Giriş

Öğrenme Çıktıları

Giriş

Bilgi Olsun Yeter

• Bazen kararlar tüm bilgiye sahip olunmadan alınır.
• Çevrimiçi algoritmalar (online algorithms):
  • bilginin adım adım geldiği durumlarda
  • o ana kadarki bilgiyle en iyi kararı vermeye çalışır.
• Verilen karar geri alınamaz: sonradan gelen bilgi geçmiş kararı değiştirmez.

Satranç oyuncusu rakibin sonraki hamlesini bilmeden hamle yapar; hamle bir kez yapıldıktan sonra geri alınamaz.

Giriş

Çevrimiçi Algoritmalar

• Bir labirentte yolculuk yapmaya benzer.
  • Labirentin tamamı görünmez; yalnızca önünüzdeki yolu görürsünüz.
• Her adımda sınırlı bilgi ile en iyi yol seçilmeye çalışılır.
• Bilgi akışının sürekli olmadığı durumlarda hızlı karar vermeyi sağlar.
• Örnekler:
  • Trafik sıkışıklığında hangi yol kullanılacak?
  • Satranç oynarken bir sonraki hamle ne olacak?
  • Anlık trafik yoğunluğuna göre ışıkların ayarlanması.

Giriş

Çevrimiçi ve Çevrimdışı Problem Modeli

Girdi bir istek dizisidir: σ = σ₁, σ₂, …, σ_n. Fark, algoritmanın bu diziyi ne zaman gördüğündedir.

Giriş

Çevrimiçi Algoritma Modeli (Online Algorithms)

• Veri sürekli gelir; algoritma her parçayı geldiğinde işler ve hemen çıktı üretir.
• Bellek (tampon, buffer) tüm girdiyi tutamaz: geçmiş ancak özet olarak saklanabilir (toplam, heap, örnek…).
• Bu yüzden her öğe için az iş (çoğunlukla O(1) ya da O(log n)) ve az bellek hedeflenir.

Giriş

Uygulama Alanları

Ortak nokta: ortam dinamik, karar gerçek zamanlı, geleceğe dair bilgi eksik.

Giriş

Avantajlar ve Dezavantajlar

Giriş

Çevrimiçi Algoritma Tasarım Yaklaşımları

Rekabetçi Analiz

Rekabetçi Analiz (Competitive Analysis)

• Çevrimiçi algoritma ALG, her girdide her şeyi önceden bilen en iyi çevrimdışı algoritma OPT ile karşılaştırılır.
• ALG, c-rekabetçidir (c-competitive), eğer her istek dizisi σ için
  ALG(σ) ≤ c · OPT(σ) + α
  koşulu sağlanır (α: σ'dan bağımsız sabit; α = 0 ise kesin rekabetçi).
• En küçük böyle c değerine rekabet oranı denir: c = sup_σ ALG(σ) / OPT(σ).
• Oran ne kadar 1'e yakınsa, gelecek bilgisinin eksikliği o kadar az zarar verir.

Rekabetçi Analiz

Düşman (Adversary) Modeli

Rekabet oranını alttan sınırlamak için algoritmaya karşı oynayan bir düşman düşünülür: girdiyi o üretir ve OPT'yi o çalıştırır.

Kayak Kiralama

Kayak Kiralama Problemi (Ski Rental)

• Kayak takımı günlüğü 1 TL'ye kiralanabilir ya da B TL'ye satın alınabilir.
• Kaç gün kayak yapılacağı (d) bilinmez: her sabah "bugün de kayacak mıyım?" sorusu yanıtlanır. Hava bozarsa sezon biter.
• Her gün karar: bugün de kirala mı, yoksa satın al mı?
• Geleceği bilen OPT kolaydır: OPT(d) = min(d, B).

Aynı yapı: bulut sunucusunu saatlik mi kiralayalım, yıllık mı alalım; TCP bağlantısını açık mı tutalım, kapatalım mı.

Kayak Kiralama

Stratejilerin Maliyeti (B = 10)

Kayak Kiralama · Kodu adım adım çalıştır

Başa Baş Stratejisi: Kodu Adım Adım İzle

int basaBas(int B, int d) {  // d bilinmez
  int maliyet = 0;
  for (int gun = 1; gun <= d; gun++) {
    if (gun < B) {
      maliyet += 1;             // kirala
    } else {
      maliyet += B;             // satın al
      break;                    // ücret biter
    }
  }
  return maliyet;
}

Kayak Kiralama

Neden Daha İyisi Yok? Alt Sınır

B = 10; d = k (düşmanın seçimi). Tablo, en kötü oranın k = B'de en küçük olduğunu gösterir.

