Giriş

Öğrenme Çıktıları

Arama Ağaçları

Arama Ağacı (Search Tree)

Arama Ağaçları

Temel İşlemler

Ek olarak: en küçük / en büyük anahtar, bir anahtarın ardılı / öncülü, aralık sorguları. Hepsi O(h).

Arama Ağaçları

Arama Ağacı Türleri

B-ağaçları ve B+ ağaçları (çok yollu arama ağaçları) Bölüm 7'de ele alındı.

Arama Ağaçları

İkili Arama Ağacı (Binary Search Tree)

Her düğüm x için: sol alt ağaçtaki tüm anahtarlar < x.anahtar < sağ alt ağaçtaki tüm anahtarlar.

• Özellik yalnızca çocuklar için değil, bütün alt ağaç için geçerlidir: sağdaki ağaçta 7 > 4 doğru, ama 7, 6'nın solunda olamaz.
• Tekrarlayan anahtarlar ya reddedilir ya da tutarlı biçimde tek tarafa (ör. sağa) konur.

Arama Ağaçları

En Küçük, En Büyük ve Sıralı Gezinme

// Ön koşul: dugum != null
IkiliAgacDugum<E> minDeger(
        IkiliAgacDugum<E> dugum) {
    while (dugum.solCocuk != null)
        dugum = dugum.solCocuk; // sola in
    return dugum;  // en küçük
}
// maxDeger: aynısı, sagCocuk ile

void inorder(IkiliAgacDugum<E> d) {
    if (d == null) return;
    inorder(d.solCocuk);  // sol
    System.out.print(d.veri + " ");
    inorder(d.sagCocuk);  // sağ
}

Arama Ağaçları

Ağaç Düğümü Yapısı

class AgacDugumu {
    int veri;
    AgacDugumu sol, sag;

    AgacDugumu(int veri) {
        this.veri = veri;
        this.sol = null;
        this.sag = null;
    }
}

class IkiliAgacDugum<E extends Comparable<E>> {
    E veri;                    // nesne
    IkiliAgacDugum<E> solCocuk; // sol çocuk
    IkiliAgacDugum<E> sagCocuk; // sağ çocuk

    IkiliAgacDugum(E veri) {
        this.veri = veri;
        // çocuklar başlangıçta null
    }
}

Anahtarlar compareTo ile karşılaştırılır; bu yüzden E, Comparable<E> olmalıdır.

BST İşlemleri

Öğe Arama

boolean ara(IkiliAgacDugum<E> kok, E veri) {
    if (kok == null)
        return false;            // yok
    int k = veri.compareTo(kok.veri);
    if (k == 0)
        return true;             // bulundu
    else if (k < 0)
        return ara(kok.solCocuk, veri);
    else
        return ara(kok.sagCocuk, veri);
}

BST İşlemleri

Arama Adım Adım: 5 ve 10

BST İşlemleri

Öğe Ekleme

IkiliAgacDugum<E> ekle(
        IkiliAgacDugum<E> kok, E veri) {
    if (kok == null)
        return new IkiliAgacDugum<>(veri);
    int k = veri.compareTo(kok.veri);
    if (k < 0)
        kok.solCocuk = ekle(kok.solCocuk, veri);
    else if (k > 0)
        kok.sagCocuk = ekle(kok.sagCocuk, veri);
    // k == 0: anahtar zaten var, eklenmez
    return kok;
}
// kullanım: kok = ekle(kok, 5);

BST İşlemleri

Ekleme Adım Adım: 5, 3, 7, 1

BST İşlemleri

Öğe Silme: Üç Durum

Önce silinecek düğüm aranır (O(h)). Sonra çocuk sayısına göre:

Örnek ağaç (sonraki slaytlarda her silme bu ağaçtan başlar)

BST İşlemleri

Silme: Yaprak ve Tek Çocuk

BST İşlemleri

Silme: İki Çocuklu Düğüm

BST İşlemleri

Silme Kodu

IkiliAgacDugum<E> sil(IkiliAgacDugum<E> kok, E veri) {
    if (kok == null) return null;                 // anahtar yok
    int k = veri.compareTo(kok.veri);
    if (k < 0)
        kok.solCocuk = sil(kok.solCocuk, veri);        // solda ara
    else if (k > 0)
        kok.sagCocuk = sil(kok.sagCocuk, veri);        // sağda ara
    else if (kok.solCocuk != null && kok.sagCocuk != null) {  // iki çocuk
        kok.veri = minDeger(kok.sagCocuk).veri;        // ardılın değerini kopyala
        kok.sagCocuk = sil(kok.sagCocuk, kok.veri);    // ardılı sağdan sil
    }
    else if (kok.solCocuk == null)
        return kok.sagCocuk;     // yaprak (null döner) ya da yalnız sağ çocuk
    else
        return kok.solCocuk;     // yalnız sol çocuk
    return kok;
}

BST İşlemleri

İkili Arama Ağacı İşlemlerinin Analizi

• Arama, ekleme ve silmenin maliyeti, erişilen en derin düğümün derinliğiyle orantılıdır: O(h).

