Bölüm 1: Karar Kuramı

1.1Beklenen fayda

Her gün sonucunu önceden bilmediğimiz kararlar veririz: şemsiye almak, bir derse çalışmak için hangi konuya öncelik vermek, bir ürünü almak ya da beklemek. Bu kararların ortak yanı, sonucun yalnız bizim seçimimize değil, bizim denetleyemediğimiz bir şeye de bağlı olmasıdır. Karar kuramı bu “denetlenemeyen şeyi” doğa ya da şans diye adlandırır. Bu kısımda, şansa bağlı seçenekleri karşılaştırmanın temel aracı olan beklenen faydayı kuruyoruz.

1.1.1Bir oyunla başlangıç: Bayesçi Karar Laboratuvarı

Konuya küçük bir oyunla girelim. Bayesçi Karar Laboratuvarı'nda bir etkinlik planlanır ve iki seçenek vardır: etkinliği açık havada ya da kapalı mekânda yapmak. Havanın yağmurlu mu kuru mu olacağı gizlidir. Oyuncu yalnız yağmurun ne kadar olası olduğunu bilir; buna ön olasılık (prior) denir. Ayrıca gürültülü bir sinyal görür: bir hava tahmini. Sonra seçimini yapar, durum açılır ve tablodaki kazancı alır.

Şekil 1.1 oyunun ilk düzeyini gösterir. Tabloyu okumak kolaydır. Açık havayı seçen biri, yağmur yağarsa −6 alır; hava kuru giderse 8 alır. Kapalı mekânı seçen biri, yağmurda 4, kuruda 3 alır. Açık hava büyük bir kazanç ama büyük bir kayıp riski taşır; kapalı mekân ise iki durumda da makul bir sonuç verir.

Oyun iki soruyla başlar. Birincisi: %90 doğru bir tahmin “yağmur” dediyse, yağmur olasılığı kaçtır? Çoğu kişinin ilk cevabı %90'dır. Doğru cevap %82,9'dur ve bu farkın nedeni ön olasılıktır: yağmur zaten pek olası değildir (0,35). Bu sayının nasıl bulunduğu 1.3.6'da adım adım hesaplanır. İkinci soru daha felsefidir: kararınızdan sonra kötü bir sonuç çıktıysa karar da kötü müydü? Cevap “hayır” olabilir. İyi karar, eldeki bilgiyle en iyi beklentiyi veren karardır. Şans kötü giderse iyi bir karar da kötü sonuç verebilir. Karar kuramı kararları sonuçlarına göre değil, verildikleri andaki bilgiye göre değerlendirir.

Bu iki soru bölümün iki ana konusunu özetler. İlki, yeni bilgiyle inancın nasıl güncelleneceğidir (Bayes kuralı). İkincisi, inanç belliyken hangi seçeneğin seçileceğidir (beklenen fayda). Önce ikincisiyle başlıyoruz.

1.1.2Karar almanın üç türü

Karar alma (decision making), seçenekler arasından sonuçlarını değerlendirerek seçim yapma sürecidir. Kararlar, sonucu neyin belirlediğine göre üç türe ayrılır. Tablo 1.1 bu ayrımı özetler.

Bireysel kararda karar verici yalnız doğaya karşı seçim yapar. Doğa “akıllı bir rakip” değildir: yağmur, etkinliği bozmak için yağmaz. Doğanın davranışı olasılıklarla anlatılır. Stratejik kararda ise sonucu belirleyen başka akıllı karar vericilerdir. Onlar da bizim ne yapacağımızı düşünür. Bu karşılıklı düşünme durumu oyun kuramının asıl konusudur. Kolektif kararda bir grup, oylama ya da ortak kaynak paylaşımı gibi bir kuralla birlikte karar verir.

Bu ayrım neden önemlidir? Çünkü stratejik ve kolektif kararların analizinde de tek kişilik karar kuramının araçları kullanılır. Bir oyuncu, rakibinin ne yapacağı hakkında bir inanca sahipse, kendi seçimini beklenen fayda ile yapar. Rakibin hangi “tipte” olduğunu bilmiyorsa, rakibin hamlelerini görerek inancını Bayes kuralıyla günceller. Sırayla hamle yapılan bir oyun, karar ağacına benzeyen bir oyun ağacıyla çözülür. Bu yüzden bu bölümdeki araçlar dersin geri kalanının temelidir.

Karar kuramında bir de risk ile belirsizlik arasındaki ayrım vardır. Risk altında kararda olasılıklar bilinir ya da güvenilir biçimde tahmin edilir: zar atmak, rulet, sigorta istatistikleri. Belirsizlik altında kararda (decision under uncertainty) olasılıklar bilinmez: yeni bir ürünün pazarda tutup tutmayacağı, yeni bir teknolojinin başarısı. Bölümün büyük kısmı risk altında karar üzerinedir; belirsizlik altında karar 1.2.5 ve 1.2.6'da ele alınır.

1.1.3Piyango ve beklenen değer

Riskli bir seçeneği matematiksel olarak anlatmanın yolu onu bir piyango olarak yazmaktır. Burada “piyango” sözcüğü yalnız bilet alınan şans oyununu değil, sonucu şansa bağlı her seçeneği anlatır.

Σ (sigma) işareti “topla” demektir. Σ p_i x_i, her sonucu olasılığıyla çarpıp çarpımları toplamak anlamına gelir. Beklenen değer, piyango çok kez oynandığında bir oyun başına düşen ortalama kazançtır. Örneğin yazı gelirse 10 TL veren, tura gelirse hiçbir şey vermeyen bir oyun 1000 kez oynanırsa yaklaşık 500 kez yazı gelir; toplam kazanç yaklaşık 5000 TL, oyun başına ortalama 5 TL olur. Beklenen değer de ½ · 10 + ½ · 0 = 5'tir.

Bölüm boyunca iki seçenekli bir örnek sık sık kullanılır:

• Piyango A: %50 olasılıkla 900 TL, %50 olasılıkla 0 TL.
• Kesin B: olasılık 1 ile 400 TL.

Beklenen değer, kararları sadeleştiren güçlü bir ölçüttür ama bir şeyi gözden kaçırır: paranın değeri herkes için ve her tutarda aynı değildir. Elinde hiç parası olmayan birine 400 TL'nin getirdiği rahatlık büyüktür. 400 TL'den 900 TL'ye çıkmanın ek rahatlığı ise o kadar büyük değildir. Bu gözlem fayda kavramına götürür.

1.1.4Beklenen fayda

Fayda, bir sonucun karar verici için ne kadar “iyi” olduğunu gösteren bir sayıdır. Para tutarı bir sonuçtur; fayda ise bu sonucun kişiye göre değeridir. Bir fayda fonksiyonu (utility function) u, her sonuca bir sayı atar. Para için sık kullanılan bir örnek u(x) = √x'tir: 0 TL'nin faydası 0, 400 TL'nin faydası 20, 900 TL'nin faydası 30'dur.

Tanım, beklenen değer tanımına çok benzer. Tek fark, sonucun kendisi (x_i) yerine faydasının (u(x_i)) olasılıkla çarpılmasıdır. Kuralın adı, kuramı 1944'te sistemli biçimde kuran John von Neumann ile Oskar Morgenstern'e atfen “von Neumann–Morgenstern beklenen faydası” olarak da geçer (von Neumann ve Morgenstern, 1944).

Beklenen parasal değer ile beklenen fayda aynı kararı vermeyebilir. Aradaki farkı fayda fonksiyonunun eğriliği, yani karar vericinin risk tutumu belirler. Fonksiyon düz bir doğruysa (u(x) = x) iki ölçüt aynı kararı verir. Fonksiyon aşağı doğru bükülüyorsa (√x gibi) karar verici riskten kaçınır. Bu konu 1.2'de ayrıntılı işlenir.

Beklenen fayda kuralı neden “rasyonel” sayılır? Bunun iki cevabı vardır. Birincisi pratiktir: kural, bir karar verici aynı tür kararı çok kez verdiğinde ortalamada en iyi sonucu alacağı seçimi önerir; fayda fonksiyonu da onun risk karşısındaki tutumunu taşır. İkincisi kuramsaldır ve daha güçlüdür: tercihleri birkaç makul koşulu sağlayan herkes, sanki bir fayda fonksiyonunun beklenen değerini maksimize ediyormuş gibi davranır. Bu koşullar 1.1.6'da anlatılır.

1.1.5St. Petersburg paradoksu

Fayda fikrinin tarihsel çıkış noktası 18. yüzyılda tartışılan bir yazı-tura oyunudur. Bir para, ilk kez yazı gelene kadar atılır. Yazı ilk atışta gelirse oyuncu 2 TL alır, ikinci atışta gelirse 4 TL, üçüncüde 8 TL; genel olarak k-ıncı atışta gelirse 2^k TL alır. Bu oyunu oynamak için en fazla ne ödenmelidir?

Beklenen değeri hesaplayalım. Yazının ilk kez k-ıncı atışta gelme olasılığı (½)^k'dir, çünkü önceki k − 1 atışın tura, k-ıncının yazı gelmesi gerekir. O durumda kazanç 2^k'dir. Her terim olasılık çarpı kazançtır:

E[X] = ½ · 2 + ¼ · 4 + ⅛ · 8 + … = 1 + 1 + 1 + …

Her terim 1'dir ve sonsuz sayıda terim vardır. Toplam sonsuza gider: oyunun beklenen değeri sonsuzdur. Yalnız beklenen değere bakan biri bu oyuna servetinin tamamını vermeye razı olmalıdır. Oysa gerçekte kimse bu oyuna birkaç on liradan fazla ödemez. Bu çelişkiye St. Petersburg paradoksu (St. Petersburg paradox) denir.

