Bölüm 9: Anarşinin Bedeli
Çoktan Seçmeli · PoA ve PoS
Soru 1
Maliyet probleminde Anarşinin Bedeli (PoA) hangi oranla tanımlanır?
B doğru. Anarşinin Bedeli en kötü Nash dengesinin maliyetini sosyal optimumun maliyetine böler: PoA = maxs∈NE C(s) / C(OPT). Paydada optimum olduğu için oran her zaman ≥ 1'dir ve büyüdükçe bencilliğin faturası büyür. A en iyi dengeyi kullanır; o oran İstikrarın Bedeli'dir (PoS). C oranı ters çevirir, D ise oran değil farktır.
Çoktan Seçmeli · PoA ve PoS
Soru 2
Bir oyunun tek bir Nash dengesi varsa hangisi kesinlikle doğrudur?
D doğru. PoA en kötü dengeye, PoS en iyi dengeye bakar; tek denge varsa en iyi ve en kötü denge aynı profildir, dolayısıyla iki oranın payı aynıdır ve PoA = PoS. Genelde 1 ≤ PoS ≤ PoA olduğundan A (PoA > PoS) tek dengede imkânsızdır. B yanlıştır, çünkü tek denge kötü olabilir: Pigou ağında tek denge 1, optimum 3/4, yani PoA = PoS = 4/3. C de yanlış: denge varsa oran tanımlıdır.
Çoktan Seçmeli · Pigou Ağı
Soru 3
Pigou ağında dengede neden bütün trafik üst yolu kullanır?
C doğru. Her sürücü yalnız kendi gecikmesine bakar: üst yolda x ≤ 1 dk, alt yolda her zaman 1 dk. Üst yol hiçbir zaman daha yavaş olmadığı için alttakiler üste geçer; sonuçta x = 1 olur, herkes 1 dk bekler ve kimse alta geçerek kazanamaz. D bunun tersidir: marjinal maliyete bakan bir planlayıcı trafiği yarıya böler. A yanlış, çünkü optimum x = 1/2'dir; B'deki gibi bir kapasite sınırı da modelde yoktur.
Çoktan Seçmeli · Doğrusal Gecikme
Soru 4
Pigou ağında üst yolun gecikmesi x² olsun (alt yol 1). PoA yaklaşık kaçtır?
D doğru. Denge değişmez: x² ≤ 1 olduğundan herkes üsttedir, maliyet 1. Optimum için C(x) = x·x² + (1 − x) = x³ − x + 1, C′(x) = 3x² − 1 = 0 → x* = 1/√3 ≈ 0,577 ve C* = 1 − 2/(3√3) ≈ 0,615. Böylece PoA = 1/0,615 ≈ 1,626. A (4/3) doğrusal gecikmenin değeridir; gecikme dikleştikçe optimum iyileşir ve PoA büyür.
Çoktan Seçmeli · Doğrusal Gecikme
Soru 5
Doğrusal gecikmeli bölünebilir trafikte PoA ≤ 4/3 sınırı için hangisi doğrudur?
B doğru. Roughgarden–Tardos (2002): gecikmeler ℓ(x) = ax + b (a, b ≥ 0) ise her ağda ve her talepte C(denge) ≤ 4/3·C(optimum); Pigou ağında oran tam 4/3 olduğu için sınır sıkıdır. A yanlış: sınır ağ yapısından bağımsızdır, iki paralel yol yalnızca en kötü örnektir. C yanlış: atomik (bölünemez) oyunlarda sınır 5/2'ye çıkar. D yanlış: ℓ = xp için PoA yaklaşık p/ln p hızında sınırsız büyür.
Çoktan Seçmeli · Pürüzsüzlük ve Braess
Soru 6
Braess ağında (4.000 araç) PoA neden 80/65 değil de 320.000/258.750 ≈ 1,237 olarak hesaplanır?
C doğru. PoA'nın paydası aynı ağın optimumudur. Yeni yollu ağda planlayıcı 500 aracı zikzağa, 1.750'şer aracı eski yollara gönderir ve toplam 258.750 araç·dk elde eder (ortalama ≈ 64,69 dk). Denge 4.000·80 = 320.000 olduğundan PoA = 320.000 / 258.750 ≈ 1,237. 80/65 iki farklı ağı kıyaslar ve Braess kaybını ölçer; A yanlıştır çünkü 64,69 dk 65'ten iyidir, B yanlıştır çünkü yeni yol optimumu 260.000'den 258.750'ye düşürmüştür.
