Bölüm 14: Dal Sınır Algoritmaları

Algoritmalar

Durum uzayı ağacıSınırlama ve budamaFIFO, LIFO, en düşük maliyet0/1 sırt çantası Gezgin satıcıTamsayılı programlamaMaksimum klikGeri izleme ile karşılaştırma

Sercan KÜLCÜ · Giresun Üniversitesi · Bilgisayar Mühendisliği

Giriş

Öğrenme Çıktıları

Paradigma

Dal sınır yönteminin durum uzayı ağacı, dallanma, sınırlama ve budama adımlarını açıklamak; geri izlemeden farkını söylemek.

Sınır tasarımı

En büyükleme için üst, en küçükleme için alt sınır kurmak; sınırın geçerli (iyimser) olmasının neden şart olduğunu gerekçelendirmek.

Arama stratejileri

FIFO, LIFO ve en düşük maliyet (en iyi önce) stratejilerini aynı örnekte izlemek; bellek ve düğüm sayısı açısından karşılaştırmak.

Uygulamalar

0/1 sırt çantası, gezgin satıcı, tamsayılı doğrusal programlama ve maksimum klik problemlerini dal sınır ile adım adım çözmek.

Giriş

En İyi Seçenekleri Ele Almak

Karmaşık problemleri çözmek, bazen bir yol ayrımında doğru seçeneği bulmaya benzer.
Dal sınır (branch and bound) algoritmaları bu problemler için akıllı bir yaklaşım sunar: olası çözüm yollarını inceleyerek en iyi seçeneği bulmaya çalışır.
Hedef: kombinatoryal optimizasyon problemlerinde kesin (optimal) çözüm. Tüm adayları denemek ise üstel ya da faktöriyel sürer.
Fikir: bir dalın en fazla ne kadar iyi olabileceğini önceden tahmin et; yeterince iyi değilse o dala hiç girme.

n	2ⁿ alt küme	(n−1)! tur
5	32	24
10	1 024	362 880
20	1 048 576	≈ 1,2 · 10¹⁷
40	≈ 1,1 · 10¹²	≈ 2,0 · 10⁴⁶

Sırt çantası 2ⁿ alt kümeyi, gezgin satıcı (n−1)! turu dener: kaba kuvvet hızla imkânsızlaşır.

Giriş

Dal Sınır Algoritmaları

Dallanıp budanan bir ağaç gibi düşünülebilir.
Önce problem daha küçük alt problemlere ayrılır (dallanma, branching).
Her alt problem için ulaşılabilecek en iyi değer tahmin edilir (sınır, bound).
Sınırı, o ana kadar bulunan en iyi çözümden daha iyi olmayan olasılıklar elenir (budama, pruning).
İşlem kalan tüm alt problemler için tekrarlanır; gereksiz dallar budandıkça arama süresi kısalır.
Gezgin satıcı, sırt çantası, çizelgeleme gibi birçok alanda kullanılır.

Budanan düğümün (✗) alt ağacı hiç üretilmez.

Giriş

Temel Kavramlar

Durum uzayı ağacıKök = hiçbir karar verilmemiş durum; her seviye bir karar (ör. "eşya i alınsın mı?"); yapraklar tam çözümler.

DallanmaBir düğümün alt problemlerini (çocuklarını) üretmek. Genişletilen düğüme E-düğüm (expanding node) denir.

SınırDüğümün altındaki hiçbir çözümün geçemeyeceği iyimser değer: en büyüklemede üst, en küçüklemede alt sınır.

Canlı düğümÜretilmiş ama henüz genişletilmemiş, umut vaat eden düğüm. Hepsi bir kuyruk yapısında bekler.

Ölü düğümGenişletilmiş, olursuz ya da sınırı yetersiz olduğu için budanmış düğüm; bir daha ele alınmaz.

enİyi (incumbent)Şimdiye kadar bulunan en iyi tam çözümün değeri. Budama kararları bu değere göre verilir.

