Bölüm 5.1: Dizgi Eşleştirme ve Sıkıştırma

Algoritmalar

Kaba kuvvetKMP ve LPS tablosuBoyer-MooreRabin-Karp KarşılaştırmaRLELZW

Sercan KÜLCÜ · Giresun Üniversitesi · Bilgisayar Mühendisliği

Giriş

Öğrenme Çıktıları

Kavramlar

Metin, örüntü, kayma, önek ve sonek kavramlarını tanımlamak; dizgi eşleştirme problemini biçimsel olarak ifade etmek.

Eşleştirme

Kaba kuvvet, KMP, Boyer-Moore ve Rabin-Karp algoritmalarını bir örnek üzerinde adım adım çalıştırmak ve Java ile yazmak.

Analiz

LPS tablosu, kötü karakter tablosu ve kayan hash'in zaman kazancını açıklamak; en iyi, ortalama ve en kötü durumları karşılaştırmak.

Sıkıştırma

RLE ve LZW ile kayıpsız sıkıştırma yapmak, sıkıştırılmış veriyi geri açmak ve sıkıştırma oranını hesaplamak.

Giriş

Dizgi Algoritmaları

Metinlerle dolu bir dünyada yaşıyoruz: e-postalar, iletiler, sosyal medya paylaşımları, haber metinleri…
Bilgisayarlarımızda her gün sayısız metinle karşılaşıyoruz. Peki bu metinler nasıl düzenlenir ve analiz edilir?
Dizgi (string) algoritmaları metinlerde arama, değiştirme ve karşılaştırma gibi işlemleri gerçekleştirir.
İki temel konu: dizgi eşleştirme (bir örüntüyü metinde bulmak) ve dizgi sıkıştırma (metni daha az yerde saklamak).

Nerelerde?

Editörlerde Ctrl+F, grep, arama motorları, virüs imzası tarama, intihal tespiti, DNA dizilerinde gen arama, ZIP/GIF/PNG gibi dosya biçimleri.

Giriş

Temel Kavramlar ve Gösterim

Alfabe Σ: kullanılan karakterler kümesi (ör. {a, b, …, z}, {A, C, G, T}).
Metin (text) T[0..n−1] ve örüntü (pattern) P[0..m−1], genellikle m ≤ n.
P, T içinde s kaymasında (shift) geçer ⇔ T[s..s+m−1] = P. Geçerli kaymalar 0 ≤ s ≤ n − m.
Önek (prefix): P[0..k−1]; sonek (suffix): P[m−k..m−1]. Uygun (proper) önek/sonek, dizginin kendisine eşit olmayandır.
Örnek: "ababd" için önekler a, ab, aba, abab; sonekler d, bd, abd, babd.

Dizgi eşleştirme problemi: P'nin geçtiği tüm (ya da ilk) s değerlerini bulmak.

Giriş

Bölümün Haritası

Kaba Kuvvet (Brute Force)Metindeki her konum, örüntüyle eşleşip eşleşmediği için kontrol edilir. En fazla sayıda karşılaştırma gerektirebilir.

Knuth-Morris-Pratt (KMP)Başlangıçta bir tablo (LPS) oluşturur; metinde hiç geri gitmeden, karşılaştırma sayısını azaltarak hızlı çalışır.

Boyer-MooreSağdan sola karşılaştırır; kötü karakter ve iyi sonek kurallarıyla uzun atlamalar yapar. Uzun örüntülerde çok etkili.

Rabin-KarpHash (özet) değerlerini karşılaştırır; pencereyi kaydırırken hash'i O(1)'de günceller. Olasılıksal hızlıdır.

RLE (Run Length Encoding)Çalışma uzunluğu kodlaması: ardışık tekrar eden değerler tek değer + tekrar sayısı olarak saklanır.

LZW (Lempel-Ziv-Welch)Sözlük tabanlı sıkıştırma: tekrar eden örüntüler dinamik olarak büyüyen bir sözlükteki kısa kodlarla temsil edilir (GIF).

Kaba Kuvvet

Kaba Kuvvet (Naive) Algoritması

Metin içinde belirli bir örüntüyü arayan en basit algoritmadır; "naive" (saf) adı bu yüzdendir.
İşleyiş:
1. Her s = 0, 1, …, n − m kayması için örüntü metnin altına hizalanır.
2. Karakterler soldan sağa karşılaştırılır; ilk uyuşmazlıkta durulur.
3. m karakterin hepsi eşleşirse s rapor edilir; aksi hâlde örüntü 1 konum kaydırılır.
Ön işleme ve ek bellek gerektirmez.

Karmaşıklık

En kötü durum: (n − m + 1) · m karşılaştırma → O(n · m).

En iyi durum: her hizada ilk karakter uyuşmaz → O(n).

n: metin uzunluğu, m: örüntü uzunluğu.

Kaba Kuvvet

Örnek: "THIS IS A SIMPLE EXAMPLE"

Her satır bir kayma: yeşil eşleşen, kırmızı uyuşmayan karşılaştırma. SIMPLE, 11. hizada (s = 10) bulunur; toplam 18 karşılaştırma yapılır (n = 24, m = 6).

Kaba Kuvvet · Kodu adım adım çalıştır

"HELLO WORLD" İçinde "LO": Kod İzleme

n = 11, m = 2. Örüntü i = 0, 1, …, 9 kaymalarında denenecek.

t[0] = 'H' ≠ p[0] = 'L' → uyuşmazlık; örüntü 1 sağa kayar.

t[1] = 'E' ≠ p[0] = 'L' → uyuşmazlık; örüntü 1 sağa kayar.

t[2] = 'L' ile p[0] = 'L' eşleşti → j++.

t[3] = 'L' ≠ p[1] = 'O' → uyuşmazlık; örüntü 1 sağa kayar.

t[3] = 'L' ile p[0] = 'L' eşleşti → j++.

t[4] = 'O' ile p[1] = 'O' eşleşti → j++.

j == m: örüntü i = 3 konumunda bulundu. Toplam 6 karşılaştırma.

int kabaKuvvet(String t, String p) {
  int n = t.length(), m = p.length();
  for (int i = 0; i <= n - m; i++) {
    int j = 0;
    while (j < m &&
      t.charAt(i + j) == p.charAt(j))
      j++;
    if (j == m) return i;
  }
  return -1;
}

Kaba Kuvvet

Kaba Kuvvet: En İyi, Ortalama, En Kötü

Durum	Ne zaman?	Karşılaştırma	Zaman
En iyi	P[0] metnin hiçbir karakteriyle eşleşmez (ör. P = "xyz", T = "aaaa…")	n − m + 1	O(n)
Ortalama	Rastgele metin, büyük alfabe: uyuşmazlık genellikle ilk 1–2 karakterde	≈ n · σ/(σ−1)	O(n)
En kötü	T = "aaaaaaaaaa", P = "aaab": her hizada m karşılaştırma	(n − m + 1) · m	O(n · m)

Sayısal örnek: n = 10, m = 4, T = a¹⁰, P = aaab → 7 hiza × 4 = 28 karşılaştırma. Uyuşmazlık hep son karakterde çıkar.

Asıl kusur: uyuşmazlıkta öğrenilen bilgi (eşleşen karakterler) atılır; metinde geri gidilip aynı karakterler tekrar okunur. KMP bu bilgiyi kullanır.

KMP

Knuth-Morris-Pratt (KMP) Algoritması

Metin içinde belirli bir örüntüyü bulmak için kullanılır.
Donald Knuth, Vaughan Pratt ve (bağımsız olarak) James H. Morris tarafından geliştirilmiş, 1977'de birlikte yayımlanmıştır.
Temel fikir: uyuşmazlık olduğunda örüntünün zaten eşleşmiş kısmı hakkında bildiklerimizi kullanmak; metin işaretçisi asla geri gitmez.
Bu bilgi örüntüden önceden hesaplanan LPS tablosunda (önek fonksiyonu, π) saklanır.

