Giriş

Öğrenme Çıktıları

Giriş

Şanslı Algoritmalar

Giriş

Rastgele Algoritmalar

• Rastgele algoritma (randomized algorithm): girdiye ek olarak rastgele sayılar kullanarak çalışır.
• Aynı girdiyle iki çalıştırma farklı adımlar izleyebilir: çalışma süresi (ve bazen çıktı) her çalıştırmada değişebilir.
• Süre artık bir rastgele değişkendir: beklenen süre E[T(n)] incelenir. Beklenen değer algoritmanın kendi yazı-turaları üzerinden alınır, girdi üzerinden değil.

Giriş

Neden Rastgelelik?

Bedel: süre ya da doğruluk artık olasılıksal bir garantidir; iyi bir rastgele sayı üreteci gerekir.

Giriş

Olasılık Hatırlatması

Algoritma Türleri

Las Vegas ve Monte Carlo

Algoritma Türleri

Hata Olasılığını Küçültme

Karıştırma

Örnek: Karıştırma

Karıştırma · Kodu adım adım çalıştır

Fisher–Yates (Knuth) Karıştırması

static void karistir(int[] a) {
  for (int i = a.length - 1; i > 0; i--) {
    int j = zar.nextInt(i + 1); // 0 ≤ j ≤ i
    int t = a[i]; a[i] = a[j]; a[j] = t;
  }
}

Karıştırma

Saf Karıştırma Yanlıdır

// YANLI: her i için 0..n-1 arasından seç
for (int i = 0; i < n; i++) {
  int j = zar.nextInt(n);
  takas(a, i, j);
}

[1, 2, 3] dizisinin 27 çekiliş dizisi tek tek sayıldı (Fisher–Yates'te 3 · 2 = 6 yol, her permütasyon 1 kez).

BogoSort

BogoSort

static void bogoSirala(int[] a) {
  while (!siraliMi(a))
    karistir(a);        // Fisher–Yates
}
static boolean siraliMi(int[] a) {
  for (int i = 0; i + 1 < a.length; i++)
    if (a[i] > a[i + 1]) return false;
  return true;
}

BogoSort

BogoSort Örneği: [5, 2, 8, 4]

[5, 2, 8, 4] listesi; her karıştırma Fisher–Yates ile (tohumlu bir çalıştırma). Kırmızı: ilk ters sıralı komşu çift.

BogoSort

BogoSort Analizi

Rastgele QuickSort

Pivot Seçimi ve Etkisi

• * Deterministik stratejilerde O(n log n) yalnızca girdi rastgele sıralıysa geçerlidir (ortalama durum). Rastgele pivotta ise beklenti algoritmanın kendi seçimleri üzerindendir (beklenen süre).
• İyi pivot seçimi beklenen süreyi iyileştirir, en kötü durumu ortadan kaldırmaz: rastgele pivotta da O(n²) mümkündür, ama olasılığı çok küçüktür.
• BFPRT'nin sabitleri büyüktür; uygulamada rastgele ya da ortanca-üç pivot tercih edilir.

Rastgele QuickSort

Rastgele Pivotlu QuickSort Çalıştırması

[6, 5, 3, 1, 8, 7, 2, 4]; pivotlar rastgele seçildi: 3, 1, 4, 6, 8. Siyah: pivot · kırmızı çerçeve: i ve j işaretçileri · yeşil: kesinleşmiş · soluk: etkin alt dizinin dışı.

Rastgele QuickSort

Rastgele QuickSort: Kod

static Random zar = new Random();

static void hizliSirala(int[] a, int alt, int ust) {
  if (alt < ust) {
    int p = bol(a, alt, ust); // rastgele
    hizliSirala(a, alt, p - 1);
    hizliSirala(a, p + 1, ust);
  }
}

static int bol(int[] a, int alt, int ust) {
  int r = alt + zar.nextInt(ust - alt + 1);
  takas(a, r, ust);             // pivot sona
  int pivot = a[ust], k = alt;
  for (int i = alt; i < ust; i++)
    if (a[i] <= pivot)
      takas(a, i, k++);         // küçükleri sola
  takas(a, k, ust);             // pivot yerine
  return k;
}

Rastgele QuickSort

QuickSort Analizi

Rastgele pivotta en kötü durumun olasılığı: her adımda en küçük ya da en büyük seçilmeli → 2ⁿ⁻¹/n! (n = 20 için ≈ 2 · 10⁻¹³).