Çoktan Seçmeli · Yük Dengeleme
Soru 7
İşler {3, 3, 2, 2}, 2 özdeş makine. {3, 3} | {2, 2} ataması için hangisi doğrudur?
D doğru. Yükler M1'de 3 + 3 = 6, M2'de 2 + 2 = 4. 3'lük iş M2'ye geçerse 4 + 3 = 7 > 6 bekler, 2'lik iş M1'e geçerse 6 + 2 = 8 > 4 bekler; kimse kazanamadığı için bu bir Nash dengesidir. Optimum {3, 2} | {3, 2} ile 5'tir, oran 6/5. A ve C sapmanın kazançlı olduğunu söyler, sayılar bunu çürütür; B yanlış çünkü 6 > 5.
Çoktan Seçmeli · Yük Dengeleme
Soru 8
m özdeş makinede saf Nash dengeleri için PoA'nın tam (sıkı) değeri hangisidir?
A doğru. m özdeş makinede saf Nash dengeleri için sıkı değer PoA = 2 − 2/(m + 1)'dir (Finn–Horowitz, 1979). m = 2 için 2 − 2/3 = 4/3 çıkar: örneğin {2, 2, 1, 1} işlerinde kötü denge 4, optimum 3. B (2) bu değerin hiç ulaşılmayan limitidir; m büyüdükçe 2'ye yaklaşır ama eşit olmaz. C ve D başka modellere aittir: karışık dengede PoA m ile yavaşça (≈ log m / log log m) büyür.
Çoktan Seçmeli · İstikrarın Bedeli
Soru 9
Adil maliyet paylaşımlı ağ tasarımı oyunlarında n oyuncu için PoS'un bilinen sıkı üst sınırı hangisidir?
B doğru. Adil paylaşımda Rosenthal potansiyeli Φ(s) = Σe ce·H(ne) olur ve her profilde C(s) ≤ Φ(s) ≤ Hn·C(s). Optimumdan başlayan en iyi tepki dinamiği Φ'yi azaltarak bir s dengesine varır: C(s) ≤ Φ(s) ≤ Φ(OPT) ≤ Hn·C(OPT), yani PoS ≤ Hn ≈ ln n ve Hn örneği bu sınırın sıkı olduğunu gösterir (Anshelevich vd., 2004). C (n) PoS için gevşek bir sınırdır; n, PoA'nın ulaşabildiği değerdir. A ve D sabittir, oysa PoS n ile büyüyebilir.
Çoktan Seçmeli · Tıkanıklık Ücreti
Soru 10
Pigou ağında marjinal maliyet ücreti üst yola ne kadar ücret koyar?
D doğru. Marjinal maliyet ücreti dışsallığa eşittir: τ = f·ℓ′(f). Üst yolda ℓ(x) = x, ℓ′ = 1, dolayısıyla τ = x ve sürücü üstte x + x = 2x maliyet görür; yeni denge 2x = 1 → x = 1/2, yani optimum. B (1/4) ücret değil, optimumda toplanan toplam gelirdir (1/2 trafik × 1/2 ücret). A (1) trafiği tamamen alta iter; C ise yalnız alt yol için doğrudur (ℓ′ = 0). Sabit 1/2 ücret de bu ağda işe yarar, ama soru marjinal maliyet kuralını sorar.
Hesaplama Sorusu · Pigou Ağı
Soru 11: Pigou Ağında PoA
Pigou ağında 1 birim trafik var. Üst yolun gecikmesi ℓ(x) = x (x: üstteki pay), alt yolun gecikmesi her zaman 0,8.
(a) Wardrop dengesini ve toplam maliyetini, (b) sosyal optimumu ve maliyetini, (c) PoA'yı bulun.
Cevabı göster
(a) Üst yol alttan yavaş olmadıkça (x < 0,8) sürücüler üste geçer; iki yol x = 0,8'de eşitlenir. Herkes 0,8 dk bekler: C(denge) = 0,8·0,8 + 0,2·0,8 = 0,8.
(b) C(x) = x·x + (1 − x)·0,8 = x² − 0,8x + 0,8. C′(x) = 2x − 0,8 = 0 → x* = 0,4; C* = 0,16 + 0,6·0,8 = 0,64.
(c) PoA = 0,8 / 0,64 = 5/4 = 1,25 ≤ 4/3 (doğrusal gecikme sınırı).