Karmaşıklık

Ön işleme: O(m)

Arama: O(n)

Toplam: O(n + m), en kötü durumda da

Ek bellek: O(m)

KMP

KMP: İşleyiş

1. Ön işlemeÖrüntünün her konumu için en uzun uygun önek = sonek (Longest Proper Prefix which is also Suffix, LPS) uzunluğu bir tabloya yazılır. Uyuşmazlıkta örüntüde nereye dönüleceğini bu tablo söyler.

2. Örüntü aramaMetin soldan sağa bir kez taranır. Eşleşmeyen karakterde örüntü işaretçisi q, tablodan okunan değere (q = lps[q − 1]) geri çekilir; metin işaretçisi i yerinde kalır.

3. Eşleşme kontrolüq, m'ye ulaştığında örüntünün tüm karakterleri eşleşmiştir: konum i − m + 1 rapor edilir. Tüm geçişler isteniyorsa q = lps[m − 1] ile devam edilir.

Neden doğru? P[0..q−1] metinle eşleşmişse ve P[q] uyuşmuyorsa, örüntünün bir sonraki olası hizası, P[0..q−1]'in hem öneki hem soneki olan en uzun parçanın üst üste geleceği hizadır. Arada kalan hizalar kesinlikle eşleşemez.

KMP

LPS Tablosu (Önek Fonksiyonu)

lps[q] = P[0..q] dizgisinin, kendisine eşit olmayan ve aynı zamanda soneki olan en uzun önekinin uzunluğu.

lps[0] = 0 (tek karakterin uygun öneki yok).
Örnek: Metin "ababcababcabababd", örüntü "ababd".
Örüntü tablosu: a: 0, b: 0, a: 1, b: 2, d: 0.

q	P[q]	lps[q]	Gerekçe (P[0..q])
0	`a`	0	"a" — uygun önek yok
1	`b`	0	"ab" — a ≠ b
2	`a`	1	"aba" — "a" hem önek hem sonek
3	`b`	2	"abab" — "ab" hem önek hem sonek
4	`d`	0	"ababd" — d ile biten önek yok

KMP · Kodu adım adım çalıştır

LPS Tablosunu Kurmak: "ACABACACD"

lps[0] = 0 her zaman. k = 0: şu an eşleşen önek uzunluğu.

p[0] = 'A' ≠ p[1] = 'C' → k = 0, lps[1] = 0.

p[0] = 'A' = p[2] = 'A' → k = 1, lps[2] = 1.

p[1] = 'C' ≠ p[3] = 'B' → geri dön: k = lps[0] = 0.

p[0] = 'A' ≠ p[3] = 'B' → k = 0, lps[3] = 0.

p[0] = 'A' = p[4] = 'A' → k = 1, lps[4] = 1.

p[1] = 'C' = p[5] = 'C' → k = 2, lps[5] = 2. "AC" hem önek hem sonek.

p[2] = 'A' = p[6] = 'A' → k = 3, lps[6] = 3. "ACA" hem önek hem sonek.

p[3] = 'B' ≠ p[7] = 'C' → geri dön: k = lps[2] = 1.

p[1] = 'C' = p[7] = 'C' → k = 2, lps[7] = 2. "AC" hem önek hem sonek.

p[2] = 'A' ≠ p[8] = 'D' → geri dön: k = lps[1] = 0.

p[0] = 'A' ≠ p[8] = 'D' → k = 0, lps[8] = 0.

Sonuç: lps = [0, 0, 1, 0, 1, 2, 3, 2, 0]. Her q için en fazla sabit sayıda iş (amortize) → O(m).

int[] lpsHesapla(String p) {
  int m = p.length(), k = 0;
  int[] lps = new int[m];
  for (int q = 1; q < m; q++) {
    while (k > 0 &&
      p.charAt(k) != p.charAt(q))
      k = lps[k - 1];
    if (p.charAt(k) == p.charAt(q))
      k++;
    lps[q] = k;
  }
  return lps;
}

KMP

KMP Aramasının Üç Evresi

Evre 1 · İlk karakteri aramaÖrüntünün ilk sembolüyle eşleşme bulunana kadar metin işaretçisi (i) ilerletilir.

Evre 2 · Birlikte ilerlemeSemboller eşleştikçe iki işaretçi de ilerler. Örüntünün sonuna ulaşılırsa (metin konumu − örüntü konumu) döndürülür.

Evre 3 · LPS ile geri çekilmeUyuşmazlıkta yalnızca örüntü işaretçisi (q) LPS ile geri çekilir; eşleşme ya da 0 konumuna ulaşılınca Evre 2'ye (q = 0 ise Evre 1'e) dönülür.

KMP

KMP Örneği: "ABCDABD" Aranıyor

lps("ABCDABD") = [0, 0, 0, 0, 1, 2, 0]. yeşil eşleşen, kırmızı uyuşmayan, mavi LPS sayesinde bilinen (tekrar karşılaştırılmayan) karakterler.

s = 0: ABC eşleşti, t[3] = 'A' ≠ p[3] = 'D'. q = 3 → q = lps[2] = 0; örüntü 3 kayar, t[3] yeniden p[0] ile karşılaştırılır.

s = 3: ABCDAB eşleşti, t[9] = 'A' ≠ 'D'. q = 6 → q = lps[5] = 2: "AB" zaten eşleşmiş bilinir, örüntü 4 kayar.

s = 7: AB yeniden karşılaştırılmaz. t[9] = 'A' ≠ p[2] = 'C' → q = lps[1] = 0.

s = 9: ABCDAB eşleşti, t[15] = 'C' ≠ 'D'. q = 6 → q = lps[5] = 2; örüntü 4 kayar.

s = 13: AB bilinir; CDABD da eşleşir → örüntü 13. konumda bulundu. Metin işaretçisi hiç geri gitmedi.

Toplam 24 karakter karşılaştırması (n = 21); kaba kuvvet aynı metinde 37 karşılaştırma yapar.

KMP · Kodu adım adım çalıştır

kmpAra("ababcababcabababd", "ababd")

n = 17, m = 5, lps = [0, 0, 1, 2, 0], q = 0.

p[0] = t[0] = 'a' → q = 1.

p[1] = t[1] = 'b' → q = 2.

p[2] = t[2] = 'a' → q = 3.

p[3] = t[3] = 'b' → q = 4.

p[4] = 'd' ≠ t[4] = 'c' → q = lps[3] = 2 (i yerinde kalır).

p[2] = 'a' ≠ t[4] = 'c' → q = lps[1] = 0 (i yerinde kalır).

p[0] = 'a' ≠ t[4] = 'c' → q = 0 kalır, i ilerler.

p[0] = t[5] = 'a' → q = 1.

p[1] = t[6] = 'b' → q = 2.

p[2] = t[7] = 'a' → q = 3.

p[3] = t[8] = 'b' → q = 4.

p[4] = 'd' ≠ t[9] = 'c' → q = lps[3] = 2 (i yerinde kalır).

p[2] = 'a' ≠ t[9] = 'c' → q = lps[1] = 0 (i yerinde kalır).

p[0] = 'a' ≠ t[9] = 'c' → q = 0 kalır, i ilerler.

p[0] = t[10] = 'a' → q = 1.

p[1] = t[11] = 'b' → q = 2.

p[2] = t[12] = 'a' → q = 3.

p[3] = t[13] = 'b' → q = 4.

p[4] = 'd' ≠ t[14] = 'a' → q = lps[3] = 2 (i yerinde kalır).

p[2] = t[14] = 'a' → q = 3.

p[3] = t[15] = 'b' → q = 4.

p[4] = t[16] = 'd' → q = 5.

q == m → i − m + 1 = 12 döndürülür. Metin yalnızca bir kez tarandı.

int kmpAra(String t, String p) {
  int n = t.length(), m = p.length();
  int[] lps = lpsHesapla(p);
  int q = 0;  // eşleşen uzunluk
  for (int i = 0; i < n; i++) {
    while (q > 0 &&
      p.charAt(q) != t.charAt(i))
      q = lps[q - 1];
    if (p.charAt(q) == t.charAt(i))
      q++;
    if (q == m)
      return i - m + 1;
  }
  return -1;
}

KMP

KMP: Neden O(n + m)?

