki satıcı verimliliği bir yana bırakıp yalnızca beklenen geliri maksimize etmek isterse ne yapmalıdır? Bu soruyu Roger Myerson cevapladı (Myerson, 1981). Cevabın anahtarı sanal değer kavramıdır.

Sanal değer, satıcının bir teklifçiden gerçekte ne kadar gelir çıkarabileceğini ölçer. Değer v tam olarak alınamaz, çünkü teklifçi değerini saklayabilir ve satıcı ona dürüst olması için bir “bilgi kirası” bırakmak zorundadır. Çıkarılan terim (1 − F)/f bu kiradır. Myerson'un temel sonucu şudur: beklenen gelir, kazananın sanal değerinin beklentisine eşittir. O hâlde geliri en büyük yapan mekanizma nesneyi sanal değeri en büyük olan teklifçiye verir; en büyük sanal değer bile negatifse nesneyi satmaz, çünkü negatif sanal değerli birine satmak beklenen geliri azaltır.

Sanal değer artan bir fonksiyonsa ve teklifçiler simetrikse “en büyük sanal değer” ile “en büyük değer” aynı kişidir. Tek fark, sanal değeri negatif olanlara satılmamasıdır. Bu, rezerv fiyatlı ikinci fiyat açık artırmasıdır: satıcı önceden bir rezerv fiyat (reserve price) r ilan eder; r'nin altındaki teklifler geçersizdir. Rezerv, sanal değerin sıfır olduğu noktadır:

ψ(r) = 0 ⇒ 2r − 1 = 0 ⇒ r = 1/2

Bu eşik yalnızca değer dağılımına bağlıdır; teklifçi sayısı n'den bağımsızdır. İki teklifçi için de, on teklifçi için de U[0, 1]'de en iyi rezerv 1/2'dir.

Rezervli ikinci fiyat açık artırmasının kuralları şöyledir. En yüksek teklif r'nin altındaysa nesne satılmaz. Yalnız en yüksek teklif r'nin üstündeyse kazanan r öder. İki teklif de r'nin üstündeyse kazanan ikinci en yüksek teklifi öder. Kısaca kazanan max(r, ikinci en yüksek teklif) öder. Rezerv, satıcının kendisinin de bir teklif verdiği gibidir; dürüst teklif bu kuralda da zayıf baskındır.

İki teklifçide rezervli ikinci fiyat açık artırmasının beklenen geliri sanal değer sonucuyla hesaplanabilir. Gelir, kazananın sanal değerinin beklentisidir ve nesne yalnız en büyük değer r'yi aşınca satılır. İki değerin büyüğünün yoğunluğu 2t'dir (P(max < t) = t²'nin türevi). O hâlde

E[gelir] = ∫_r¹ (2t − 1) · 2t dt = [4t³/3 − t²]_r¹ = 1/3 + r² − 4r³/3

bulunur. r = 0 iken rezervsiz ikinci fiyatın geliri 1/3 çıkar. r = 1/2 iken 1/3 + 1/4 − 1/6 = 5/12 ≈ 0,417'dir. Rezerv, geliri yaklaşık %25 artırır. Bunun bir bedeli vardır: bazen hiç satış olmaz ve nesneye değer veren bir alıcı olduğu hâlde nesne satıcıda kalır. Bu verimlilik kaybı 5.4.6'da hesaplanır.

5.4.5Kod izleme: en_iyi_rezerv()

En iyi rezervi sayısal olarak bulmak için iki fonksiyon yazılabilir. gelir(r), rezervi r olan iki teklifçili ikinci fiyat açık artırmasının beklenen gelirini bir ızgara üzerinde yaklaşık hesaplar; en_iyi_rezerv() ise r = 0; 0,1; …; 1 değerlerini dener.

def gelir(r, m=100):      # 2 teklifçi, U[0,1]
  v = [(i + .5) / m for i in range(m)]
  top = sum(max(min(a, c), r) for a in v
            for c in v if max(a, c) >= r)
  return top / m**2       # ortalama ödeme
def en_iyi_rezerv(adim=0.1):
  en, r_en = -1, None
  for k in range(round(1/adim) + 1):
    R = gelir(k * adim)
    if R > en: en, r_en = R, k * adim
  return r_en, en

Kod satır satır şöyle çalışır:

• v = [(i + .5) / m for i in range(m)]: [0, 1] aralığı m = 100 eşit parçaya bölünür ve her parçanın orta noktası alınır: 0,005; 0,015; …; 0,995. Bu noktalar düzgün dağılımı temsil eder.
• İç içe iki döngü bütün (a, c) değer çiftlerini dolaşır; 100 × 100 = 10 000 çift vardır ve her biri eşit olasılıklıdır.
• if max(a, c) >= r: en büyük değer rezervi geçmiyorsa satış yoktur ve gelir 0'dır; bu çiftler toplama katılmaz.
• max(min(a, c), r): satış varsa kazanan, küçük değer ile rezervin büyüğünü öder.
• top / m**2: toplam ödeme çift sayısına bölünür; satışsız çiftler 0 katkıyla sayılmış olur. Sonuç beklenen gelirin yaklaşığıdır.
• en_iyi_rezerv: k = 0, 1, …, 10 için r = k · adim dener. range(round(1/adim) + 1), r = 1'in de denenmesini sağlar. Daha büyük gelir bulununca en iyi güncellenir.

Fonksiyon r = 0,5 ve gelir ≈ 0,417 döndürür; bu, kuramsal sonuç 5/12 ile aynıdır. Şekil 5.15 gelirin rezerve göre önce artıp sonra azaldığını gösterir. Rezervsiz durumda (r = 0) gelir 1/3'tür. Yüksek rezervler sık sık satışsız kalır: r = 1'de nesne hiç satılmaz ve gelir 0'dır. Izgara hesabının formülle bu kadar iyi uyuşmasının nedeni orta nokta kuralının düzgün dağılımda çok küçük hata vermesidir.

5.4.6Rezervin bedeli

Rezerv satıcının gelirini artırır, ama toplumun nesneden elde ettiği toplam faydayı, yani sosyal refahı, azaltabilir. İki teklifçi ve rezerv r ile üç büyüklük hesaplanır.

