Bölüm 7: Ağaçlar

Veri Yapıları

Ağaç terimleriİkili ağaçlarDolu · tam · mükemmel Dizi ve bağlı gösterimGezinmelerÖzyineleme ve yığınB-ağacı ve B+ ağacı

Sercan KÜLCÜ · Giresun Üniversitesi · Bilgisayar Mühendisliği

Giriş

Öğrenme Çıktıları

Temel kavramlar

Kök, ebeveyn, çocuk, yaprak, derinlik ve yükseklik terimlerini açıklamak.

Gösterimler

Ağaçları düğüm bağlantıları ve dizilerle temsil etmek.

Gezinmeler

Kök önce, kök ortada, kök sonda ve seviye sıralı gezinmeyi uygulamak.

Uygulama ve maliyet

Ağaç türlerini kullanım alanları ve işlem maliyetleriyle karşılaştırmak.

Ağaç Kavramı

Ağaç (Tree)

Doğrusal olmayan, hiyerarşik bir veri yapısıdır.
Düğümler (node) ve onları bağlayan kenarlardan (edge) oluşur.
En üstte tek bir kök (root) bulunur; ağaç kökten aşağı doğru ters çizilir.
Kök dışındaki her düğümün tam bir ebeveyni vardır; bu yüzden döngü yoktur.
Her düğümün sıfır veya daha fazla çocuğu olabilir.

Kural: n düğümlü bir ağaçta her zaman n − 1 kenar vardır (kök hariç her düğüm, ebeveynine tek bir kenarla bağlanır).

Ağaç Kavramı

Günlük Hayatta Ağaçlar: Hiyerarşi

Dosya sistemiKök dizin, klasörler (iç düğüm), dosyalar (yaprak).

KitapKitap → kısımlar → bölümler → alt başlıklar.

CoğrafyaKıta → ülke → eyalet/il → şehir.

Web sayfasıHTML belgesi iç içe öğelerden oluşan bir ağaçtır (DOM).

Ağaç Kavramı

Ağaç mı?

Bu yapı bir ağaç mıdır? 16 düğüm var; kenarları sayın ve döngü arayın.

Evet. Bağlantılı, döngüsüz ve 16 düğüme 15 kenar. Herhangi bir düğüm (ör. I) kök seçilip ağaç olarak çizilebilir.

Ağaç olmayanlar: döngü içeren, bir düğümü iki ebeveynli olan veya parçaları bağlantısız yapılar.

Ağaç Kavramı

Temel Unsurlar: Kök, İç Düğüm, Yaprak

Kök düğüm (root)Ağacın en üst düğümü; ebeveyni yoktur.dosya sistemi: kök dizin /

İç düğüm (internal node)En az bir çocuğu olan düğüm.dosya sistemi: klasörler

Yaprak (leaf)Hiç çocuğu olmayan düğüm; dış düğüm de denir.dosya sistemi: dosyalar

Kök de (çocuğu varsa) bir iç düğümdür. Tek düğümlü ağaçta kök aynı zamanda yapraktır.

Ağaç Kavramı

Ağaç İlişkileri

Terim	Anlamı (sağdaki ağaçta)
Ebeveyn (parent)	Hemen üstteki düğüm: D, H'nin ebeveyni
Çocuk (child)	Hemen alttaki düğüm: H, I, J → D'nin çocukları
Kardeş (sibling)	Ebeveyni aynı olanlar: H, I, J
Ata (ancestor)	Köke giden yoldaki düğümler: M'nin ataları H, D, A
Soy (descendant)	Alt ağaçtaki düğümler: D'nin soyu H, I, J, M

Dikkat: Aynı düzeyde olmak kardeş olmak demek değildir. F ve G aynı derinlikte ama ebeveynleri farklı (B ve C) → kardeş değiller.

Ağaç Kavramı

Terimler Ağaç Üzerinde

Kök: ebeveyni olmayan tek düğüm → A.

Ebeveyn / çocuk: D, H, I ve J'nin ebeveynidir; H, I, J de D'nin çocuklarıdır.

Kardeşler: H, I, J (ebeveynleri D). F ile G kardeş değildir.

Yapraklar: K, L, F, G, M, I, J (çocuksuz düğümler).

İç düğümler: A, B, C, D, E, H (en az bir çocuğu olanlar).

Atalar: M'nin ataları H, D, A. Tersine M; H, D ve A'nın soyundandır.

Derece (degree) = çocuk sayısı: A 3, B 2, C 1, D 3 … Ağacın derecesi = en büyük derece = 3.

Derinlik (depth): kökten düğüme kenar sayısı. E'nin derinliği 2 (A→B→E).

Yükseklik (height): kökten en uzak yaprağa kenar sayısı = 3 (A→B→E→K).

Alt ağaç (subtree): D ve tüm soyu (H, I, J, M) kendi başına bir ağaçtır.

Ağaç Kavramı

Derece, Derinlik, Yükseklik

Ölçü	Tanım	Önceki ağaçta
Derece (degree)	Bir düğümün çocuk sayısı (alt ağaç sayısı)	D → 3
Derinlik (depth)	Kökten o düğüme kadar olan yoldaki kenar sayısı; kökün derinliği 0	E → 2
Düzey (level)	Aynı derinlikteki düğümlerin kümesi	düzey 2: E … J
Düğüm yüksekliği	Düğümden altındaki en uzak yaprağa kenar sayısı; yaprağın yüksekliği 0	D → 2
Ağacın yüksekliği	Kökün yüksekliği = en büyük derinlik	3

Bu derste yükseklik ve derinlik kenar sayısı ile ölçülür. Bazı kaynaklar düğüm sayısını kullanır (düzeyleri 1'den başlatır); o zaman tüm değerler 1 fazla çıkar. Hangi tanımın kullanıldığına dikkat edin.

Ağaç Kavramı

Derinlik ve Yükseklik

Ağacın yüksekliği = kökün yüksekliği = 3 (en uzun yol A→E→J→K). En derin düğüm K'nin derinliği de 3'tür.

Düğüm	Yükseklik	Derinlik
A	3	0
B	1	1
C	0	1
D	1	1
E	2	1
F	0	2
G	0	2
H	0	2
I	0	2
J	1	2
K	0	3

Ağaç Kavramı

Yol ve Alt Ağaç

Yol (path): ardışık düğümleri kenarlarla bağlayan dizi.
p = (v₀, e₁, v₁, …, e_k, v_k)
start(p) = v₀, end(p) = v_k, length(p) = k (kenar sayısı).
Ağaçta iki düğüm arasında tam bir yol vardır (döngü olmadığı için).
Alt ağaç (subtree): bir düğüm ve onun tüm soyu; kendisi de bir ağaçtır. Ör. bir klasör ve altındaki her şey.

Vurgulu yol: K → E → B → A → D → H → M, uzunluğu 6. Bu iki düğüm arasında başka yol yoktur.