Daniel Bernoulli 1738'de bu paradoksa şu cevabı verdi: insanlar paranın kendisini değil, paranın faydasını değerlendirir ve servet büyüdükçe her ek liranın faydası azalır (Bernoulli, 1738). Benzer bir fikri Gabriel Cramer de 1728'de önermişti. Bernoulli logaritmik bir fayda kullandı. Logaritma çok yavaş büyüyen bir fonksiyondur: log₂ x, x'in 2'nin kaçıncı kuvveti olduğunu söyler (log₂ 8 = 3, log₂ 1024 = 10).

St. Petersburg örneği iki şey öğretir. Birincisi, çok küçük olasılıklı çok büyük kazançlar beklenen değeri şişirebilir ama insanların kararını pek etkilemez. İkincisi, azalan marjinal fayda (her ek liranın daha az fayda katması) riskten kaçınmanın matematiksel açıklamasıdır.

1.1.6von Neumann–Morgenstern aksiyomları

Beklenen fayda kuralı keyfî bir formül değildir. von Neumann ve Morgenstern, tercihleri dört makul koşulu sağlayan her karar verici için bir fayda fonksiyonu bulunduğunu ve bu kişinin beklenen faydayı maksimize ediyormuş gibi davrandığını gösterdi. Bu koşullara von Neumann–Morgenstern aksiyomları (von Neumann–Morgenstern axioms) denir. Aksiyom, ispatlanmadan kabul edilen temel varsayım demektir.

Aksiyomları yazmak için bir gösterim gerekir. A ≻ B, “A, B'ye tercih edilir” demektir. A ∼ B, “karar verici A ile B arasında kayıtsızdır” demektir; ikisi ona eşit derecede iyidir.

Teoremin ispatı bu notun kapsamı dışındadır, ama aksiyomların her birinin neden makul olduğu ve ihlal edilince ne olduğu kolayca görülür.

Tamlık, karar vericinin her durumda bir görüşü olduğunu söyler. “Karşılaştıramıyorum” diyen bir karar verici, karar veremez. Geçişlilik ihlal edilirse karar verici sömürülebilir. Diyelim ki biri elmayı armuta, armudu kirazı, kirazı da elmaya tercih ediyor. Elinde kiraz varken ona “biraz para ver, kirazını armutla değiştireyim” denir; kabul eder. Sonra armudu elmayla, elmayı yine kirazla, her seferinde biraz para karşılığı değiştirir. Döngünün sonunda yine kirazı vardır ama parası azalmıştır. Bu döngüye para pompası denir; geçişlilik, böyle bir sömürüye karşı korumadır.

Süreklilik şu anlama gelir: A çok iyi, C çok kötü, B ise arada bir sonuç olsun. Örneğin A = 1000 TL, B = 500 TL, C = 0 TL. A'yı yüksek olasılıkla, C'yi düşük olasılıkla veren bir piyango B'den iyidir; A'yı düşük olasılıkla veren bir piyango B'den kötüdür. Arada bir yerde, karar vericinin B ile piyango arasında kayıtsız kaldığı bir p değeri vardır. Bu kayıtsızlık olasılığı aslında fayda fonksiyonunun kendisini verir: u(A) = 1 ve u(C) = 0 seçilirse u(B) = p olur. Fayda sayılarının neden “ölçülebilir” olduğunun gerekçesi budur.

Bağımsızlık en çok tartışılan aksiyomdur. Söylediği şudur: iki seçeneğin ortak bir parçası varsa, karar o ortak parçaya bağlı olmamalıdır. Bir para atılsın; yazı gelirse A ile B arasında seçim yapılacak, tura gelirse iki durumda da C alınacak. Tura gelirse seçimin bir önemi yoktur. Yazı gelirse A tercih ediliyordur. O hâlde para atılmadan önce de “yazıda A” seçeneği tercih edilmelidir. Bir sonraki alt bölüm, insanların gerçek seçimlerinin bu aksiyomu nasıl çiğnediğini gösterir.

1.1.7Allais paradoksu

1953'te Fransız iktisatçı Maurice Allais, insanlara iki ayrı seçim sordu (Allais, 1953). Tutarlar milyon lira cinsindendir. Tablo 1.2 dört seçeneği gösterir.

Birinci seçimde çoğu kişi A'yı seçer. A kesin 1 milyon verir; B daha fazla kazandırabilir ama %1 olasılıkla hiçbir şey vermez. Kesin bir milyonu bırakıp sıfır riskine girmek insanlara kötü gelir. İkinci seçimde ise çoğu kişi D'yi seçer. Burada iki seçenekte de büyük olasılıkla hiçbir şey kazanılmaz; %10 ile %11 arasındaki fark küçük görünür, 5 milyon ise 1 milyondan çok büyüktür. İki seçim de tek başına anlaşılırdır. Sorun, ikisinin birlikte beklenen fayda kuramıyla çelişmesidir.

Önce seçenekler arasındaki ilişkiyi görelim. A ve B'de ortak bir parça vardır: ikisi de %89 olasılıkla 1 milyon verir (A'nın %100'ünün %89'u, B'nin %89'u). Bu ortak %89 “1 milyon” parçası, iki seçenekte de %89 “0” ile değiştirilirse A'dan C, B'den D elde edilir. A, %11 olasılıkla 1 milyon ve %89 olasılıkla 0'a dönüşür; bu C'dir. B, %10 olasılıkla 5 milyon, %1 + %89 = %90 olasılıkla 0'a dönüşür; bu D'dir. Bağımsızlık aksiyomuna göre ortak parçayı değiştirmek sıralamayı değiştirmemelidir.

Hesabın bir fayda fonksiyonu seçilmeden yapıldığına dikkat edilmelidir. u(x) = x, u(x) = √x ya da başka herhangi bir fonksiyon alınsa sonuç değişmez. Örneğin u(x) = x ile iki fark da 0,11 − 0,50 = −0,39'dur; bu kişi B'yi ve D'yi seçer. Dört seçeneğin beklenen değerleri de birbirinden farklıdır: A 1 milyon, B 1,39 milyon, C 0,11 milyon, D 0,5 milyondur. Yani seçimler “her şey eşit olduğu için keyfî” de değildir.

Allais'nin seçimleri hangi aksiyomu çiğner? Geçişliliği değil, bağımsızlığı. İnsanlar kesinliğe, olasılık hesabının söylediğinden daha fazla ağırlık verir. %100 ile %99 arasındaki fark, %11 ile %10 arasındaki farktan çok daha büyük hissedilir. Bu olguya kesinlik etkisi (certainty effect) denir. Kesinlik etkisi, insanların gerçek seçimlerini açıklamaya çalışan beklenti kuramının (prospect theory) çıkış noktalarından biridir. Beklenti kuramı olasılıkları doğrudan değil, bir ağırlık fonksiyonundan geçirerek kullanır; küçük olasılıkları büyütür, kesinliğe yakın olasılıkları küçültür.

Allais paradoksu beklenen fayda kuramını geçersiz kılmaz. Kuram, iki farklı amaçla kullanılır. Betimleyici olarak, insanların nasıl karar verdiğini anlatmaya çalışır; burada Allais gibi sapmalar önemlidir. Kural koyucu (normatif) olarak ise tutarlı bir karar vericinin nasıl karar vermesi gerektiğini söyler. Algoritmalar ve yapay ajanlar için genellikle ikinci kullanım önemlidir: bir yazılım ajanının tutarlı tercihler taşıması istenir.

1.1.8Fayda sayıları neyi ölçer?

Beklenen fayda hesabında u(400) = 20 gibi sayılar kullanılır. Bu sayıların bir birimi var mıdır? “20 birim mutluluk” demek anlamlı mıdır? Cevap, fayda ölçeğinin bir termometreye benzediğidir. Celsius ve Fahrenheit ölçekleri farklı sıfır noktası ve farklı birim kullanır; suyun donma noktası birinde 0, ötekinde 32'dir. Ama iki ölçek de sıcaklıkları aynı sıraya dizer ve biri ötekinden F = 1,8 · C + 32 formülüyle elde edilir. Fayda da böyledir: sıfır noktası ve birimi keyfîdir.

Teoremin birinci yarısı kısa bir hesapla gösterilir. Bir piyangonun v ile beklenen faydası

E[v(L)] = Σ p_i (a · u(x_i) + b) = a · Σ p_i u(x_i) + b · Σ p_i = a · E[u(L)] + b

olur. İlk eşitlik tanımdır. İkincisi, toplamı iki parçaya ayırıp sabitleri dışarı çıkarmaktır. Üçüncüsü olasılıkların toplamının 1 olmasından gelir. Demek ki her piyangonun yeni beklenen faydası, eskisinin a ile çarpılıp b eklenmiş hâlidir. a > 0 olduğu için büyük olan büyük kalır; sıralama değişmez. a < 0 olsaydı sıralama tersine dönerdi. Bu yüzden koşul a > 0'dır.

Bu sonucun oyun kuramında doğrudan bir karşılığı vardır. Bir oyuncunun kazanç tablosundaki bütün sayıları 2 ile çarpıp 5 eklemek, o oyuncunun hiçbir kararını değiştirmez. Bir oyunu incelerken kazançları daha kolay hesaplanan sayılara dönüştürmek bu yüzden serbesttir. Ama kazançların karesini almak gibi afin olmayan bir dönüşüm, riskli seçimleri değiştirebilir.