Kayak Kiralama

Deneyin: Kayak Kiralama

Strateji: k − 1 gün kirala, k. gün hâlâ kayıyorsan satın al. En kötü oran, düşmanın d = k seçtiği durumdur.

Sayfalama

Sayfalama Problemi (Paging)

• Hızlı bellek (önbellek, cache) k sayfa tutar; yavaş bellek sınırsızdır.
• İstenen sayfa önbellekteyse isabet (hit, maliyet 0); değilse sayfa hatası (page fault, maliyet 1): sayfa yüklenir.
• Önbellek doluysa hangi sayfa çıkarılacak? Gelecek istekler bilinmez: tipik bir çevrimiçi problem.
• Amaç: toplam sayfa hatası sayısını en aza indirmek.

Sayfalama

Sayfa Çıkarma Politikaları

Sayfalama · Adım adım

FIFO Adım Adım

FIFO: önbellek bir kuyruk gibi davranır; en önce gelen ilk çıkar. İstek dizisi 7 0 1 2 0 3 0 4 2 3 0 3 2, k = 3. H: hata, ✓: isabet.

Sayfalama · Adım adım

LRU Adım Adım

LRU: her sayfanın son kullanım zamanı izlenir; en eskisi çıkar. İstek dizisi 7 0 1 2 0 3 0 4 2 3 0 3 2, k = 3. H: hata, ✓: isabet.

Sayfalama · Adım adım

OPT Adım Adım

OPT: geleceği bilir; bir sonraki kullanımı en uzak olan sayfayı çıkarır. İstek dizisi 7 0 1 2 0 3 0 4 2 3 0 3 2, k = 3. H: hata, ✓: isabet.

Sayfalama

Üç Politikanın Karşılaştırması

• İlk k = 3 hata kaçınılmazdır (zorunlu / soğuk hatalar, compulsory misses): her politika öder.
• LRU, yerellik (locality of reference) olan dizilerde iyidir: yakın geçmişte kullanılan sayfa yakında yine kullanılır. Burada 0 sayfası sık istendiği için FIFO onu gereksiz yere çıkarır.
• Gerçek sistemlerde LRU'ya yakın, ucuz yaklaşımlar kullanılır: saat algoritması (clock / ikinci şans).

Sayfalama · Kodu adım adım çalıştır

LRU: Kodu Adım Adım İzle

int lruHata(int[] istekler, int k) {
  var onb = new LinkedList<Integer>();
  int hata = 0;
  for (int sayfa : istekler) {
    if (onb.remove((Integer) sayfa)) {
      onb.addLast(sayfa); // en yeni yap
    } else {
      hata++;
      if (onb.size() == k)
        onb.removeFirst(); // en eskiyi at
      onb.addLast(sayfa);
    }
  }
  return hata;
}

Sayfalama

LRU Önbelleği: O(1) Uygulama

class LruOnbellek<A, D>
    extends LinkedHashMap<A, D> {
  private final int k;

  LruOnbellek(int k) {
    super(16, 0.75f, true); // erişim sırası
    this.k = k;
  }

  @Override
  protected boolean removeEldestEntry(
      Map.Entry<A, D> enEski) {
    return size() > k;      // k aşılınca at
  }
}

Sayfalama

Teorem: Deterministik Alt Sınır k

Sayfalama

Teorem: LRU (ve FIFO) k-Rekabetçidir

• Diziyi evrelere (phase) böl: her evre, k farklı sayfa içeren en uzun parça; (k + 1). farklı sayfa yeni evreyi başlatır.
• LRU, bir evrede en çok k hata yapar: evrede istenen bir sayfa, evre bitene kadar çıkarılmaz (ondan daha eski kullanılmış en az bir sayfa hep vardır). Her farklı sayfa en çok bir kez hata verir.
• OPT, ardışık iki evre başına en az 1 hata yapar: bir evrenin 2. isteğinden sonraki evrenin 1. isteğine kadar k + 1 farklı sayfa istenir; k çerçeveye sığmaz.
• m evre için LRU ≤ k · m, OPT ≥ m − 1 → LRU ≤ k · OPT + k.