Hesaplama Sorusu · Braess Ağında PoA
Soru 12: Gecikmeli Braess Bağlantısı
Normalleştirilmiş Braess ağında 1 birim trafik var; A→B bağlantısının gecikmesi 0 yerine sabit 1/4. Simetrik dengede s–A–t ve s–B–t yollarının her birinde y, zikzakta (s–A–B–t) z = 1 − 2y trafik olsun. Denge maliyeti, optimum ve PoA nedir?
Cevabı göster
Herkes zikzakta olsa (y = 0): s–A–t = 1 + 1 = 2 < zikzak 1 + 1/4 + 1 = 9/4, zikzaktakiler kaçar; demek ki y > 0.
s→A yükü y + z = 1 − y. Düz yol: (1 − y) + 1 = 2 − y; zikzak: 2(1 − y) + 1/4 = 9/4 − 2y. Eşitle: 2 − y = 9/4 − 2y → y = 1/4, z = 1/2. Herkes 7/4 bekler: C(denge) = 7/4.
Optimum: C(y) = 2(1 − y)² + 2y + (1/4)(1 − 2y), C′(y) = 4y − 5/2 < 0 her y ≤ 1/2 için → y = 1/2, z = 0 (zikzak kapalı): C* = 2·1/4 + 1 = 3/2.
PoA = (7/4)/(3/2) = 7/6 ≈ 1,167. Bağlantı ücretsizken (0) oran 4/3 idi: bedeli artırılan kısayol bencil kaybı azaltır.
Hesaplama Sorusu · Pürüzsüzlük
Soru 13: Pürüzsüzlük Eşitsizliği
Atomik doğrusal tıkanıklık oyunlarının anahtar eşitsizliği y(z + 1) ≤ λ·y² + μ·z²'dir (y, z ≥ 0 tamsayı). (a) (λ, μ) = (5/3, 1/3) için (y, z) = (1, 1), (1, 2), (2, 3), (3, 1)'de iki yanı hesaplayın. (b) Bu çift hangi PoA sınırını verir? (c) (λ, μ) = (1, 1/3) seçilebilir miydi? (d) Bölünebilir trafikteki (1, ¼) çifti hangi sınırı verir?
Cevabı göster
| (y, z) | (1, 1) | (1, 2) | (2, 3) | (3, 1) |
|---|---|---|---|---|
| sol: y(z + 1) | 2 | 3 | 8 | 6 |
| sağ: 5/3·y² + 1/3·z² | 5/3 + 1/3 = 2 | 5/3 + 4/3 = 3 | 20/3 + 3 = 29/3 ≈ 9,67 | 15 + 1/3 ≈ 15,33 |
| durum | eşitlik | eşitlik | sağlanır | sağlanır |
(b) C(s) ≤ λ·C(s*) + μ·C(s) → PoA ≤ λ/(1 − μ) = (5/3)/(2/3) = 5/2; (1, 1) ve (1, 2)'deki eşitlikler sınırın sıkı olmasının nedenidir.
(c) Hayır: (1, 1)'de sol 2, sağ 1 + 1/3 = 4/3 < 2; eşitsizlik bozulur. (Geçerli olsaydı 1/(2/3) = 3/2 verirdi; ama tek oyuncunun eklediği "+1" daha büyük λ gerektirir.)
(d) 1/(1 − ¼) = 4/3: Pigou sınırı.
Hesaplama Sorusu · Yük Dengeleme
Soru 14: Yük Dengelemede PoA ve PoS
İşler {4, 3, 3, 2, 2}, 2 özdeş makine; sosyal maliyet en büyük yük.
(a) Optimum en büyük yük nedir? (b) {4, 2, 2} | {3, 3} ataması Nash dengesi midir? (c) En büyük yükü 9 veya daha fazla olan bir denge olabilir mi? (d) PoA ve PoS kaçtır; 2 − 2/(m + 1) sınırıyla karşılaştırın.
Cevabı göster
(a) Toplam 14 → en büyük yük ≥ 7; {4, 3} | {3, 2, 2} = 7 | 7 buna ulaşır: OPT = 7.
(b) Yükler 8 | 6. M1'deki 2'lik iş M2'ye geçse 6 + 2 = 8, 8 < 8 değil; 4'lük geçse 10. M2'deki 3'lük M1'e geçse 8 + 3 = 11 > 6. Kimse kazanmaz → denge, en büyük yük 8.
(c) Hayır. Yük L ≥ 9 ise öteki makine 14 − L ≤ 5'tir. Yalnız bir 4'lük iş olduğundan yüklü makinede ≤ 3'lük bir iş vardır; geçerse (14 − L) + 3 < L (L > 8,5) → kaçar.