1.2Risk tutumları

Aynı piyangoya farklı insanlar farklı tepki verir. Kimi kesin tutarı tercih eder, kimi şansını dener. Bu farkı fayda fonksiyonunun biçimi açıklar. Bu kısımda risk tutumunu ölçen iki sayıyı (kesinlik eşdeğeri ve risk primi) tanımlıyor, sonra sigortayı ve olasılıkların bilinmediği durumları inceliyoruz.

1.2.1İçbükey fayda ve azalan marjinal fayda

u(x) = √x fonksiyonunun değerlerine bakalım: u(0) = 0, u(100) = 10, u(400) = 20, u(900) = 30. İlk 100 TL faydayı 10 artırır. 100'den 400'e çıkmak, yani 300 TL daha eklemek, faydayı yine yalnız 10 artırır. 400'den 900'e çıkmak için 500 TL gerekir. Her ek 10 birim fayda için gereken para giderek büyür. Başka bir deyişle, her ek lira bir öncekinden daha az fayda katar. Buna azalan marjinal fayda (diminishing marginal utility) denir. “Marjinal”, “bir birim daha eklenince” anlamındadır.

Azalan marjinal faydalı bir fonksiyonun grafiği aşağı doğru bükülür; böyle bir fonksiyona içbükey (concave) denir. İçbükeyliğin geometrik bir tanımı vardır: eğri üzerindeki iki noktayı birleştiren doğru parçası (kiriş), eğrinin altında kalır. Tersine, yukarı doğru bükülen fonksiyona dışbükey (convex) denir; kirişi eğrinin üstündedir. Düz bir doğrunun kirişi doğrunun kendisidir.

Kiriş, piyangonun beklenen faydasını görselleştirmenin bir yoludur. Piyango A iki uçtan birini eşit olasılıkla verir. Beklenen faydası iki ucun faydalarının ortalamasıdır: ½ · 0 + ½ · 30 = 15. Bu, kirişin tam ortasındaki noktanın yüksekliğidir ve yatay eksende x = 450 hizasına düşer; çünkü beklenen değer de iki ucun ortalamasıdır. Şekil 1.3'te aynı hizada eğrinin yüksekliği √450 ≈ 21,2'dir. Eğri kirişin üstündedir: 450 TL'yi kesin almak, ortalaması 450 TL olan piyangodan daha fazla fayda verir.

Jensen eşitsizliği, kiriş gözleminin genel hâlidir. Sol taraf, piyangonun beklenen faydasıdır (kiriş üzerindeki nokta). Sağ taraf, beklenen değerin kesin verilmesinin faydasıdır (eğri üzerindeki nokta). İçbükey faydalı biri için piyangonun kendisi, ortalamasının kesin verilmesinden kötüdür. Riskten kaçınmanın matematiksel tanımı budur.

1.2.2Kesinlik eşdeğeri ve risk primi

Risk tutumunu sayıyla ifade etmenin yolu şu soruyu sormaktır: bu kişi piyangoyu hangi kesin tutara satmaya razıdır?

u⁻¹, u'yu geri çözmek demektir: faydası verilen tutarı bulmak. u(x) = √x için faydası 15 olan tutar, √x = 15 denkleminin çözümüdür. İki tarafın karesi alınır: x = 15² = 225. Yani √x için u⁻¹(y) = y²'dir.

Son adımdaki ikinci yol önemli bir kısayoldur. Bir piyangoyu kesin bir tutarla karşılaştırmak için faydaları karşılaştırmak yerine KE'yi kesin tutarla karşılaştırmak yeterlidir. KE kesin tutardan büyükse piyango, küçükse kesin tutar seçilir. Bu kısayol işe yarar, çünkü u artandır: büyük tutarın faydası da büyüktür.

Kesinlik eşdeğeri bir para tutarı olduğu için fayda sayılarından farklı olarak kişiler arasında karşılaştırılabilir. “Bu piyangoyu Ayşe 225 TL'ye, Bora 300 TL'ye satar” demek anlamlıdır ve Bora'nın riskten daha az kaçındığını gösterir. KE ayrıca ölçek seçiminden bağımsızdır: v = 10√x + 5 kullanılsa da faydası E[v] = 155 olan kesin tutar yine 225 TL çıkar (10√x + 5 = 155 ⇒ √x = 15).

1.2.3Üç risk tutumu

Fayda fonksiyonunun biçimi üç tür risk tutumu tanımlar. Tablo 1.4 aynı piyango A ve kesin B için üç fayda fonksiyonunun kararını karşılaştırır.

Negatif risk primi ne demektir? Risk seven kişi, ortalaması 450 TL olan piyangoyu 636,4 TL'den aşağıya satmaz. Yani riski taşımak için beklenen değerin üstünde bir bedel ödemeye razıdır. Üç tutum şöyle özetlenir:

• İçbükey → riskten kaçınan (risk-averse). KE < E[X], prim > 0. Riski üstlenmek için bir ödül ister. İnsanların çoğu, özellikle büyük tutarlarda, böyle davranır.
• Doğrusal → risk nötr (risk-neutral). KE = E[X], prim = 0. Yalnız beklenen değere bakar. Büyük şirketler küçük tutarlı kararlarda yaklaşık böyle davranır.
• Dışbükey → risk seven (risk-loving). KE > E[X], prim < 0. Risk için para öder. Beklenen değeri bilet fiyatından düşük bir piyango bileti alan kişi buna örnektir.

Bu üç durum Jensen eşitsizliğinden doğrudan çıkar. İçbükey u için E[u(X)] < u(E[X])'dir. KE'nin faydası sol tarafa eşittir, beklenen değerin faydası sağ taraftır. u artan olduğundan faydası küçük olan tutar da küçüktür: KE < E[X]. Dışbükey için her şey ters yöndedir.

1.2.4Sigorta neden var?

Risk tutumunun en önemli uygulamalarından biri sigortadır. Sigortalı, beklenen kaybından daha yüksek bir prim öder. Sigortacı da bu primden kâr eder. İki tarafın da kazançlı çıktığı bir anlaşma nasıl mümkündür? Cevap, iki tarafın risk tutumlarının farklı olmasıdır.

Şekil 1.5 bu aralığı bir sayı doğrusu üzerinde gösterir. Anlaşma bölgesinin genişliği, 116 − 80 = 36, tam olarak sigortalının risk primidir: beklenen servet 820 ile kesinlik eşdeğeri 784 arasındaki fark. Risk primi ne kadar büyükse, yani kişi riskten ne kadar çok kaçınıyorsa, sigortanın yaratabileceği kazanç da o kadar büyüktür.

Sigortanın ekonomideki işlevi buradan anlaşılır: risk, ona en az katlanan tarafa aktarılır. Bireyler için büyük bir kayıp felaket olabilir; sigortacı için ise binlerce poliçeden biridir. Aynı mantık, büyük şirketlerin neden küçük kararlarda risk nötr davranabildiğini de açıklar: tek bir kararın sonucu, toplam servetlerinin küçük bir parçasıdır.

1.2.5Ellsberg torbası: belirsizlikten kaçınma

Şimdiye kadar olasılıkların bilindiğini varsaydık. Zar atarken her yüzün 1/6 olasılıkla geldiğini biliriz. Ama yeni bir ürünün başarı olasılığını kimse bilmez. Risk altında olasılıklar bilinir; belirsizlik altında bilinmez. İnsanlar bu iki duruma aynı davranmaz. Daniel Ellsberg 1961'de bunu basit bir deneyle gösterdi (Ellsberg, 1961).

Bir torbada 90 top vardır. 30'u kırmızıdır. Kalan 60 top siyah ya da sarıdır, ama kaçının siyah olduğu bilinmez. Torbadaki siyah top sayısına s diyelim; s, 0 ile 60 arasında herhangi bir sayı olabilir. Bir top çekilir ve kazandıran renk çekilirse 100 TL ödenir. İki bahis sorulur.

Tipik tercihler şöyledir: birinci bahiste çoğu kişi “kırmızı”yı, ikinci bahiste “siyah ya da sarı”yı seçer. İki tercihte de ortak bir özellik vardır: seçilen seçeneğin kazanma olasılığı bilinmektedir. Birinci bahiste kırmızının olasılığı 30/90'dır. İkinci bahiste siyah ya da sarının olasılığı 60/90'dır. Öteki seçeneklerin olasılığı ise s'ye bağlıdır ve bilinmez.

Bu sonuç fayda fonksiyonunun biçimiyle de kurtarılamaz. Her seçenekte ödül aynıdır (100 TL ya da 0), yani fayda eğriliği yalnız iki sayıyı ölçekler; hangi seçeneğin daha olası olduğu algısını değiştirmez. Olasılığı bilinmeyen seçenekten uzak durma eğilimine belirsizlikten kaçınma (ambiguity aversion) denir. Riskten kaçınmadan farklıdır: riskten kaçınma bilinen olasılıklı sonuçların dağılımına, belirsizlikten kaçınma ise olasılıkların bilinmemesine verilen tepkidir.

Belirsizlikten kaçınmanın uç biçimi, olasılıklar hiç bilinmediğinde her seçenek için en kötü durumu düşünmek ve en kötü durumu en iyi olan seçeneği seçmektir. Bu kurala maksimin denir ve bir sonraki alt bölümün konusudur. Ellsberg torbasında maksimin şöyle düşünür: “siyah” bahsinde en kötü durum s = 0'dır ve kazanma olasılığı sıfırdır; “kırmızı”nın kazanma olasılığı ise hep 30/90'dır. Bu yüzden kırmızı seçilir. İkinci bahiste “kırmızı ya da sarı”nın en kötü durumu s = 60'tır ve olasılık 30/90'a düşer; “siyah ya da sarı” ise hep 60/90 verir. Maksimin iki tipik tercihi de açıklar.