Ağaç Kavramı

Temel Ağaç Türleri

Tür	Özellik
Genel ağaç	Bir düğümün çocuk sayısına sınır yoktur.
k-lı ağaç (k-ary)	Her düğümün en fazla k çocuğu vardır.
İkili ağaç (binary)	Her düğümün en fazla iki çocuğu vardır: sol ve sağ.
İkili arama ağacı (BST)	İkili ağaç + her düğümde: sol alt ağaçtaki anahtarlar küçük, sağdakiler büyük.

Dengeli arama ağaçları Bölüm 10'da; çok yollu ağaçlar bu bölümün sonunda ele alınır.

İkili Ağaçlar

İkili Ağaç (Binary Tree)

Her düğümün en fazla iki çocuğu vardır: sol çocuk ve sağ çocuk.
Çocukların yeri önemlidir: yalnızca sol çocuğu olan ağaç, yalnızca sağ çocuğu olandan farklıdır.
Özyinelemeli tanım: İkili ağaç ya boştur ya da bir kök ile iki ikili ağaçtan (sol ve sağ alt ağaç) oluşur.

Soldaki zincir de geçerli bir ikili ağaçtır (çarpık / skewed ağaç): düğümler dengeli dağılmak zorunda değildir.

İkili Ağaçlar

Dolu, Tam ve Mükemmel

Dolu ikili ağaç (full)Her düğümün ya 0 ya da 2 çocuğu vardır; tek çocuklu düğüm yoktur.

Tam ikili ağaç (complete)Son düzey hariç tüm düzeyler doludur; son düzey soldan sağa boşluksuz dolar.

Mükemmel ikili ağaç (perfect)Tüm iç düğümlerin 2 çocuğu var ve tüm yapraklar aynı derinlikte.

Mükemmel ağaç hem dolu hem tamdır; yüksekliği h ise 2^h+1 − 1 düğümü vardır. Türkçe kaynaklarda "tam" ve "dolu" bazen ters kullanılır; İngilizce karşılıklar (full / complete / perfect) esas alınmalıdır.

İkili Ağaçlar

Hangisi? Dolu mu, Tam mı, Mükemmel mi?

Dolu (full)	evet
Tam (complete)	hayır
Mükemmel (perfect)	hayır

Her düğümün 0 ya da 2 çocuğu var → dolu. Ama C'nin altı boşken en alt düzey E'nin altında → tam değil.

Dolu (full)	hayır
Tam (complete)	evet
Mükemmel (perfect)	hayır

Son düzey (8, 9, 10) soldan sağa boşluksuz → tam. 5'in tek çocuğu (10) var → dolu değil.

Dolu (full)	hayır
Tam (complete)	hayır
Mükemmel (perfect)	hayır

5'in tek çocuğu var → dolu değil. 10. konum boşken 11 dolu → tam değil. Ne tam ne dolu.

Dolu (full)	evet
Tam (complete)	evet
Mükemmel (perfect)	evet

Tüm iç düğümlerin 2 çocuğu var, tüm yapraklar aynı derinlikte → mükemmel (dolayısıyla dolu ve tam).

İkili Ağaçlar

İkili Ağaç Özellikleri

Özellik	Formül	Örnek
d derinliğindeki en fazla düğüm	2^d	d = 3 → en fazla 8 düğüm
Yüksekliği h olan ağaçta en fazla düğüm	2^h+1 − 1	h = 3 → 15 (mükemmel ağaç)
Yüksekliği h olan ağaçta en az düğüm	h + 1	çarpık (zincir) ağaç
n düğümlü ağacın yüksekliği	⌊log₂ n⌋ ≤ h ≤ n − 1	n = 15 → 3 ≤ h ≤ 14
n düğümlü ağaçtaki kenar sayısı	n − 1	her düğümün tek ebeveyni
Dolu ikili ağaçta yaprak sayısı	iç düğüm + 1	7 düğüm → 3 iç, 4 yaprak

Yükseklik, ağaç işlemlerinin maliyetini belirler: dengeli bir ağaçta h ≈ log₂ n (1 milyon düğüm → ≈ 20 düzey), çarpık ağaçta h = n − 1.

Gösterimler

Dizi Gösterimi

Düğümler düzey düzey, soldan sağa diziye yerleştirilir. Kök indis 1'de ise, indis i'deki düğüm için:

	1 tabanlı	0 tabanlı
Sol çocuk	2i	2i + 1
Sağ çocuk	2i + 1	2i + 2
Ebeveyn	⌊i / 2⌋	⌊(i − 1) / 2⌋

Örnek: E (i = 5) → çocuklar 10 ve 11 (boş), ebeveyn ⌊5/2⌋ = 2 (B).

Referans tutulmaz; ebeveyn/çocuk erişimi O(1) aritmetikle yapılır. Tam ikili ağaçlar için idealdir (Bölüm 8: heap).

Gösterimler

Dizide Bellek İsrafı

Çarpık ağaçta düğümlerin indisleri katlanarak büyür: 1, 2, 4, 8, 16.
5 düğüm için 16 hücre gerekir; 11 hücre boş kalır. Sağa çarpık olsaydı indisler 1, 3, 7, 15, 31 olurdu → 31 hücre.
Genel olarak n düğümlü bir ağaç 2ⁿ − 1 hücreye kadar yer isteyebilir.

Dizi gösterimi

Referans yok, hızlı indis hesabı
Tam ağaçlarda boşluksuz

Ama

Seyrek/çarpık ağaçta büyük israf
Boyut sabit; büyütmek için kopyalama

Gösterimler

Bağlı Gösterim (Linked Representation)

Her ağaç düğümü bir nesnedir: veri + sol ve sağ çocuk referansı.
Çocuk yoksa referans null'dır.
Boyut dinamiktir; yalnızca var olan düğümler için bellek ayrılır.
Bir düğüme ulaşmak için kökten başlayıp referansları izlemek gerekir.

public class AgacDugumu {
    int veri;
    AgacDugumu sol;   // sol çocuk (yoksa null)
    AgacDugumu sag;   // sağ çocuk (yoksa null)

    public AgacDugumu(int veri) {
        this.veri = veri;   // sol = sag = null
    }
}

// 9 kökünde küçük bir ağaç kuralım
AgacDugumu kok = new AgacDugumu(9);
kok.sol = new AgacDugumu(2);
kok.sag = new AgacDugumu(3);
kok.sol.sol = new AgacDugumu(4);

Gösterimler

Bağlı Gösterim: Örnek

7 düğüm14 referans alanı: 6'sı dolu (kenar sayısı n − 1), 8'i null.

Genel kuraln düğümlü ikili ağaçta her zaman n + 1 null referans vardır.

Ebeveyne çıkışGerekirse düğüme bir ebeveyn referansı da eklenir.

Gösterimler

Dizi mi, Bağlı mı?