• Beklenen gelir: 1/3 + r² − 4r³/3 (5.4.4).
• Hiç satılmama olasılığı: iki değerin ikisi de r'nin altında olmalıdır: r · r = r².
• Beklenen sosyal refah kaybı: verimli sonuçta nesneyi değeri en büyük teklifçi alır ve refah bu değere eşittir. Bu değer r'nin altındaysa nesne satılmaz ve değer kaybolur. En büyük değerin yoğunluğu 2t olduğundan kayıp ∫₀^r t · 2t dt = 2r³/3'tür.

Rezervsiz sosyal refah, en büyük değerin beklentisi olan E[max] = 2/3'tür. Tablo 5.11 gösterir ki r = 0,5 geliri maksimize eder, ama nesne %25 olasılıkla satılmaz ve beklenen sosyal refah 2/3 − 1/12 = 7/12'ye düşer. Kayıp (1/12)/(2/3) = 1/8, yani %12,5'tir. Satıcı ile toplumun çıkarı burada ayrışır: satıcı için en iyisi, toplum için en iyisi değildir.

Tablonun son satırı bir başka dersi de verir: rezervi aşırı yükseltmek geliri de düşürür. r = 0,75'te gelir rezervsiz duruma geri iner (1/3), ama nesne yarıdan fazla olasılıkla satılmaz ve refah kaybı çok büyüktür.

5.4.7Tümü öder ve çok birimli açık artırmalar

Tümü öder açık artırması (all-pay auction), en yüksek teklifin kazandığı ama herkesin teklifini ödediği bir kuraldır. İlk bakışta tuhaf görünür, ama birçok gerçek yarışmanın modelidir: lobi faaliyetleri, ar-ge yarışları, seçim kampanyaları. Bu yarışmaların hepsinde ödülü tek kişi kazanır, ama harcanan emek ve para kaybedenlere geri dönmez.

İki teklifçi ve U[0, 1] değerlerle simetrik dengede teklif b(v) = v²/2'dir. Bu sonuç gelir eşdeğerliğinden kolayca çıkar. Tümü öder kuralında da en yüksek değerli kazanır, yani tahsis kuralı aynıdır. O hâlde değeri v olan teklifçinin beklenen ödemesi birinci ve ikinci fiyattakiyle aynı, v²/2'dir (5.4.2). Tümü öderde teklif her durumda ödendiği için beklenen ödeme teklifin kendisidir: b(v) = v²/2. Değeri 0,8 olan teklifçi 0,32 teklif eder; birinci fiyatta teklifi 0,4 olurdu. Kazanma olasılığı düşük tipler neredeyse hiç teklif vermez: değeri 0,2 olan teklifçinin teklifi yalnızca 0,02'dir.

Satıcının beklenen geliri yine 1/3'tür. Bu, gelir eşdeğerliğinin güçlü bir gösterimidir: kurallar çok farklı görünse de en yüksek değerli kazandığı sürece ortalama gelir değişmez.

Değerler eşit ve herkesçe biliniyorsa tümü öder modelinin ilginç bir sonucu vardır. Örneğin iki firma değeri V olan bir ihale için lobi harcaması yapıyorsa, dengede beklenen toplam harcama ödülün değerine eşitlenir. Ödülün bütün değeri yarışmada “erir”; bu olguya rant kaybı denir ve kamu politikasında rekabetçi lobiciliğin maliyetini açıklar.

Çok birimli açık artırmalar (multi-unit auction) birden çok birimin aynı anda satıldığı açık artırmalardır. Birimler özdeşse (örneğin devlet tahvilleri) iki temel kural vardır. Tek tip fiyatlı açık artırmada (uniform-price auction) bütün kazananlar aynı fiyatı öder. Ayrımcı fiyatlı açık artırmada (discriminatory (pay-as-bid) auction) her kazanan kendi teklifini öder. Birimler birlikte daha değerliyse (örneğin komşu bölgelerin frekans lisansları) teklifçilere birim demetleri için paket teklif verme hakkı tanınır; bu tasarımların ödeme kuralları VCG mekanizmasına dayanır ve hesaplaması zordur.

Gelir artırmanın bir başka yolu daha vardır. Bulow ve Klemperer (1996), rezervsiz bir açık artırmaya bir ek teklifçi çekmenin, en iyi rezerv fiyatıyla yapılan açık artırmadan daha çok kazandırdığını gösterdi. U[0, 1] örneğinde bu açıkça görülür: iki teklifçi ve en iyi rezervle gelir 5/12 ≈ 0,417'dir; üç teklifçi ve rezervsiz gelir ise (3 − 1)/(3 + 1) = 1/2'dir. Satıcı için rekabeti artırmak, kuralları ince ayarlamaktan daha değerli olabilir.

5.4.8Kazananın laneti

Ortak değerli bir açık artırmada nesnenin gerçek değeri herkes için aynıdır, ama kimse bu değeri bilmez. Her katılımcı değeri tahmin eder ve tahminler hatalıdır: bazıları gerçek değerin üstünde, bazıları altındadır. Açık artırmada en yüksek teklif, büyük olasılıkla değeri en fazla tahmin eden katılımcıdan gelir. Bu katılımcı, kazandığı için kendi tahmin hatasının pozitif ve büyük olduğunu da öğrenmiş olur.

Lanetin özü bir istatistik olgusudur: tahminler ortalamada doğru olsa bile, en büyük tahmin sistematik olarak yüksektir. Beş tahminin ortalaması gerçek değere eşit olabilir; ama beşinin en büyüğü neredeyse her zaman gerçek değerin üstündedir. Kazanan tam olarak bu en büyük tahminin sahibidir. Katılımcılar bu riski azaltmak için tekliflerini gözlemlerinin altında tutar ve bilgilerinin kalitesini dikkate alır.

Olgu ilk kez Meksika Körfezi'ndeki petrol sahası açık artırmalarında belgelendi. Atlantic Richfield şirketinin mühendisleri, kazandıkları sahalardan beklenenden sistematik olarak az getiri elde ettiklerini fark etti ve bunu “kazananın laneti” olarak adlandırdı (Capen, Clapp ve Campbell, 1971).