1.2.6Olasılıklar bilinmezse: belirsizlik ölçütleri

Bir yatırımcı üç eylemden birini seçecek: büyük yatırım, küçük yatırım ya da hiç yatırım yapmamak. Sonuç ekonominin durumuna bağlıdır: iyi, orta ya da kötü. Yatırımcı bu durumların olasılıklarını bilmiyor. Tablo 1.6 her eylemin her durumdaki kazancını gösterir. Satırlar eylemler, sütunlar durumlardır.

Olasılıklar bilinmediği için beklenen fayda hesaplanamaz. Bunun yerine, her biri farklı bir “karamsarlık” derecesi taşıyan ölçütler kullanılır. Hepsinin ortak noktası yalnız tablodaki sayılara bakmasıdır. Bu durumu belirsizlik altında karar problemi olarak adlandırıyoruz.

Her ölçütün arkasında bir bakış açısı vardır. Maksimin karamsardır: “Ne seçersem seçeyim doğa bana en kötüsünü yapacak” varsayımıyla hareket eder. Maksimaks iyimserdir: “Ne seçersem seçeyim en iyisi olacak” diye düşünür. Laplace “Hiçbir şey bilmiyorsam her duruma eşit olasılık vermeliyim” der; bu yüzden bilgisizliği eşit olasılıkla temsil eder. Savage'in ölçütü sonucun kendisine değil, sonradan duyulacak pişmanlığa bakar (Savage, 1951).

Şekil 1.6 bütün ara sonuçları tek tabloda toplar. Pişmanlık hesabında sık bir yanılgı, pişmanlığı satırın en iyisine göre hesaplamaktır. Oysa pişmanlık sütunun en iyisine göre hesaplanır: “Bu durumun gerçekleşeceğini bilseydim ne seçerdim ve ne kaybettim?” Kötü durumda en iyisi hiç yatırım yapmamaktır (0). Büyük yatırım yapan kişi kötü durumda −120 alır ve 120 pişmanlık duyar.

Bu dört ölçüte bir beşinci eklenebilir. Hurwicz ölçütü (Hurwicz criterion) iki uç arasında durur. Bir iyimserlik katsayısı α (0 ile 1 arasında) seçilir ve her eylem

α · (satır maks.) + (1 − α) · (satır min.)

ile puanlanır. α = 0 maksimin, α = 1 maksimakstır. α = 0,5 ile puanlar: Büyük 0,5 · 200 + 0,5 · (−120) = 40, Küçük 0,5 · 90 + 0,5 · (−20) = 35, Yok 0. Karar Büyük yatırımdır.

Hangi ölçüt doğrudur? Bu sorunun tek bir cevabı yoktur. Olasılıklar tahmin edilebiliyorsa en iyisi onları tahmin edip beklenen faydaya dönmektir. Tahmin edilemiyorsa ölçüt seçimi karar vericinin tutumunu yansıtır. Felaket riskinin kabul edilemediği durumlarda (bir köprünün tasarımı, bir hastanın tedavisi) maksimin makul olabilir. Sık tekrarlanan küçük kararlarda Laplace ya da beklenen fayda daha uygundur. Oyun kuramında maksimin özel bir yer tutar: iki kişilik sıfır toplamlı oyunlarda rakip gerçekten en kötüsünü yapmak isteyen biridir ve maksimin doğal bir ölçüt hâline gelir.

1.2.7Kod izleme: olcutler()

Dört ölçüt kısa bir Python fonksiyonuyla hesaplanabilir. Fonksiyon kazanç tablosunu bir liste listesi olarak alır: U[i][j], eylem i'nin durum j'deki kazancıdır. Dört ölçütün seçtiği eylemlerin indislerini döndürür.

def olcutler(U):
    A, m = range(len(U)), len(U[0])
    mm = max(A, key=lambda i: min(U[i]))      # maximin
    mx = max(A, key=lambda i: max(U[i]))      # maximax
    lp = max(A, key=lambda i: sum(U[i]) / m)  # Laplace
    enb = [max(r[j] for r in U) for j in range(m)]
    pis = [max(enb[j] - r[j] for j in range(m))
           for r in U]            # en büyük pişmanlık
    sv = pis.index(min(pis))                  # Savage
    return mm, mx, lp, sv

Kod satır satır şöyle çalışır:

• A eylem indislerinin aralığıdır (0, 1, 2); m durum sayısıdır (3).
• max(A, key=…), A içindeki indisler arasından key fonksiyonunun değerini en büyük yapanı döndürür. lambda i: min(U[i]) küçük, adsız bir fonksiyondur: i indisini alır ve o satırın en küçük değerini verir. Bu satır maksimin kuralının birebir karşılığıdır.
• mx aynı yapıyı satır maksimumlarıyla, lp satır ortalamalarıyla kurar.
• enb listesi her sütunun en büyük değeridir: r[j] for r in U, bütün satırların j-inci öğesini dolaşır.
• pis listesi her satır için en büyük pişmanlığı tutar: her sütunda enb[j] - r[j] hesaplanır ve bunların en büyüğü alınır.
• sv, pis listesindeki en küçük değerin indisidir.

Fonksiyon (2, 0, 0, 1) döndürür. Bu dörtlü, elle bulunan sonuçların aynısıdır: maksimin Yok, maksimaks ve Laplace Büyük, Savage Küçük. Bir ayrıntıya dikkat edilmelidir: max eşitlik durumunda ilk bulduğu indisi döndürür. İki eylemin en kötü sonucu eşit olsaydı kod listede önce geleni seçerdi. Elle hesapta da eşitliklerin nasıl bozulacağına önceden karar vermek gerekir.

Laplace satırında toplam m'ye bölünmüştür. Bütün satırlar aynı sayıya bölündüğü için bölme sıralamayı değiştirmez; kod yalnız toplamlara bakarak da aynı kararı verirdi. Bölme, sonucu “ortalama kazanç” olarak yorumlanabilir kılmak içindir. Bu, 1.1.8'deki afin dönüşüm sonucunun küçük bir örneğidir: bütün puanları pozitif bir sayıyla çarpmak sıralamayı korur.

1.3Bayesçi karar

Beklenen fayda hesabı olasılıkları kullanır. Peki olasılıklar yeni bir bilgi geldiğinde nasıl değişir? Bir test pozitif çıktığında hastalık olasılığı ne olur? Bir hava tahmini “yağmur” dediğinde yağmur olasılığı ne olur? Bu kısımda inancı kanıtla güncellemenin kuralını, Bayes kuralını, kuruyor ve güncellenmiş olasılıkla karar vermeyi gösteriyoruz.

1.3.1Koşullu olasılık

Bayes kuralını anlamak için önce koşullu olasılık gerekir. P(A), A olayının olasılığıdır. P(A | B) ise “B olduğu bilindiğinde A'nın olasılığı” demektir ve “B verildiğinde A'nın olasılığı” diye okunur. Dikey çizginin sağı bilinen bilgidir, solu sorulan olaydır.

Tanımı bir sayma örneğiyle düşünmek kolaydır. Bir sınıfta 40 öğrenci olsun; 10'u gözlüklü, gözlüklülerin 4'ü kız olsun. Rastgele seçilen öğrencinin gözlüklü olduğu bilindiğinde kız olma olasılığı 4/10 = 0,4'tür. Formülle: P(kız ve gözlüklü) = 4/40, P(gözlüklü) = 10/40; oran (4/40)/(10/40) = 4/10. Koşul, sayılan topluluğu daraltır: artık yalnız gözlüklülere bakılır.

En önemli nokta şudur: P(A | B) ile P(B | A) genellikle farklıdır. Gözlüklü bir öğrencinin kız olma olasılığı 0,4'tür. Bir kız öğrencinin gözlüklü olma olasılığı ise sınıftaki kız sayısına bağlıdır; 20 kız varsa 4/20 = 0,2'dir. İki olasılık aynı “kız ve gözlüklü” grubunu farklı topluluklara böler. Bu iki olasılığı karıştırmak, bu kısmın konusu olan en yaygın hatanın kaynağıdır.

Bayesçi karar dilinde üç terim sık geçer:

• Ön olasılık (prior): Kanıt görülmeden önceki inanç. Örneğin bir hastalığın toplumdaki yaygınlığı, P(hasta).
• Olabilirlik (likelihood): Gerçek durum bilindiğinde gözlenen kanıtın olasılığı. Örneğin P(+ | hasta), hasta birinin testinin pozitif çıkma olasılığı.
• Son olasılık (posterior): Kanıt görüldükten sonraki güncellenmiş inanç. Örneğin P(hasta | +).

1.3.2Tıbbi test ve doğal sıklıklar

Bir hastalık toplumda %1 yaygındır. Hastalık için bir test vardır. Testin duyarlılığı (sensitivity) %90'dır: hastaların %90'ında test pozitif çıkar. Testin yanlış pozitif oranı %9'dur: sağlıklıların %9'unda da test pozitif çıkar. Bir kişinin testi pozitif çıktı. Bu kişinin gerçekten hasta olma olasılığı kaçtır?

Bu soruya çoğu kişi, hatta çoğu hekim, “%90 civarı” diye cevap verir. Doğru cevap yaklaşık %9'dur. Aradaki büyük farkı görmenin en kolay yolu olasılıklar yerine kişi sayılarıyla düşünmektir. Olasılıkları bir topluluktaki kişi sayılarına çevirmeye doğal sıklıklar (natural frequencies) yöntemi denir. Gigerenzer ve Hoffrage, aynı problemin doğal sıklıklarla sorulduğunda çok daha fazla kişi tarafından doğru çözüldüğünü göstermiştir (Gigerenzer ve Hoffrage, 1995).