Dış döngü i'yi n kez artırır; i hiç azalmaz.
q her adımda en fazla 1 artar → toplam artış ≤ n.
while içindeki her geri çekilme q'yu en az 1 azaltır; q negatif olamaz → toplam geri çekilme ≤ toplam artış ≤ n.
Arama: en fazla 2n karşılaştırma → O(n). Aynı amortize argüman LPS için O(m) verir.

Artıları

En kötü durumda bile doğrusal
Metinde geri gitmez: akış (stream) verisine uygun

Eksileri

Pratikte Boyer-Moore'dan genelde yavaş
Küçük alfabede (DNA) atlama kazancı sınırlı

Boyer-Moore

Boyer-Moore Algoritması

Metin içinde belirli bir örüntüyü arar; Robert S. Boyer ve J Strother Moore tarafından 1977'de geliştirilmiştir.
Örüntü soldan sağa kaydırılır ama karakterler sağdan sola karşılaştırılır.
Uyuşmazlıkta iki kuraldan büyük olan kadar kaydırılır: kötü karakter ve iyi sonek.
Metindeki karakterlerin çoğu hiç okunmadan atlanabilir: uzun örüntü ve geniş alfabede (doğal dil metni) çok hızlıdır; grep ve editörlerin aramaları bu ailedendir.

Karmaşıklık

En iyi: O(n/m) — her denemede ilk karşılaştırma uyuşmaz ve m atlanır.

Ortalama: alt-doğrusal, pratikte O(n)'den hızlı.

En kötü: yalnız kötü karakterle O(n · m); iyi sonek + Galil kuralıyla O(n + m).

Boyer-Moore

Boyer-Moore: İşleyiş

Ön işleme: örüntüden kaydırma tabloları kurulur: her karakterin örüntüdeki son görülme konumu (kötü karakter) ve her sonek için kaydırma miktarı (iyi sonek).
Arama: örüntü metnin altına hizalanır; karşılaştırma örüntünün son karakterinden başlayıp sola doğru ilerler.
Eşleşme kontrolü: tüm karakterler eşleşirse konum rapor edilir.
Kötü karakter kuralı: uyuşmayan metin karakterinin örüntüdeki en sağdaki konumu dikkate alınarak kaydırma yapılır.
İyi sonek kuralı: eşleşmiş sonekin örüntü içinde başka bir yerde bulunup bulunmadığına göre kaydırma yapılır.

Kırmızı sayılar karşılaştırma sırasıdır: 12 karakterlik metinde yalnızca 6 karşılaştırma.

Kaydırma = max(kötü karakter kaydırması, iyi sonek kaydırması). İkisi de "güvenli"dir: atlanan hiçbir hizada eşleşme olamaz.

Boyer-Moore

Kötü Karakter (Bad Character) Kuralı

p[j] ≠ t[s + j] olsun; c = t[s + j] kötü karakter.
c örüntüde j'nin solunda geçiyorsa: örüntü, en sağdaki c t[s + j]'nin altına gelecek şekilde kaydırılır.
c örüntüde hiç yoksa (son = −1): örüntü c'nin tamamen ötesine kaydırılır (j + 1).
Formül: s += max(1, j − son[c]). c, j'nin sağında son kez geçiyorsa j − son[c] ≤ 0 olur; bu yüzden en az 1.

int[] sonGorulme(String p) {
  int[] son = new int[256];
  Arrays.fill(son, -1);
  for (int i = 0; i < p.length(); i++)
    son[p.charAt(i)] = i;
  return son;
}

Boyer-Moore

İyi Sonek (Good Suffix) Kuralı

Uyuşmazlıktan önce eşleşen sonek u = P[j+1..m−1] metinde bulunmuştur: "iyi sonek".
Durum 1: u örüntüde başka yerde (önünde farklı bir karakterle) geçiyorsa, örüntü, o geçiş metindeki u'nun altına gelecek şekilde kaydırılır.
Durum 2: yoksa, u'nun bir sonekine eşit olan en uzun P öneki hizalanır.
Durum 3: hiçbiri yoksa örüntü m kaydırılır.
Tablo O(m) zamanda önceden hesaplanır (KMP'nin LPS fikrine benzer, sonekler için).

"AB" eşleşti, t[2] = 'A' ≠ p[2] = 'B'. Kötü karakter: son[A] = 3 > j → yalnız 1. İyi sonek: "AB" p[1..2]'de de var (önünde 'C' ≠ 'B') → 2 kaydır.

Boyer-Moore

Örnek: "LO LOELLO O HELLO" İçinde "HELLO"

c	H	E	L	O	diğer
son[c]	0	1	3	4	−1

Kural: s += max(1, j − son[c]). yeşil eşleşen, kırmızı kötü karakter.

Hiza 1 (s = 0): 2 karakter eşleşti, t[2] = '␣' ≠ p[2] = 'L'. '␣' örüntüde yok → j − (−1) = 3 → 3 kaydır.

Hiza 2 (s = 3): t[7] = 'L' ≠ p[4] = 'O'. son['L'] = 3 → j − 3 = 1 → 1 kaydır.

Hiza 3 (s = 4): 4 karakter eşleşti, t[4] = 'O' ≠ p[0] = 'H'. son['O'] = 4 ≥ j → en az 1 → 1 kaydır.

Hiza 4 (s = 5): t[9] = '␣' ≠ p[4] = 'O'. '␣' örüntüde yok → j − (−1) = 5 → 5 kaydır.

Hiza 5 (s = 10): t[14] = 'L' ≠ p[4] = 'O'. son['L'] = 3 → j − 3 = 1 → 1 kaydır.

Hiza 6 (s = 11): t[15] = 'L' ≠ p[4] = 'O'. son['L'] = 3 → j − 3 = 1 → 1 kaydır.

Hiza 7 (s = 12): 5 karakterin hepsi sağdan sola eşleşti → HELLO, s = 12'de bulundu. Toplam 7 hiza, 17 karşılaştırma.

Boyer-Moore

Horspool Basitleştirmesi ve Kaydırma Tablosu

Horspool (1980): uyuşmazlık nerede olursa olsun, kaydırma hizanın son karakterinin altındaki metin karakterine göre yapılır.
Kaydırma tablosu: kayd[c] = m − 1 − (c'nin P[0..m−2] içindeki en sağ konumu); yoksa m.
HELLO: H → 4, E → 3, L → 1, O → 5 (son karakter tabloya katılmaz; O başka yerde yok), diğer → 5.
Aynı örnekte 5 hiza yeter (temel kötü karakter kuralıyla 7).

Hiza	s	Karşılaştırma	son kar.	kaydır
1	0	t[2] = '␣' ≠ p[2]	'O'	5
2	5	t[9] = '␣' ≠ p[4]	'␣'	5
3	10	t[14] = 'L' ≠ p[4]	'L'	1
4	11	t[15] = 'L' ≠ p[4]	'L'	1
5	12	tümü eşleşti	—	bulundu

Horspool · Kodu adım adım çalıştır

horspool("LO LOELLO O HELLO", "HELLO")

n = 17, m = 5. kayd dizisinin 256 hücresi önce m = 5 ile dolar: örüntüde olmayan bir karakter görülürse örüntü tümüyle onun ötesine atlar.