Paradigma

Genel Şema (En Büyükleme)

int enIyi = -∞;
kuyruk.ekle(kök);
while (!kuyruk.bosMu()) {
  Dugum u = kuyruk.cikar();   // strateji
  if (sinir(u) <= enIyi) continue;
  for (Dugum c : u.cocuklar()) {
    if (!olurluMu(c)) continue;
    if (tamCozumMu(c) && deger(c) > enIyi)
      enIyi = deger(c);      // yeni aday
    if (sinir(c) > enIyi)
      kuyruk.ekle(c);        // canlı düğüm
  }
}
return enIyi;

Seç: kuyruktan bir canlı düğüm çıkar. Hangisinin çıkacağını strateji belirler (FIFO, LIFO, en iyi sınır).
Tekrar sına: düğüm beklerken enİyi büyümüş olabilir; sınırı artık yetersizse at.
Dallan: çocukları üret; olursuzları ele.
Güncelle: tam çözüm daha iyiyse enİyi'yi yükselt.
Sınırla: yalnızca sınırı enİyi'yi geçebilen çocukları kuyruğa koy.

En küçüklemede yönler ters çevrilir: alt sınır kullanılır, alt(c) ≥ enIyi ise budanır.

Paradigma

Sınır (Bound) Nasıl Seçilir?

Geçerli (iyimser) olmalıEn büyüklemede sınır(u) ≥ alt ağaçtaki her çözüm; en küçüklemede alt(u) ≤ her çözüm. Aksi hâlde optimum budanabilir ve sonuç yanlış olur.

Sıkı olmalıGerçek değere ne kadar yakınsa o kadar çok dal budanır. Sonsuz büyük bir "sınır" geçerlidir ama hiçbir şey budamaz.

Ucuz hesaplanmalıSınır her düğümde hesaplanır. Çok pahalı bir sınır, budadığı düğümlerden daha fazla zaman harcatabilir.

Gevşetme (relaxation) ile kurulurZor bir kısıtı kaldırıp kolay problemi çöz: kesirli sırt çantası, LP gevşetmesi, en ucuz çıkış kenarları.

Başarı büyük ölçüde iyi bir sınır tahminine bağlıdır. En küçüklemede alt sınır, en iyi senaryoda elde edilebilecek minimum değerdir; zayıf bir alt sınır arama süresini uzatır.

Paradigma

Bir Düğüm Ne Zaman Budanır?

1. OlursuzlukDüğüm bir kısıtı ihlal ediyor: ağırlık > kapasite, aynı şehre ikinci ziyaret, LP'nin çözümü yok. Altında hiçbir geçerli çözüm yoktur.

2. Sınırsinir(u) ≤ enİyi (en büyükleme) ya da alt(u) ≥ enİyi (en küçükleme). Altındaki çözümler en iyiyi geçemez.

3. TamlıkDüğüm tam bir çözüm (yaprak) ya da gevşetmenin çözümü zaten olurlu (ör. LP çözümü tamsayı). Değeri enİyi ile karşılaştırılır; dallanmaya gerek kalmaz.

Geri izleme yalnızca 1. kuralı (ve tamlığı) kullanır. Dal sınırı ondan ayıran şey 2. kuraldır: düğüm geçerli olsa bile "yeterince iyi değilse" kesilir.

Paradigma

Arama Stratejileri: Sıradaki Canlı Düğüm Hangisi?

Strateji	Kuyruk	Nasıl gezer?	Artı / eksi
FIFO dal sınır	kuyruk (`ArrayDeque`)	seviye seviye, genişlik öncelikli (BFS)	sığ çözümleri erken bulur; canlı düğüm sayısı üstel büyüyebilir
LIFO dal sınır	yığın (ya da özyineleme)	derinlik öncelikli (DFS)	bellek O(derinlik); erken bir tam çözüm enİyi'yi hızla yükseltir
En düşük maliyet (LC, en iyi önce)	öncelikli kuyruk (`PriorityQueue`)	sınırı en umut verici düğüm önce	genellikle en az düğümü genişletir; kuyruk bellek tüketir, her işlem O(log k)

Üç strateji de aynı optimumu bulur; değişen, üretilen düğüm sayısı ve bellektir.
LC aramada maliyet fonksiyonu ĉ(u) = sınır değeri (ya da f(u) + ĝ(u) tahmini) olur; A* araması bu fikrin yol bulmadaki karşılığıdır.