Bu sonuç testin işe yaramadığı anlamına gelmez. Testten önce hastalık olasılığı %1'di; pozitif sonuçtan sonra %9,2'ye çıktı. Olasılık dokuz kattan fazla arttı. Ama başlangıç noktası çok düşük olduğu için son olasılık hâlâ %10'un altındadır. Bu yüzden tıpta pozitif bir tarama testinden sonra genellikle ikinci, daha kesin bir test yapılır.

1.3.3Bayes kuralı ve taban oranı ihmali

Doğal sıklıklarla yapılan hesap, genel bir formülün özel hâlidir.

Formül koşullu olasılık tanımından iki adımda çıkar. Birinci adım: tanıma göre P(H | K) = P(H ve K) / P(K)'dır. Çarpım kuralıyla pay P(K | H) · P(H) olarak yazılır. İkinci adım: K iki yoldan gerçekleşebilir, ya H ile birlikte ya ¬H ile birlikte. Bu iki yolun olasılıkları toplanınca P(K) = P(K | H) · P(H) + P(K | ¬H) · P(¬H) elde edilir. İki adım birleşince formül çıkar.

Tıbbi testte P(H) = 0,01, P(K | H) = 0,9, P(K | ¬H) = 0,09'dur. Pay 0,9 · 0,01 = 0,009, payda 0,009 + 0,09 · 0,99 = 0,009 + 0,0891 = 0,0981'dir. Oran 0,009 / 0,0981 ≈ 0,0917'dir. Bu, doğal sıklıklardaki 90/981'in aynısıdır; tek fark her sayının 10.000'e bölünmüş olmasıdır. Doğal sıklıklar aslında Bayes kuralının kişi sayılarıyla yazılmış hâlidir.

Taban oranı ihmali gerçek bir sorundur. Klasik bir çalışmada hekim ve tıp öğrencilerine şu soru soruldu: yaygınlığı 1/1000 olan bir hastalık için yanlış pozitif oranı %5 olan bir test pozitif çıkmıştır; kişinin hasta olma olasılığı nedir? 60 kişiden yalnız 11'i doğru cevaba (yaklaşık %2) ulaştı. En sık verilen cevap %95'ti (Casscells, Schoenberger ve Graboys, 1978).

Taban oranının önemi, yaygınlık değişince açıkça görülür. Aynı test (duyarlılık %90, yanlış pozitif %9) yaygınlığı %10 olan bir toplulukta kullanılsın. 10.000 kişiden 1.000'i hasta, 900'ü pozitif; 9.000 sağlıklıdan 810'u pozitif. P(hasta | +) = 900/1.710 = 10/19 ≈ %52,6'dır. Aynı test, hastalığın daha yaygın olduğu bir toplulukta çok daha anlamlı bir sonuç verir. Bu yüzden tarama testleri genellikle risk grubundaki kişilere uygulanır.

1.3.4Kod izleme: bayes()

Bir test sonucu tek başına yeterli değilse ikinci bir test yapılır. İkinci test için ön olasılık artık %1 değildir; birinci testin son olasılığıdır. Her yeni kanıt, bir önceki son olasılığı ön olasılık olarak kullanır. Buna ardışık güncelleme denir. Aşağıdaki fonksiyon bunu bir döngüyle yapar. Testlerin, kişinin gerçek durumu bilindiğinde birbirinden bağımsız sonuç verdiği varsayılır.

def bayes(p, duyarlilik, yp, testler):
  for sonuc in testler:
    if sonuc == "+":
      pay = duyarlilik * p
      payda = pay + yp * (1 - p)
    else:
      pay = (1 - duyarlilik) * p
      payda = pay + (1 - yp) * (1 - p)
    p = pay / payda
    print(sonuc, round(p, 4))
  return p

Fonksiyonun parametreleri şunlardır: p başlangıç ön olasılığı, duyarlilik P(+ | hasta), yp yanlış pozitif oranı P(+ | sağlıklı), testler ise "+" ve "-" sonuçlarından oluşan liste. Döngü her sonuç için şunu yapar:

• Sonuç "+" ise pozitif sonucun olabilirlikleri kullanılır: hastada duyarlilik, sağlıklıda yp.
• Sonuç "-" ise negatif sonucun olabilirlikleri kullanılır: hastada 1 - duyarlilik, sağlıklıda 1 - yp.
• pay, Bayes kuralının payıdır; payda, kanıtın toplam olasılığıdır.
• p = pay / payda ataması son olasılığı hesaplar ve aynı değişkene yazar. Böylece bir sonraki turda bu değer ön olasılık olur.

Fonksiyon her turda yeni olasılığı yazdırır ve sonunda 0.0999 döndürür. Şekil 1.8 olasılığın seyrini gösterir. Birinci pozitif, olasılığı %1'den %9,2'ye çıkarır. İkinci bağımsız pozitif onu yaklaşık %50'ye taşır. Üçüncü test negatif çıkınca olasılık yeniden %10'a iner. Negatif sonuç güçlü bir kanıttır, çünkü hastaların yalnız %10'unda test negatif çıkar; sağlıklılarda ise %91'inde.

Ardışık güncellemenin iki önemli özelliği vardır. Birincisi, sıra önemli değildir: aynı üç sonuç ("+", "-", "+") sırasıyla işlense de son olasılık 0,0999 çıkar. İkincisi, iki pozitif sonucu birlikte tek seferde işlemek de aynı sonucu verir: iki bağımsız pozitifin olabilirliği hastada 0,9 · 0,9 = 0,81, sağlıklıda 0,09 · 0,09 = 0,0081'dir. Pay 0,81 · 0,01 = 0,0081, payda 0,0081 + 0,0081 · 0,99 ≈ 0,0161'dir; oran yine yaklaşık 0,5025'tir. Ama her testi baştan %1 ön olasılıkla değerlendirmek yanlıştır: o zaman iki pozitifin birikmiş kanıtı kaybolur.

1.3.5Bayesçi karar kuralı: tedavi mi, bekle mi?

Son olasılığı bulmak işin yarısıdır. Asıl soru, bu olasılıkla ne yapılacağıdır. Bir hekim, pozitif testten sonra hastayı tedavi etmeli mi, yoksa beklemeli mi? Bu karar hem olasılığa hem de iki tür hatanın bedeline bağlıdır. Sağlıklı birini gereksiz yere tedavi etmek bir bedeldir (yan etkiler, maliyet). Hasta birini tedavi etmemek ise çok daha büyük bir bedeldir.

Kayıp, faydanın tersi gibi düşünülebilir: küçük olması iyidir. Kayıplarla çalışmak tıp ve mühendislikte daha doğaldır, çünkü hataların bedeli doğrudan ölçülür. Beklenen kaybı en küçük yapmak, kayıpların eksi işaretlisini fayda alıp beklenen faydayı en büyük yapmakla aynı şeydir.

Eşik formülü genel olarak yazılabilir. Gereksiz tedavinin kaybı c, tedavisiz hastanın kaybı k ise tedavi (1 − p)c < pk iken, yani p > c/(c + k) iken seçilir. Formülün yorumu açıktır: hastalığı kaçırmak ne kadar pahalıysa (k büyüdükçe) eşik o kadar düşer. Ölümcül bir hastalıkta düşük bir olasılık bile tedaviye yeter. Tedavinin kendisi tehlikeliyse (c büyükse) eşik yükselir. Karar yalnız olasılığa değil, kayıpların oranına da bağlıdır.

1.3.6Laboratuvara dönüş: yağmur tahmini

Şimdi 1.1.1'deki oyunun sorusuna dönebiliriz. Yağmurun ön olasılığı 0,35, tahminin doğruluğu %90'dır. “Doğruluk %90” şu anlama gelir: yağmur yağacaksa tahmin %90 olasılıkla “yağmur” der, hava kuru gidecekse %90 olasılıkla “kuru” der. Yani P(“yağmur” | yağmur) = 0,9 ve P(“yağmur” | kuru) = 0,1'dir.

Tablo 1.10 bilginin neden değerli olduğunu gösterir. Sinyal olmadan kapalı mekân seçilir. Sinyal “kuru” derse karar açık havaya döner ve beklenen fayda 3,35'ten 7,21'e çıkar. Bilgi ancak kararı değiştirebildiği durumlarda işe yarar; “yağmur” sinyali kararı değiştirmez, ama “kuru” sinyali değiştirir.

Oyunun üçüncü düzeyinde sinyalin doğruluğu %78'dir ve sinyal ancak 1 birim ödenerek görülebilir. Satın almaya değer mi? Bunu yanıtlamak için sinyalin değeri hesaplanır: sinyalden sonra karar verildiğinde beklenen kazanç eksi yalnız ön olasılıkla karar verildiğinde beklenen kazanç.

Oyunda bir “EU-optimal” sayacı vardır. Bu sayaç şanslı sonuçları değil, eldeki bilgiyle beklenen faydayı maksimize eden kararları sayar. Örneğin “kuru” sinyalinden sonra açık havayı seçen biri, %5,6 olasılıkla yağmura yakalanır ve −6 alır. Bu kötü bir sonuçtur, ama karar iyiydi. Aynı durumda kapalıyı seçip şans eseri 4 alan biri ise kötü bir karar vermiş ama iyi bir sonuç almıştır. Uzun vadede iyi kararlar iyi sonuçların ortalamasını getirir; tek bir sonuç kararın kalitesini göstermez.