Son karakter hariç P[0..3] taranır: H → 4, E → 3, L önce 2 sonra 1 (en sağdaki geçiş kalır). O yalnızca sonda olduğu için 5'te kalır.

s = 0: 2 karakter sağdan eşleşti, sonra t[2] = '␣' ≠ p[2] = 'L' → uyuşmazlık.

Kaydırma, uyuşmazlığın yerine değil hizanın son karakterine bakar: t[4] = 'O' → kayd = 5 → s = 5.

s = 5: t[9] = '␣' ≠ p[4] = 'O' → uyuşmazlık.

Hizanın son karakteri t[9] = '␣' örüntüde yok → kayd = 5: örüntü tümüyle onun ötesine atlar, s = 10.

s = 10: t[14] = 'L' ≠ p[4] = 'O' → uyuşmazlık.

Kaydırma, uyuşmazlığın yerine değil hizanın son karakterine bakar: t[14] = 'L' → kayd = 1 → s = 11.

s = 11: t[15] = 'L' ≠ p[4] = 'O' → uyuşmazlık.

Kaydırma, uyuşmazlığın yerine değil hizanın son karakterine bakar: t[15] = 'L' → kayd = 1 → s = 12.

Beş karakter sağdan sola eşleşti, j = −1 → s = 12 döndürülür. 5 hiza, toplam 11 karşılaştırma.

int horspool(String t, String p) {
  int n = t.length(), m = p.length();
  int[] kayd = new int[256];
  Arrays.fill(kayd, m);
  for (int i = 0; i < m - 1; i++)
    kayd[p.charAt(i)] = m - 1 - i;
  int s = 0;
  while (s <= n - m) {
    int j = m - 1;
    while (j >= 0 &&
      p.charAt(j) == t.charAt(s + j))
      j--;
    if (j < 0) return s;
    s += kayd[t.charAt(s + m - 1)];
  }
  return -1;
}

Boyer-Moore

Örnek: Son Görülme Tablosu ile Arama

Örüntü abacab, son görülme: a = 4, b = 5, c = 3, * = −1. Hücre üstündeki sayı: karşılaştırma sayacı.

Hiza 1 (s = 0): t[5] = 'a' ≠ p[5] = 'b'. j − son['a'] = 5 − 4 = 1 → 1 kaydır.

Hiza 2 (s = 1): t[4] = 'a' ≠ p[3] = 'c'. son['a'] = 4 ≥ j = 3 → 1 → 1 kaydır.

Hiza 3 (s = 2): t[7] = 'a' ≠ p[5] = 'b'. j − son['a'] = 5 − 4 = 1 → 1 kaydır.

Hiza 4 (s = 3): t[8] = 'd' ≠ p[5] = 'b'. 'd' örüntüde yok → j + 1 = 6 → 6 kaydır.

Hiza 5 (s = 9): t[14] = 'a' ≠ p[5] = 'b'. j − son['a'] = 5 − 4 = 1 → 1 kaydır.

Hiza 6 (s = 10): 6 karşılaştırmanın hepsi eşleşti → eşleşme, s = 10. Tüm geçişler arandığı için 1 kaydırılıp devam edilir.

Hiza 7 (s = 11): t[16] = 'a' ≠ p[5] = 'b'. j − son['a'] = 5 − 4 = 1 → 1 kaydır.

Hiza 8 (s = 12): t[17] = 'a' ≠ p[5] = 'b'. j − son['a'] = 5 − 4 = 1 → 1 kaydır.

Hiza 9 (s = 13): t[16] = 'a' ≠ p[3] = 'c'. son['a'] = 4 ≥ j = 3 → 1 → 1 kaydır.

Hiza 10 (s = 14): t[18] = 'b' ≠ p[4] = 'a'. son['b'] = 5 ≥ j = 4 → 1 → 1 kaydır.

10 hiza, toplam 20 karşılaştırma (n = 20, m = 6): 'd' gibi örüntüde olmayan bir karakter 6 konumluk atlama sağlar.

Boyer-Moore · Kodu adım adım çalıştır

boyerMoore("merhaba naber", "abe")

n = 13, m = 3. Son görülme tablosu kuruldu; s = 0.

p[2] = 'e' ≠ t[2] = 'r'; son['r'] = -1 → s += max(1, 2 − (-1)) = 3.

p[2] = 'e' ≠ t[5] = 'b'; son['b'] = 1 → s += max(1, 2 − (1)) = 1.

p[2] = 'e' ≠ t[6] = 'a'; son['a'] = 0 → s += max(1, 2 − (0)) = 2.

p[2] = 'e' ≠ t[8] = 'n'; son['n'] = -1 → s += max(1, 2 − (-1)) = 3.

p[2] = t[11] = 'e' → j-- .

p[1] = t[10] = 'b' → j-- .

p[0] = t[9] = 'a' → j-- .

j < 0 → örüntü s = 9 konumunda bulundu ("naber").

int boyerMoore(String t, String p) {
  int n = t.length(), m = p.length();
  int[] son = sonGorulme(p);
  int s = 0;
  while (s <= n - m) {
    int j = m - 1;
    while (j >= 0 &&
      p.charAt(j) == t.charAt(s + j))
      j--;
    if (j < 0) return s;
    s += Math.max(1,
      j - son[t.charAt(s + j)]);
  }
  return -1;
}

Boyer-Moore

Boyer-Moore: Analiz ve Örnek

En iyi: metin karakterleri örüntüde yok → her hizada 1 karşılaştırma, m atlama: ≈ n/m karşılaştırma.
En kötü (yalnız kötü karakter): T = aaaa…a, P = baaa…a → her hizada m karşılaştırma, 1 kaydırma: O(n · m).
Örüntü uzadıkça hızlanır (kaba kuvvet ve KMP'nin tersine).
Küçük alfabede (DNA, ikili veri) kötü karakter kuralı zayıftır; iyi sonek kuralı önem kazanır.

Örnek

Metin: abccbaabccbaabcbcabbabcabc

Örüntü: abcbcabbabcabc (m = 14)

Son görülme tablosu: a: 11, b: 12, c: 13

Sonuç: örüntü 12. konumda bulunur.

Rabin-Karp

Rabin-Karp Algoritması

Metin içinde belirli bir örüntüyü bulmak için kullanılır; Michael O. Rabin ve Richard M. Karp tarafından 1987'de geliştirilmiştir.
Karakterleri tek tek karşılaştırmak yerine örüntünün ve her m uzunluklu metin penceresinin hash (özet) değerini karşılaştırır.
Kayan hash (rolling hash): pencere bir sağa kayınca yeni hash, eskisinden O(1)'de hesaplanır.
Hash eşitliği eşleşmeyi garanti etmez: sahte eşleşme (spurious hit) olabilir → karakter bazında doğrulama gerekir.

Karmaşıklık

En iyi: hash'ler nadiren çakışır → O(n + m)

Ortalama: pratikte O(n + m)

En kötü: her pencerede çakışma (sahte eşleşme), sürekli karakter kontrolü → O(n · m)

Rabin-Karp

Rabin-Karp: İşleyiş ve Kayan Hash

Hash: örüntünün ve metnin ilk penceresinin hash değerleri hesaplanır.
Eşleşme kontrolü: hash değerleri eşleşen alt dizgiler aday kabul edilir.
Doğrulama: aday pencere karakter bazında örüntüyle karşılaştırılır.
Kaydırma ve yeniden hesaplama: eşleşme yoksa pencere bir sağa kaydırılır, hash güncellenir.
Tekrarlama: tüm metin boyunca adımlar tekrarlanır.

