Maliyet probleminde Anarşinin Bedeli (PoA) hangi oranla tanımlanır?

PoA = max_s∈NE C(s) / C(OPT): en kötü dengeye bakan kötümser garantidir. En iyi dengeyi kullanan oran İstikrarın Bedeli'dir (PoS).

Bir oyunun tek bir Nash dengesi varsa hangisi kesinlikle doğrudur?

Tek denge hem en iyi hem en kötü dengedir; iki oran aynı sayıdır. Genelde 1 ≤ PoS ≤ PoA.

Bir oyunda PoA = 1 bulunması ne anlama gelir?

PoA en kötü dengenin optimuma oranıdır; 1 ise hangi dengeye gidilirse gidilsin kayıp yoktur (ör. yeni yol öncesi Braess ağı).

Pigou ağında (üst yol ℓ(x) = x, alt yol ℓ = 1, 1 birim trafik) optimum toplam maliyet kaçtır?

C(x) = x² − x + 1, C′(x) = 2x − 1 = 0 → x = 1/2; C(1/2) = 1/4 + 1/2 = 3/4. 1 denge maliyeti, 4/3 ise PoA'dır.

Pigou ağında dengede neden bütün trafik üst yolu kullanır?

Sürücü yalnız kendi gecikmesine (özel maliyet) bakar: üstte x ≤ 1, altta 1. Kimse alta geçerek kazanmaz, bu yüzden x = 1 dengedir.

Üst yolda x payı varken üst yolun toplam maliyete katkısı x·x'tir. Üst yolun marjinal maliyeti nedir?

(x·x)′ = 2x. Fark x·ℓ′(x) = x, bir sürücünün diğerlerine yüklediği dışsallıktır; optimumda 2x = 1 → x = 1/2.

Pigou ağında üst yolun gecikmesi x² olsun (alt yol 1). PoA yaklaşık kaçtır?

Denge yine 1. C(x) = x³ + 1 − x, x* = 1/√3 ≈ 0,577, C* ≈ 0,615 → PoA ≈ 1/0,615 ≈ 1,626. Gecikme dikleştikçe PoA büyür.

Doğrusal gecikmeli bölünebilir trafikte PoA ≤ 4/3 sınırı için hangisi doğrudur?

Roughgarden–Tardos (2002): doğrusal gecikmede her ağda C(denge) ≤ 4/3·C(optimum). Dik gecikmede PoA sınırsız büyür; atomik oyunlarda sınır 5/2'dir.

Bir maliyet oyunu (1, ½)-pürüzsüz ise PoA için hangi sınır elde edilir?

Pürüzsüzlük sınırı λ/(1 − μ) = 1/(1 − ½) = 2. Pigou tipi (1, ¼) ise 1/(3/4) = 4/3 verir.

Braess ağında (4.000 araç) PoA neden 80/65 değil de 320.000/258.750 ≈ 1,237 olarak hesaplanır?

80/65 iki farklı ağı kıyaslar (Braess kaybı). Yeni ağda planlayıcı 500 aracı zikzağa göndererek 258.750'ye iner; PoA = 320.000 / 258.750.

Atomik (bölünemez oyunculu) doğrusal tıkanıklık oyunlarında sıkı PoA sınırı kaçtır?

(5/3, 1/3)-pürüzsüzlükten (5/3)/(2/3) = 5/2 çıkar. Tek oyuncunun kenara kendi eklediği gecikme (z + 1'deki +1) kaybı 4/3'ün üstüne taşır.

Yük dengeleme oyununda sosyal maliyet olarak ne kullanılır?

Her iş kendi makinesinin yükünü azaltmak ister; sistem için ölçüt en büyük yüktür. Toplam yük atamadan bağımsız olduğu için ölçüt olamaz.

İşler {3, 3, 2, 2}, 2 özdeş makine. {3, 3} | {2, 2} ataması için hangisi doğrudur?

Yükler 6 ve 4. 3'lük iş geçerse 4 + 3 = 7 > 6, 2'lik iş geçerse 6 + 2 = 8 > 4: kimse kazanmaz. Optimum {3, 2} | {3, 2} ile 5.

m özdeş makinede saf dengeler için PoA kaçtır?

Saf dengede PoA = 2 − 2/(m + 1) < 2; m = 2 için 4/3 ({2, 2, 1, 1} örneği sıkı). Karışık dengede m ile yavaşça büyür.

İşler {3, 2, 2, 1}, 2 özdeş makine. PoA ve PoS kaçtır?

Optimum 4 ({3, 1} | {2, 2}) ve bir denge. {3, 2} | {2, 1} (yükler 5 ve 3) de denge: 2'lik iş geçerse 3 + 2 = 5, kazanmaz. PoA = 5/4, PoS = 1.

4 oyuncu s'den t'ye bağlantı kiralar: A 3 TL, B 8 TL, bedel kullananlarca eşit bölünür. PoA kaçtır?

Hepsi A (kişi başı 0,75) ve hepsi B (kişi başı 2; A'ya tek geçen 3 öder) dengedir. Optimum 3 → PoA = 8/3, PoS = 1.

Adil maliyet paylaşımlı ağ tasarımı oyunlarında n oyuncu için PoS'un üst sınırı nedir?

Rosenthal potansiyelinde C(s) ≤ Φ(s) ≤ H_n·C(s) olduğundan PoS ≤ H_n ≈ ln n. n ise PoA'nın alabileceği değerdir.

H_n örneği n = 3 için kurulursa (ortak yol 1 + ε; kendi yollar 1, 1/2, 1/3) ε → 0 iken PoS kaça yaklaşır?

Tek denge herkesin kendi yolunda olmasıdır: 1 + 1/2 + 1/3 = 11/6. Optimum 1 + ε → PoS → 11/6 = H₃. 25/12, n = 4 içindir.

Pigou ağında marjinal maliyet ücreti üst yola ne kadar ücret koyar?

Ücret dışsallığa eşittir: τ = x·ℓ′(x) = x. Yeni denge 2x = 1 → x = 1/2, yani optimum. Toplanan 1/4 ücret bir transferdir.

Üst yolu 2x, alt yolu 1 olan Pigou ağında optimumu denge yapan sabit ücret τ kaçtır?

Optimum: C = 2x² + 1 − x → x = 1/4. Denge koşulu 2·(1/4) + τ = 1 → τ = 1/2. Bu ağda PoA = 1/(7/8) = 8/7.