Paradigma

Geri İzleme ve Dal Sınır

Özellik	Geri izleme (Bölüm 13)	Dal sınır
Problem türü	karar / arama: bir ya da tüm geçerli çözümler (N-vezir, Sudoku)	optimizasyon: en iyi çözüm (en büyük kazanç, en kısa tur)
Budama ölçütü	olurluluk: kısıt ihlal ediliyor mu?	olurluluk + sınır: enİyi'yi geçebilir mi?
Gezinme	her zaman DFS (özyineleme)	DFS, BFS ya da en iyi önce
Ek bilgi	yalnızca kısmi çözüm	kısmi çözüm + sınır fonksiyonu + enİyi
Bellek	O(derinlik)	DFS'te O(derinlik); BFS/LC'de kuyruk boyu kadar
En kötü durum	üstel	yine üstel; pratikte çok daha az düğüm

Sınır testi olmayan bir TSP ya da maksimum klik araması aslında geri izlemedir; tek bir sınır satırı eklenince dal sınıra dönüşür (ilerideki slaytlar).

Paradigma

Avantajlar ve Dezavantajlar

Avantajlar

Karmaşık optimizasyon problemlerinde kesin en iyi çözümü bulur.
Arama alanını daraltır, gereksiz olasılıkları eler.
En iyi rotayı ya da seçimi bulmayı gerektiren problemlerde idealdir.
Çözümleri ağaç olarak temsil edilebilen çok çeşitli problemlere uygulanır.
Erken durdurulursa elde iyi bir çözüm ve onun sınırı (kalite garantisi) bulunur.

Dezavantajlar

Çok fazla olasılık içeren durumlarda çözüm süresi artabilir: en kötü durumda üstel zaman.
FIFO ve en iyi önce stratejilerinde bellek de üstel büyüyebilir.
Başarı, iyi bir sınır tahminine bağlıdır; zayıf sınır neredeyse hiç budamaz.
Probleme özgü sınır ve dallanma kuralı tasarlamak gerekir; uygulaması geri izlemeden karmaşıktır.

0/1 Sırt Çantası

Örnek: 0/1 Sırt Çantası Problemi

n eşya: kazanç pᵢ, ağırlık wᵢ; kapasite W. Her eşya ya alınır ya alınmaz (xᵢ ∈ {0, 1}).
Amaç: Σ wᵢxᵢ ≤ W koşuluyla Σ pᵢxᵢ'yi en büyüklemek.
Eşyalar pᵢ/wᵢ oranına göre azalan sırada dizilir; sınır hesabı bu sırayı kullanır.
Durum uzayı ağacı ikilidir: i. seviyede sol dal "eşya i alındı" (1), sağ dal "alınmadı" (0). Tam ağaç 2⁵ − 1 = 31 düğüm.

Eşya	pᵢ	wᵢ	pᵢ/wᵢ
1	40	2	20
2	30	5	6
3	50	10	5
4	10	5	2

Kapasite W = 16.

Oranla açgözlü seçim 1, 2, 4'ü alır: kazanç 80. Optimum ise 1 ve 3: kazanç 90 (ağırlık 12). Açgözlü yetmez; tümünü denemek pahalı → dal sınır.

0/1 Sırt Çantası

Üst Sınır: Kesirli Sırt Çantası Gevşetmesi

Gevşetme: "eşya bölünemez" kısıtını kaldır. Kesirli sırt çantasını açgözlü yöntem (Bölüm 12) en iyi şekilde çözer.
u düğümünde (kazanç k, ağırlık a, seviye i): kalan eşyaları oran sırasıyla, sığdığı kadar tam ekle; ilk sığmayan eşyanın kesirli parçasını ekle:

sinir(u) = k + Σ_{j = i+1}^m−1 pⱼ + (W − a − Σ wⱼ) · p_m / w_m (m: ilk sığmayan eşya)

Neden geçerli?Her 0/1 çözüm aynı zamanda bir kesirli çözümdür. Kesirli optimum ≥ 0/1 optimum, yani sınır asla gerçek en iyiyi küçük göstermez.

Kök için40 + 30 = 70 (ağırlık 7); eşya 3 sığmaz, kalan 9 birim → 9 · 50/10 = 45. sinir(kök) = 115. a > W ise düğüm olursuzdur (sınır 0).

