Giriş

Öğrenme Çıktıları

Paradigma

Böl–Parçala–Yönet Paradigması

Paradigma

Neden Böl ve Fethet?

• Karmaşık problemi küçük ve yönetilebilir parçalara ayırır; problem daha anlaşılır hale gelir, çözümü kolaylaşır.
• Alt problemlerin çözüm yöntemi (aynı fonksiyon) her düzeyde tekrar kullanılır: kısa ve yeniden kullanılabilir kod.
• Sıralama, arama, hesaplamalı geometri, büyük sayı ve matris aritmetiği, yapay zekâ oyunları gibi alanlarda kullanılır.

Paradigma

Genel Şablon ve Bağıntı

Sonuc bolVeFethet(Problem p) {
  if (p.boyut() <= ESIK)
    return dogrudanCoz(p);          // taban durumu
  Problem[] alt = bol(p);           // a alt problem, boyut n/b
  Sonuc[] cozum = new Sonuc[alt.length];
  for (int i = 0; i < alt.length; i++)
    cozum[i] = bolVeFethet(alt[i]); // yönet: özyineleme
  return birlestir(cozum);          // birleştir
}

Paradigma · Kodu adım adım çalıştır

Şablonun Uygulaması: En Büyük Öğe

int enBuyuk(int[] a, int alt, int ust) {
  if (alt == ust) return a[alt];    // taban
  int orta = (alt + ust) / 2;
  int sol = enBuyuk(a, alt, orta);
  int sag = enBuyuk(a, orta + 1, ust);
  return Math.max(sol, sag);        // birleştir
}

Paradigma

Klasik Böl ve Fethet Algoritmaları

Yineleme Bağıntıları

Ana Teorem ve Bölümün Algoritmaları

T(n) = a·T(n/b) + f(n), a ≥ 1, b > 1. f(n), yaprakların toplam işi n^{log_b a} ile karşılaştırılır: f(n) polinom olarak küçükse Θ(n^{log_b a}) (durum 1, yapraklar baskın), aynı mertebedeyse Θ(n^{log_b a} · log n) (durum 2), polinom olarak büyükse ve düzenlilik koşulu sağlanıyorsa Θ(f(n)) (durum 3, kök baskın).

Karatsuba ve Strassen'in tüm kazancı a'yı bir azaltmaktan gelir: 4 → 3 ve 8 → 7. Quickhull (T(n₁) + T(n₂) + n) ve dengesiz hızlı sıralama (T(n − 1) + n) eşit olmayan bölmeler olduğundan ana teoreme uymaz; bunlar özyineleme ağacıyla çözülür.

Temel Örnekler

Birleştirme Sıralaması: Böl ve Fethet Bakışı

• Böl: dizi ortadan ikiye ayrılır, O(1). Yönet: iki yarı özyinelemeli sıralanır. Birleştir: sıralı yarılar tek geçişte birleştirilir, Θ(n).
• T(n) = 2T(n/2) + Θ(n) → durum 2 → Θ(n log n); en iyi, ortalama ve en kötü durumda aynı. Asıl iş birleştirmede yapılır.

Temel Örnekler

Hızlı Sıralama: Böl ve Fethet Bakışı

Böl: pivota göre bölümlenir, Θ(n). Yönet: iki parça özyinelemeli sıralanır. Birleştir: yok; parçalar yerinde sıralanır. Asıl iş bölmede yapılır.

Temel Örnekler · Kodu adım adım çalıştır

Hızlı Üs Alma: 3¹³ İzleme

long us(long x, int n) {
  if (n == 0) return 1;         // taban
  long y = us(x, n / 2);
  if (n % 2 == 0) return y * y; // çift
  return x * y * y;             // tek
}

Temel Örnekler

Ne Zaman Uygun Değil? Örtüşen Alt Problemler

long fib(int n) {
  if (n < 2) return n;
  return fib(n - 1) + fib(n - 2);
}

Dışbükey Örtü

Dışbükey Örtü (Convex Hull)

Dışbükey Örtü

Quickhull Algoritması

Hızlı sıralamaya benzer (adı da buradan): "pivot" en uzak nokta, bölümleme üçgenin iki kenarına göre yapılır.

Dışbükey Örtü

Geometri: Yönelim Testi ve Uzaklık

long capraz(Nokta A, Nokta B, Nokta P) {
  return (long)(B.x - A.x) * (P.y - A.y)
       - (long)(B.y - A.y) * (P.x - A.x);
}

Dışbükey Örtü · Kodu adım adım çalıştır

Quickhull: Kod İzleme

void quickHull(List<Nokta> P) {
  Nokta A = enSol(P), B = enSag(P);
  ortu.add(A); ortu.add(B);
  bul(solda(P, A, B), A, B); // üst küme
  bul(solda(P, B, A), B, A); // alt küme
}
void bul(List<Nokta> S, Nokta A, Nokta B) {
  if (S.isEmpty()) return;   // AB örtü kenarı
  Nokta C = enUzak(S, A, B); // max capraz
  ortu.add(C);
  bul(solda(S, A, C), A, C); // AC'nin dışı
  bul(solda(S, C, B), C, B); // CB'nin dışı
}  // ACB üçgeninin içi elenir

Dışbükey Örtü

Quickhull: 104 Noktalı Örnek

Dışbükey Örtü

Quickhull Analizi ve Diğer Örtü Algoritmaları

En Yakın Nokta Çifti

En Yakın Nokta Çifti (Closest Pair)

Problem: düzlemdeki n nokta arasından Öklid uzaklığı d(p, q) = √((pₓ − qₓ)² + (p_y − q_y)²) en küçük olan çifti bulmak.