Rastgele QuickSort

Beklenen Karşılaştırma

Rastgele QuickSort

Rastgele Seçme (QuickSelect)

static int sec(int[] a, int alt, int ust, int s) {
  if (alt == ust) return a[alt];
  int p = bol(a, alt, ust);
  if (s == p) return a[p];
  if (s < p) return sec(a, alt, p - 1, s);
  return sec(a, p + 1, ust, s);
}

Rastgele QuickSort · Kodu adım adım çalıştır

QuickSelect: Kodu Adım Adım İzle

static int sec(int[] a, int alt, int ust, int s) {
  if (alt == ust) return a[alt];
  int p = bol(a, alt, ust);
  if (s == p) return a[p];
  if (s < p) return sec(a, alt, p - 1, s);
  return sec(a, p + 1, ust, s);
}

Monte Carlo Algoritmaları

Monte Carlo ile π

static double piTahmin(int n) {
  int ic = 0;
  for (int t = 0; t < n; t++) {
    double x = zar.nextDouble(), y = zar.nextDouble();
    if (x * x + y * y <= 1) ic++;
  }
  return 4.0 * ic / n;
}

Monte Carlo Algoritmaları · Kodu adım adım çalıştır

Monte Carlo π: Kodu Adım Adım İzle

static double piTahmin(int n) {
  int ic = 0;
  for (int t = 0; t < n; t++) {
    double x = zar.nextDouble(), y = zar.nextDouble();
    if (x * x + y * y <= 1) ic++;
  }
  return 4.0 * ic / n;
}

Monte Carlo Algoritmaları

Deneyin: Monte Carlo π

Yeşil: çeyrek dairenin içinde · kırmızı: dışında. Çizimde ilk 3000 nokta gösterilir, sayım tüm noktalarla sürer. 1,64 = 4 · √(p(1 − p)), p = π/4.

Monte Carlo Algoritmaları

Miller–Rabin Asallık Testi

• Fermat'nın küçük teoremi: n asal ve 1 < a < n ise aⁿ⁻¹ ≡ 1 (mod n). Bu eşitlik bozulursa n kesin bileşiktir; ama bazı bileşikler (Carmichael sayıları) her taban için eşitliği sağlar.
• Karekök özelliği: n asal ise x² ≡ 1 (mod n) yalnızca x ≡ ±1 için sağlanır.
• n − 1 = 2^s · d (d tek) yazılır; rastgele a için a^d, a^2d, …, a^2s−1d (mod n) dizisine bakılır.
• Dizi 1 ile başlamıyor ve n − 1 hiç görünmüyorsa a, n'nin bileşik olduğunun tanığıdır (witness). Aksi hâlde n bu turu "geçer".
• Bileşik n için tabanların en çok 1/4'ü yalancıdır → k bağımsız turda hata ≤ 4^−k. Her tur O(log n) modüler çarpma: toplam O(k log³ n) bit işlemi.

Monte Carlo Algoritmaları

Miller–Rabin: Kod

static boolean asalMi(long n, int k) {
  if (n < 4) return n == 2 || n == 3;
  if (n % 2 == 0) return false;
  long d = n - 1; int s = 0;     // n-1 = 2^s·d
  while (d % 2 == 0) { d /= 2; s++; }
  for (int tur = 0; tur < k; tur++) {
    long a = 2 + zar.nextLong(n - 3); // [2, n-2]
    long x = usMod(a, d, n);     // a^d mod n
    if (x == 1 || x == n - 1) continue;
    boolean tanik = true;
    for (int r = 1; r < s && tanik; r++) {
      x = x * x % n;
      if (x == n - 1) tanik = false;
    }
    if (tanik) return false;     // kesin bileşik
  }
  return true;                  // muhtemelen asal
}

Monte Carlo Algoritmaları · Kodu adım adım çalıştır

Miller–Rabin: Kodu Adım Adım İzle (n = 561)

static boolean asalMi(long n, int k) {
  if (n < 4) return n == 2 || n == 3;
  if (n % 2 == 0) return false;
  long d = n - 1; int s = 0;     // n-1 = 2^s·d
  while (d % 2 == 0) { d /= 2; s++; }
  for (int tur = 0; tur < k; tur++) {
    long a = 2 + zar.nextLong(n - 3); // [2, n-2]
    long x = usMod(a, d, n);     // a^d mod n
    if (x == 1 || x == n - 1) continue;
    boolean tanik = true;
    for (int r = 1; r < s && tanik; r++) {
      x = x * x % n;
      if (x == n - 1) tanik = false;
    }
    if (tanik) return false;     // kesin bileşik
  }
  return true;                  // muhtemelen asal
}