Lanetin büyüklüğü bir modelle hesaplanabilir. Her firmanın tahmini V + e_i olsun; tahmin hataları e_i bağımsız ve U[−20, 20] olsun. Bir hata −20 + 40 u biçiminde yazılabilir; burada u ~ U[0, 1]'dir. n tane U[0, 1] sayının en büyüğünün beklentisi n/(n + 1) olduğundan, en büyük hatanın beklentisi

−20 + 40 · n/(n + 1) = 20(n − 1)/(n + 1)

olur. İki firmada 6,7, beş firmada 13,3, on firmada 16,4'tür. Rakip arttıkça lanet büyür, çünkü kalabalık bir grubun en iyimser üyesi daha iyimserdir.

Şekil 5.16 sezgiye ters bir sonuç doğurur. Özel değerde rakip arttıkça teklif değere yaklaşır (5.3.7). Ortak değerde ise rakip arttıkça teklif tahminden uzaklaşmalıdır; çünkü kazanmak, kalabalığın en iyimseri olmak anlamına gelir. Rakip sayısı arttıkça daha çok kırpmak gerekir.

5.4.9Petrol sahası açık artırması adım adım

Şekil 5.17 ve Tablo 5.12 lanetin mantığını birlikte gösterir. Firmaların hiçbiri sistematik olarak iyimser değildir; tahminleri gerçek değerin iki yanına simetrik dağılır. Sorun, kazananın rastgele seçilmemesidir: kazanan, tanımı gereği en büyük tahmini yapandır. Rasyonel bir firma teklifini verirken şu soruyu sormalıdır: “Bu teklifle kazanırsam, bu benim tahminim hakkında ne söyler?” Kazanma olayına koşullu olarak düşünmek laneti ortadan kaldırır. Örnekteki beş tahmin yalnızca bir gösterimdir: F5'in +24'lük hatası U[−20, 20] modelinin dışındadır. Hata aralığı daha geniş olsaydı (ör. U[−30, 30]) beklenen fazla tahmin de aynı oranda büyürdü: beş firmada 30 · 4/6 = 20.

5.5Çift taraflı piyasalar

Şimdiye kadar tek bir satıcı ve birçok alıcı vardı. Borsalarda ise iki taraf da kalabalıktır: birçok alıcı ve birçok satıcı aynı anda emir verir. Bu kısımda böyle piyasaları düzenleyen çift taraflı açık artırma, eşleştirme ve fiyat belirleme kuralı, kuralın teşvik sorunları ve bu sorunlara bir çözüm olan McAfee kuralı incelenir. Kısım, açık artırmaların daha geniş bir alanın, piyasa tasarımının, bir parçası olduğunu gösteren kısa bir tarihçeyle biter.

5.5.1Çift taraflı açık artırma

Borsalar, elektrik piyasaları ve karbon izni piyasaları bu yapıdadır. Mekanizma iki iş yapar: kimin kiminle işlem yapacağını belirler (eşleştirme) ve işlemin hangi fiyattan yapılacağını belirler.

• Eşleştirme: alış teklifleri büyükten küçüğe, satış istekleri küçükten büyüğe sıralanır. En istekli alıcı en ucuz satıcıyla, ikinci en istekli alıcı ikinci en ucuz satıcıyla eşleştirilir ve böyle devam edilir. Alış teklifi satış isteğinden büyük ya da ona eşit olduğu sürece çiftler eşleşir.
• Fiyat: eşleşen son çift ile ilk eşleşmeyen çift arasındaki aralıktan tek bir piyasa fiyatı seçilir; örneğin aralığın orta noktası. Eşleşen herkes bu fiyattan işlem yapar.
• Toplam artık: bir işlemin yarattığı değer, alıcının değeri ile satıcının maliyeti arasındaki farktır. Eşleşen çiftlerde Σ (alış − satış) toplamına toplam artık (surplus) denir. Bu artık alıcı artığı (alıcının değeri − fiyat) ile satıcı artığının (fiyat − satıcının maliyeti) toplamıdır. Yukarıdaki eşleştirme, mümkün olan en büyük toplam artığı verir.

Sıralı eşleştirmenin neden en büyük artığı verdiği şöyle görülür. Bir alış teklifi bir satış isteğinden büyükse o işlem pozitif değer yaratır. En büyük alış teklifleri ile en küçük satış isteklerini eşleştirmek, pozitif değerli işlemleri önce yapmak demektir. Sıralı listelerde alış teklifleri azaldığı ve satış istekleri arttığı için fark da çift çift küçülür; ilk negatif farkta durmak, bütün pozitif değerli işlemleri yapıp hiçbir negatif değerli işlemi yapmamak anlamına gelir.

5.5.2Eşleştirme adım adım

Emir defterinde beş alıcı ve beş satıcı vardır. Alıcılar 70, 40, 90, 55 ve 80 ödemeye; satıcılar 60, 85, 35, 75 ve 50 almaya razıdır.

Şekil 5.18 ve Şekil 5.19 eşleştirmeyi iktisatta alışılan arz ve talep eğrileriyle gösterir. Talep eğrisi (alış teklifleri) azalan, arz eğrisi (satış istekleri) artan bir basamaklı çizgidir. İki eğrinin kesiştiği yer işlem sayısını ve fiyat aralığını belirler. Kesişmeden önceki her basamakta talep arzın üstündedir: işlem değer yaratır. Kesişmeden sonra arz talebin üstüne çıkar: işlem değer yok eder.

Fiyat aralığının iki sınırının mantığı önemlidir. Alt sınır 60'tır, çünkü fiyat 60'ın altına inerse eşleşen son satıcı (maliyeti 60) zarar eder ve satmak istemez. Ayrıca fiyat 55'in altına inseydi dışarıda kalan alıcı (55) da almak isterdi ve piyasa dengede olmazdı. Üst sınır 70'tir, çünkü fiyat 70'in üstüne çıkarsa eşleşen son alıcı almak istemez; 75'in üstüne çıkarsa dışarıda kalan satıcı da satmak isterdi. Aralıktaki her fiyat bu dört kişiyi de yerinde tutar.