(d) Dengelerin en büyük yükleri 7 ve 8: PoA = 8/7 ≈ 1,143, PoS = 1 (7 | 7 de denge). m = 2 için sınır 2 − 2/3 = 4/3; aşılmaz.
Hesaplama Sorusu · Yük Dengeleme
Soru 15: En İyi Tepki Dinamiği
Boyları 5, 4, 3, 2, 2 olan beş iş (i1–i5) başta hepsi M1'de. En iyi tepki dinamiğinde her turda, en az yüklü makine h'ye geçerek kazanacak işlerden ilki taşınır. Her turda yükleri, h'yi ve kaçanları yazın. Hangi atamada ve hangi en büyük yükte durulur? Optimumla oranı nedir?
Cevabı göster
| tur | yük [M1, M2] | h | kaçan (yuk[h] + boy < kendi yükü) | hamle |
|---|---|---|---|---|
| 1 | [16, 0] | 1 | i1–i5 (ör. 0 + 5 < 16) | i1 (5) → M2 |
| 2 | [11, 5] | 1 | i2 (9 < 11), i3 (8), i4, i5 (7) | i2 (4) → M2 |
| 3 | [7, 9] | 0 | yok: 7 + 5 = 12 ≥ 9, 7 + 4 = 11 ≥ 9 | dur |
Son atama: i1 ve i2 M2'de, yani {3, 2, 2} | {5, 4}, en büyük yük 9.
Optimum {5, 3} | {4, 2, 2} = 8 | 8 → OPT = 8; oran 9/8 = 1,125. Tüm 32 atama taranınca dengelerin en büyük yükleri 8 ve 9 çıkar: dinamik bu örnekte en kötü dengeye varmıştır, PoA = 9/8, PoS = 1.
Hesaplama Sorusu · İstikrarın Bedeli
Soru 16: Aynı Oyunda PoA ve PoS
5 oyuncu s'den t'ye bağlantı kiralar: A bağlantısı 4 TL, B bağlantısı 10 TL; bedeli o bağlantıyı kullananlar eşit böler (adil maliyet paylaşımı).
Saf Nash dengelerini bulun (k oyuncu A'da, 5 − k oyuncu B'de olan karışık profilleri de inceleyin). Optimum, PoA ve PoS kaçtır?
Cevabı göster
Hepsi A: kişi başı 4/5 = 0,8; B'ye tek başına geçen 10 öderdi → denge, toplam 4 = OPT.
Hepsi B: kişi başı 10/5 = 2; A'ya geçen 4 öderdi (4 > 2) → denge, toplam 10.
| k (A'da) | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|
| B'de öder: 10/(5 − k) | 2,5 | 10/3 | 5 | 10 |
| A'ya geçerse: 4/(k + 1) | 2 | 4/3 | 1 | 0,8 |
Her karışık profilde B'deki oyuncu A'ya geçerek kazanır → denge değil. Dengeler yalnız "hepsi A" ve "hepsi B": PoA = 10/4 = 2,5, PoS = 1.
Hesaplama Sorusu · İstikrarın Bedeli
Soru 17: Hn Örneği, n = 4
4 oyuncu; oyuncu i'nin kendi yolu 1/i TL (1, 1/2, 1/3, 1/4), ortak yol 1,2 TL (ε = 0,2) ve kullananlarca eşit bölünür.
Optimumdan başlayıp en iyi tepki dinamiğini izleyin. Dengeyi, maliyetini ve PoS'u bulun; dengenin tek olduğunu gösterin ve H4 ile karşılaştırın.
Cevabı göster
Optimum: herkes ortakta, toplam 1,2 (kendi yolların toplamı 25/12 ≈ 2,083).
- 4 kişi ortakta, pay 0,3: oyuncu 4 için 1/4 = 0,25 < 0,3 → ayrılır.
- 3 kişi, pay 0,4: oyuncu 3 için 1/3 ≈ 0,333 < 0,4 → ayrılır.
- 2 kişi, pay 0,6: oyuncu 2 için 0,5 < 0,6 → ayrılır.
- 1 kişi, pay 1,2: oyuncu 1 için 1 < 1,2 → ayrılır.
Denge: herkes kendi yolunda, C = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 = 25/12.
Tek denge: ortakta k ≥ 1 kişi varsa en büyük numaralı i ≥ k için 1/i ≤ 1/k < 1,2/k; o oyuncu ayrılır.
PoS = PoA = (25/12)/1,2 = 125/72 ≈ 1,736 ≤ H4 = 25/12 ≈ 2,083; ε → 0 iken H4'e yaklaşır.