Ölçüt	Dizi gösterimi	Bağlı gösterim
Bellek	Tam ağaçta en az; seyrek ağaçta 2ⁿ − 1'e kadar israf	Düğüm başına 2 ek referans; israf yok
Çocuk / ebeveyn erişimi	O(1), indis aritmetiğiyle	Çocuk O(1); ebeveyn için ek referans gerekir
i. düzeydeki k. düğüm	O(1): indis 2ⁱ + k − 1 (1 tabanlı, k ≥ 1)	Kökten gezinme gerekir
Büyüme	Dizi dolunca kopyalanarak büyütülür	Yeni düğüm eklemek O(1) (konum biliniyorsa)
Uygun olduğu yer	Tam ikili ağaçlar (heap)	Genel ve değişken şekilli ağaçlar (BST, ifade ağacı)

Kural: ağacın şekli tam kalıyorsa dizi, şekli öngörülemiyorsa bağlı gösterim tercih edilir.

Gösterimler

Genel Ağaç Gösterimi

Çocuk sayısı sınırsız olduğunda iki yaygın yol vardır:

// 1) Çocuk listesi
class GenelDugum {
    int veri;
    List<GenelDugum> cocuklar
        = new ArrayList<>();
}
// 2) İlk çocuk – sonraki kardeş
class KardesDugum {
    int veri;
    KardesDugum ilkCocuk;
    KardesDugum sonrakiKardes;
}

İkinci yolda her düğüm yine iki referans tutar: ilk çocuk (aşağı) ve sonraki kardeş (sağa). Böylece her genel ağaç bir ikili ağaç gibi saklanabilir.

Solda genel ağaç; sağda ilk çocuk (düz ok) – sonraki kardeş (kesikli ok) gösterimi.

Denemek için: Genel Ağaç simülatörü

Gezinmeler

Ağaç Gezinmeleri

Gezinme: Her düğümü bir kez ziyaret eder. DFS türleri kökün ziyaret zamanına göre; BFS ise düzeylere göre ilerler.

Gezinme	Sıra	Çıktı	Tipik kullanım
Kök başta (preorder)	kök → sol → sağ	1 2 4 5 3 6 7	Ağacı kopyalamak, önek ifade
Kök ortada (inorder)	sol → kök → sağ	4 2 5 1 6 3 7	BST'yi sıralı dolaşmak
Kök sonda (postorder)	sol → sağ → kök	4 5 2 6 7 3 1	Silme, boyut/yükseklik hesabı
Seviye sırası (level-order)	düzey düzey, soldan sağa	1 2 3 4 5 6 7	Düzey bazlı işlemler

Gezinmeler

Kök Başta Gezinme (Preorder)

Kökü ziyaret et.
Sol alt ağacı kök başta gez.
Sağ alt ağacı kök başta gez.

Kullanım: ağacı kopyalamak, düğümleri diziye yazmak, önek (prefix) ifade.

ziyaret(kok);
kokBasta(kok.sol);
kokBasta(kok.sag);

Kök 1 ziyaret edilir; sonra sol alt ağaca geçilir.

2 ziyaret edilir; sonra onun sol alt ağacı.

4 yaprak: ziyaret edilir, çocuğu yok.

2'nin sağ alt ağacı: 5.

Sol alt ağaç bitti; 1'in sağ alt ağacı: 3.

3'ün sol çocuğu 6.

3'ün sağ çocuğu 7. Çıktı: 1 2 4 5 3 6 7

Gezinmeler

Kök Ortada Gezinme (Inorder)

Sol alt ağacı kök ortada gez.
Kökü ziyaret et.
Sağ alt ağacı kök ortada gez.

Kullanım: ikili arama ağacında anahtarları küçükten büyüğe sıralı vermek, ara ek (infix) ifade.

kokOrtada(kok.sol);
ziyaret(kok);
kokOrtada(kok.sag);

Kökten hep sola inilir; ilk ziyaret en soldaki düğüm: 4.

4'ün alt ağacı bitti → ebeveyni 2.

2'nin sağ alt ağacı: 5.

Sol alt ağaç tamamlandı → kök 1.

Sağ alt ağaçta yine en sola inilir: 6.

6'dan sonra ebeveyni 3.

Son olarak 7. Çıktı: 4 2 5 1 6 3 7

Gezinmeler

Kök Sonda Gezinme (Postorder)

Sol alt ağacı kök sonda gez.
Sağ alt ağacı kök sonda gez.
Kökü ziyaret et.

Kullanım: ağacı silmek (önce çocuklar), boyut/yükseklik hesabı, sonek (postfix) ifade.

kokSonda(kok.sol);
kokSonda(kok.sag);
ziyaret(kok);

En soldaki yaprak 4 ilk ziyaret edilir.

Sonra 2'nin sağ çocuğu 5.

2'nin iki alt ağacı da bitti → 2.

1'in sağ alt ağacı: önce 6.

Sonra 7.

3'ün çocukları bitti → 3.

Kök en son ziyaret edilir: 1. Çıktı: 4 5 2 6 7 3 1

Gezinmeler

Seviye Sırası Gezinme (Level-order)

Kökten başlar, her düzeyi soldan sağa tarar, sonra bir alt düzeye iner.
Genişlik öncelikli aramanın (BFS) ağaçtaki hâlidir.
Özyineleme yerine bir kuyruk (FIFO) kullanır: önce gelen düğümün çocukları önce işlenir.

Kullanım: düzey bazlı işlemler (her düzeyin toplamı, en yakın yaprak), ağacı düzey düzey yazdırmak.

Gezinmeler

Özyinelemeli Kök Başta ve Çağrı Yığını

1public void kokBasta(AgacDugumu kok) {2  if (kok == null) {3    return;4  }5  System.out.print(kok.veri + " ");6  kokBasta(kok.sol);7  kokBasta(kok.sag);8}

Çağrı yığını (üst en üstte)	Satır
kokBasta(9)	5

kokBasta(9): kök null değil; 9 yazdırılır (satır 5).

1public void kokBasta(AgacDugumu kok) {2  if (kok == null) {3    return;4  }5  System.out.print(kok.veri + " ");6  kokBasta(kok.sol);7  kokBasta(kok.sag);8}

Çağrı yığını (üst en üstte)	Satır
kokBasta(2)	5
kokBasta(9)	6

Satır 6: kokBasta(9.sol) = kokBasta(2) yığına eklenir; 2 yazdırılır.

1public void kokBasta(AgacDugumu kok) {2  if (kok == null) {3    return;4  }5  System.out.print(kok.veri + " ");6  kokBasta(kok.sol);7  kokBasta(kok.sag);8}

Çağrı yığını (üst en üstte)	Satır
kokBasta(4)	5
kokBasta(2)	6
kokBasta(9)	6

kokBasta(4) çağrılır; 4 yazdırılır.

1public void kokBasta(AgacDugumu kok) {2  if (kok == null) {3    return;4  }5  System.out.print(kok.veri + " ");6  kokBasta(kok.sol);7  kokBasta(kok.sag);8}

Çağrı yığını (üst en üstte)	Satır
kokBasta(null)	3
kokBasta(4)	6
kokBasta(2)	6
kokBasta(9)	6

kokBasta(4.sol) = kokBasta(null): satır 3'te hemen döner.