Polinom hash (taban B, asal mod Q):
h(t[s..s+m−1]) = (t[s]·B^m−1 + t[s+1]·B^m−2 + … + t[s+m−1]) mod Q
Kaydırma: h_s+1 = (B · (h_s − t[s] · B^m−1) + t[s+m]) mod Q — çıkan karakter düşülür, kalanlar bir basamak sola kayar, giren karakter eklenir.

Rabin-Karp

Basit Örnek: Toplam Hash ve Sahte Eşleşme

Oyuncak hash: harf değerlerinin toplamı. "VUATS" metninde "TS" aranıyor.

Pencere "VU": 5 + 1 = 6 ≠ 5 → hash farklı, karakter karşılaştırması yapılmaz.

Pencere "UA": 1 + 4 = 5 = 5 → hash eşit ama "UA" ≠ "TS": sahte eşleşme (spurious hit); doğrulama boşa gider.

Pencere "AT": 4 + 2 = 6 ≠ 5 → geç. Yeni hash = eski − çıkan (U=1) + giren (T=2): O(1).

Pencere "TS": 2 + 3 = 5 → hash eşit, karakter karşılaştırması da tutar: eşleşme (s = 3).

Toplam hash zayıftır (harflerin sırasına duyarsız: "ST" de 5 verir). Bu yüzden konum ağırlıklı polinom hash ve büyük asal Q kullanılır.

Rabin-Karp · Kodu adım adım çalıştır

rabinKarp("abracadabra", "cad")

n = 11, m = 3, B = 256, Q = 101. h = 256² mod 101 = 88 (çıkan karakterin ağırlığı).

ph = (99·256² + 97·256 + 100) mod 101 = 11; ilk pencere "abr" için th = 4.

Pencere "abr": th = 4 ≠ 11 → karakterlere bakılmaz. Kaydır: 'a' çıkar, 'a' girer → yeni th = 30.

Pencere "bra": th = 30 ≠ 11 → karakterlere bakılmaz. Kaydır: 'b' çıkar, 'c' girer → yeni th = 17.

Pencere "rac": th = 17 ≠ 11 → karakterlere bakılmaz. Kaydır: 'r' çıkar, 'a' girer → yeni th = 41.

Pencere "aca": th = 41 ≠ 11 → karakterlere bakılmaz. Kaydır: 'a' çıkar, 'd' girer → yeni th = 11.

th = 11 = ph → esit ile karakter karşılaştırması: "cad" = "cad" → s = 4 döndürülür.

int rabinKarp(String t, String p) {
  int n = t.length(), m = p.length();
  int B = 256, Q = 101, h = 1;
  for (int i = 0; i < m - 1; i++)
    h = (h * B) % Q;  // B^(m-1) mod Q
  int ph = 0, th = 0;
  for (int i = 0; i < m; i++) {
    ph = (B * ph + p.charAt(i)) % Q;
    th = (B * th + t.charAt(i)) % Q;
  }
  for (int s = 0; s <= n - m; s++) {
    if (ph == th && esit(t, p, s))
      return s;
    if (s < n - m) {
      th = (B * (th - t.charAt(s) * h)
            + t.charAt(s + m)) % Q;
      if (th < 0) th += Q;
    }
  }
  return -1;
}

Rabin-Karp

Kayan Pencere ve Analiz

n − m + 1 = 7 pencere; her biri bir öncekinden O(1)'de.

Hash hesapları: O(m) + (n − m) · O(1).
Q büyük bir asal seçilirse sahte eşleşme olasılığı ≈ 1/Q → beklenen süre O(n + m).
Kötü Q veya kötü niyetli girdi: her pencere aday → O(n · m).
Güçlü yanı: aynı uzunlukta çok sayıda örüntü tek geçişte aranabilir (hash'ler bir kümeye konur): intihal tespiti, belge benzerliği.
Ayrıca 2B örüntü (görüntü içinde blok) aramaya genellenebilir.

Eşleştirme Özeti

Dizgi Eşleştirme Algoritmalarının Karşılaştırması

Algoritma	Temel fikir	Ön işleme	Ortalama	En kötü	Ek bellek
Kaba kuvvet	Her konumu dener	yok	O(n)*	O(n · m)	O(1)
KMP	LPS tablosu, metinde geri gitmez	O(m)	O(n + m)	O(n + m)	O(m)
Boyer-Moore	Sağdan sola, kötü karakter + iyi sonek	O(m + σ)	alt-doğrusal	O(n · m)**	O(m + σ)
Rabin-Karp	Kayan hash karşılaştırması	O(m)	O(n + m)	O(n · m)	O(1)

* rastgele metin ve geniş alfabe için; düzenli (tekrarlı) metinde O(n · m)'ye yaklaşır. ** yalnız kötü karakter kuralıyla; iyi sonek + Galil kuralıyla O(n + m). σ: alfabe boyutu.

Garanti gerekiyorsaKMP: akış verisi, en kötü durum sınırı önemli.

Uzun örüntü, doğal dilBoyer-Moore / Horspool: pratikte en hızlısı.

Çok sayıda örüntüRabin-Karp: tek geçişte birçok örüntü.

Sıkıştırma

Dizgi Sıkıştırma Algoritmaları

Amaç: metni (veya veriyi) daha az bitle saklamak/iletmek.
Kayıpsız (lossless) sıkıştırma: açıldığında orijinal veri aynen elde edilir. RLE ve LZW kayıpsızdır (metin, program, PNG/GIF).
Kayıplı (lossy) sıkıştırma: algıda önemsiz ayrıntılar atılır (JPEG, MP3); metin için uygun değildir.
Sıkıştırma oranı = sıkıştırılmış boyut / orijinal boyut (küçük olması iyi).

RLEAynı değerlerin ardışık tekrarları tek değer + sayı olarak saklanır.

LZWTekrar eden örüntüler, dinamik büyüyen bir sözlükteki kısa kodlarla temsil edilir.

RLE

Çalışma Uzunluğu Kodlaması (RLE)

Run Length Encoding: ardışık tekrar eden karakterleri (koşu, run) sayı + karakter çiftiyle değiştirir.
Adımlar: metin soldan sağa taranır → ardışık tekrarlar sayılır → sayı ve karakter birleştirilir → sıkıştırılmış metin olarak saklanır.
Metin tek bir kez tarandığı için zaman O(n).
Basit ve etkili; ancak tekrar az ise etkisiz, hatta zararlıdır: "ABCD" → "1A1B1C1D" (iki kat!).
Kullanım: faks (siyah-beyaz satırlar), BMP/PCX/TIFF, basit simgeler.

Örnek

Metin: AAAAABBBCCCCDDD (15 karakter)

Sıkıştırılmış: 5A3B4C3D (8 karakter)

Oran: 8/15 ≈ 0,53

RLE · Kodu adım adım çalıştır

rleSikistir("AAAAABBBCCCCDDD")

n = 15, sonuc boş.

Yeni koşu: c = 'A', sayac = 1 (i = 0).

while döngüsü 4 kez döndü: sayac = 5, i = 4. sonuc'a "5A" eklenir.

Yeni koşu: c = 'B', sayac = 1 (i = 5).

while döngüsü 2 kez döndü: sayac = 3, i = 7. sonuc'a "3B" eklenir.

Yeni koşu: c = 'C', sayac = 1 (i = 8).

while döngüsü 3 kez döndü: sayac = 4, i = 11. sonuc'a "4C" eklenir.

Yeni koşu: c = 'D', sayac = 1 (i = 12).

while döngüsü 2 kez döndü: sayac = 3, i = 14. sonuc'a "3D" eklenir.