0/1 Sırt Çantası · Kodu adım adım çalıştır

sinir(kök): Kodu Adım Adım İzle

double sinir(Dugum u) {
  if (u.agirlik > W) return 0;   // olursuz
  double sonuc = u.kazanc;
  int toplamAg = u.agirlik;
  int j = u.seviye + 1;
  while (j < n && toplamAg + w[j] <= W) {
    toplamAg += w[j];
    sonuc += p[j];
    j++;
  }
  if (j < n)                // kesirli parça
    sonuc += (W - toplamAg) * (double) p[j] / w[j];
  return sonuc;
}

Kök düğüm: seviye −1, kazanç 0, ağırlık 0. 0 ≤ 16 olduğundan düğüm olurlu.

Sınır mevcut kazançtan başlar; j bir sonraki eşyayı gösterir (indis 0 = eşya 1).

0 + w[0] = 2 ≤ 16 → eşya 1 tamamen sığar.

toplamAg = 2, sonuc = 40, j = 1.

2 + w[1] = 7 ≤ 16 → eşya 2 de tamamen sığar.

toplamAg = 7, sonuc = 70, j = 2.

7 + w[2] = 17 > 16 → eşya 3 tamamen sığmaz, döngü biter.

Kalan kapasite 9: eşya 3’ün 9/10’u → 9 · 50/10 = 45 eklenir, sonuc = 115.

sinir(A) = 115: bu düğümün altındaki hiçbir çözüm 115’ten fazla kazandıramaz.

0/1 Sırt Çantası · Adım adım

En İyi Önce (LC) Dal Sınır: Durum Uzayı Ağacı

Kök A: hiçbir eşya seçilmedi (kazanç 0, ağırlık 0). Kesirli sınır s = 115; enİyi = 0. Kuyruk: A (115).

A çıkarıldı (en büyük sınır) ve dallandı. B (eşya 1 alındı): enİyi = 40, s = 115 → kuyruğa. C (eşya 1 yok): s = 82 → kuyruğa. Kuyruk: B (115), C (82).

B çıkarıldı (en büyük sınır) ve dallandı. D (eşya 2 alındı): enİyi = 70, s = 115 → kuyruğa. E (eşya 2 yok): s = 98 → kuyruğa. Kuyruk: D (115), E (98), C (82).

D çıkarıldı (en büyük sınır) ve dallandı. F (eşya 3 alındı): ağırlık 17 > 16 → olursuz. G (eşya 3 yok): s = 80 → kuyruğa. Kuyruk: E (98), C (82), G (80).

E çıkarıldı (en büyük sınır) ve dallandı. H (eşya 3 alındı): enİyi = 90, s = 98 → kuyruğa. I (eşya 3 yok): s = 50 ≤ 90 → budandı. Kuyruk: H (98), C (82), G (80).

H çıkarıldı (en büyük sınır) ve dallandı. J (eşya 4 alındı): ağırlık 17 > 16 → olursuz. K (eşya 4 yok): s = 90 ≤ 90 → budandı. Kuyruk: C (82), G (80).

C çıkarıldı: s = 82 ≤ enİyi = 90 → budandı. G çıkarıldı: s = 80 ≤ enİyi = 90 → budandı. Kuyruk boş: en iyi kazanç 90 (H: eşya 1 ve 3). Tam ağacın 31 düğümünden yalnızca 11’i üretildi.

0/1 Sırt Çantası

En İyi Önce Dal Sınır: Java

int dalSinir() {
  PriorityQueue<Dugum> kuyruk = new PriorityQueue<>(
      (a, b) -> Double.compare(b.sinir, a.sinir));
  Dugum kok = new Dugum(-1, 0, 0);
  kok.sinir = sinir(kok);
  kuyruk.add(kok);  int enIyi = 0;
  while (!kuyruk.isEmpty()) {
    Dugum u = kuyruk.poll();           // en büyük sınır
    if (u.sinir <= enIyi || u.seviye == n - 1) continue;
    int i = u.seviye + 1;
    // sol çocuk: i. eşyayı al
    Dugum al = new Dugum(i, u.kazanc + p[i],
                         u.agirlik + w[i]);
    if (al.agirlik <= W && al.kazanc > enIyi)
      enIyi = al.kazanc;
    al.sinir = sinir(al);
    if (al.sinir > enIyi) kuyruk.add(al);
    // sağ çocuk: i. eşyayı alma
    Dugum alma = new Dugum(i, u.kazanc, u.agirlik);
    alma.sinir = sinir(alma);
    if (alma.sinir > enIyi) kuyruk.add(alma);
  }
  return enIyi;
}