1public void kokBasta(AgacDugumu kok) {2  if (kok == null) {3    return;4  }5  System.out.print(kok.veri + " ");6  kokBasta(kok.sol);7  kokBasta(kok.sag);8}

Çağrı yığını (üst en üstte)	Satır
kokBasta(null)	3
kokBasta(4)	7
kokBasta(2)	6
kokBasta(9)	6

Satır 7: 4.sag de null; döner. Ardından kokBasta(4) biter.

1public void kokBasta(AgacDugumu kok) {2  if (kok == null) {3    return;4  }5  System.out.print(kok.veri + " ");6  kokBasta(kok.sol);7  kokBasta(kok.sag);8}

Çağrı yığını (üst en üstte)	Satır
kokBasta(null)	3
kokBasta(2)	7
kokBasta(9)	6

2'ye dönüldü; satır 7: kokBasta(2.sag) = null → döner. kokBasta(2) biter.

1public void kokBasta(AgacDugumu kok) {2  if (kok == null) {3    return;4  }5  System.out.print(kok.veri + " ");6  kokBasta(kok.sol);7  kokBasta(kok.sag);8}

Çağrı yığını (üst en üstte)	Satır
kokBasta(3)	5
kokBasta(9)	7

9'a dönüldü; satır 7: kokBasta(3), 3 yazdırılır.

1public void kokBasta(AgacDugumu kok) {2  if (kok == null) {3    return;4  }5  System.out.print(kok.veri + " ");6  kokBasta(kok.sol);7  kokBasta(kok.sag);8}

Çağrı yığını (üst en üstte)	Satır
kokBasta(null)	3
kokBasta(3)	7
kokBasta(9)	7

3'ün iki çocuğu da null; iki çağrı da hemen döner.

1public void kokBasta(AgacDugumu kok) {2  if (kok == null) {3    return;4  }5  System.out.print(kok.veri + " ");6  kokBasta(kok.sol);7  kokBasta(kok.sag);8}

Çağrı yığını (üst en üstte)	Satır
(boş)

kokBasta(3) ve kokBasta(9) biter; yığın boşalır. Çıktı: 9 2 4 3

Gezinmeler

Özyinelemeli Kök Ortada ve Çağrı Yığını

1public void kokOrtada(AgacDugumu kok) {2  if (kok == null) {3    return;4  }5  kokOrtada(kok.sol);6  System.out.print(kok.veri + " ");7  kokOrtada(kok.sag);8}

Çağrı yığını (üst en üstte)	Satır
kokOrtada(9)	5

kokOrtada(9): önce sol alt ağaç (satır 5); 9 henüz yazdırılmaz.

1public void kokOrtada(AgacDugumu kok) {2  if (kok == null) {3    return;4  }5  kokOrtada(kok.sol);6  System.out.print(kok.veri + " ");7  kokOrtada(kok.sag);8}

Çağrı yığını (üst en üstte)	Satır
kokOrtada(2)	5
kokOrtada(9)	5

kokOrtada(2): yine önce sol alt ağaç.

1public void kokOrtada(AgacDugumu kok) {2  if (kok == null) {3    return;4  }5  kokOrtada(kok.sol);6  System.out.print(kok.veri + " ");7  kokOrtada(kok.sag);8}

Çağrı yığını (üst en üstte)	Satır
kokOrtada(4)	5
kokOrtada(2)	5
kokOrtada(9)	5

kokOrtada(4): sol alt ağaca inilir.

1public void kokOrtada(AgacDugumu kok) {2  if (kok == null) {3    return;4  }5  kokOrtada(kok.sol);6  System.out.print(kok.veri + " ");7  kokOrtada(kok.sag);8}

Çağrı yığını (üst en üstte)	Satır
kokOrtada(null)	3
kokOrtada(4)	5
kokOrtada(2)	5
kokOrtada(9)	5

4.sol null → çağrı hemen döner.

1public void kokOrtada(AgacDugumu kok) {2  if (kok == null) {3    return;4  }5  kokOrtada(kok.sol);6  System.out.print(kok.veri + " ");7  kokOrtada(kok.sag);8}

Çağrı yığını (üst en üstte)	Satır
kokOrtada(4)	6
kokOrtada(2)	5
kokOrtada(9)	5

Sol taraf bitti; 4 yazdırılır (satır 6).

1public void kokOrtada(AgacDugumu kok) {2  if (kok == null) {3    return;4  }5  kokOrtada(kok.sol);6  System.out.print(kok.veri + " ");7  kokOrtada(kok.sag);8}

Çağrı yığını (üst en üstte)	Satır
kokOrtada(null)	3
kokOrtada(4)	7
kokOrtada(2)	5
kokOrtada(9)	5

4.sag null → döner; kokOrtada(4) biter.

1public void kokOrtada(AgacDugumu kok) {2  if (kok == null) {3    return;4  }5  kokOrtada(kok.sol);6  System.out.print(kok.veri + " ");7  kokOrtada(kok.sag);8}

Çağrı yığını (üst en üstte)	Satır
kokOrtada(2)	6
kokOrtada(9)	5

2'ye dönüldü; 2 yazdırılır.

1public void kokOrtada(AgacDugumu kok) {2  if (kok == null) {3    return;4  }5  kokOrtada(kok.sol);6  System.out.print(kok.veri + " ");7  kokOrtada(kok.sag);8}

Çağrı yığını (üst en üstte)	Satır
kokOrtada(null)	3
kokOrtada(2)	7
kokOrtada(9)	5

2.sag null → döner; kokOrtada(2) biter.

1public void kokOrtada(AgacDugumu kok) {2  if (kok == null) {3    return;4  }5  kokOrtada(kok.sol);6  System.out.print(kok.veri + " ");7  kokOrtada(kok.sag);8}

Çağrı yığını (üst en üstte)	Satır
kokOrtada(9)	6

9'a dönüldü; sol alt ağaç bitti, 9 yazdırılır.

1public void kokOrtada(AgacDugumu kok) {2  if (kok == null) {3    return;4  }5  kokOrtada(kok.sol);6  System.out.print(kok.veri + " ");7  kokOrtada(kok.sag);8}

Çağrı yığını (üst en üstte)	Satır
kokOrtada(null)	3
kokOrtada(3)	5
kokOrtada(9)	7

Satır 7: kokOrtada(3); 3.sol null → döner.

1public void kokOrtada(AgacDugumu kok) {2  if (kok == null) {3    return;4  }5  kokOrtada(kok.sol);6  System.out.print(kok.veri + " ");7  kokOrtada(kok.sag);8}

Çağrı yığını (üst en üstte)	Satır
kokOrtada(3)	6
kokOrtada(9)	7

3 yazdırılır.

1public void kokOrtada(AgacDugumu kok) {2  if (kok == null) {3    return;4  }5  kokOrtada(kok.sol);6  System.out.print(kok.veri + " ");7  kokOrtada(kok.sag);8}

Çağrı yığını (üst en üstte)	Satır
(boş)

3.sag null; kokOrtada(3) ve kokOrtada(9) biter. Çıktı: 4 2 9 3

Gezinmeler

Özyinelemeli Kök Sonda ve Çağrı Yığını

1public void kokSonda(AgacDugumu kok) {2  if (kok == null) {3    return;4  }5  kokSonda(kok.sol);6  kokSonda(kok.sag);7  System.out.print(kok.veri + " ");8}

Çağrı yığını (üst en üstte)	Satır
kokSonda(9)	5

kokSonda(9): önce sol alt ağaç.