5.5.3Kod izleme: cift_tarafli()

Eşleştirme ve orta nokta fiyatı kısa bir fonksiyonla yazılabilir.

def cift_tarafli(alis, satis):
  b = sorted(alis, reverse=True)  # alıcı
  s = sorted(satis)               # satıcı
  k, n = 0, min(len(b), len(s))
  while k < n and b[k] >= s[k]:
    k += 1                   # çift eşleşti
  if k == 0:
    return 0, None
  lo = max([s[k-1]] + b[k:k+1])
  hi = min([b[k-1]] + s[k:k+1])
  return k, (lo + hi) / 2

Kod satır satır şöyle çalışır:

• b = sorted(alis, reverse=True): alış teklifleri büyükten küçüğe sıralanır; en istekli alıcı başa gelir.
• s = sorted(satis): satış istekleri küçükten büyüğe sıralanır; en ucuz satıcı başa gelir.
• k eşleşen çift sayısıdır; n kısa listenin uzunluğudur. Alıcı ve satıcı sayısı farklı olabilir; uzun listenin fazlası zaten eşleşemez.
• while k < n and b[k] >= s[k]: sıradaki alıcı sıradaki satıcının isteğini karşılıyorsa çift eşleşir ve k bir artar.
• if k == 0: hiç işlem yoksa fiyat da yoktur; (0, None) döner.
• lo = max([s[k-1]] + b[k:k+1]): eşleşen son satıcının isteği ile (varsa) ilk eşleşmeyen alıcının teklifinin büyüğü. b[k:k+1] bir dilimdir: k listenin içindeyse tek elemanlı bir liste, dışındaysa boş liste verir. Böylece bütün alıcılar eşleşmişse kod hata vermez.
• hi = min([b[k-1]] + s[k:k+1]): eşleşen son alıcının teklifi ile (varsa) ilk eşleşmeyen satıcının isteğinin küçüğü.
• Fonksiyon işlem sayısını ve aralığın orta noktasını döndürür.

Şekil 5.20 sonucu iki dizi olarak gösterir. Fonksiyon 3 işlem ve 65 fiyatını döndürür; bu, elle yapılan hesapla aynıdır. Algoritmanın maliyetini sıralama belirler: m emir için O(m log m). Eşleştirme döngüsü listelerin üzerinden bir kez geçtiği için doğrusal zamanlıdır.

5.5.4Çift taraflı piyasada teşvikler

Tek taraflı açık artırmada Vickrey kuralı hem verimli hem de stratejiye dayanıklıydı. Çift taraflı piyasada aynı şeyi elde etmek mümkün müdür? İstenen dört özellik şunlardır:

• Verimlilik: bütün değer yaratan işlemler yapılır.
• Teşvik uyumluluğu (IC): herkes için dürüst emir vermek en iyisidir.
• Bireysel rasyonellik (IR): kimse katıldığı için zarar etmez.
• Bütçe dengesi: piyasa yapıcı dışarıdan para koymaz; alıcıların ödediği satıcılara gider.

Bu bir imkânsızlık sonucudur: dört özellikten en az birinden vazgeçmek gerekir. Pratik kurallar hangisinden vazgeçtikleriyle ayrılır.

Orta nokta kuralı (midpoint rule) verimli ve bütçe dengelidir, ama teşvik uyumlu değildir. Eşleşen son alıcı ya da satıcı, emrini değiştirerek fiyatı kendi lehine kaydırabilir. Örnekteki eşleşen son satıcının maliyeti 60'tır ve dürüst emirle 65'ten satıp 5 artık elde eder. 60 yerine 64 isterse ne olur? 70 ≥ 64 olduğu için işlem yine gerçekleşir, ama aralık [max(64, 55), min(70, 75)] = [64, 70] ve fiyat 67 olur. Satıcı artığı 67 − 60 = 7 > 5'tir: yalan kârlıdır. Aynı şeyi eşleşen son alıcı da teklifini düşürerek yapabilir. Abartmanın bir sınırı vardır: satıcı 70'in üstünde isterse işlem kaybolur. Bu, birinci fiyattaki kırpma ödünleşiminin aynısıdır.

McAfee kuralı (McAfee double auction) teşvik uyumluluğunu sağlamak için bazen bir işlemden vazgeçer (McAfee, 1992). Kural şöyledir. Eşleştirme yukarıdaki gibi yapılır ve k verimli işlem bulunur. Dışarıda kalan ilk alıcı ile ilk satıcının emirlerinin ortalaması p₀ hesaplanır.

• p₀, eşleşen son satıcının isteği ile eşleşen son alıcının teklifi arasına düşerse, k işlemin hepsi p₀'dan yapılır.
• Düşmezse son (en az artık getiren) çift çıkarılır. Kalan k − 1 çiftte alıcılar çıkarılan alıcının teklifini öder, satıcılar çıkarılan satıcının isteğini alır.

Kuralın teşvik uyumlu olmasının nedeni, işlem yapan hiç kimsenin kendi fiyatını belirleyememesidir. Birinci durumda fiyatı dışarıda kalan çift belirler. İkinci durumda fiyatları çıkarılan çift belirler ve o çift işlem yapmaz. Bu, Vickrey kuralındaki “ödemeni rakip belirler” fikrinin çift taraflı sürümüdür. Dürüstlük baskındır; bedeli, ikinci durumda bir işlemin kaybolmasıdır. İkinci durumda alıcıların ödediği satıcıların aldığından fazladır; aradaki fark piyasa yapıcıda kalır. Böylece kural bütçe dengesini zayıf anlamda sağlar: piyasa yapıcı dışarıdan para koymaz, ama bazen elinde para kalır.

Örneğimizde dışarıda kalan ilk çift 55 (alıcı) ve 75'tir (satıcı). p₀ = (55 + 75)/2 = 65'tir. Bu değer [60, 70] aralığındadır; üç işlem de 65'ten gerçekleşir ve hiçbir işlem kaybolmaz. Bu örnekte McAfee kuralı orta nokta kuralıyla aynı sonucu verir.

5.5.5Kod izleme: mcafee()

McAfee kuralı şöyle yazılabilir:

def mcafee(alis, satis):
  b = sorted(alis, reverse=True) + [0]
  s = sorted(satis) + [float('inf')]
  k = 0
  while b[k] >= s[k]:
    k += 1                 # verimli işlem
  if k == 0: return 0, None, None
  p0 = (b[k] + s[k]) / 2   # dışarıdaki çift
  if s[k-1] <= p0 <= b[k-1]:
    return k, p0, p0       # tek fiyat
  return k - 1, b[k-1], s[k-1]  # iki fiyat

Kodun iki ayrıntısı vardır:

• Nöbetçiler. Alış listesinin sonuna 0, satış listesinin sonuna sonsuz (float('inf')) eklenir. 0 teklif eden bir alıcı hiçbir pozitif isteği karşılayamaz; sonsuz isteyen bir satıcıyı hiçbir alıcı karşılayamaz. Böylece döngü listenin sonunda kendiliğinden durur ve b[k], s[k] her zaman tanımlıdır. Bu, cift_tarafli()'deki dilim hilesinin yerini tutar.
• İki dönüş biçimi. Fonksiyon (işlem sayısı, alıcı fiyatı, satıcı fiyatı) döndürür. Tek fiyat durumunda iki fiyat aynıdır; ikinci durumda farklıdır.