Sonuç: "5A3B4C3D" — 15 karakter yerine 8.

String rleSikistir(String s) {
  StringBuilder sonuc = new StringBuilder();
  int n = s.length();
  for (int i = 0; i < n; i++) {
    char c = s.charAt(i);
    int sayac = 1;
    while (i + 1 < n &&
      s.charAt(i + 1) == c) {
      sayac++;
      i++;
    }
    sonuc.append(sayac).append(c);
  }
  return sonuc.toString();
}

RLE

RLE'nin Bayt Düzeyinde Kodlanması

Metin: aaaaaaaaaabbbbbbececececececdddddddddddddddecb (46 bayt)

Sayı–karakter çiftleri	`(10, a)(6, b)(1, e)(1, c)(1, e)(1, c)(1, e)(1, c)(1, e)(1, c)(1, e)(1, c)(1, e)(1, c)(15, d)(1, e)(1, c)(1, b)`
Bayraksız RLE (her koşu 2 bayt)	`10 97 06 98 01 101 01 99 01 101 01 99 01 101 01 99 01 101 01 99 01 101 01 99 01 101 01 99 15 100 01 101 01 99 01 98` → 36 bayt
Bayraklı RLE (bayrak = 255)	`255 10 97 255 06 98 101 99 101 99 101 99 101 99 101 99 101 99 255 15 100 101 99 98` → 24 bayt

Bayraksız RLE'de "ececec…" gibi tekrarsız bölgeler her karakteri 2 bayta çıkarır. Bayraklı RLE yalnızca uzun koşuları 255 sayı karakter üçlüsüyle yazar, diğer karakterleri olduğu gibi bırakır (255 değerinin kendisi de kaçış ile yazılmalıdır).

RLE

İkili (Siyah-Beyaz) Görüntüde RLE

Her satır soldan sağa taranır: W = beyaz, B = siyah, ardından koşu uzunluğu.
42 piksel → 18 koşu (her satır ayrı kodlanır). Yalnızca iki renk olduğu için renk adı bile yazılmayabilir: koşular dönüşümlü olarak beyaz/siyah kabul edilir (faks standardı bu fikri kullanır).
Büyük düz alanlı görüntülerde (çizim, metin taraması) çok etkilidir; fotoğraflarda etkisizdir.

RLE

Piksel Düzeyinde RLE (RGB)

Mavi (0, 0, 255), siyah (0, 0, 0), sarı (255, 255, 0). Ham: 64 × 3 = 192 bayt. RLE: 33 koşu × (1 sayı + 3 renk) = 132 bayt.

Sayı	R G B	Sayı	R G B	Sayı	R G B
2	0 0 255	4	0 0 0	3	0 0 255
1	0 0 0	4	255 255 0	1	0 0 0
1	0 0 255	1	0 0 0	1	255 255 0
1	0 0 0	2	255 255 0	1	0 0 0
1	255 255 0	2	0 0 0	6	255 255 0
2	0 0 0	1	255 255 0	1	0 0 0
2	255 255 0	1	0 0 0	1	255 255 0
2	0 0 0	2	255 255 0	2	0 0 0
2	255 255 0	1	0 0 0	1	0 0 255
1	0 0 0	4	255 255 0	1	0 0 0
3	0 0 255	4	0 0 0	2	0 0 255

Tablo satır satır (soldan sağa, sonra alt satır) okunur; satır sonunda aynı renk devam ediyorsa koşu bir sonraki satıra taşar (ör. 3 mavi).

LZW

Lempel-Ziv-Welch (LZW) Sıkıştırma

Sözlük tabanlı kayıpsız sıkıştırma: Lempel ve Ziv'in LZ78 yöntemini (1978) Terry Welch geliştirmiştir (1984).
Tekrar eden dizgileri tanımlar ve onları sözlükteki kısa kodlarla (indis) temsil eder.
Sözlük dinamiktir: sıkıştırırken büyür; gönderilmez, açıcı aynı sözlüğü kendisi yeniden kurar.
GIF, TIFF, PDF ve Unix compress gibi biçimlerde kullanılır.
Sözlük büyüdükçe kod genişliği (bit) ve bellek artar, performans düşer: pratikte sözlük sınırlanır (GIF: 4096 kod = 12 bit) ve dolunca sıfırlanır.

Örnek

Metin: ABABCABABCA

Başlangıç sözlüğü: A = 0, B = 1, C = 2

Sıkıştırılmış: 0 1 3 2 3 5 0

11 sembol yerine 7 kod.

LZW · Kodu adım adım çalıştır

lzw("ABABCABABCA")

Sözlük metindeki karakterlerle başlar: A = 0, B = 1, C = 2. w = "".

"A" sözlükte (0) → w = "A"; daha uzun bir eşleşme aranır.

"AB" sözlükte yok → w = "A" kodu 0 çıktıya; "AB" = 3 sözlüğe eklenir; w = "B".

"BA" sözlükte yok → w = "B" kodu 1 çıktıya; "BA" = 4 sözlüğe eklenir; w = "A".

"AB" sözlükte (3) → w = "AB"; daha uzun bir eşleşme aranır.

"ABC" sözlükte yok → w = "AB" kodu 3 çıktıya; "ABC" = 5 sözlüğe eklenir; w = "C".

"CA" sözlükte yok → w = "C" kodu 2 çıktıya; "CA" = 6 sözlüğe eklenir; w = "A".

"AB" sözlükte (3) → w = "AB"; daha uzun bir eşleşme aranır.

"ABA" sözlükte yok → w = "AB" kodu 3 çıktıya; "ABA" = 7 sözlüğe eklenir; w = "A".

"AB" sözlükte (3) → w = "AB"; daha uzun bir eşleşme aranır.

"ABC" sözlükte (5) → w = "ABC"; daha uzun bir eşleşme aranır.

"ABCA" sözlükte yok → w = "ABC" kodu 5 çıktıya; "ABCA" = 8 sözlüğe eklenir; w = "A".

Döngü bitti: kalan w = "A" kodu 0 eklenir. Çıktı: 0 1 3 2 3 5 0.

List<Integer> lzw(String s) {
  Map<String, Integer> sozluk =
      ilkSozluk(s);  // A=0, B=1, C=2
  String w = "";
  List<Integer> kod = new ArrayList<>();
  for (char c : s.toCharArray()) {
    String wc = w + c;
    if (sozluk.containsKey(wc)) {
      w = wc;
    } else {
      kod.add(sozluk.get(w));
      sozluk.put(wc, sozluk.size());
      w = "" + c;
    }
  }
  if (!w.isEmpty())
    kod.add(sozluk.get(w));
  return kod;
}

LZW

LZW Açma (Decompression)

Açıcı yalnızca başlangıç sözlüğünü bilir; sözlüğü sıkıştırıcıyla aynı sırada kendisi kurar.
Her yeni kod k için: e = sözlük[k] yazılır; sözlüğe w + e[0] eklenir; w = e.
Açıcı sözlükte bir adım geride kalır. k henüz tanımlı değilse (k = sonraki kod), e = w + w[0] olmak zorundadır (cScSc durumu).
Çıktı: A·B·AB·C·AB·ABC·A = ABABCABABCA ✓

Kod	Çıktı	Eklenen
0	`A`	—
1	`B`	3 = AB
3	`AB`	4 = BA
2	`C`	5 = ABC
3	`AB`	6 = CA
5	`ABC`	7 = ABA
0	`A`	8 = ABCA

LZW

LZW Örneği: DNA Dizisi

Metin: ATGATCATGAG (11 sembol)

Başlangıç: A = 0, T = 1, G = 2, C = 3

Çıktı: 0 1 2 4 3 4 6 2 (8 kod)

Her satır: sözlüğe eklenen yeni dizgi ve o anda çıktıya yazılan kod.
"AT" ikinci kez görüldüğünde tek kodla (4) yazılır; "GA" (6) da öyle.
Son w = "G" döngüden sonra çıktıya eklenir (2).