1public void kokSonda(AgacDugumu kok) {2  if (kok == null) {3    return;4  }5  kokSonda(kok.sol);6  kokSonda(kok.sag);7  System.out.print(kok.veri + " ");8}

Çağrı yığını (üst en üstte)	Satır
kokSonda(2)	5
kokSonda(9)	5

kokSonda(2): önce sol alt ağaç.

1public void kokSonda(AgacDugumu kok) {2  if (kok == null) {3    return;4  }5  kokSonda(kok.sol);6  kokSonda(kok.sag);7  System.out.print(kok.veri + " ");8}

Çağrı yığını (üst en üstte)	Satır
kokSonda(4)	5
kokSonda(2)	5
kokSonda(9)	5

kokSonda(4): önce sol alt ağaç.

1public void kokSonda(AgacDugumu kok) {2  if (kok == null) {3    return;4  }5  kokSonda(kok.sol);6  kokSonda(kok.sag);7  System.out.print(kok.veri + " ");8}

Çağrı yığını (üst en üstte)	Satır
kokSonda(null)	3
kokSonda(4)	6
kokSonda(2)	5
kokSonda(9)	5

4'ün sol ve sağ çocuğu null: iki çağrı da hemen döner.

1public void kokSonda(AgacDugumu kok) {2  if (kok == null) {3    return;4  }5  kokSonda(kok.sol);6  kokSonda(kok.sag);7  System.out.print(kok.veri + " ");8}

Çağrı yığını (üst en üstte)	Satır
kokSonda(4)	7
kokSonda(2)	5
kokSonda(9)	5

İki alt ağaç bitti; 4 yazdırılır (satır 7).

1public void kokSonda(AgacDugumu kok) {2  if (kok == null) {3    return;4  }5  kokSonda(kok.sol);6  kokSonda(kok.sag);7  System.out.print(kok.veri + " ");8}

Çağrı yığını (üst en üstte)	Satır
kokSonda(null)	3
kokSonda(2)	6
kokSonda(9)	5

2'ye dönüldü; satır 6: 2.sag null → döner.

1public void kokSonda(AgacDugumu kok) {2  if (kok == null) {3    return;4  }5  kokSonda(kok.sol);6  kokSonda(kok.sag);7  System.out.print(kok.veri + " ");8}

Çağrı yığını (üst en üstte)	Satır
kokSonda(2)	7
kokSonda(9)	5

2'nin iki alt ağacı bitti; 2 yazdırılır.

1public void kokSonda(AgacDugumu kok) {2  if (kok == null) {3    return;4  }5  kokSonda(kok.sol);6  kokSonda(kok.sag);7  System.out.print(kok.veri + " ");8}

Çağrı yığını (üst en üstte)	Satır
kokSonda(3)	5
kokSonda(9)	6

9'a dönüldü; satır 6: kokSonda(3).

1public void kokSonda(AgacDugumu kok) {2  if (kok == null) {3    return;4  }5  kokSonda(kok.sol);6  kokSonda(kok.sag);7  System.out.print(kok.veri + " ");8}

Çağrı yığını (üst en üstte)	Satır
kokSonda(3)	7
kokSonda(9)	6

3'ün iki çocuğu da null; ardından 3 yazdırılır.

1public void kokSonda(AgacDugumu kok) {2  if (kok == null) {3    return;4  }5  kokSonda(kok.sol);6  kokSonda(kok.sag);7  System.out.print(kok.veri + " ");8}

Çağrı yığını (üst en üstte)	Satır
kokSonda(9)	7

Kök en son: 9 yazdırılır, yığın boşalır. Çıktı: 4 2 3 9

Gezinmeler

Yığın ile Kök Başta Gezinme

public void kokBastaYigin(AgacDugumu kok) {    if (kok == null) return;    Stack<AgacDugumu> yigit = new Stack<>();    yigit.push(kok);    while (!yigit.isEmpty()) {        AgacDugumu gecici = yigit.pop();        System.out.print(gecici.veri + " ");        if (gecici.sag != null)            yigit.push(gecici.sag);  // önce sağ        if (gecici.sol != null)            yigit.push(gecici.sol);  // sol üstte    }}

Kök yığına itilir: [1].

public void kokBastaYigin(AgacDugumu kok) {    if (kok == null) return;    Stack<AgacDugumu> yigit = new Stack<>();    yigit.push(kok);    while (!yigit.isEmpty()) {        AgacDugumu gecici = yigit.pop();        System.out.print(gecici.veri + " ");        if (gecici.sag != null)            yigit.push(gecici.sag);  // önce sağ        if (gecici.sol != null)            yigit.push(gecici.sol);  // sol üstte    }}

1 çıkarılıp yazdırılır; önce sağ (3), sonra sol (2) itilir → 2 üstte.

public void kokBastaYigin(AgacDugumu kok) {    if (kok == null) return;    Stack<AgacDugumu> yigit = new Stack<>();    yigit.push(kok);    while (!yigit.isEmpty()) {        AgacDugumu gecici = yigit.pop();        System.out.print(gecici.veri + " ");        if (gecici.sag != null)            yigit.push(gecici.sag);  // önce sağ        if (gecici.sol != null)            yigit.push(gecici.sol);  // sol üstte    }}

2 çıkarılır, yazdırılır; 5 ve 4 itilir.

public void kokBastaYigin(AgacDugumu kok) {    if (kok == null) return;    Stack<AgacDugumu> yigit = new Stack<>();    yigit.push(kok);    while (!yigit.isEmpty()) {        AgacDugumu gecici = yigit.pop();        System.out.print(gecici.veri + " ");        if (gecici.sag != null)            yigit.push(gecici.sag);  // önce sağ        if (gecici.sol != null)            yigit.push(gecici.sol);  // sol üstte    }}

4 çıkarılır, yazdırılır; çocuğu yok.

public void kokBastaYigin(AgacDugumu kok) {    if (kok == null) return;    Stack<AgacDugumu> yigit = new Stack<>();    yigit.push(kok);    while (!yigit.isEmpty()) {        AgacDugumu gecici = yigit.pop();        System.out.print(gecici.veri + " ");        if (gecici.sag != null)            yigit.push(gecici.sag);  // önce sağ        if (gecici.sol != null)            yigit.push(gecici.sol);  // sol üstte    }}

5 çıkarılır, yazdırılır.

public void kokBastaYigin(AgacDugumu kok) {    if (kok == null) return;    Stack<AgacDugumu> yigit = new Stack<>();    yigit.push(kok);    while (!yigit.isEmpty()) {        AgacDugumu gecici = yigit.pop();        System.out.print(gecici.veri + " ");        if (gecici.sag != null)            yigit.push(gecici.sag);  // önce sağ        if (gecici.sol != null)            yigit.push(gecici.sol);  // sol üstte    }}