Yeni bir örnek kullanılır: alıcılar 90, 80, 70, 40; satıcılar 30, 50, 65, 85.

Adım 7'deki kontrolün anlamı şudur: p₀ = 62,5 fiyatından işlem yapılsaydı üçüncü satıcı (maliyeti 65) zarar ederdi. Bu yüzden en zayıf çift (70, 65) çıkarılır. Kalan iki işlemde alıcılar 70 öder, satıcılar 65 alır; her işlemde artan 70 − 65 = 5, toplamda 2 · 5 = 10 piyasa yapıcıda kalır (Şekil 5.21).

Aynı emirler orta nokta kuralına verilseydi cift_tarafli() üç işlem ve (65 + 70)/2 = 67,5 fiyatını döndürürdü. Toplam artık 60 + 30 + 5 = 95 olurdu. McAfee kuralında toplam artık 60 + 30 = 90'dır; 5 birimlik artık, kaybolan üçüncü işlemle birlikte gider. Dürüstlüğün bedeli budur ve en fazla bir işlemdir. Çok sayıda katılımcılı piyasalarda bir işlemin kaybı toplam artığın küçük bir kısmı olduğundan kural pratikte çekicidir.

5.5.6Açık artırma ve piyasa tasarımı

Piyasa tasarımı (market design), katılımcıların kimlerle ve hangi kurallarla eşleşeceğini belirleyen kuralları kurma işidir. Temel hedefler verimlilik, teşvik uyumluluğu, adalet, kararlılık ve uygulanabilirliktir. Kurallar stratejiye dayanıklı olmalıdır: katılımcıların kuralları kendi lehine çevirmek için yalan söylemesi kârlı olmamalıdır.

Açık artırmalar, kıt kaynakları fiyat ve tekliflere göre tahsis eden piyasa tasarımı araçlarıdır. Elektrik piyasaları, emisyon izinleri, kamu ihaleleri ve frekans lisansları fiyatlı uygulamalardır. Para kullanılmayan piyasalarda ise (örneğin öğrencilerin okullara yerleştirilmesi ya da organ nakli için böbrek takası) fiyatın yerini öncelik ve eşleştirme kuralları alır. Her iki durumda da tasarımcı aynı sorularla karşılaşır: gelir, verimlilik, basitlik ve stratejiye dayanıklılık arasında ödünleşimler bulunabilir. Bu bölümde görülen örnekler bunu açıkça gösterir: rezerv gelir için verimlilikten, McAfee kuralı dürüstlük için bir işlemden vazgeçer.

5.5.7Kuramdan uygulamaya: kısa tarihçe

Eski bir kurum. Açık artırmalar çok eskidir. Herodot, MÖ 5. yüzyılda Babil'de yapılan açık artırmaları anlatır. MS 193'te Roma'da Pretoryen Muhafızları imparatorluk tahtını açık artırmaya çıkarıp Didius Julianus'a sattı; Julianus iki ay sonra öldürüldü. Bu, kazananın lanetinin tarihteki en çarpıcı örneklerinden biri sayılır.

Kuram. Açık artırma kuramı 1961'de Vickrey'nin makalesiyle başladı. Vickrey dört türü karşılaştırdı ve gelir eşdeğerliğinin ilk biçimini buldu (Vickrey, 1961). Myerson geliri maksimize eden açık artırmayı tanımladı (Myerson, 1981). İkisi de Nobel Ekonomi Ödülü aldı: Vickrey 1996'da, Myerson 2007'de.

Spektrum açık artırmaları. ABD Federal İletişim Komisyonu (FCC) 1994'te ilk spektrum açık artırmasını Paul Milgrom, Robert Wilson ve Preston McAfee'nin önerdiği eşzamanlı çok turlu artırma ile yaptı. Bu tasarımda birçok lisans aynı anda ve turlar hâlinde satılır; teklifçiler her turda öteki lisansların fiyatlarını görerek tekliflerini günceller. Milgrom ve Wilson 2020'de Nobel Ekonomi Ödülü aldı.

Eşleştirme piyasaları. Alvin Roth ve Lloyd Shapley 2012'de, fiyatın kullanılmadığı piyasalarda kararlı eşleştirme ve takas kuralları üzerine çalışmalarıyla Nobel Ekonomi Ödülü aldı.

Bir tasarımcının elindeki araçlar tahsis ve ödeme kuralıyla sınırlı değildir. Bilgi açıklama da bir araçtır: hangi teklifler, ne zaman gösterilir? Katılım koşulları (kimin teklif verebileceği, depozito gerekip gerekmediği) da öyledir. Gerçek tasarımlar uygulamaya konmadan önce laboratuvar deneyleri ve saha verisiyle sınanır.

5.6Değerlendirme

Bu son kısım bölümün sonuçlarını uygulama açısından tartar: kuramın en zarif sonucu olan Vickrey açık artırması neden az kullanılır, hangi açık artırma ne kadar adildir? Ardından dört tür yan yana özetlenir ve örnek problemler çözülür.

5.6.1Vickrey açık artırmaları neden az kullanılıyor?

Vickrey açık artırmasının kuramsal özellikleri çok çekicidir: dürüst teklif baskındır, nesne en yüksek değerliye gider, gelir standart kurallarla aynıdır. Yine de saf ikinci fiyat kapalı zarf açık artırması pratikte seyrek görülür. Rothkopf, Teisberg ve Kahn (1990) ile Ausubel ve Milgrom (2006) bunun nedenlerini tartışır.