Kod	Sözlüğe eklenen	Çıktı
4	`AT`	0
5	`TG`	1
6	`GA`	2
7	`ATC`	4
8	`CA`	3
9	`ATG`	4
10	`GAG`	6
—	(son w = G)	2

LZW

ASCII Sözlüklü LZW ve Özel Durum

Pratikte başlangıç sözlüğü 256 ASCII karakteridir (a = 97, b = 98, c = 99); yeni dizgiler 256'dan itibaren numaralanır.
Metin: aabaacababacb (13 karakter) → 9 kod: 97 97 98 256 99 257 261 99 98.
"aba" = 261, "ab" (257) yazılırken eklenir ve hemen bir sonraki kodda kullanılır.
Açıcı 261'i okuduğunda sözlüğünde henüz 260'a kadar kod vardır → özel durum: e = w + w[0] = "ab" + "a" = "aba".

Çıktı	Sözlüğe eklenen
97	256 = `aa`
97	257 = `ab`
98	258 = `ba`
256	259 = `aac`
99	260 = `ca`
257	261 = `aba`
261	262 = `abac`
99	263 = `cb`
98	(son w = b)

LZW · Kodu adım adım çalıştır

lzwAc([97 97 98 256 99 257 261 99 98])

Açıcı yalnızca 256 ASCII karakterini bilir. İlk kod 97 her zaman tek karakterdir: w = "a", çıktı "a". Sözlükte henüz 256 ve sonrası yok.

k = 97 (ASCII) → e = "a" yazılır; sözlüğe w + e[0] = "a" + "a" = 256 = "aa" eklenir.

k = 98 (ASCII) → e = "b" yazılır; sözlüğe w + e[0] = "a" + "b" = 257 = "ab" eklenir.

k = 256 (sözlükte 256 = "aa") → e = "aa" yazılır; sözlüğe w + e[0] = "b" + "a" = 258 = "ba" eklenir.

k = 99 (ASCII) → e = "c" yazılır; sözlüğe w + e[0] = "aa" + "c" = 259 = "aac" eklenir.

k = 257 (sözlükte 257 = "ab") → e = "ab" yazılır; sözlüğe w + e[0] = "c" + "a" = 260 = "ca" eklenir.

k = 261 ama sözlükte en büyük kod 260: özel durum. e = w + w[0] = "ab" + "a" = "aba"; sözlüğe de 261 = "aba" eklenir. Sıkıştırıcı bu kodu, eklediği anda kullanmıştı.

k = 99 (ASCII) → e = "c" yazılır; sözlüğe w + e[0] = "aba" + "c" = 262 = "abac" eklenir.

k = 98 (ASCII) → e = "b" yazılır; sözlüğe w + e[0] = "c" + "b" = 263 = "cb" eklenir.

9 kod, 13 karakterlik aabaacababacb metnine geri döndü; açıcının kurduğu 256–263 sözlüğü sıkıştırıcınınkiyle aynıdır.

String lzwAc(List<Integer> kod) {
  List<String> sozluk =
      ilkSozluk();      // 0..255: ASCII
  String w = sozluk.get(kod.get(0));
  StringBuilder s = new StringBuilder(w);
  for (int i = 1; i < kod.size(); i++) {
    int k = kod.get(i);
    String e = k < sozluk.size()
        ? sozluk.get(k)
        : w + w.charAt(0); // özel durum
    s.append(e);
    sozluk.add(w + e.charAt(0));
    w = e;
  }
  return s.toString();
}

LZW

LZ78: LZW'nin Atası

LZ78 sözlüğü boş başlar; çıktı (indis, karakter) çiftleridir: sözlükteki en uzun eşleşmenin indisi (yoksa 0) + onu izleyen karakter.
Metin: aabaacabcabcb → (0,a) (1,b) (1,a) (0,c) (2,c) (5,b).
Welch'in değişikliği (LZW): sözlüğü tüm tek karakterlerle başlatmak → çıktı yalnızca kodlardan oluşur, karakter yazmaya gerek kalmaz.
LZ77 (kayan pencere) ailesi ise gzip/ZIP (DEFLATE) ve PNG'nin temelidir.

Çıktı	Sözlük
(0, a)	1 = `a`
(1, b)	2 = `ab`
(1, a)	3 = `aa`
(0, c)	4 = `c`
(2, c)	5 = `abc`
(5, b)	6 = `abcb`

LZW · Kodu adım adım çalıştır

lz78("aabaacabcabcb")

LZ78 sözlüğü boş başlar (LZW'den farkı budur). w, sözlükte bulunan en uzun ön parçayı tutar; şimdilik boş.

w boş ve 'a' sözlükte yok → (0, a) (0 = boş önek); sözlüğe 1 = "a" eklenir.

w + c = "a" sözlükte var → w = "a" olur; çıktı yazılmaz, bir sonraki karakterle daha uzun bir parça aranır.

"ab" sözlükte yok → w = "a" (indis 1) ve c = 'b' yazılır: (1, b); sözlüğe 2 = "ab" eklenir, w sıfırlanır.

w + c = "a" sözlükte var → w = "a" olur; çıktı yazılmaz, bir sonraki karakterle daha uzun bir parça aranır.

"aa" sözlükte yok → w = "a" (indis 1) ve c = 'a' yazılır: (1, a); sözlüğe 3 = "aa" eklenir, w sıfırlanır.

w boş ve 'c' sözlükte yok → (0, c) (0 = boş önek); sözlüğe 4 = "c" eklenir.

w + c = "a" sözlükte var → w = "a" olur; çıktı yazılmaz, bir sonraki karakterle daha uzun bir parça aranır.

w + c = "ab" sözlükte var → w = "ab" olur; çıktı yazılmaz, bir sonraki karakterle daha uzun bir parça aranır.

"abc" sözlükte yok → w = "ab" (indis 2) ve c = 'c' yazılır: (2, c); sözlüğe 5 = "abc" eklenir, w sıfırlanır.

w + c = "a" sözlükte var → w = "a" olur; çıktı yazılmaz, bir sonraki karakterle daha uzun bir parça aranır.

w + c = "ab" sözlükte var → w = "ab" olur; çıktı yazılmaz, bir sonraki karakterle daha uzun bir parça aranır.

w + c = "abc" sözlükte var → w = "abc" olur; çıktı yazılmaz, bir sonraki karakterle daha uzun bir parça aranır.

"abcb" sözlükte yok → w = "abc" (indis 5) ve c = 'b' yazılır: (5, b); sözlüğe 6 = "abcb" eklenir, w sıfırlanır. Metin bitti: 6 çift.

List<String> lz78(String s) {
  Map<String, Integer> sozluk =
      new HashMap<>();
  List<String> cikti = new ArrayList<>();
  String w = "";
  for (char c : s.toCharArray()) {
    if (sozluk.containsKey(w + c)) {
      w = w + c;               // uzat
    } else {
      int k = w.isEmpty() ? 0
                          : sozluk.get(w);
      cikti.add("(" + k + ", " + c + ")");
      sozluk.put(w + c, sozluk.size() + 1);
      w = "";
    }
  }
  if (!w.isEmpty())        // son parça
    cikti.add("(" + sozluk.get(w) + ")");
  return cikti;
}

LZW

RLE ve LZW Karşılaştırması

	RLE	LZW
Yakaladığı fazlalık	aynı sembolün ardışık tekrarı	tekrar eden dizgiler (ardışık olmasa da)
Ek yapı	yok	sözlük (hash tablosu / trie)
Zaman	O(n)	O(n) (sözlük erişimi O(1) ortalama)
En kötü durum	tekrar yoksa çıktı 2 katına çıkar	kısa/rastgele veride kazanç az, kod genişliği büyür
Kullanım	faks, BMP/PCX, basit grafikler	GIF, TIFF, PDF, Unix `compress`

Her ikisi de kayıpsızdır: sıkıştırılmış veri açıldığında orijinal veri aynen elde edilir. Hiçbir kayıpsız yöntem her girdiyi küçültemez (güvercin yuvası ilkesi).

