Mutlak çoğunluk ile çoğulluk arasındaki fark nedir?

Doğru cevap C. Mutlak çoğunluk, kazanmak için oyların yarısından fazlasını ister; eşik aşılmazsa kazanan yoktur. Çoğulluk ise en çok birinci tercihi alanı seçer, yarıyı geçmesi gerekmez: Örneğin 13 seçmenli bir profilde A, 6/13 oyla çoğulluğu kazanır ama mutlak çoğunluğu sağlamaz. B tanımları ters çevirir, A da bu yüzden yanlıştır. D yanlıştır: iki kuralda da seçmen yalnızca tek aday bildirir.

Aşağıdakilerden hangisi pozisyonel puanlama kuralı değildir?

Doğru cevap A. Pozisyonel puanlama kuralı her sıraya sabit bir puan verir, s = (s₁ ≥ s₂ ≥ … ≥ s_m), ve toplam puanı en yüksek olan kazanır. Çoğulluk (1, 0, …, 0), veto (1, …, 1, 0) ve Borda (m − 1, …, 0) bu ailenin üyeleridir. Anında ikinci tur ise turlar hâlinde en az oylu adayı eler ve oyları aktarır; bir adayın sayılan oyu hangi adayların elendiğine bağlı olduğundan tek bir puan vektörüyle yazılamaz. Bir fark daha: her puanlama kuralı monotondur, IRV değildir.

Anında ikinci tur, Borda, çoğulluk ve onay oylamasından hangisi monotonluğu ihlal edebilir (bir adayı pusulada yukarı taşımak onu kaybettirebilir)?

Doğru cevap A. Örneğin 6 × A≻B≻C, 6 × B≻C≻A, 5 × C≻A≻B profilinde IRV önce C'yi eler ve A 11–6 kazanır. B≻C≻A diyen 2 seçmen A'yı başa alınca birinci tercihler A 8, B 4, C 5 olur; bu kez B elenir, oyları C'ye geçer ve C 9 – A 8 kazanır. A daha çok destek aldığı için kaybetti: anında ikinci tur monotonluğu ihlal eder. Borda, çoğulluk ve onay puan toplayan kurallardır; bir adayı yukarı taşımak yalnızca onun puanını artırır.

Hangi kural Condorcet kaybedenini kazanan olarak seçebilir?

Doğru cevap D. Örneğin 4 × A≻D≻B≻C, 4 × C≻B≻D≻A, 3 × D≻B≻C≻A, 2 × A≻B≻C≻D profilinde çoğulluk A'yı 6 birinci tercihle seçer; oysa A, B'ye, C'ye ve D'ye ikili karşılaştırmada 6–7 yenilir: çoğulluk Condorcet kaybedenini seçebilir. Borda bunu hiç yapmaz: Condorcet kaybedeninin Borda puanı her zaman adayların ortalama puanının altında kalır. Copeland'da kaybedenin skoru 0'dır, Kemeny de onu sıralamanın sonuna koyar; ikisi de onu seçmez.

9 seçmen: 4 × A≻B≻C, 3 × C≻B≻A, 2 × B≻C≻A. Dürüst Borda kazananı B'dir. A seçmenleri B'yi gömüp A≻C≻B bildirirse ne olur?

Doğru cevap B. Dürüst Borda (2, 1, 0): A = 4 · 2 = 8, B = 4 · 1 + 3 · 1 + 2 · 2 = 11, C = 3 · 2 + 2 · 1 = 8 ⇒ B kazanır. A seçmenleri A≻C≻B bildirince C 4 puan kazanır, B 4 puan kaybeder: A 8, B 7, C 12 ⇒ C kazanır. A seçmenlerinin gerçek sırası A≻B≻C olduğundan C onların en kötü adayıdır: gömme geri tepmiştir. A şıkkı yanlıştır, çünkü A'nın puanı hiç değişmez (8).

Hangisi Arrow'un imkânsızlık teoremindeki koşullardan biri değildir?

Doğru cevap D. Arrow'un teoremi toplumsal sıralama üreten kurallar için dört koşul koyar: evrensel alan, Pareto (oybirliği), ilgisiz alternatiflerden bağımsızlık (IIA) ve diktatör yok. En az 3 adayda bu dördünü birlikte sağlayan kural yoktur. Stratejiye dayanıklılık Arrow'un koşulu değil, tek kazanan seçen kurallardaki yalan söyleme teşvikini inceleyen Gibbard–Satterthwaite teoreminin konusudur. A, B ve C Arrow koşullarındandır.

Profil: 4 × A≻D≻B≻C, 4 × C≻B≻D≻A, 3 × D≻B≻C≻A, 2 × A≻B≻C≻D. Borda'da B 22 > D 21. C yarıştan çekilince Borda (2, 1, 0) sonucu nedir?

Doğru cevap A. C çekilince sıralamalar 4 × A≻D≻B, 4 × B≻D≻A, 3 × D≻B≻A, 2 × A≻B≻D olur. Borda (2, 1, 0): D = 4 + 4 + 3 · 2 = 14, B = 4 · 2 + 3 + 2 = 13, A = 4 · 2 + 2 · 2 = 12. D 14 > B 13: hiçbir seçmenin B–D sırası değişmediği hâlde toplumsal sıra döndü, Borda IIA'yı ihlal eder. C şıkkı aday sayısı azalınca puan ölçeğinin de küçüldüğünü unutur; B ve D hesapla çelişir.