3 çıkarılır, yazdırılır; 7 ve 6 itilir.

public void kokBastaYigin(AgacDugumu kok) {    if (kok == null) return;    Stack<AgacDugumu> yigit = new Stack<>();    yigit.push(kok);    while (!yigit.isEmpty()) {        AgacDugumu gecici = yigit.pop();        System.out.print(gecici.veri + " ");        if (gecici.sag != null)            yigit.push(gecici.sag);  // önce sağ        if (gecici.sol != null)            yigit.push(gecici.sol);  // sol üstte    }}

6 çıkarılır, yazdırılır.

public void kokBastaYigin(AgacDugumu kok) {    if (kok == null) return;    Stack<AgacDugumu> yigit = new Stack<>();    yigit.push(kok);    while (!yigit.isEmpty()) {        AgacDugumu gecici = yigit.pop();        System.out.print(gecici.veri + " ");        if (gecici.sag != null)            yigit.push(gecici.sag);  // önce sağ        if (gecici.sol != null)            yigit.push(gecici.sol);  // sol üstte    }}

7 yazdırılır; yığın boş, döngü biter. Çıktı: 1 2 4 5 3 6 7

Gezinmeler

Yığın ile Kök Ortada Gezinme

public void kokOrtadaYigin(AgacDugumu kok) {    if (kok == null) return;    Stack<AgacDugumu> yigit = new Stack<>();    AgacDugumu gecici = kok;    while (!yigit.isEmpty() || gecici != null) {        if (gecici != null) {            yigit.push(gecici);            gecici = gecici.sol;        } else {            gecici = yigit.pop();            System.out.print(gecici.veri + " ");            gecici = gecici.sag;        }    }}

gecici null olana kadar sola inilir: 1, 2, 4 itilir; gecici = 4.sol = null.

public void kokOrtadaYigin(AgacDugumu kok) {    if (kok == null) return;    Stack<AgacDugumu> yigit = new Stack<>();    AgacDugumu gecici = kok;    while (!yigit.isEmpty() || gecici != null) {        if (gecici != null) {            yigit.push(gecici);            gecici = gecici.sol;        } else {            gecici = yigit.pop();            System.out.print(gecici.veri + " ");            gecici = gecici.sag;        }    }}

4 çıkarılır, yazdırılır; gecici = 4.sag = null.

public void kokOrtadaYigin(AgacDugumu kok) {    if (kok == null) return;    Stack<AgacDugumu> yigit = new Stack<>();    AgacDugumu gecici = kok;    while (!yigit.isEmpty() || gecici != null) {        if (gecici != null) {            yigit.push(gecici);            gecici = gecici.sol;        } else {            gecici = yigit.pop();            System.out.print(gecici.veri + " ");            gecici = gecici.sag;        }    }}

2 çıkarılır, yazdırılır; gecici = 5 → 5 itilir, gecici = null.

public void kokOrtadaYigin(AgacDugumu kok) {    if (kok == null) return;    Stack<AgacDugumu> yigit = new Stack<>();    AgacDugumu gecici = kok;    while (!yigit.isEmpty() || gecici != null) {        if (gecici != null) {            yigit.push(gecici);            gecici = gecici.sol;        } else {            gecici = yigit.pop();            System.out.print(gecici.veri + " ");            gecici = gecici.sag;        }    }}

5 çıkarılır, yazdırılır; gecici = null.

public void kokOrtadaYigin(AgacDugumu kok) {    if (kok == null) return;    Stack<AgacDugumu> yigit = new Stack<>();    AgacDugumu gecici = kok;    while (!yigit.isEmpty() || gecici != null) {        if (gecici != null) {            yigit.push(gecici);            gecici = gecici.sol;        } else {            gecici = yigit.pop();            System.out.print(gecici.veri + " ");            gecici = gecici.sag;        }    }}

1 çıkarılır, yazdırılır; gecici = 3 → 3 ve 6 itilir.

public void kokOrtadaYigin(AgacDugumu kok) {    if (kok == null) return;    Stack<AgacDugumu> yigit = new Stack<>();    AgacDugumu gecici = kok;    while (!yigit.isEmpty() || gecici != null) {        if (gecici != null) {            yigit.push(gecici);            gecici = gecici.sol;        } else {            gecici = yigit.pop();            System.out.print(gecici.veri + " ");            gecici = gecici.sag;        }    }}

6 çıkarılır, yazdırılır; gecici = null.

public void kokOrtadaYigin(AgacDugumu kok) {    if (kok == null) return;    Stack<AgacDugumu> yigit = new Stack<>();    AgacDugumu gecici = kok;    while (!yigit.isEmpty() || gecici != null) {        if (gecici != null) {            yigit.push(gecici);            gecici = gecici.sol;        } else {            gecici = yigit.pop();            System.out.print(gecici.veri + " ");            gecici = gecici.sag;        }    }}

3 yazdırılır; gecici = null ve yığın boş → biter. Çıktı: 4 2 5 1 6 3

Gezinmeler

Yığın ile Kök Sonda Gezinme: Kod

public void kokSondaYigin(AgacDugumu kok) {
  AgacDugumu simdiki = kok;
  Stack<AgacDugumu> yigit = new Stack<>();
  while (simdiki != null || !yigit.isEmpty()) {
    if (simdiki != null) {
      yigit.push(simdiki);
      simdiki = simdiki.sol;
    } else {
      AgacDugumu gecici = yigit.peek().sag;
      if (gecici == null) {
        gecici = yigit.pop();
        System.out.print(gecici.veri + " ");
        while (!yigit.isEmpty()
           && gecici == yigit.peek().sag) {
          gecici = yigit.pop();
          System.out.print(gecici.veri + " ");
        }
      } else {
        simdiki = gecici;
      }
    }
  }
}

Kök, iki alt ağacı da bittikten sonra yazdırılmalı; bu yüzden yığındaki düğüm hemen çıkarılmaz, önce peek ile bakılır.
Üstteki düğümün sağ çocuğu varsa önce o alt ağaca gidilir.
Sağ çocuk yoksa düğüm yazdırılır. Az önce yazdırılan düğüm, yığındakinin sağ çocuğuysa o ebeveynin de işi bitmiştir → o da çıkarılıp yazdırılır.

Gezinmeler

Yığın ile Kök Sonda Gezinme: İzleme

simdiki null olana dek sola inilir: 1, 2, 4 itilir.

peek = 4, 4.sag null → 4 çıkarılıp yazdırılır. 4, 2'nin sağ çocuğu değil; iç döngü durur.

peek = 2, 2.sag = 5 ≠ null → simdiki = 5; 5 itilir, 5.sol null.

5.sag null → 5 yazdırılır. 5 == 2.sag olduğu için 2 de çıkarılıp yazdırılır.

peek = 1, 1.sag = 3 → simdiki = 3; 3 itilir, 3.sol null.

peek = 3, 3.sag = 6 → simdiki = 6; 6 itilir.