BST İşlemleri

Uygulama: Öğrenci Kayıtları

Anahtar olarak öğrenci numarası kullanılır; düğüm, öğrenci nesnesinin tamamını taşır.

public class Ogrenci {
    int ogrenciNo;     // anahtar
    String adSoyad;

    public Ogrenci(int ogrenciNo,
                   String adSoyad) {
        this.ogrenciNo = ogrenciNo;
        this.adSoyad = adSoyad;
    }
}

public class OgrenciDugum {
    Ogrenci ogr;           // veri
    OgrenciDugum solCocuk;
    OgrenciDugum sagCocuk;

    public OgrenciDugum(Ogrenci ogr) {
        this.ogr = ogr;
        // çocuklar başlangıçta null
    }
}

BST İşlemleri

Öğrenci Ekleme ve Arama

OgrenciDugum ekle(OgrenciDugum kok, Ogrenci ogr) {
    if (kok == null) return new OgrenciDugum(ogr);
    if (ogr.ogrenciNo < kok.ogr.ogrenciNo)
        kok.solCocuk = ekle(kok.solCocuk, ogr);   // soldan devam
    else if (ogr.ogrenciNo > kok.ogr.ogrenciNo)
        kok.sagCocuk = ekle(kok.sagCocuk, ogr);   // sağdan devam
    return kok;                                   // aynı numara eklenmez
}

Ogrenci ara(OgrenciDugum kok, int numara) {
    if (kok == null) return null;                // kayıt yok
    if (numara == kok.ogr.ogrenciNo) return kok.ogr; // bulundu
    if (numara < kok.ogr.ogrenciNo)
        return ara(kok.solCocuk, numara);         // soldan devam
    return ara(kok.sagCocuk, numara);             // sağdan devam
}

ara, boolean yerine öğrenci nesnesini döndürür: bulunursa ad-soyad gibi bilgilere de erişilir. int anahtar olduğu için == ve < doğrudan kullanılabilir.

Denge ve AVL

Denge İhtiyacı

• BST'nin şekli ekleme sırasına bağlıdır: 1, 2, 3, 4 sırayla eklenirse ağaç bir bağlı listeye dönüşür.
• Aynı anahtarlar, farklı yapılarla daha kısa bir ağaçta tutulabilir (sağda iki seçenek).

Denge ve AVL

Dengeleme Örneği

Soldaki ağaçta 9 → 14 → 12 ve 76 → 54 → 72 → 67 kolları uzamış. Bu alt ağaçlar yeniden düzenlenince (turuncu yeni alt ağaç kökleri) aynı 11 anahtar daha kısa bir ağaçta durur:

• Yeniden düzenleme sırasında inorder sıra değişmez: 9 12 14 17 19 23 50 54 67 72 76.
• Ağacı her seferinde baştan kurmak O(n) olurdu; AVL ve kırmızı-siyah ağaçlar bunu yalnızca eklenen/silinen yol üzerinde, O(log n) sürede yapar.

Denge ve AVL

AVL Ağacı

Denge ve AVL

Döndürme (Rotation)

Denge ve AVL

Dört Dengesizlik Durumu

LL durumunda sağa, RR durumunda sola tek dönüş yapılır.

Denge ve AVL

Çift Dönüşler: LR ve RL

LR: önce sola, sonra sağa. RL: önce sağa, sonra sola dönüş yapılır.

Denge ve AVL

AVL Ekleme Örneği: 10, 20, 30, 40, 50, 25

Denge ve AVL

AVL Döndürme ve Dengeleme Kodu

int h(AvlDugum d) {
    return d == null ? -1 : d.yukseklik;
}
int bf(AvlDugum d) {
    return h(d.sol) - h(d.sag);
}
void guncelle(AvlDugum d) {
    d.yukseklik = 1 +
        Math.max(h(d.sol), h(d.sag));
}
AvlDugum sagaDondur(AvlDugum y) {
    AvlDugum x = y.sol;
    y.sol = x.sag;  // T2 → y.sol
    x.sag = y;      // y → x.sag
    guncelle(y);    // önce alttaki
    guncelle(x);
    return x;       // yeni kök
}