Çoktan Seçmeli · Temel Kavramlar
Soru 18
Özdeş 2 makinede Graham'ın açgözlü liste algoritması en çok 3/2 kat, bencil işlerin saf dengesi en çok 4/3 kat kötü olabilir. Bu iki oranın farkı nedir?
B doğrudur: yaklaşım oranı merkezi bir algoritmanın polinom zamanda bulduğu çözümü optimumla, PoA ise kimsenin tek başına sapmak istemediği en kötü dengeyi optimumla karşılaştırır. İkisi de "en kötü durum / optimum" oranıdır ama kayıp farklı bir eksiklikten gelir. A yanlıştır: PoA'da hesaplama değil koordinasyon eksiktir. C genel bir kural değildir (Pigou'da xp gecikmede PoA sınırsız). D yanlıştır: PoA saf dengeler için de tanımlıdır; karışık dengede ayrıca Θ(log m / log log m) gibi daha büyük değerler çıkar.
Çoktan Seçmeli · PoA'yı Azaltma
Soru 19
Roughgarden–Tardos'un kapasite sonucuna göre bencil yönlendirmede aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
B doğrudur: her ağda ve her (sürekli, artan) gecikme fonksiyonunda, r trafiğin bencil dengesi 2r trafiğin optimum yönlendirmesinden pahalı değildir. Yani kapasiteyi artırmak (her bağlantıyı iki kat hızlandırmak) koordinasyonun yerini tutabilir. A, PoA için bir üst sınır gibi okunur ama genel gecikmede PoA sınırsızdır (Pigou xp). C yanlıştır: sonuç bir maliyet karşılaştırmasıdır, dengeyi optimuma eşitlemez. D yanlıştır: sonuç doğrusal olmayan gecikmeler için de geçerlidir.
Hesaplama Sorusu · Yük Dengeleme
Soru 20: Farklı Hızlı Makineler
İki makine: M1 hızı 2, M2 hızı 1. İş boyları 1, 2, 3. Bir işin bitiş süresi, makinesinin toplam yükünün hızına bölümüdür; sosyal maliyet en büyük bitiş süresidir.
(a) Optimum en büyük bitiş süresi kaçtır? (b) M1 {1, 2}, M2 {3} ataması Nash dengesi midir; en büyük bitiş süresi kaçtır? (c) Bu örnekte PoA en az kaçtır; özdeş iki makinenin 4/3 sınırıyla karşılaştırın.
Cevabı göster
(a) M1 {3, 1}, M2 {2}: 4/2 = 2 ve 2/1 = 2 → 2. Daha iyisi yok: toplam iş 6, toplam hız 3, en iyi olasılık 2.
(b) Süreler: M1 (1 + 2)/2 = 1,5, M2 3/1 = 3. 3'lük iş M1'e geçerse (3 + 3)/2 = 3, kazanmaz; 1'lik iş M2'ye geçerse 3 + 1 = 4 > 1,5; 2'lik iş M2'ye geçerse 5 > 1,5. Kimse kazanmaz → Nash dengesi, en büyük süre 3.
(c) PoA ≥ 3/2 = 1,5 > 4/3: hızlar farklılaşınca aynı makine sayısında bile kayıp büyür.
Hesaplama Sorusu · Tıkanıklık ücreti
Soru 21: Tıkanıklık Ücreti
İki yollu ağ (ℓ1 = 8 + x1/100, ℓ2 = 20 + x2/300, 4.000 araç; optimum 1.450 / 2.550). (a) Yol 1'e hangi sabit ücret τ (dk) optimumu denge yapar? (b) τ = 3 olursa yeni denge ve toplam gecikme nedir?
Cevabı göster
(a) Optimumda ℓ1(1.450) + τ = ℓ2(2.550): 22,5 + τ = 28,5 → τ = 6 dk.
Kontrol: marjinal maliyet ücretleri x1ℓ′1 = 1.450/100 = 14,5 ve x2ℓ′2 = 2.550/300 = 8,5; önemli olan fark: 14,5 − 8,5 = 6 ✓.
(b) 8 + x1/100 + 3 = 20 + (4000 − x1)/300 → ×300: 3300 + 3x1 = 10000 − x1 → x1 = 1.675, x2 = 2.325.
Gecikmeler 24,75 ve 27,75 dk (Yol 1'de ücretle 27,75). Ücret bir transferdir, toplam gecikmeye eklenmez: 1.675 × 24,75 + 2.325 × 27,75 = 105.975 araç·dk, dengeyle (108.000) optimum (105.300) arasında.