6 yazdırılır; 6 == 3.sag → 3; 3 == 1.sag → 1. Yığın boş. Çıktı: 4 5 2 6 3 1

Gezinmeler

Kuyruk ile Seviye Sırası Gezinme

public void seviyeSirasi(AgacDugumu kok) {    if (kok == null) return;    Queue<AgacDugumu> kuyruk = new LinkedList<>();    kuyruk.add(kok);    while (!kuyruk.isEmpty()) {        AgacDugumu gecici = kuyruk.poll();        System.out.print(gecici.veri + " ");        if (gecici.sol != null)            kuyruk.add(gecici.sol);        if (gecici.sag != null)            kuyruk.add(gecici.sag);    }}

Kök kuyruğa eklenir: [4].

public void seviyeSirasi(AgacDugumu kok) {    if (kok == null) return;    Queue<AgacDugumu> kuyruk = new LinkedList<>();    kuyruk.add(kok);    while (!kuyruk.isEmpty()) {        AgacDugumu gecici = kuyruk.poll();        System.out.print(gecici.veri + " ");        if (gecici.sol != null)            kuyruk.add(gecici.sol);        if (gecici.sag != null)            kuyruk.add(gecici.sag);    }}

4 kuyruğun önünden alınır, yazdırılır; çocukları 3 ve 7 arkaya eklenir.

public void seviyeSirasi(AgacDugumu kok) {    if (kok == null) return;    Queue<AgacDugumu> kuyruk = new LinkedList<>();    kuyruk.add(kok);    while (!kuyruk.isEmpty()) {        AgacDugumu gecici = kuyruk.poll();        System.out.print(gecici.veri + " ");        if (gecici.sol != null)            kuyruk.add(gecici.sol);        if (gecici.sag != null)            kuyruk.add(gecici.sag);    }}

3 alınır, yazdırılır; 5 ve 8 arkaya eklenir.

public void seviyeSirasi(AgacDugumu kok) {    if (kok == null) return;    Queue<AgacDugumu> kuyruk = new LinkedList<>();    kuyruk.add(kok);    while (!kuyruk.isEmpty()) {        AgacDugumu gecici = kuyruk.poll();        System.out.print(gecici.veri + " ");        if (gecici.sol != null)            kuyruk.add(gecici.sol);        if (gecici.sag != null)            kuyruk.add(gecici.sag);    }}

7 alınır, yazdırılır; çocuğu yok.

public void seviyeSirasi(AgacDugumu kok) {    if (kok == null) return;    Queue<AgacDugumu> kuyruk = new LinkedList<>();    kuyruk.add(kok);    while (!kuyruk.isEmpty()) {        AgacDugumu gecici = kuyruk.poll();        System.out.print(gecici.veri + " ");        if (gecici.sol != null)            kuyruk.add(gecici.sol);        if (gecici.sag != null)            kuyruk.add(gecici.sag);    }}

5 alınır, yazdırılır.

public void seviyeSirasi(AgacDugumu kok) {    if (kok == null) return;    Queue<AgacDugumu> kuyruk = new LinkedList<>();    kuyruk.add(kok);    while (!kuyruk.isEmpty()) {        AgacDugumu gecici = kuyruk.poll();        System.out.print(gecici.veri + " ");        if (gecici.sol != null)            kuyruk.add(gecici.sol);        if (gecici.sag != null)            kuyruk.add(gecici.sag);    }}

8 yazdırılır; kuyruk boş. Çıktı: 4 3 7 5 8 (kök başta olsaydı: 4 3 5 8 7)

Gezinmeler

Uygulama: İfade Ağacı

İç düğümler işleçler, yapraklar işlenenlerdir.
Aynı ağaç, gezinme türüne göre farklı gösterimler verir.
Değer, kök sonda gezinmeyle hesaplanır: önce iki alt ağacın değeri, sonra işleç.

Gezinme	Çıktı	Gösterim
Kök başta	`× + 3 4 − 5 2`	önek (prefix)
Kök ortada	`3 + 4 × 5 − 2` → parantezle: `(3 + 4) × (5 − 2)`	ara ek (infix)
Kök sonda	`3 4 + 5 2 − ×` → 7 × 3 = 21	sonek (postfix)

Kök ortada çıktısında parantez kaybolur; ifadeyi doğru yazmak için her alt ağaç parantez içine alınmalıdır. Bkz. Bölüm 4 infix → postfix simülatörü.

Gezinmeler

İkili Ağaçta En Büyük Değeri Bulma

1public int enBuyukBul(AgacDugumu kok) {2    if (kok == null) {3        return Integer.MIN_VALUE;4    }5    int sonuc = kok.veri;6    int sol = enBuyukBul(kok.sol);7    int sag = enBuyukBul(kok.sag);8    if (sol > sonuc)9        sonuc = sol;10    if (sag > sonuc)11        sonuc = sag;12    return sonuc;13}

enBuyukBul(4): sonuc = 4; önce sol alt ağaç (3) çağrılır.

1public int enBuyukBul(AgacDugumu kok) {2    if (kok == null) {3        return Integer.MIN_VALUE;4    }5    int sonuc = kok.veri;6    int sol = enBuyukBul(kok.sol);7    int sag = enBuyukBul(kok.sag);8    if (sol > sonuc)9        sonuc = sol;10    if (sag > sonuc)11        sonuc = sag;12    return sonuc;13}

5 yaprak: iki çocuğu MIN_VALUE döndürür → 5 döner.

1public int enBuyukBul(AgacDugumu kok) {2    if (kok == null) {3        return Integer.MIN_VALUE;4    }5    int sonuc = kok.veri;6    int sol = enBuyukBul(kok.sol);7    int sag = enBuyukBul(kok.sag);8    if (sol > sonuc)9        sonuc = sol;10    if (sag > sonuc)11        sonuc = sag;12    return sonuc;13}

8 yaprak → 8 döner.

1public int enBuyukBul(AgacDugumu kok) {2    if (kok == null) {3        return Integer.MIN_VALUE;4    }5    int sonuc = kok.veri;6    int sol = enBuyukBul(kok.sol);7    int sag = enBuyukBul(kok.sag);8    if (sol > sonuc)9        sonuc = sol;10    if (sag > sonuc)11        sonuc = sag;12    return sonuc;13}

Düğüm 3: sonuc = 3; sol = 5 > 3 → 5; sag = 8 > 5 → 8 döner.

1public int enBuyukBul(AgacDugumu kok) {2    if (kok == null) {3        return Integer.MIN_VALUE;4    }5    int sonuc = kok.veri;6    int sol = enBuyukBul(kok.sol);7    int sag = enBuyukBul(kok.sag);8    if (sol > sonuc)9        sonuc = sol;10    if (sag > sonuc)11        sonuc = sag;12    return sonuc;13}

7 yaprak → 7 döner.

