Giriş

Öğrenme Çıktıları

Temel Kavramlar

Çizge (Graph)

Temel Kavramlar

Düğüm (Vertex, Node)

• Çizgenin temel yapı taşıdır.
• Şehirler, kişiler, bilgisayarlar gibi nesneleri temsil eder.
• Düğüm, bir değer (etiket, ad, konum…) saklayabilir.
• Örnek: haritadaki şehirler ve kavşaklar.

Karayolu haritası: şehirler düğüm, yollar kenar

Temel Kavramlar

Kenar (Edge)

• Düğümleri birbirine bağlayan bağlantılardır.
• Kenarlar düğümler arasındaki ilişkiyi temsil eder.
• (v, w) bir kenar ise v ve w bitişik (komşu, adjacent) düğümlerdir; kenar bu iki düğüme bağlıdır (incident).
• Örnek: şehirler arasındaki yollar, bilgisayar ağındaki bağlantılar, sosyal ağdaki arkadaşlıklar.

Bir sosyal ağ: kişiler düğüm, ilişkiler kenar

Temel Kavramlar

Derece (Degree)

Temel Kavramlar

Yönlü Çizge (Digraph)

Temel Kavramlar

Yol (Path) ve Döngü (Cycle)

Temel Kavramlar

Örnek Çizge

Temel Kavramlar

Bağlantılı ve Tam Çizge

• Bağlantılı (connected) çizge: her iki farklı düğüm çifti arasında bir yol vardır.
• Bağlı bileşen (connected component): birbirine yolla ulaşabilen düğümlerin en büyük grubu.
• Tam (complete) çizge: her iki farklı düğüm çifti arasında bir kenar vardır.

n düğümlü basit yönsüz çizgede m ≤ n(n−1)/2; bu üst sınıra tam çizgede ulaşılır. Bağlantılı bir çizgede m ≥ n − 1.

Temel Kavramlar

Yönlü Çizge Örneği

Yönlü kenar (u, v) sıralı bir çifttir: u kuyruk (başlangıç), v baş (hedef) düğümdür.

Temel Kavramlar

Ağırlıklı Çizge

• Her kenara bir sayı (ağırlık, weight) atanır: uzaklık, süre, maliyet, kapasite…
• Bir yolun uzunluğu = üzerindeki kenar ağırlıklarının toplamı. Yönsüz veya yönlü olabilir.

Temel Kavramlar

Çizge Soyut Veri Tipi (Graph ADT)

Goodrich'teki Graph arayüzünün temel işlemleri (V: düğüm, E: kenar):

Bu işlemlerin maliyeti, çizgenin bellekte nasıl temsil edildiğine bağlıdır → sonraki bölüm.

Çizge Gösterimleri

Çizge Nasıl Saklanır? Üç Temel Gösterim

Çizge Gösterimleri

Komşuluk Matrisi (Adjacency Matrix)

• n×n boyutunda iki boyutlu bir dizidir: matris[i][j] = 1, düğüm i'den j'ye kenar varsa; yoksa 0.
• Ağırlıklı çizgede matris[i][j] kenarın ağırlığını tutar; kenar yoksa ∞ (veya özel bir değer).
• Yönsüz çizgede matris simetriktir: matris[i][j] == matris[j][i].
• Alan karmaşıklığı O(n²); düğüm sayısı arttıkça bellek hızla büyür.

Çizge Gösterimleri

Komşuluk Matrisi: Üç Örnek

Çizge Gösterimleri

Komşuluk Listesi (Adjacency List)

• n düğüm için n adet liste (çoğunlukla bağlı liste veya dinamik dizi) tutulur.
• liste[i], düğüm i'ye komşu olan düğümleri (ağırlıklıysa ağırlıklarıyla) içerir.
• Yönsüz çizgede her kenar (v, w) iki listeye de eklenir: w, v'nin listesine; v, w'nin listesine.
• Alan karmaşıklığı O(n + m); seyrek çizgeler için idealdir.

Çizge Gösterimleri

Komşuluk Listesi: Üç Örnek

Çizge Gösterimleri

Gösterimlerin Bellek ve İşlem Maliyeti

Çizge Gösterimleri

Java ile Komşuluk Listesi

class Cizge {
    private final int n;                                  // düğümler: 0..n-1
    private final List<List<Integer>> komsu = new ArrayList<>();
    Cizge(int n) {
        this.n = n;
        for (int i = 0; i < n; i++) komsu.add(new ArrayList<>());
    }
    void kenarEkle(int u, int v) {
        komsu.get(u).add(v);
        komsu.get(v).add(u);                  // yönlü çizgede bu satır yok
    }
    List<Integer> komsular(int u) { return komsu.get(u); }   // O(1)
    int derece(int u) { return komsu.get(u).size(); }
}

Gezinme (BFS / DFS)

Gezinme Algoritmaları

Gezinme (traversal): bir başlangıç düğümünden ulaşılabilen tüm düğümleri, her birini bir kez sistematik olarak ziyaret etmek.