double kabaKuvvet(List<Nokta> p) {
  double enAz = Double.MAX_VALUE;
  for (int i = 0; i < p.size(); i++)
    for (int j = i + 1; j < p.size(); j++)
      enAz = Math.min(enAz, mesafe(p.get(i), p.get(j)));
  return enAz;
}

En Yakın Nokta Çifti

Böl ve Fethet: Orta Şerit

En Yakın Nokta Çifti · Kodu adım adım çalıştır

En Yakın Çift: Kod İzleme

double enYakin(List<Nokta> X, List<Nokta> Y) {
  int n = X.size(), orta = n / 2;
  if (n <= 3) return kabaKuvvet(X);
  Nokta m = X.get(orta); // Ysol/Ysag: Y'nin yarıları
  double dSol = enYakin(X.subList(0, orta), Ysol);
  double dSag = enYakin(X.subList(orta, n), Ysag);
  double d = Math.min(dSol, dSag);
  List<Nokta> s = new ArrayList<>();  // şerit
  for (Nokta p : Y)                   // y sırası
    if (Math.abs(p.x - m.x) < d) s.add(p);
  for (int i = 0; i < s.size(); i++) {
    Nokta p = s.get(i);
    for (int j = i + 1; j < s.size()
         && s.get(j).y - p.y < d; j++)
      d = Math.min(d, mesafe(p, s.get(j)));
  }
  return d;
}

En Yakın Nokta Çifti

En Yakın Çift: Analiz

Karatsuba Çarpımı

Karatsuba: 4 Çarpım Yerine 3

n basamaklı x, y sayılarını m = ⌊n/2⌋ noktasından bölünür: x = a·10^m + b, y = c·10^m + d.

Karatsuba Çarpımı · Kodu adım adım çalıştır

Karatsuba: 1234 · 5678 İzleme

long karatsuba(long x, long y) {
  if (x < 10 || y < 10) return x * y; // taban
  int n = Math.max(basamak(x), basamak(y));
  long p = (long) Math.pow(10, n / 2);
  long a = x / p, b = x % p;   // x = a·p + b
  long c = y / p, d = y % p;   // y = c·p + d
  long z0 = karatsuba(b, d);
  long z1 = karatsuba(a + b, c + d);
  long z2 = karatsuba(a, c);
  return z2 * p * p + (z1 - z2 - z0) * p + z0;
}

Karatsuba Çarpımı

Karatsuba Analizi

Strassen Çarpımı

Matris Çarpımı: Klasik ve Blok

for (int i = 0; i < n; i++)
  for (int j = 0; j < n; j++)
    for (int k = 0; k < n; k++)
      C[i][j] += A[i][k] * B[k][j];

Strassen Çarpımı

Strassen (1969): 8 Yerine 7 Çarpım

Strassen Çarpımı

Strassen Adım Adım: 2 × 2 Örnek

Strassen Çarpımı

Strassen Analizi ve Pratik

Değerlendirme

Saf Yöntem ve Böl ve Fethet

Kazancın kaynağı: ya iş dengeli bölünüp her düzey O(n)'de birleştiriliyor (sıralama, en yakın çift) ya da alt problem sayısı azaltılıyor (Karatsuba, Strassen) ya da yarısı atılıyor (arama, üs).

Özet

Özet

Özet

Etkileşimli Simülatörler

Özet

Sık Yapılan Hatalar

Özet

Örnek Problemler

1. T(n) = 4T(n/2) + n bağıntısını ana teoremle çözün.
2. T(n) = 2T(n/2) + n² bağıntısını çözün; düzenlilik koşulunu kontrol edin.
3. Karatsuba ile 21 · 43'ü hesaplayın (m = 1).
4. A = (0,0), B = (10,0). P = (3,4), Q = (5,−2), R = (7,6) için capraz(A, B, ·) değerlerini bulun. Quickhull üst kümede hangi noktayı seçer?
5. us(3, 10) kaç çarpım yapar? Saf yöntemle karşılaştırın.
6. [5, 1, 4, 2, 3] dizisini birleştirme sıralamasıyla sıralarken son birleştirmede hangi iki sıralı dizi birleşir?

Özet

Alıştırmalar

1. Dizinin en büyük öğesini böl ve fethet ile bulun; bağıntıyı çözün.
2. Birleştirme sıralamasını değiştirip ters çiftleri (i < j, a[i] > a[j]) sayın. [2, 4, 1, 3, 5] için sonuç?
3. En büyük toplamlı alt dizi: [−2, 1, −3, 4, −1, 2, 1, −5, 4] için böl ve fethet çözümü ve süresi.
4. A = [[1, 2], [3, 4]], B = [[5, 6], [7, 8]] çarpımını Strassen ile hesaplayın; C22'yi ± P7 ile deneyin.
5. Quickhull için O(n²) süren bir girdi tarif edin.
6. En yakın çift algoritmasında taban durumu n ≤ 3 yerine n ≤ 1 olsaydı ne değişirdi?

Özet

Kaynaklar

• Cormen, Leiserson, Rivest ve Stein, Introduction to Algorithms, 4. baskı, 2022 (Bölüm 4: Böl ve fethet; Bölüm 33: Hesaplamalı geometri).
• Kleinberg ve Tardos, Algorithm Design, 2005 (Bölüm 5: Divide and Conquer).
• Sedgewick ve Wayne, Algorithms, 4. baskı, 2011.
• Barber, Dobkin ve Huhdanpaa, "The Quickhull Algorithm for Convex Hulls", ACM TOMS 22(4), 1996.
• Karatsuba ve Ofman, "Multiplication of Multidigit Numbers on Automata", 1962; Strassen, "Gaussian Elimination is not Optimal", Numerische Mathematik 13, 1969.