• Güven. Katılımcılar ikinci en yüksek teklifin doğru açıklandığına güvenmek zorundadır. Kapalı zarfları yalnızca açık artırmacı görür; satıcı sahte bir “ikinci teklif” ekleyerek fiyatı kazananın teklifinin hemen altına çekebilir.
• Sezgisellik. “İkinci fiyatı öde” kuralı çoğu insana doğal gelmez. Laboratuvarda fazla teklif sık görülür (5.3.3).
• Model varsayımları. Ortak ya da birbirine bağlı değerlerde dürüst teklif verme sonucu zayıflayabilir.
• Çok nesne. Bütçe kısıtları ve tamamlayıcı ürünler ödeme kuralını karmaşıklaştırır. Çok nesneli genelleme olan VCG'de gelir çok düşük olabilir ve teklifçiler sahte kimliklerle kural dışı kazanç sağlayabilir.
• Satıcı kaygısı. Kazananın teklifi ile ödediği fiyat arasındaki fark büyük olabilir. Kazananın 1 milyon teklif edip 100 bin ödemesi kamuoyunda “düşük fiyata satış” olarak algılanabilir. Ayrıca teklifçiler arası danışıklı teklif (gizli anlaşma) riski vardır.

Bu nedenlerle pratik tasarımlar çoğu zaman dürüstlük teşvikiyle uygulama kolaylığı arasında denge kurar. İngiliz açık artırması özel değerlerde aynı sonucu şeffaf biçimde verir: fiyat herkesin gözü önünde oluşur ve kimse açıklanmayan bir teklife güvenmek zorunda kalmaz. Bu yüzden İngiliz açık artırması uygulamada Vickrey açık artırmasının “görünür” sürümü gibi çalışır.

5.6.2Tartışma: hangi açık artırma, ne kadar adil?

Bir katılımcı açısından türler farklı deneyimler sunar. İngiliz açık artırması şeffaftır; fiyatı adım adım görmek bir avantajdır. Vickrey açık artırmasında dürüst teklif en iyisidir ve strateji kurmaya gerek yoktur. Hollanda ve birinci fiyat açık artırmaları hızlıdır, ama kırpma miktarını tahmin etmek gerekir. Hangi türün tercih edileceği kişisel stratejiye ve risk iştahına bağlıdır: riskten kaçınan biri, 5.4.3'te görüldüğü gibi birinci fiyatta daha az kırpar ve kazanma olasılığını yükseltir.

Adalet sorusu daha karmaşıktır. Bir yandan kuralların önceden belirlenmesi öngörülebilirlik sağlar ve manipülasyonu azaltabilir; herkes aynı kurallarla yarışır. Öte yandan bütçesi büyük oyuncular avantajlıdır: bir açık artırma ödeme gücünü ölçer, ihtiyacı ölçmez. Katılım erişimi ve bilgi eşitsizliği de önemlidir: daha iyi bilgiye sahip bir teklifçi ortak değerli bir açık artırmada lanetten kaçınırken daha az bilgili rakipleri zarar eder. Satıcının geliri ile fırsat eşitliği farklı hedeflerdir. Rezerv fiyatı örneğinde görüldüğü gibi bir hedef için iyi olan diğeri için kötü olabilir. “Herkes için tam adalet” hiçbir kural tarafından garanti edilmez.

5.6.3Dört tür yan yana ve örnek problemler

Tablo 5.15'e üç ek sonuç eşlik eder. Dört türde de beklenen gelir (n − 1)/(n + 1)'dir; iki kişide 1/3. Ortak değerde kazanan fazla ödeyebilir; rakip sayısı arttıkça daha çok kırpmak gerekir. Çift taraflı piyasada alış teklifleri azalan, satış istekleri artan sıralanıp eşlenir ve fiyat [lo, hi] aralığından seçilir.

Aşağıdaki örnek problemler bölümün temel hesaplarını tekrar eder.

5.7Özet

• Açık artırma bir tahsis kuralı (kim alır?) ile bir ödeme kuralının (ne öder?) birleşimidir. Teklifçinin değeri özel bilgidir, teklifi stratejik bir karardır; faydası kazanınca v − p, kaybedince 0'dır. Temel model bağımsız özel değerlerdir (IPV); ortak değer modeli kazananın lanetine yol açar.
• Dört temel tür: İngiliz (fiyat yükselir, son kalan son rakibin çekildiği fiyatı öder), Hollanda (fiyat düşer, ilk kabul eden o fiyatı öder), birinci fiyat kapalı zarf (kendi teklifini öder), ikinci fiyat/Vickrey (ikinci en yüksek teklifi öder). Özel değerlerde İngiliz ≈ ikinci fiyat; her durumda Hollanda ≡ birinci fiyat.
• Vickrey teoremi: ikinci fiyat açık artırmasında dürüst teklif zayıf baskın stratejidir. Teklif yalnızca kazanıp kazanmamayı belirler, ödemeyi rakipler belirler; her B için dürüst teklif max(v − B, 0)'ı verir.
• Teklif kırpma: birinci fiyatta E[u(b)] = (v − b) · P(kazan) ödünleşimi simetrik Bayes–Nash dengesinde b = (n − 1)v/n teklifini verir; iki kişide v/2. Kırpma v/n'dir ve rekabet arttıkça azalır.
• Gelir eşdeğerliği: IPV, risk nötr simetrik teklifçiler ve aynı tahsis kuralı altında standart açık artırmaların beklenen geliri aynıdır: (n − 1)/(n + 1), iki kişide 1/3. Nedeni Myerson ödeme formülüdür: p(v) = v x(v) − ∫₀^v x(z) dz. Tümü öder açık artırması da (b = v²/2) aynı geliri getirir.
• Riskten kaçınma eşitliği bozar: birinci fiyatta teklif v/(1 + ρ)'ya yükselir, gelir ρ = ½'de 4/9'a çıkar; ikinci fiyat 1/3'te kalır.
• Myerson rezerv fiyatı: beklenen gelir kazananın sanal değerinin beklentisidir; U[0, 1]'de ψ(v) = 2v − 1, en iyi rezerv r = 1/2 (n'den bağımsız). İki teklifçide gelir 1/3 + r² − 4r³/3, en iyi rezervde 5/12. Bedeli: %25 olasılıkla satış yok, sosyal refah 2/3'ten 7/12'ye iner.
• Kazananın laneti: ortak değerde kazanan en iyimser tahmini yapandır; hatalar U[−a, a] ise beklenen fazla tahmin a(n − 1)/(n + 1)'dir. Rakip arttıkça daha çok kırpmak gerekir.
• Çift taraflı açık artırma: alış teklifleri azalan, satış istekleri artan sıralanıp eşlenir; fiyat [lo, hi] aralığından seçilir ve toplam artık en büyüktür. Myerson–Satterthwaite'e göre verimlilik, IC, IR ve bütçe dengesi birlikte sağlanamaz; orta nokta kuralı IC değildir, McAfee kuralı bir işlem pahasına dürüstlüğü baskın yapar.