1public int enBuyukBul(AgacDugumu kok) {2    if (kok == null) {3        return Integer.MIN_VALUE;4    }5    int sonuc = kok.veri;6    int sol = enBuyukBul(kok.sol);7    int sag = enBuyukBul(kok.sag);8    if (sol > sonuc)9        sonuc = sol;10    if (sag > sonuc)11        sonuc = sag;12    return sonuc;13}

Kök: sonuc = 4; sol = 8 → 8; sag = 7 < 8. Sonuç: 8

Gezinmeler

Özyinelemeli Ağaç Fonksiyonları

int boyut(AgacDugumu k) {            // düğüm sayısı
    if (k == null) return 0;
    return 1 + boyut(k.sol) + boyut(k.sag);
}

int yukseklik(AgacDugumu k) {        // kenar sayısı
    if (k == null) return -1;        // boş ağaç: -1
    return 1 + Math.max(yukseklik(k.sol),
                        yukseklik(k.sag));
}

int yaprakSayisi(AgacDugumu k) {
    if (k == null) return 0;
    if (k.sol == null && k.sag == null) return 1;
    return yaprakSayisi(k.sol) + yaprakSayisi(k.sag);
}

Ortak kalıpBoş ağaç için taban durum; aksi halde iki alt ağacın sonucunu birleştir (kök sonda mantığı).

9 → (2 → 4), 3 ağacındaboyut = 4yukseklik = 2yaprakSayisi = 2 (4 ve 3)

MaliyetHer düğüm bir kez işlenir: O(n) zaman, O(h) yığın alanı.

Gezinmeler

Gezinmelerin Maliyeti

Yöntem	Zaman	Ek bellek	Neden?
Özyinelemeli pre/in/post	O(n)	O(h)	Çağrı yığınında en fazla h + 1 çerçeve
Yığın ile pre/in/post	O(n)	O(h)	Açık yığın, özyinelemenin yerini tutar
Kuyruk ile seviye sırası	O(n)	O(w)	w: en geniş düzeydeki düğüm sayısı

h ne kadar?Dengeli ağaçta h ≈ log₂ n; çarpık ağaçta h = n − 1. Çok derin ağaçlarda özyineleme StackOverflowError verebilir → yığınlı sürüm tercih edilir.

w ne kadar?Mükemmel ağaçta son düzeyde ≈ n/2 düğüm vardır; seviye sırası geniş ağaçlarda daha çok bellek harcar.

Çok Yollu Ağaçlar

B-Ağacı (B-Tree)

Bir düğümde birden çok anahtar ve çok sayıda çocuk bulunan, dengeli bir çok yollu arama ağacıdır.
Derecesi m olan B-ağacında bir düğüm en fazla m çocuk, m − 1 anahtar tutar; kök dışındaki düğümlerde en az ⌈m/2⌉ çocuk bulunur.
Düğüm içindeki anahtarlar sıralıdır; tüm yapraklar aynı derinliktedir.
Yükseklik O(log n) kalır; ekleme/silmede düğümler bölünür veya birleştirilir.

Neden? Bir düğüm bir disk bloğuna denk getirilir. Geniş ve alçak ağaç = az disk erişimi. Veritabanı ve dosya sistemi indekslerinin temelidir.

B-ağacı, (a,b) ağacının özel bir hâlidir. Adım adım ekleme ve bölünme için: B-Ağacı simülatörü.

Çok Yollu Ağaçlar

B+ Ağacı (B+ Tree)

Veri yapraklardaTüm anahtarlar (ve kayıtlar) yapraklarda bulunur; iç düğümler yalnızca yönlendirme anahtarı tutar.

Bağlı yapraklarYapraklar birbirine bağlıdır; "20 ile 50 arası" gibi aralık sorguları hızlıdır.

Daha geniş iç düğümlerİç düğümler kayıt taşımadığından bir bloğa daha çok anahtar sığar → ağaç daha alçak.

Çoğu ilişkisel veritabanı indeksi B+ ağacıdır. Deneyin: B+ Ağacı simülatörü.

Özet

Konu	Hatırlanacaklar
Terimler	kök, ebeveyn/çocuk, yaprak, iç düğüm; n düğüm → n − 1 kenar
Ölçüler	derece = çocuk sayısı; derinlik = kökten kenar sayısı; yükseklik = en uzun aşağı yol
İkili ağaç	dolu: 0/2 çocuk · tam: son düzey soldan dolar · mükemmel: tüm düzeyler dolu
Gösterim	dizi: indeks bağıntıları · bağlı: sol/sağ başvuruları
Gezinme	kök başta K-S-S · kök ortada S-K-S · kök sonda S-S-K · seviye sırası kuyrukla
Maliyet	tüm gezinmeler O(n); ek bellek O(h) (yığın) veya O(w) (kuyruk)
B / B+ ağacı	çok yollu, dengeli, yapraklar aynı derinlikte; disk tabanlı indeksler

Özet

Etkileşimli Simülatörler

Genel AğaçÇocuk sayısı sınırsız ağaçta düğüm ekleme/silme ve gezinmeler.

İkili (Arama) Ağaçİkili ağaç üzerinde ekleme ve kök başta / ortada / sonda gezinmeleri izleme.

B-AğacıAnahtar ekledikçe düğümlerin bölünmesini ve ağacın dengeli büyümesini izleyin.

B+ AğacıVerinin yapraklarda tutulduğu, yaprakları bağlı çok yollu ağaç.

Özet

Örnek Problemler

Sağdaki ağacın kök başta, kök ortada, kök sonda ve seviye sırası çıktılarını yazın.
Ağacın yüksekliği nedir? Yapraklar hangileri? E'nin derinliği kaçtır?
Bu ağaç dolu mu, tam mı, mükemmel mi?
1 tabanlı dizi gösteriminde F ve G hangi indislerde durur? Dizi en az kaç hücre olmalı?
Yüksekliği 4 olan bir ikili ağaçta en fazla kaç düğüm olabilir?
Kök başta: A B D E C F, kök ortada: D B E A C F. Ağacı çizin.

Cevapları göster

Kök başta: A B D E G C F · kök ortada: D B G E A C F · kök sonda: D G E B F C A · seviye: A B C D E F G
Yükseklik 3 (A→B→E→G); yapraklar D, G, F; E'nin derinliği 2.
Hiçbiri: E ve C'nin tek çocuğu var (dolu değil); 6. konum boşken 7 dolu (tam değil).
F: C'nin sağ çocuğu → 2·3 + 1 = 7; G: E'nin sol çocuğu → 2·5 = 10. En az 10 hücre (1..10).
2⁵ − 1 = 31.
A kök; sol alt ağaç {D, B, E}: B kök, D sol, E sağ; sağ alt ağaç {C, F}: C kök, F sağ çocuk.

Özet

Kaynaklar

Goodrich, Tamassia ve Goldwasser, Data Structures and Algorithms in Java, 6. baskı, 2014.
Cormen, Leiserson, Rivest ve Stein, Introduction to Algorithms, 4. baskı, 2022.
Sedgewick ve Wayne, Algorithms, 4. baskı, 2011.

Son

Bölüm 7: Ağaçlar

Sonraki bölüm: Öncelikli Kuyruklar ve Heap

← → veya boşluk ile gezinin · F: tam ekran · Home/End: ilk/son slayt