1.3.7Rakibin tipini güncellemek

Bayes kuralı, tek kişilik kararlardan oyunlara geçişte bir köprüdür. Eksik bilgili bir oyunda bilinmeyen “durum” çoğu zaman rakibin kendisidir: rakibin elindeki kartlar, rakibin ne tür bir oyuncu olduğu. Rakibin bu gizli özelliğine tip denir. Tipe dair inanç ön olasılıktır; rakibin hamlesi ise kanıttır.

Kazanç ve kayıp eşit büyüklükte (30) olduğu için görmek ancak P(blöfçü) > 0,5 iken kârlıdır. Tek yükseltme inancı 0,2'den 0,429'a çıkarır ama eşiğe ulaştırmaz. İkinci yükseltme eşiği aşar. Karar, kanıt biriktikçe değişir.

Bu örnekte sık yapılan hata, P(yükseltme | blöfçü) = 0,9'u P(blöfçü | yükseltme) sanmaktır. Bu, tıbbi testteki taban oranı ihmalinin aynısıdır. Dürüst oyuncular daha kalabalık olduğu için yükseltmelerin çoğu onlardan gelir: toplam yükseltme olasılığı 0,42'nin 0,24'ü dürüstlerden gelir, yani yükseltmelerin yaklaşık %57'si dürüst oyunculara aittir.

Bu bakış, kart oyunlarındaki davranışları açıklar. Poker ve Hokm'da bahis ve koz seçimleri, rakiplerin güncellemesine kanıt olur. Blöf, rakibin güncellemesini yönlendirme çabasıdır: blöfçü, dürüst bir oyuncunun yapacağı hamleyi yaparak rakibin son olasılığını yanlış yöne çeker. Akıllı bir rakip ise bunu bilir ve olabilirlikleri buna göre ayarlar. Bu karşılıklı düşünme, tek kişilik karar kuramından oyun kuramına geçişin tam noktasıdır.

1.4Karar ağaçları ve bilginin değeri

Gerçek kararlar çoğu zaman tek adımda verilmez. Önce bir bilgi toplanır, sonra o bilgiye göre bir karar verilir, sonra doğa sonucu belirler. Böyle sıralı kararları düzenlemenin aracı karar ağacıdır. Bu kısımda bir ürün lansmanı problemini karar ağacıyla çözüyor ve bilginin parasal değerini hesaplıyoruz.

1.4.1Karar ağacının öğeleri

Karar ağacı, doğanın da hamle yaptığı bir oyun ağacıdır. Tek fark, doğanın bir oyuncu gibi kendi kazancını düşünmemesi, yalnız olasılıklarla hareket etmesidir. Ağaç geriye doğru çıkarım (backward induction) ile çözülür: yapraklardan başlanır ve köke doğru ilerlenir. Her düğümün değeri, çocuklarının değerleri bilindiğinde hesaplanabilir. Şans düğümünde ortalama, karar düğümünde en büyük değer alınır.

Neden geriye doğru? Çünkü bir karar düğümünde doğru seçimi yapmak için her dalın değerini bilmek gerekir. Bir dalın değeri ise o dalda ileride verilecek kararlara ve gerçekleşecek şans olaylarına bağlıdır. Sondan başlamak, her adımda gereken bilgiyi hazır tutar. Bu yöntem satranç gibi oyunların ağaçlarında da kullanılır.

1.4.2Ürün lansmanı problemi

Bir firma yeni ürünü piyasaya sürüp sürmemeye karar verecek. Pazar iyi giderse (olasılık 2/5) +500, kötü giderse (olasılık 3/5) −200 bin TL kazanılır. Ürün sürülmezse kazanç 0'dır. Firma karar vermeden önce 20 bin TL'ye bir pazar araştırması yaptırabilir. Araştırma raporu kusurludur:

• Pazar gerçekten iyiyse rapor %80 olasılıkla “olumlu” der: P(olumlu | iyi) = 0,8.
• Pazar kötüyse rapor %10 olasılıkla yine “olumlu” der: P(olumlu | kötü) = 0,1.

Ağacı çözmek için şans düğümlerindeki olasılıklar gerekir. Araştırma yapılırsa ilk şans olayı raporun kendisidir. Rapordan sonra ise pazarın iyi olma olasılığı rapora göre güncellenmelidir. Bunlar Bayes kuralıyla bulunur.

Yaprakların net kazançları da hesaplanmalıdır. Araştırma yapılan yollarda 20 bin TL düşülür: iyi pazarda sürmek 500 − 20 = 480, kötü pazarda sürmek −200 − 20 = −220, sürmemek 0 − 20 = −20 verir. Araştırma yapılmayan yollarda yapraklar 500, −200 ve 0'dır.

1.4.3Geriye doğru çıkarım adım adım

Burada “strateji” sözcüğü önemlidir. Sonuç yalnız “araştır” değildir; her olası rapora karşı ne yapılacağını söyleyen tam bir plandır. Oyun kuramında da strateji böyle tanımlanır: oyuncunun karşılaşabileceği her durumda ne yapacağını önceden belirleyen eksiksiz bir plan.

Yedinci adımdaki hesap küçük bir kısayol içerir: 0,38 · 7020/19 = 0,02 · 7020 = 140,4. Kesirleri sona kadar korumak yuvarlama hatalarını önler. 369,5 yuvarlanmış değeri kullanılsa da sonuç 128'e çok yakın çıkar (140,41 − 12,4 = 128,01).

1.4.4Kod izleme: deger()

Geriye doğru çıkarım özyinelemeli (kendini çağıran) bir fonksiyonla kısaca yazılır. Ağacın her düğümü Python'da bir demet (tuple) ile, her yaprak ise bir sayıyla gösterilir. Şans düğümü ("S", [(olasılık, çocuk), …]), karar düğümü ("K", [(ad, çocuk), …]) biçimindedir.

def deger(n):
    if not isinstance(n, tuple):    # yaprak
        return n
    tur, dallar = n
    if tur == "S":                  # şans düğümü
        return sum(p * deger(c) for p, c in dallar)
    return max(deger(c) for ad, c in dallar)  # karar

Kod satır satır şöyle çalışır:

• n bir demet değilse bir yapraktır; değeri sayının kendisidir ve doğrudan döndürülür. Özyinelemenin durma koşulu budur.
• Demetse iki parçaya ayrılır: tur ("S" ya da "K") ve dallar listesi.
• Şans düğümünde her dalın değeri deger(c) ile özyinelemeli olarak bulunur, olasılığıyla çarpılır ve toplanır.
• Karar düğümünde dalların değerlerinin en büyüğü döndürülür. Dalın adı (ad) hesapta kullanılmaz; yalnız okunabilirlik içindir.

Lansman ağacı bu biçimde şöyle yazılır:

agac = ("K", [
    ("Araştır", ("S", [
        (0.38, ("K", [("Sür", ("S", [(16/19, 480), (3/19, -220)])),
                      ("Sürme", -20)])),
        (0.62, ("K", [("Sür", ("S", [(4/31, 480), (27/31, -220)])),
                      ("Sürme", -20)]))])),
    ("Doğrudan", ("K", [("Sür", ("S", [(0.4, 500), (0.6, -200)])),
                        ("Sürme", 0)]))])

deger(agac) çağrısı ağacı derinlik öncelikli dolaşır: bir dala girer, o dalın en derinine iner, değeri hesaplayıp geri döner, sonra bir sonraki dala geçer. Tablo 1.12 çağrıların sırasını ve dönen değerleri gösterir. “Yığın” sütunu o anda açık olan çağrıları gösterir; her yeni çağrı yığının üstüne eklenir, her dönüş üstteki çağrıyı kaldırır.

Fonksiyon 128.0 döndürür; elle bulunan değerin aynısıdır. Kod yalnız değeri döndürür, hangi dalın seçildiğini döndürmez. Stratejiyi de elde etmek için karar düğümünde max ile birlikte dalın adını da saklamak gerekir. Fonksiyonun çalışma süresi ağaçtaki düğüm sayısıyla orantılıdır, çünkü her düğüm tam bir kez ziyaret edilir. Bu ağaçta 17 düğüm vardır: 4 karar düğümü (kök, olumlu, olumsuz, Doğrudan), 4 şans düğümü ve 9 yaprak.

1.4.5Mükemmel bilginin değeri (EVPI)

Araştırma yapmak, araştırmasız karara göre beklenen değeri 80'den 128'e çıkardı. Bilginin ne kadar değerli olduğunu sistemli olarak ölçmek için iki kavram kullanılır. Birincisi, hiçbir kusuru olmayan bir bilgi kaynağının değeridir.

Mükemmel bilgiyi bir kâhin gibi düşünmek kolaydır. Kâhin pazarın iyi mi kötü mü olacağını önceden söyler. Ama kâhinin ne diyeceği de önceden bilinmez: %40 olasılıkla “iyi”, %60 olasılıkla “kötü” der. Bu yüzden mükemmel bilgiyle değer de bir beklenen değerdir.

EVPI'nın nereden geldiğine bakmak öğreticidir. Bilgi olmadan ürün her durumda sürülür. Kâhin yalnız kötü pazarda kararı değiştirir: sürmek yerine sürmemeyi seçtirir ve −200'lük kaybı önler. Bu kazanç %60 olasılıkla gerçekleşir: 0,6 · 200 = 120. EVPI tam olarak kararı değiştiren durumların beklenen kazancıdır.

1.4.6Örnek bilginin değeri (EVSI)

Gerçek bilgi kaynakları kusurludur. Pazar araştırması bazen yanılır. Kusurlu bilginin değeri EVPI'dan küçüktür ve ayrıca hesaplanmalıdır.