5.8Kavram listesi

Terimlerin İngilizce karşılıkları ve öteki bölümlerdeki kullanımları terim sözlüğünde bulunur.

• açık artırma auction
• teklifçi bidder
• değer value
• teklif bid
• değerleme valuation
• yarı doğrusal fayda quasi-linear utility
• tahsis kuralı allocation rule
• ödeme kuralı payment rule
• fiyat keşfi price discovery
• bağımsız özel değerler independent private values (IPV)
• ortak değer common value
• birbirine bağlı değerler interdependent values
• İngiliz açık artırması English (ascending) auction
• Hollanda açık artırması Dutch (descending) auction
• kapalı zarf sealed bid
• birinci fiyat kapalı zarf açık artırması first-price sealed-bid auction
• ikinci fiyat (Vickrey) açık artırması second-price (Vickrey) auction
• zayıf baskın strateji weakly dominant strategy
• dürüst teklif truthful bid
• stratejiye dayanıklı strategy-proof
• teklif kırpma bid shading
• Bayes–Nash dengesi Bayes–Nash equilibrium
• gelir revenue
• gelir eşdeğerliği teoremi revenue equivalence theorem
• gelir maksimizasyonu revenue maximization
• en iyi (optimal) açık artırma optimal auction (Myerson)
• sanal değer virtual value
• rezerv fiyat reserve price
• tümü öder açık artırması all-pay auction
• çok birimli açık artırma multi-unit auction
• tek tip fiyatlı açık artırma uniform-price auction
• ayrımcı fiyatlı açık artırma discriminatory (pay-as-bid) auction
• spektrum açık artırması spectrum auction
• kazananın laneti winner's curse
• çift taraflı açık artırma double auction
• alış teklifi bid (buy order)
• satış isteği ask (sell order)
• emir defteri order book
• artık surplus
• alıcı / satıcı artığı buyer / seller surplus
• orta nokta kuralı midpoint rule
• McAfee kuralı McAfee double auction
• piyasa yapıcı market maker
• bütçe dengesi budget balance
• piyasa tasarımı market design
• VCG mekanizması Vickrey–Clarke–Groves (VCG) mechanism

5.9Kendini Dene

1. Beş teklifçinin sınırları 35, 62, 78, 81 ve 50'dir; herkes sınırını teklif ediyor (Hollanda'da fiyat sürekli düşüyor). Dört kuralda kazanan kimdir, ne öder ve faydası kaçtır?

   Cevap

   Kazanan her kuralda sınırı 81 olan teklifçidir. İngiliz: son rakip 78'de çekilir, ödeme ≈ 78, fayda ≈ 3. İkinci fiyat: ödeme ikinci en yüksek teklif 78, fayda 3. Hollanda: fiyat 81'e inince kabul eder, ödeme 81, fayda 0. Birinci fiyat: ödeme 81, fayda 0. İngiliz ile ikinci fiyat, Hollanda ile birinci fiyat aynı sonucu verir.

2. Vickrey açık artırmasında değeriniz v = 40'tır. Rakiplerin en yüksek teklifi B 20, 35, 50 ya da 60 olabilir. Dürüst teklif, b = 30 ve b = 55 için her durumda faydayı bulun.

   Cevap

   Dürüst (40): B = 20 → kazanır, 20 öder, fayda 20; 35 → fayda 5; 50 ve 60 → kaybeder, 0. b = 30: 20 → 20 (aynı); 35 → kaybeder, 0 (dürüstten 5 kötü); 50, 60 → 0 (aynı). b = 55: 20 → 20; 35 → 5 (aynı); 50 → kazanır, 50 öder, fayda −10 (dürüstten kötü); 60 → 0 (aynı). Hiçbir sapma hiçbir B'de dürüstten iyi değildir; kötüleştiği durumlar B'nin b ile v arasına düştüğü durumlardır.

3. Birinci fiyat açık artırmasında üç teklifçi var; iki rakip değerlerinin 2/3'ünü teklif ediyor ve değerler U[0, 1]. Değeriniz 0,9'dur. b = 0,3; 0,45; 0,6; 0,75 tekliflerinin beklenen faydasını bulun. En iyisi hangisidir?

   Cevap

   Bir rakibi geçme olasılığı min(1, b/(2/3)) = min(1, 1,5b); iki rakip için karesi alınır. b = 0,3: P = 0,45² = 0,2025, E[u] = 0,6 · 0,2025 ≈ 0,122. b = 0,45: P = 0,675² ≈ 0,456, E[u] ≈ 0,45 · 0,456 ≈ 0,205. b = 0,6: P = 0,9² = 0,81, E[u] = 0,3 · 0,81 = 0,243. b = 0,75: P = 1, E[u] = 0,15. En iyisi b = 0,6 = (3 − 1)/3 · 0,9'dur, denge teklifiyle aynı.

4. Üç teklifçi, değerler U[0, 1]. Myerson ödeme formülüyle değeri v olan teklifçinin beklenen ödemesini bulun. Tümü öder açık artırmasında değeri 0,9 olan teklifçinin denge teklifi nedir?

   Cevap

   Kazanmak için iki rakibin de değeri v'den küçük olmalı: x(v) = v². p(v) = v · v² − ∫₀^v z² dz = v³ − v³/3 = 2v³/3. Denetim: birinci fiyatta teklif 2v/3, kazanma olasılığı v², çarpım 2v³/3. Tümü öderde teklif her durumda ödendiğinden teklif beklenen ödemeye eşittir: b(0,9) = 2 · 0,729/3 = 0,486.

5. İki teklifçi, değerler U[0, 1], fayda u(x) = x^ρ ve ρ = 1/3. Birinci fiyatta denge teklifi ve satıcının beklenen geliri nedir? İkinci fiyata göre fark ne kadardır?