Monte Carlo Algoritmaları · Kodu adım adım çalıştır

usMod: 2³⁵ mod 561 Adım Adım

static long usMod(long a, long d, long n) {
  long sonuc = 1;
  a %= n;
  while (d > 0) {
    if ((d & 1) == 1)          // bit 1 ise
      sonuc = sonuc * a % n;
    a = a * a % n;             // kare al
    d >>= 1;                   // sonraki bit
  }
  return sonuc;
}

Monte Carlo Algoritmaları

Miller–Rabin Örnekleri

• 61 asaldır: dizi n − 1 = 60'a ulaşır.
• 221 = 13 · 17: a = 174 bir güçlü yalancıdır (dizi 220'ye ulaşır); a = 137 ise tanıktır. Bu yüzden birden çok tur gerekir.
• 561 = 3 · 11 · 17 bir Carmichael sayısıdır: 2⁵⁶⁰ ≡ 1, yani Fermat testi aldanır. Miller–Rabin ise 67² ≡ 1 olduğunu görür: 67, 1'in ±1 dışında bir karekökü → bileşik.

Monte Carlo Algoritmaları

Karger Min-Kesim Algoritması

Monte Carlo Algoritmaları

Diğer Uygulamalar

Rastgele zamanlama (iş atama) ile benzetimli tavlama ve genetik algoritma gibi metasezgiseller de rastgeleliği arama için kullanır; metasezgiseller optimuma yakınsamayı garanti etmez.

Monte Carlo Algoritmaları

Sözde Rastgele Sayılar

Özet

Özet

Özet

Etkileşimli Simülatörler

Özet

Sık Yapılan Hatalar

Özet

Örnek Problemler

1. Fisher–Yates [1, 2, 3, 4] dizisine uygulanıyor; i = 3, 2, 1 için çekilen j değerleri 1, 2, 0. Sonuç nedir?
2. 5 farklı öğeli bir dizide BogoSort'un ilk karıştırmada bitme olasılığı ve beklenen karıştırma sayısı nedir?
3. Rastgele QuickSort'ta en küçük ve en büyük öğe hangi olasılıkla karşılaştırılır? Sıralı hâlde komşu iki öğe?
4. Miller–Rabin: n = 25 için a = 7 ve a = 2 tabanlarıyla testi uygulayın.
5. Monte Carlo ile 1000 noktanın 787'si çeyrek dairenin içine düştü. π tahmini nedir?

Özet

Alıştırmalar

1. [3, 8, 2, 5, 1, 4, 7, 6] dizisinde bol çağrılıyor ve r = 5 (pivot 4) çekiliyor. Parçalama sonrası dizi ve dönüş değeri nedir?
2. Sıralı 8 öğeli bir dizide ilk öğeyi pivot seçen QuickSort kaç karşılaştırma yapar?
3. Miller–Rabin'de hata olasılığını 10⁻⁶'nın altına indirmek için en az kaç tur gerekir?
4. Karger'i 6 düğümlü bir çizgede (başarı ≥ 1/15) kaç kez tekrarlarsanız başarısızlık olasılığı 1/6'nın altına iner?
5. Başarı olasılığı 1/3 olan ve sonucu doğrulanabilen bir Monte Carlo algoritmasını Las Vegas'a çevirin. Beklenen tekrar sayısı nedir?

Özet

Kaynaklar

• R. Motwani ve P. Raghavan, Randomized Algorithms, Cambridge University Press, 1995.
• M. Mitzenmacher ve E. Upfal, Probability and Computing, 2. baskı, Cambridge University Press, 2017.
• Cormen, Leiserson, Rivest ve Stein, Introduction to Algorithms, 4. baskı, 2022 (Bölüm 5, 7, 9, 31).
• C. A. R. Hoare, "Quicksort", The Computer Journal 5(1), 1962.
• M. O. Rabin, "Probabilistic Algorithm for Testing Primality", Journal of Number Theory 12(1), 1980.
• D. R. Karger, "Global Min-cuts in RNC, and Other Ramifications of a Simple Min-Cut Algorithm", SODA, 1993.
• D. E. Knuth, The Art of Computer Programming, Cilt 2, 3. baskı, 1997 (Bölüm 3.4.2: karıştırma).