Gezinme (BFS / DFS)

Genişlik Öncelikli Arama (BFS)

Gezinme (BFS / DFS)

BFS Algoritması

BFS(başlangıç):
  kuyruk.ekle(başlangıç)
  başlangıç.ziyaretEdildi()
  while kuyruk boş değil:
    w = kuyruk.çıkar()
    for w'nin ziyaret edilmemiş
        her komşusu u:
      u.ziyaretEdildi()
      kuyruk.ekle(u)

void bfs(int s) {
  boolean[] ziyaret = new boolean[n];
  Queue<Integer> q = new ArrayDeque<>();
  ziyaret[s] = true;
  q.add(s);
  while (!q.isEmpty()) {
    int w = q.poll();
    System.out.print(w + " ");
    for (int u : komsu.get(w))
      if (!ziyaret[u]) {
        ziyaret[u] = true;
        q.add(u);
      }
  }
}

Gezinme (BFS / DFS)

BFS Adım Adım (başlangıç: A)

Gezinme (BFS / DFS)

Derinlik Öncelikli Arama (DFS)

Gezinme (BFS / DFS)

DFS Algoritması

void dfs(int v, boolean[] ziyaret) {
  ziyaret[v] = true;
  System.out.print(v + " ");
  for (int u : komsu.get(v))
    if (!ziyaret[u])
      dfs(u, ziyaret);
}

void dfsYigin(int s) {
  boolean[] ziyaret = new boolean[n];
  Deque<Integer> yigin = new ArrayDeque<>();
  yigin.push(s);  ziyaret[s] = true;
  while (!yigin.isEmpty()) {
    int v = yigin.peek();
    Integer yeni = null;
    for (int u : komsu.get(v))
      if (!ziyaret[u]) { yeni = u; break; }
    if (yeni == null) yigin.pop(); // geri dön
    else { ziyaret[yeni] = true;
           yigin.push(yeni); }
  }
}

Gezinme (BFS / DFS)

DFS Adım Adım (başlangıç: A)

Gezinme (BFS / DFS)

BFS ve DFS Karşılaştırması

Sıralar, komşuların alfabetik sırayla gezildiği varsayımıyla elde edildi; komşu sırası değişirse ziyaret sırası da değişir.

En Kısa Yol

Ağırlıksız En Kısa Yol Problemi

En Kısa Yol

Ağırlıksız En Kısa Yol Algoritması

mesafe[tüm v] = ∞
mesafe[s] = 0
kuyruk.ekle(s)
while kuyruk boş değil:
  w = kuyruk.çıkar()
  for w'nin her komşusu u:
    if mesafe[u] == ∞:
      mesafe[u] = mesafe[w] + 1
      kuyruk.ekle(u)
return mesafe

Map<Integer, Integer> agirliksizEnKisaYol(int s) {
  Map<Integer, Integer> mesafe = new HashMap<>();
  for (int v : cizge.keySet())
    mesafe.put(v, Integer.MAX_VALUE);  // ∞
  mesafe.put(s, 0);
  Queue<Integer> kuyruk = new LinkedList<>();
  kuyruk.offer(s);
  while (!kuyruk.isEmpty()) {
    int w = kuyruk.poll();
    for (int u : cizge.get(w))
      if (mesafe.get(u) == Integer.MAX_VALUE) {
        mesafe.put(u, mesafe.get(w) + 1);
        kuyruk.offer(u);
      }
  }
  return mesafe;
}

En Kısa Yol

Ağırlıksız En Kısa Yol Adım Adım

En Kısa Yol

Ağırlıklı En Kısa Yol Problemi

En Kısa Yol

Dijkstra Algoritması: Fikir ve Sözde Kod

Dijkstra(G, s):
  for her düğüm v:
    mesafe[v] = ∞
    önceki[v] = tanımsız
  mesafe[s] = 0
  Q = tüm düğümler  // öncelikli kuyruk
  while Q boş değil:
    u = Q.çıkar()   // en küçük mesafe[u]
    for u'nun Q'daki her komşusu v:
      alt = mesafe[u] + ağırlık(u, v)
      if alt < mesafe[v]:
        mesafe[v] = alt
        önceki[v] = u
        // Q'da v'nin önceliğini azalt

En Kısa Yol

Dijkstra Algoritması: Java

int[] dijkstra(List<List<int[]>> adj, int s) {   // adj.get(u): {komşu, ağırlık} dizileri
    int[] d = new int[adj.size()];
    Arrays.fill(d, Integer.MAX_VALUE);  d[s] = 0;
    PriorityQueue<int[]> pq =                       // {düğüm, mesafe}, mesafeye göre
        new PriorityQueue<>((a, b) -> Integer.compare(a[1], b[1]));
    pq.add(new int[]{s, 0});
    while (!pq.isEmpty()) {
        int[] e = pq.poll();  int u = e[0];
        if (e[1] > d[u]) continue;                   // bayat kayıt: atla
        for (int[] k : adj.get(u)) {
            int v = k[0], alt = d[u] + k[1];
            if (alt < d[v]) { d[v] = alt; pq.add(new int[]{v, alt}); }
        }
    }
    return d;
}

En Kısa Yol

Dijkstra Adım Adım (kaynak: A)

En Kısa Yol

Dijkstra Algoritmasının Analizi

Özet

Özet

Özet

Etkileşimli Simülatörler

Bu bölümün konularını tarayıcıda deneyerek pekiştirin:

Özet

Örnek Problemler

1. 10 düğümlü basit yönsüz bir çizgede en fazla kaç kenar olabilir? Derecelerin toplamı 30 ise kaç kenar vardır?
2. n = 10.000 düğüm, m = 30.000 kenar olan bir yol ağını hangi gösterimle saklarsınız? Neden?
3. Gezinme örneğindeki çizgede BFS ve DFS'yi H'den başlatın (komşular alfabetik).
4. DFS'yi yığın yerine kuyrukla yazarsak hangi algoritmayı elde ederiz?
5. Ağırlıklı en kısa yol örneğinde B → C kenarı 5 yerine 1 olsaydı A'dan D'ye en kısa yol ne olurdu?

Özet

Kaynaklar

• Goodrich, Tamassia ve Goldwasser, Data Structures and Algorithms in Java, 6. baskı, 2014.
• Cormen, Leiserson, Rivest ve Stein, Introduction to Algorithms, 4. baskı, 2022.
• Sedgewick ve Wayne, Algorithms, 4. baskı, 2011.