   Cevap

   b(v) = v/(1 + ρ) = v/(4/3) = 3v/4. Kazanan büyük değerli teklifçidir; gelir 3/4 · E[max] = 3/4 · 2/3 = 1/2. İkinci fiyatta dürüst teklif baskın kalır ve gelir 1/3'tür. Birinci fiyat 1/2 − 1/3 = 1/6 daha çok kazandırır; riskten kaçınma arttıkça (ρ küçüldükçe) fark büyür.

6. İki teklifçi, U[0, 1], rezervi r = 0,3 olan ikinci fiyat açık artırması. Beklenen gelir, hiç satılmama olasılığı ve beklenen sosyal refah kaybı nedir? Beş teklifçi olsaydı en iyi rezerv değişir miydi?

   Cevap

   Gelir 1/3 + 0,09 − 4 · 0,027/3 = 1/3 + 0,09 − 0,036 ≈ 0,387. Satılmama olasılığı 0,3² = 0,09. Refah kaybı 2 · 0,027/3 = 0,018. En iyi rezerv ψ(r) = 2r − 1 = 0'dan gelir ve teklifçi sayısını içermez; beş teklifçide de r = 1/2'dir.

7. Ortak değerli bir açık artırmada tahmin hataları U[−15, 15]'tir. Üç firma tahmini kadar teklif verirse birinci fiyatta ve ikinci fiyatta kazananın beklenen kârı nedir? Altı firmada birinci fiyat için cevap ne olur?

   Cevap

   En büyük hatanın beklentisi 15(n − 1)/(n + 1); n = 3 için 15 · 2/4 = 7,5. Birinci fiyatta kazanan kendi tahminini öder: beklenen kâr ≈ −7,5. İkinci fiyatta ikinci büyük tahmin ödenir; ikinci büyük hatanın beklentisi 15(n − 3)/(n + 1) = 0: beklenen kâr 0. Altı firmada birinci fiyat beklenen kârı −15 · 5/7 ≈ −10,7'dir; rakip arttıkça lanet büyür.

8. Alıcılar 75, 62, 58, 30; satıcılar 20, 41, 55, 70. Orta nokta kuralı ve McAfee kuralı kaç işlem ve hangi fiyatları verir? McAfee kuralında kaybolan artık ne kadardır?

   Cevap

   Sıralı listeler zaten azalan/artan: 75 ≥ 20, 62 ≥ 41, 58 ≥ 55 eşleşir; 30 < 70'te durulur, k = 3. Orta nokta: aralık [max(55, 30), min(58, 70)] = [55, 58], fiyat 56,5; üç işlem. McAfee: p₀ = (30 + 70)/2 = 50; 50 [55, 58]'de değil. Son çift (58, 55) çıkarılır: 2 işlem, alıcılar 58 öder, satıcılar 55 alır; piyasa yapıcıda 2 · 3 = 6 kalır. Kaybolan artık üçüncü işlemin artığı 58 − 55 = 3'tür.

5.10İleri okuma

• V. Krishna, Auction Theory (2010): bu bölümdeki bütün sonuçların (denge teklifleri, gelir eşdeğerliği, Myerson açık artırması, ortak değer) standart ve ayrıntılı ispatlarını veren temel ders kitabıdır.
• T. Roughgarden, Twenty Lectures on Algorithmic Game Theory (2016), Ders 2–5: Vickrey açık artırması, Myerson lemması ve gelir maksimizasyonunu bilgisayar bilimi bakışıyla, kısa ve açık biçimde anlatır.
• D. Easley ve J. Kleinberg, Networks, Crowds, and Markets (2010), Bölüm 9: açık artırma türlerini ve kazananın lanetini az matematikle, sezgisel örneklerle sunar.
• P. Milgrom, Putting Auction Theory to Work (2004): spektrum açık artırmalarının tasarımını kuramın uygulamaya nasıl taşındığı üzerinden anlatır.

5.11Kaynaklar

1. L. M. Ausubel, P. Milgrom, “The lovely but lonely Vickrey auction”, P. Cramton, Y. Shoham, R. Steinberg (ed.), Combinatorial Auctions, MIT Press, 2006.
2. J. Bulow, P. Klemperer, “Auctions versus negotiations”, American Economic Review 86(1), 180–194, 1996.
3. E. C. Capen, R. V. Clapp, W. M. Campbell, “Competitive bidding in high-risk situations”, Journal of Petroleum Technology 23(6), 641–653, 1971.
4. D. Easley, J. Kleinberg, Networks, Crowds, and Markets, Cambridge University Press, 2010 (Bölüm 9: Auctions).
5. J. H. Kagel, R. M. Harstad, D. Levin, “Information impact and allocation rules in auctions with affiliated private values: a laboratory study”, Econometrica 55(6), 1275–1304, 1987.
6. A. R. Karlin, Y. Peres, Game Theory, Alive, American Mathematical Society, 2017 (açık artırma bölümleri).
7. V. Krishna, Auction Theory, 2. baskı, Academic Press, 2010.
8. R. P. McAfee, “A dominant strategy double auction”, Journal of Economic Theory 56(2), 434–450, 1992.
9. P. Milgrom, Putting Auction Theory to Work, Cambridge University Press, 2004.
10. R. B. Myerson, “Optimal auction design”, Mathematics of Operations Research 6(1), 58–73, 1981.
11. R. B. Myerson, M. A. Satterthwaite, “Efficient mechanisms for bilateral trading”, Journal of Economic Theory 29(2), 265–281, 1983.
12. N. Nisan, T. Roughgarden, É. Tardos, V. Vazirani (ed.), Algorithmic Game Theory, Cambridge University Press, 2007 (Bölüm 9 ve 13).
13. J. G. Riley, W. F. Samuelson, “Optimal auctions”, American Economic Review 71(3), 381–392, 1981.
14. M. H. Rothkopf, T. J. Teisberg, E. P. Kahn, “Why are Vickrey auctions rare?”, Journal of Political Economy 98(1), 94–109, 1990.
15. T. Roughgarden, Twenty Lectures on Algorithmic Game Theory, Cambridge University Press, 2016.
16. W. Vickrey, “Counterspeculation, auctions, and competitive sealed tenders”, Journal of Finance 16(1), 8–37, 1961.

Ders sayfaları: Roughgarden CS364A · Shah CSC304 · Dinitz (Johns Hopkins) · Hoefer (Frankfurt) · © Sercan Külcü. Tüm hakları saklıdır.