Özet

Konu	Hatırlanacaklar
Kaba kuvvet	her kaymayı soldan sağa dene; ön işleme yok — en kötü O(n · m)
KMP	lps[q] = en uzun uygun önek = sonek; uyuşmazlıkta q = lps[q − 1], i geri gitmez — O(n + m)
Boyer-Moore	sağdan sola; s += max(1, j − son[c]) ve iyi sonek; en iyi O(n/m), pratikte en hızlı
Rabin-Karp	polinom kayan hash, O(1) güncelleme; hash eşitse doğrula; beklenen O(n + m)
RLE	koşu → (sayı, sembol); O(n); tekrar yoksa büyütür; bayrak baytı ile iyileştirilir
LZW	w + c sözlükte varsa uzat, yoksa kod(w) yaz ve w + c'yi ekle; açıcı sözlüğü kendisi kurar (özel durum: w + w[0])

Özet

Etkileşimli Simülatörler

Dizgi EşleştirmeHerhangi bir metin ve örüntü için Naive, KMP, Boyer-Moore (kötü karakter tablosu) ve Rabin-Karp (taban 256, mod 101 hash) adım adım ya da otomatik oynatmayla; bulunan eşleşmeler işaretlenir.

Dizgi SıkıştırmaRLE ve LZW bir girdi üzerinde adım adım: LZW sözlük tablosunun büyümesi, sıkıştırılmış çıktı ve sıkıştırma oranı.

Önek Fonksiyonu ve Z AlgoritmasıBir dizgi için KMP önek (π, LPS) dizisi ve Z dizisi yan yana.

Özet

Sık Yapılan Hatalar

Döngü sınırıKaba kuvvette i < n − m yazmak son kaymayı (s = n − m) atlar; doğrusu i <= n − m.

LPS'yi yanlış tanımlamakÖrüntünün kendisi sayılmaz: lps("aaaa") = [0, 1, 2, 3], [1, 2, 3, 4] değil. KMP'de uyuşmazlıkta lps[q − 1] kullanılır, lps[q] değil.

Negatif kaydırmaBoyer-Moore'da j − son[c] negatif olabilir (c, j'nin sağında). max(1, …) unutulursa örüntü geri gider ya da sonsuz döngü olur.

Hash eşitliğine güvenmekRabin-Karp'ta hash eşitliği eşleşme demek değildir: doğrulama yapılmalı. Java'da % negatif sonuç verebilir: if (th < 0) th += Q.

RLE'de çok basamaklı sayılar"12A" çözülürken sayıyı tek rakam okumak hatalıdır (1 tane '2'?). Sayı sınırlanmalı ya da bayt olarak yazılmalı.

LZW'de son w ve özel durumDöngüden sonra kalan w'nin kodunu yazmayı unutmak; açarken henüz tanımlanmamış kodu (w + w[0]) ele almamak.

Özet

Örnek Problemler

"aabaaab" örüntüsünün LPS tablosunu bulun.
T = "aaaaaaaa" (n = 8), P = "aab" için kaba kuvvet kaç karşılaştırma yapar?
Boyer-Moore (yalnız kötü karakter): T = "GCAATGCCTATGTGACC", P = "TATGTG". İlk kaydırma kaç olur?
Taban 10, Q = 13, karakterler rakam: T = "31415", m = 3. h("314") verildiğinde h("141")'i kaydırma formülüyle bulun.
"WWWWBBBWWWWWWB" dizgisini RLE ile kodlayın; oranı hesaplayın.
A = 0, B = 1 sözlüğüyle "ABABABA" dizgisini LZW ile sıkıştırın.

Cevapları göster

[0, 1, 0, 1, 2, 2, 3]
6 hiza × 3 = 18 (her hizada "aa" eşleşir, 'b' uyuşmaz); eşleşme yok.
s = 0: p[5] = t[5] = 'G' ve p[4] = t[4] = 'T' eşleşir; p[3] = 'G' ≠ t[3] = 'A' → son['A'] = 1 → 3 − 1 = 2.
h("314") = 314 mod 13 = 2; h' = (10 · (2 − 3 · 9) + 1) mod 13 = (−249) mod 13 = 11 = 141 mod 13 ✓ (10² mod 13 = 9).
4W3B6W1B → 8 karakter / 14 ≈ 0,57.
AB = 2, BA = 3, ABA = 4 eklenir; çıktı 0 1 2 4 (açarken 4 özel durumdur: "AB" + "A").

Özet

Alıştırmalar

KMP aramasını, tüm geçişleri bir listede döndürecek şekilde değiştirin.
"abcbcabbabcabc" örüntüsünün son görülme tablosunu ve "abccbaabccbaabcbcabbabcabc" metnindeki ilk kaydırmayı bulun.
Rabin-Karp ile aynı uzunlukta k örüntüyü tek geçişte arayan bir yöntem tasarlayın.
rleAc(String s): çok basamaklı sayıları da doğru çözen RLE açıcıyı yazın.
0 1 3 2 3 5 0 kodlarını (A = 0, B = 1, C = 2) LZW ile açın.
Kaba kuvvetin en kötü durumunu üreten bir T, P çifti (n = 12, m = 4) verin; karşılaştırma sayısını yazın.

Cevaplar / ipuçları

q == m olduğunda liste.add(i − m + 1); q = lps[q − 1]; ile devam edin.
a: 11, b: 12, c: 13. s = 0: p[13] = 'c' ≠ t[13] = 'b' → 13 − 12 = 1.
Örüntü hash'lerini bir HashSet'e koyun; her pencere hash'ini kümede arayın, bulunursa doğrulayın: beklenen O(n + k · m).
Rakamları Character.isDigit ile biriktirip sayi = sayi · 10 + rakam; harf gelince sayi kadar yazın.
A, B, AB, C, AB, ABC, A → ABABCABABCA.
T = "aaaaaaaaaaaa", P = "aaab": 9 hiza × 4 = 36 karşılaştırma.

Özet

Kaynaklar

Cormen, Leiserson, Rivest ve Stein, Introduction to Algorithms, 4. baskı, 2022 (Bölüm 32: String Matching).
Sedgewick ve Wayne, Algorithms, 4. baskı, 2011 (Bölüm 5.3 Substring Search, 5.5 Data Compression).
Goodrich, Tamassia ve Goldwasser, Data Structures and Algorithms in Java, 6. baskı, 2014 (Bölüm 13).
D. E. Knuth, J. H. Morris, V. R. Pratt, "Fast Pattern Matching in Strings", SIAM J. Computing 6(2), 1977.
R. S. Boyer, J S. Moore, "A Fast String Searching Algorithm", Communications of the ACM 20(10), 1977.
R. M. Karp, M. O. Rabin, "Efficient Randomized Pattern-Matching Algorithms", IBM J. Res. Dev. 31(2), 1987.
T. A. Welch, "A Technique for High-Performance Data Compression", IEEE Computer 17(6), 1984.

Son

Bölüm 5.1: Dizgi Eşleştirme ve Sıkıştırma

Sonraki bölüm: Bölüm 5.2: İleri Dizgi Algoritmaları · Terim sözlüğü