EVSI bir eşik görevi görür. Araştırmanın maliyeti 68'den küçükse araştırma yapılır, büyükse yapılmaz. Örneğin araştırma 70 bin TL olsaydı EVSI = 68 < 70 olurdu. Araştırmalı yolun değeri 148 − 70 = 78'e düşer ve doğrudan sürmenin 80'inden küçük kalır. En iyi strateji araştırmadan doğrudan sürmek olurdu (beklenen 80).

Bilgi neden değerlidir? Çünkü kararı değiştirebilir. Bu örnekte olumsuz rapor “sürme” kararına yol açar; araştırmanın değeri pozitiftir. Olumsuz rapor bile sürmeyi daha iyi gösterseydi, rapor ne derse desin aynı karar verilirdi ve araştırmanın değeri sıfır olurdu. Bu ilke, bilgi toplamanın genel kuralıdır: hiçbir sonucu kararı değiştirmeyecek bir test, ne kadar doğru olursa olsun, para etmez.

1.5Tartışma: risk ve belirsizlik altında daha iyi karar

Bölümün araçları birlikte bir karar verme yöntemi oluşturur. Bu yöntem dört ilkeyle özetlenebilir.

• Bilginin değeri hesaplanır. Güncel veri kararı iyileştirir, ama bilgi toplamak ücretsiz değildir. Bilgi toplamak ancak EVSI maliyetinden büyükse kârlıdır. EVPI ise ödenebilecek en yüksek bedelin üst sınırıdır.
• Senaryolar ve karar ağacı açıkça yazılır. Olası durumlar ve olasılıkları açıkça yazılınca ağaç geriye doğru çözülebilir. Ağacı çizmek, gözden kaçan seçenekleri (ör. “önce araştır”) görünür kılar.
• Ön olasılık hesaba katılır. Taban oranları Bayes kuralıyla son olasılığa girer. Doğal sıklıklarla düşünmek (“10.000 kişiden kaçı?”) taban oranı ihmalini azaltır.
• Rakipler ve çeşitlendirme düşünülür. Sonucu doğa değil başka karar vericiler belirliyorsa, oyun kuramı ve simülasyon rakip davranışını modeller. Birbirinden bağımsız risklere yayılmak (portföy çeşitlendirmesi) toplam riski azaltır; sigortacının yaklaşık risk nötr davranabilmesinin nedeni de budur.

Bu ilkelerin hepsi bir ayrıma dayanır: kararın kalitesi ile sonucun kalitesi farklı şeylerdir. Beklenen faydayı maksimize eden bir karar, şans kötü giderse kötü bir sonuç verebilir. Kararları sonuçlarına göre yargılamak, şansın payını kararın payı sanmak demektir. Bir karar, verildiği anda mevcut olan bilgiyle değerlendirilmelidir.

1.5.1Karar problemleri için kontrol listesi

Bir karar problemiyle karşılaşıldığında şu sorular sırayla sorulabilir:

1. Seçenekler (eylemler) nelerdir? Sonucu belirleyen durumlar nelerdir?
2. Durumların olasılıkları biliniyor mu? Biliniyorsa risk altında karar (beklenen fayda), bilinmiyorsa belirsizlik altında karar (maksimin, Laplace, Savage, Hurwicz) söz konusudur.
3. Sonuçlar para ise karar verici risk nötr mü? Değilse fayda fonksiyonu ya da kesinlik eşdeğeri kullanılır.
4. Bir kanıt (test, rapor, sinyal) var mı? Varsa ön olasılık Bayes kuralıyla güncellenir; olabilirlik ile son olasılık karıştırılmaz.
5. Kararlar sıralı mı? Öyleyse karar ağacı çizilir ve geriye doğru çözülür.
6. Ek bilgi satın alınabiliyor mu? EVSI hesaplanır ve maliyetle karşılaştırılır.

1.5.2Dört kısa problem

Aşağıdaki dört problem bölümün dört ana hesabını tekrar eder. Her biri, bölümdeki bir örneğin bir sayısı değiştirilerek elde edilmiştir.

1.5.3Etkileşimli oyunlar

Bölümün kavramları ders sitesindeki birkaç oyunda doğrudan karşılık bulur:

• Bayesçi Karar Laboratuvarı: ön olasılık, olabilirlik ve kazançlara göre son olasılık ve karar; üçüncü düzeyde bilginin değeri.
• Blackjack: kart çekme ya da durma kararında batma olasılığı ve temel strateji.
• Mayın Tarlası: açılan sayılara göre hücrelerin mayın olasılığını güncelleme.
• Pişti: oynanan kartları hatırlayarak rakibin elindeki kartlar hakkında çıkarım.
• Hokm: eksik bilgili, takım hâlinde oynanan kart oyunu; koz seçimi ve sinyalleşme.
• Poker: eksik bilgi, olasılık ve blöf; rakibin elini olasılıkla tahmin etme.
• Tavla: zarlı oyunda hamleleri sezgisel bir değerlendirme fonksiyonuyla puanlama; üç farklı ağırlık profili.

Bu oyunların hepsinde aynı döngü vardır: bir inanç tutulur, yeni gözlemle güncellenir ve güncel inançla beklenen kazancı en büyük hamle seçilir. Tavla gibi şans düğümlü oyunlarda hamle seçimi, zarların olası sonuçları üzerinde ortalama alan bir karar ağacı aramasıdır.

1.6Özet

• Beklenen fayda: E[u] = Σ p_i u(x_i). Piyango A (½: 900; ½: 0) için E[X] = 450, ama √x ile E[u] = 15 < u(400) = 20; beklenen değer A'yı, beklenen fayda B'yi seçer. St. Petersburg paradoksu, beklenen değerin tek başına yetmediğini gösterir.
• vNM aksiyomları (tamlık, geçişlilik, süreklilik, bağımsızlık) sağlanıyorsa karar verici beklenen faydayı maksimize eder. Allais seçimleri bağımsızlığı, Ellsberg seçimleri tutarlı bir olasılık inancını çiğner.
• Fayda ölçeği: a · u + b (a > 0) dönüşümü hiçbir piyango kararını değiştirmez; afin olmayan artan dönüşümler değiştirebilir. Fayda farkları ve kişiler arası karşılaştırmalar anlamlı değildir.
• Risk tutumu: içbükey → kaçınan (KE 225, prim 225); doğrusal → nötr (prim 0); dışbükey → seven (prim negatif). Jensen eşitsizliği bu sınıflandırmanın temelidir. Sigortada 80 ile 116 arasındaki primler iki tarafa da kazandırır.
• Belirsizlik ölçütleri: aynı tabloda maksimin Yatırım yok, maksimaks ve Laplace Büyük, Savage Küçük yatırımı seçer. Hurwicz ölçütü iyimserlik katsayısıyla iki uç arasında geçiş yapar.
• Bayesçi karar: yaygınlık %1, duyarlılık %90, yanlış pozitif %9 ⇒ P(hasta | +) ≈ %9,2. Ardışık testlerde son olasılık bir sonraki testin ön olasılığıdır. Tedavi, beklenen kaybı küçük olduğunda, yani p > 3/23 iken seçilir.
• Karar ağacı: şans düğümünde ortalama, karar düğümünde en büyük değer alınır. Araştır (128) > araştırmasız (80); EVPI = 120, EVSI = 68. Bilgi ancak kararı değiştirebiliyorsa değerlidir.

1.7Kavram listesi

Terimlerin İngilizce karşılıkları ve öteki bölümlerdeki kullanımları terim sözlüğünde bulunur.

• karar alma decision making
• risk altında karar decision under risk
• belirsizlik altında karar decision under uncertainty
• piyango lottery
• fayda fonksiyonu utility function
• beklenen fayda expected utility
• St. Petersburg paradoksu St. Petersburg paradox
• von Neumann–Morgenstern aksiyomları von Neumann–Morgenstern axioms
• tamlık / süreklilik / bağımsızlık aksiyomları completeness / continuity / independence axioms
• Allais paradoksu Allais paradox
• kesinlik etkisi certainty effect
• afin dönüşüm affine transformation
• kardinal fayda cardinal utility
• azalan marjinal fayda diminishing marginal utility
• içbükey concave
• dışbükey convex
• Jensen eşitsizliği Jensen's inequality
• risk tutumu risk attitude
• riskten kaçınan risk-averse
• risk nötr risk-neutral
• risk seven risk-loving
• kesinlik eşdeğeri (KE) certainty equivalent
• risk primi risk premium
• Ellsberg paradoksu Ellsberg paradox
• belirsizlikten kaçınma ambiguity aversion
• maksimin maximin
• maksimaks maximax
• Laplace ölçütü Laplace criterion
• minimaks pişmanlık minimax regret
• Hurwicz ölçütü Hurwicz criterion
• iyimserlik katsayısı coefficient of optimism
• koşullu olasılık conditional probability
• ön olasılık prior
• olabilirlik likelihood
• son olasılık posterior
• Bayes kuralı Bayes' rule
• duyarlılık sensitivity
• doğal sıklıklar natural frequencies
• taban oranı ihmali base-rate neglect
• kanıt evidence
• Bayesçi karar kuralı Bayesian decision rule
• beklenen kayıp expected loss
• tip type
• blöf bluffing
• karar ağacı decision tree
• karar düğümü decision node
• şans düğümü chance node
• geriye doğru çıkarım backward induction
• mükemmel bilginin beklenen değeri (EVPI) expected value of perfect information
• örnek bilginin beklenen değeri (EVSI) expected value of sample information

1.8Kendini Dene

1. Piyango M: %40 olasılıkla 1.600 TL, %60 olasılıkla 100 TL. Fayda u(x) = √x. Beklenen değer, beklenen fayda, kesinlik eşdeğeri ve risk primi nedir? Bu kişi M ile kesin 500 TL arasında neyi seçer?