Sayfalama

Belady Anomalisi: Daha Çok Bellek, Daha Çok Hata

Sayfalama · Kodu adım adım çalıştır

Belady Dizisinde FIFO: Kodu Adım Adım İzle

int fifoHata(int[] istekler, int k) {
  Queue<Integer> kuyruk = new LinkedList<>();
  Set<Integer> kume = new HashSet<>();
  int hata = 0;
  for (int p : istekler) {
    if (kume.contains(p)) continue;   // isabet
    hata++;
    if (kume.size() == k)
      kume.remove(kuyruk.poll()); // en eski
    kuyruk.offer(p); kume.add(p);
  }
  return hata;
}

Sayfalama

Rastgele Sayfalama: İşaretleme Algoritması

Sayfalama · Kodu adım adım çalıştır

İşaretleme Algoritması: Kodu Adım Adım İzle

int isaretleme(int[] istekler, int k) {
  Set<Integer> onb = new HashSet<>();
  Set<Integer> isr = new HashSet<>();   // işaretli
  int hata = 0;
  for (int p : istekler) {
    if (!onb.contains(p)) {
      hata++;
      if (onb.size() == k) {
        if (isr.size() == k) isr.clear(); // yeni evre
        List<Integer> aday = new ArrayList<>(onb);
        aday.removeAll(isr);          // işaretsizler
        int i = zar.nextInt(aday.size());
        onb.remove(aday.get(i));
      }
      onb.add(p);
    }
    isr.add(p);
  }
  return hata;
}

Sayfalama

Deneyin: Sayfalama Politikaları

0–9 arası rakamlar, boşlukla ayrılmış (en çok 16 istek). Turuncu hücre: yeni yüklenen sayfa · yeşil: isabet. Enter = yeniden çalıştır.

Liste Güncelleme

Liste Güncelleme Problemi (List Update)

• n öğeli bir bağlı liste; i. konumdaki öğeye erişmenin maliyeti i'dir (baştan taranır).
• Erişilen öğe, erişimden sonra ücretsiz olarak öne doğru taşınabilir.
• İstekler çevrimiçi gelir: hangi öğenin sık isteneceği bilinmez.

Liste Güncelleme · Adım adım

Öne Taşı (MTF) Adım Adım

Başlangıç listesi A B C D E; istekler E D E A D E.

Liste Güncelleme

Teorem: MTF 2-Rekabetçidir

• Sleator ve Tarjan (1985): her istek dizisi σ için MTF(σ) ≤ 2 · OPT(σ) (yaklaşık; ücretli takaslar sayılmazsa).
• Kanıt fikri: potansiyel fonksiyonu Φ = MTF listesi ile OPT listesi arasındaki ters sıralı çift (inversion) sayısı. Her erişimde MTF'nin gerçek maliyeti + ΔΦ ≤ 2 · (OPT maliyeti) − 1. Bu, amortize analizdir.

Veri Akışları

Veri Akışı (Data Stream) Modeli

• Öğeler x₁, x₂, … tek tek gelir; akış çok uzun ya da sonsuz olabilir.
• Her öğeye bir kez bakılır (tek geçiş); geçmiş tümüyle saklanamaz.
• Her an bir sorunun cevabı hazır olmalı: "şu ana kadarki ortalama / ortanca / bir örneklem nedir?"

Veri Akışları

Hareketli Ortalama (Moving Average)

class HareketliOrtalama {
  private final int k;
  private final Queue<Integer> pencere
      = new LinkedList<>();
  private int toplam = 0;

  HareketliOrtalama(int k) { this.k = k; }

  double sonraki(int deger) {
    if (pencere.size() == k)
      toplam -= pencere.poll();
    pencere.offer(deger);
    toplam += deger;
    return toplam / (double) pencere.size();
  }
}

Veri Akışları · Kodu adım adım çalıştır

Hareketli Ortalama: Kodu Adım Adım İzle

double sonraki(int deger) {
  if (pencere.size() == k)
    toplam -= pencere.poll(); // en eski
  pencere.offer(deger);
  toplam += deger;
  return toplam / (double) pencere.size();
}

Veri Akışları

Çevrimiçi Ortanca (Running Median)

Veri Akışları · Kodu adım adım çalıştır

Çevrimiçi Ortanca: Kodu Adım Adım İzle