“Statüko ancak ⅔ oyla değişir” kuralı May teoreminin hangi koşulunu ihlal eder?

Doğru cevap B. Tarafsızlık, iki adaya simetrik davranılmasını ister: adayların adları yer değiştirirse sonuç da yer değiştirmelidir. “Statüko ancak ⅔ oyla değişir” kuralında değişiklik ⅔ ister, statükonun kalması için oyların ⅓'ünden fazlası yeter; kural statükoyu kayırır, tarafsızlığı ihlal eder. Anonimlik korunur (kimin ne oy verdiği önemsizdir), pozitif duyarlılık da korunur. Örtenlik ise May'in değil Gibbard–Satterthwaite teoreminin koşuludur.

Tek tepeli tercihli 5 seçmenin tepeleri eksende 2, 3, 7, 8, 9. Condorcet kazananı hangi konumdur?

Doğru cevap C. Tek tepeli tercihlerde medyan seçmen teoremi geçerlidir: tepeler 2, 3, 7, 8, 9 ve 5 seçmenin medyanı 3. tepe, yani 7'dir. 7'nin solundaki bir konuma karşı 7, 8, 9 tepeli 3 seçmen 7'yi; sağındaki bir konuma karşı 2, 3, 7 tepeli 3 seçmen 7'yi seçer: 7 her rakibini 3–2 yener. A (ortalama 5,8) tuzaktır: 7'ye karşı yalnızca 2 ve 3 tepeli seçmenlerin oyunu alır. B ve D uç tepelerdir, ortadaki konumlara kaybederler.

9 seçmen: 4 × X≻Y≻Z, 3 × Y≻Z≻X, 2 × Z≻Y≻X. Onay oylamasında herkes yalnızca birinci tercihini onaylarsa ve herkes ilk iki tercihini onaylarsa kazananlar kimdir?

Doğru cevap C. Yalnız birinci tercih onaylanınca onay oylaması çoğulluğa dönüşür: X 4, Y 3, Z 2 → X. İlk iki onaylanınca (2-onay): X 4, Y 4 + 3 + 2 = 9, Z 3 + 2 = 5 → Y. Onay oylamasında sonuç seçmenlerin onay eşiğine bağlıdır; eşik de stratejik bir seçimdir: ilk iki onayda X'i destekleyen 4 seçmen Y'yi onaylamaktan vazgeçse bile Y 5'e iner, Z ile berabere kalır ve X (4) yine kazanamaz. Burada Y aynı zamanda Condorcet kazananıdır (X'e 5–4, Z'ye 7–2).

Gibbard–Satterthwaite teoreminin sonucundan (stratejiye dayanıklı her kural diktatörlüktür) hangi değişiklikle kaçılabilir?

Doğru cevap B. Teorem üç koşula dayanır: en az üç aday, her adayın kazanabilmesi (örtenlik) ve her tercih sıralamasına izin verilmesi. Tercih alanı tek tepeli tercihlerle sınırlanınca medyan seçmenin tepesini seçen kural stratejiye dayanıklıdır (Black, Moulin). Yalnızca iki aday olması da bir çıkış yoludur (çoğunluk kuralı). A yanlıştır: teorem her seçmen sayısında geçerlidir; C'de çoğulluk da manipüle edilebilir; D oy gizliliği yalan söyleme teşvikini ortadan kaldırmaz.

Üç kişilik kurul, p veya q doğruysa (c = p ∨ q) projeyi reddeder. 1. üye: p evet, q hayır; 2. üye: p hayır, q evet; 3. üye: p hayır, q hayır. Önerme bazlı (p ve q ayrı ayrı çoğunlukla) ve sonuç bazlı (c doğrudan çoğunlukla) karar nedir?

Doğru cevap D. Önermeler tek tek oylanınca p 1–2 ve q 1–2 reddedilir, p ∨ q yanlış çıkar: ret yok. Sonuç doğrudan oylanınca 1. ve 2. üye c'yi doğru bulur (2–1): ret. Her üye kendi içinde tutarlıdır, ama çoğunluk “p yanlış, q yanlış, p ∨ q doğru” diyerek tutarsız bir toplu yargı verir; karar usule bağlıdır (doktrin paradoksu, Kornhauser ve Sager 1986).

5 sandalye, oylar A 46 000, B 29 000, C 16 000, D 9 000. D'Hondt yöntemiyle sandalye dağılımı nedir?

Doğru cevap A. Bölümler: A 46 000, 23 000, 15 333; B 29 000, 14 500; C 16 000, 8 000; D 9 000. En büyük beş bölüm 46 000 (A), 29 000 (B), 23 000 (A), 16 000 (C), 15 333 (A) → A 3, B 1, C 1. Beşinci sandalyede A'nın üçüncü bölümü (15 333), B'nin ikinci bölümünü (14 500) az farkla geçer. A %46 oyla sandalyelerin %60'ını alır: D'Hondt büyük partileri kayırır.