   Cevap

   E[M] = 0,4 · 1.600 + 0,6 · 100 = 640 + 60 = 700 TL. E[u] = 0,4 · 40 + 0,6 · 10 = 16 + 6 = 22. KE = 22² = 484 TL; risk primi 700 − 484 = 216 TL. Kesin 500 TL, KE'den büyüktür (√500 ≈ 22,4 > 22); kişi kesin 500 TL'yi seçer. Risk nötr biri ise 700 > 500 olduğu için M'yi seçerdi.

2. Bir karar vericinin fayda fonksiyonu u'dur. Aşağıdakilerden hangileri onun bütün piyango tercihlerini aynen korur: v₁ = 4u + 7, v₂ = u² (u ≥ 0 iken), v₃ = −2u + 1, v₄ = u/3 − 10?

   Cevap

   v₁ ve v₄ korur: ikisi de a · u + b biçimindedir ve a pozitiftir (4 ve 1/3). v₃ afindir ama a = −2 < 0; bütün sıralamayı tersine çevirir. v₂ artan ama afin değildir; kesin sonuçların sırasını korur, piyangolar arasındaki sırayı değiştirebilir (√x'in karesi x'tir ve A ile B'nin kararını tersine çevirir).

3. Servet 2.500 (bin TL); %4 olasılıkla 2.400'lük kayıp olur ve geriye 100 kalır. Fayda u(x) = √x. Kişinin tam sigorta için ödemeye razı olduğu en yüksek prim ve risk nötr sigortacının isteyeceği en düşük prim nedir?

   Cevap

   Sigortasız E[u] = 0,96 · 50 + 0,04 · 10 = 48 + 0,4 = 48,4. KE = 48,4² = 2.342,56. En yüksek prim 2.500 − 2.342,56 = 157,44. Beklenen kayıp 0,04 · 2.400 = 96; sigortacı en az bunu ister. 96 ile 157,44 arasındaki primler iki tarafa da kazandırır. Aradaki 61,44, kişinin risk primidir (beklenen servet 2.404 − KE 2.342,56). Olasılık küçük olsa da kayıp büyük olduğu için kişinin razı olduğu en yüksek prim beklenen kaybın yaklaşık 1,64 katıdır.

4. Olasılıklar bilinmiyor. Kazançlar: A (İyi 60, Orta 30, Kötü −40), B (40, 20, 0), C (100, −10, −60). Maksimin, maksimaks, Laplace, Savage ve α = 0,6 ile Hurwicz hangi eylemi seçer?

   Cevap

   Satır minimumları −40, 0, −60 ⇒ maksimin B. Maksimumlar 60, 40, 100 ⇒ maksimaks C. Ortalamalar 16,7, 20, 10 ⇒ Laplace B. Sütun en iyileri 100, 30, 0; pişmanlıklar A (40, 0, 40), B (60, 10, 0), C (0, 40, 60); en büyükler 40, 60, 60 ⇒ Savage A. Hurwicz: A 0,6 · 60 + 0,4 · (−40) = 20, B 0,6 · 40 + 0 = 24, C 0,6 · 100 + 0,4 · (−60) = 36 ⇒ C. Beş ölçüt üç farklı eylem seçer.

5. Bir hastalığın yaygınlığı %2, testin duyarlılığı %95, yanlış pozitif oranı %5'tir. 10.000 kişilik toplulukta doğal sıklıklarla P(hasta | +) kaçtır? Test negatif çıkan birinin hasta olma olasılığı kaçtır?

   Cevap

   200 hasta: 190 pozitif, 10 negatif. 9.800 sağlıklı: 490 pozitif, 9.310 negatif. P(hasta | +) = 190/(190 + 490) = 190/680 ≈ %27,9. P(hasta | −) = 10/(10 + 9.310) = 10/9.320 ≈ %0,11. Negatif sonuç hastalığı neredeyse dışlar; pozitif sonuç ise hâlâ çoğunlukla yanlış alarmdır.

6. Önceki sorudaki pozitif testten sonra hekim karar veriyor. Sağlıklıya gereksiz tedavinin kaybı 40, hastayı tedavi etmemenin kaybı 160'tır. Tedavi eşiği nedir ve karar ne olur?

   Cevap

   Tedavi (1 − p) · 40 < p · 160 iken seçilir: 40 < 200p ⇒ p > 0,2. p ≈ 0,279 > 0,2 olduğu için tedavi seçilir. Beklenen kayıplar: tedavi (490/680) · 40 ≈ 28,8, bekle (190/680) · 160 ≈ 44,7.

7. Bir firmanın yeni ürünü iyi pazarda (olasılık 0,5) +300, kötü pazarda (0,5) −250 bin TL getirir; sürmezse 0. (a) Bilgisiz en iyi karar ve EVPI nedir? (b) Maliyetsiz bir araştırma için P(olumlu | iyi) = 0,8, P(olumlu | kötü) = 0,3'tür. EVSI kaçtır?

   Cevap

   (a) Sür: 0,5 · 300 + 0,5 · (−250) = 25 > 0 ⇒ sür, 25. Kâhinle 0,5 · 300 + 0,5 · 0 = 150; EVPI = 150 − 25 = 125. (b) P(olumlu) = 0,4 + 0,15 = 0,55. P(iyi | olumlu) = 0,4/0,55 = 8/11; sürmek 8/11 · 300 + 3/11 · (−250) = 1650/11 = 150 ⇒ sür. P(iyi | olumsuz) = 0,1/0,45 = 2/9; sürmek 2/9 · 300 + 7/9 · (−250) ≈ −127,8 ⇒ sürme (0). Araştırmalı değer 0,55 · 150 + 0,45 · 0 = 82,5; EVSI = 82,5 − 25 = 57,5 ≤ EVPI = 125.

8. Rakip %25 olasılıkla blöfçüdür. Blöfçü bir elde %60, dürüst oyuncu %20 olasılıkla yükseltir. Bir yükseltmeden sonra ve (başka bir elde) ikinci yükseltmeden sonra rakibin blöfçü olma olasılığı nedir? Görmek blöfçüye karşı +20, dürüste karşı −40 getirirse hangi gözlemden sonra görmek kârlıdır?

   Cevap

   Birinci yükseltme: 0,25 · 0,6 / (0,15 + 0,75 · 0,2) = 0,15/0,30 = 0,5. İkinci yükseltme: 0,5 · 0,6 / (0,3 + 0,5 · 0,2) = 0,3/0,4 = 0,75. Görmek 20p − 40(1 − p) > 0 ⇒ p > 2/3 iken kârlıdır. Birinci yükseltmeden sonra 0,5 < 2/3, çekilinir; ikinci yükseltmeden sonra 0,75 > 2/3, görülür (E[gör] = 15 − 10 = 5).

1.9İleri okuma

• S. Russell ve P. Norvig, Artificial Intelligence: A Modern Approach (2020), Bölüm 12–16: olasılık, Bayes kuralı, fayda kuramı, karar ağaçları ve bilginin değerini yapay ajanlar açısından adım adım anlatır.
• H. Raiffa, Decision Analysis (1968): karar ağaçlarını ve örnek bilginin değerini iş kararları üzerinden sunan klasik bir giriş kitabıdır.
• G. Gigerenzer ve U. Hoffrage, “How to improve Bayesian reasoning without instruction: Frequency formats” (1995): doğal sıklıkların Bayes hesabını neden kolaylaştırdığını deneylerle gösterir.
• D. Easley ve J. Kleinberg, Networks, Crowds, and Markets (2010), Bölüm 16: Bayes kuralının, insanların birbirini izleyerek karar verdiği bilgi çağlayanlarında nasıl kullanıldığını anlatır.

1.10Kaynaklar

1. M. Allais, “Le comportement de l'homme rationnel devant le risque: critique des postulats et axiomes de l'école américaine”, Econometrica 21(4), 503–546, 1953.
2. D. Bernoulli, “Specimen theoriae novae de mensura sortis”, Commentarii Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae 5, 1738.
3. W. Casscells, A. Schoenberger, T. B. Graboys, “Interpretation by physicians of clinical laboratory results”, New England Journal of Medicine 299, 999–1001, 1978.
4. D. Easley, J. Kleinberg, Networks, Crowds, and Markets, Cambridge University Press, 2010 (Bölüm 16: bilgi çağlayanları ve Bayes kuralı).
5. D. Ellsberg, “Risk, ambiguity, and the Savage axioms”, Quarterly Journal of Economics 75(4), 643–669, 1961.
6. G. Gigerenzer, U. Hoffrage, “How to improve Bayesian reasoning without instruction: Frequency formats”, Psychological Review 102(4), 684–704, 1995.
7. H. Raiffa, Decision Analysis: Introductory Lectures on Choices under Uncertainty, Addison-Wesley, 1968.
8. S. Russell, P. Norvig, Artificial Intelligence: A Modern Approach, 4. baskı, Pearson, 2020 (Bölüm 12–16: belirsizlik, Bayes, karar kuramı).
9. L. J. Savage, “The theory of statistical decision”, Journal of the American Statistical Association 46, 55–67, 1951.
10. J. von Neumann, O. Morgenstern, Theory of Games and Economic Behavior, Princeton University Press, 1944.

Araç: Gambit (şans düğümlü ağaçları çizip geriye doğru çözer) · Networks, Crowds, and Markets çevrimiçi sürümü · © Sercan Külcü. Tüm hakları saklıdır.