AvlDugum dengele(AvlDugum d) {
    guncelle(d);
    if (bf(d) > 1) {       // sol ağır
        if (bf(d.sol) < 0)  // LR
            d.sol = solaDondur(d.sol);
        return sagaDondur(d); // LL
    }
    if (bf(d) < -1) {      // sağ ağır
        if (bf(d.sag) > 0)  // RL
            d.sag = sagaDondur(d.sag);
        return solaDondur(d); // RR
    }
    return d;
}
// solaDondur: sol ↔ sag simetriği
// ekle/sil BST gibi; dönüşte:
//   return dengele(kok);

Özyineleme geri dönerken yol üzerindeki her düğümde dengele çağrılır; silmede birden fazla düğümde döndürme gerekebilir (en fazla O(log n)).

Kırmızı-Siyah Ağaçlar

Kırmızı-Siyah Ağaç (Red-Black Tree)

1. Her düğüm kırmızı ya da siyahtır.
2. Kök siyahtır.
3. Tüm yapraklar (NIL, boş çocuklar) siyah kabul edilir.
4. Kırmızı düğümün çocukları siyahtır: ardışık iki kırmızı olmaz.
5. Bir düğümden NIL yapraklara giden her yolda aynı sayıda siyah düğüm vardır (siyah yükseklik).

Örnek: kökten her NIL'e giden yolda 2 siyah düğüm var (kök dahil, NIL hariç)

Kırmızı-Siyah Ağaçlar

Kurallar Neden Dengeyi Garanti Eder?

Kırmızı-Siyah Ağaçlar

Kırmızı-Siyah Ağaca Ekleme

Yeni düğüm BST gibi eklenir ve kırmızı boyanır (siyah yükseklik bozulmasın diye). Ebeveyn de kırmızıysa kural 4 bozulur; amcaya (ebeveynin kardeşi) bakılır:

Kırmızı-Siyah Ağaçlar

Kırmızı-Siyah Ekleme: 10, 20, 30, 15

Kırmızı-Siyah Ağaçlar

Kırmızı-Siyah Ekleme: 12 ve 5

Kırmızı-Siyah Ağaçlar

AVL mi, Kırmızı-Siyah mı?

Splay Ağaçları

Splay Ağacı (Splay Tree)

• Sleator ve Tarjan (1985): kendini düzenleyen (self-adjusting) BST.
• Her erişimde (arama, ekleme, silme) ilgili düğüm döndürmelerle köke taşınır: splay işlemi.
• Düğümlerde denge bilgisi (yükseklik, renk) tutulmaz.
• Tek bir işlem O(n) sürebilir; ama m işlemlik her dizi O(m log n) sürer: amortize O(log n).

Splay Ağaçları

Splay Adımları: Zig, Zig-Zig, Zig-Zag

x: splay edilen düğüm, p: ebeveyni, g: dedesi. x kök olana kadar bu adımlar tekrarlanır.

Splay Ağaçları

Splay Örneği: splay(50), sonra splay(10)

Özet

Özet: Arama Ağaçlarında İşlem Maliyetleri

* Amortize; tek işlem O(n) olabilir. Tüm yapılarda inorder gezinme O(n) ve anahtarları sıralı verir; min/max O(h).

Özet

Etkileşimli Simülatörler

Kendi anahtarlarınızla deneyin: ekleyin, silin, döndürmeleri adım adım izleyin.

Özet

Örnek Problemler

1. Boş BST'ye 50, 30, 70, 20, 40, 60, 80 sırayla eklenir. Yükseklik nedir? Inorder çıktı nedir?
2. Aynı anahtarlar 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80 sırasıyla eklenirse yükseklik ve arama maliyeti ne olur?
3. 1. sorudaki ağaçtan kök 50, inorder ardıl kullanılarak silinirse ağaç nasıl olur?
4. Boş AVL ağacına 3, 2, 1 eklenir. Hangi durum oluşur, hangi döndürme yapılır?
5. Boş AVL ağacına 10, 30, 20 eklenir. Hangi durum oluşur, sonuç ağaç nedir?
6. Kırmızı-siyah ağaçta kökten NIL'e giden en uzun yol, en kısa yolun en fazla kaç katıdır? Neden?
7. Splay ağacında zig-zig adımında döndürmeler hangi sırayla yapılır?

Özet

Kaynaklar

• Goodrich, Tamassia ve Goldwasser, Data Structures and Algorithms in Java, 6. baskı, 2014.
• Cormen, Leiserson, Rivest ve Stein, Introduction to Algorithms, 4. baskı, 2022.
• Sedgewick ve Wayne, Algorithms, 4. baskı, 2011.