Dugum: seviye, kazanç, ağırlık, sınır (seçilen eşyalar için bir boolean[] ya da bit maskesi eklenebilir).
Karşılaştırıcı ters: en büyük sınır önce çıkar.
poll sonrası test, kuyrukta beklerken eskiyen düğümleri atar (örnekte C ve G).
FIFO için ArrayDeque + add()/poll(), LIFO için push()/pop() yeterlidir; kodun geri kalanı aynıdır.
En kötü durum O(2ⁿ) düğüm, düğüm başına O(n) sınır hesabı.

0/1 Sırt Çantası

Aynı Örnekte Üç Strateji

FIFO: 13 düğüm, 6 genişletme

LIFO: 13 düğüm, 6 genişletme

En iyi önce: 11 düğüm, 5 genişletme

Numaralar genişletme sırasıdır; küçük daireler üretilip genişletilmeyen düğümler (kırmızı kesikli: budanan), halka: optimum (90).

Yöntem	Üretilen düğüm	Genişletilen	En büyük kuyruk
Kaba kuvvet (tam ağaç)	31	15	—
FIFO dal sınır	13	6	3
LIFO dal sınır (önce "al")	13	6	3
En iyi önce (LC)	11	5	3

Gezgin Satıcı

Gezgin Satıcı Problemi (TSP): Alt Sınır

Her şehri bir kez ziyaret edip başlangıca dönen en kısa tur (en küçükleme, NP-zor).
Düğüm = 0'dan başlayan kısmi yol; çocuklar = ziyaret edilmemiş bir sonraki şehir.
Alt sınır: henüz çıkılmamış her şehirden (bulunulan şehir + ziyaret edilmemişler) en az bir kenarla çıkılmak zorundadır:

	0	1	2	3	min
0	—	3	2	15	2
1	3	—	21	5	3
2	2	21	—	8	2
3	15	5	8	—	5

4 şehirli simetrik uzaklık matrisi d.

alt(yol) = maliyet(yol) + enKucuk[son şehir] + Σ_{v ziyaret edilmemiş} enKucuk[v]

Kök: 2 + 3 + 2 + 5 = 12. Yol 0 → 1: 3 + 3 + (2 + 5) = 13. Her gerçek turun maliyeti bu toplamdan küçük olamaz, bu yüzden sınır geçerlidir.

Gezgin Satıcı · Kodu adım adım çalıştır

tsp(0, 0, 1): Sınırlı Derinlik Öncelikli Arama

void tsp(int sehir, int maliyet, int sayac) {
  if (sayac == n) {           // tur tamam
    int tur = maliyet + d[sehir][0];
    if (tur < enIyi) enIyi = tur;
    return;
  }
  for (int s = 0; s < n; s++) {
    if (ziyaret[s]) continue;
    int yeni = maliyet + d[sehir][s];
    ziyaret[s] = true;
    if (altSinir(s, yeni) < enIyi) // sınır
      tsp(s, yeni, sayac + 1);
    ziyaret[s] = false;      // geri al
  }
}

Şehir 0’dan başlanır. Kökün alt sınırı = 2 + 3 + 2 + 5 = 12.

0 → 1: yeni = 0 + 3 = 3; alt = 13 < ∞ → dallan.

1 → 2: yeni = 3 + 21 = 24; alt = 31 < ∞ → dallan.

2 → 3: yeni = 24 + 8 = 32; alt = 37 < ∞ → dallan.

Tur 0 → 1 → 2 → 3 → 0 = 32 + 15 = 47 < ∞ → enİyi = 47.

1 → 3: yeni = 3 + 5 = 8; alt = 15 < 47 → dallan.

3 → 2: yeni = 8 + 8 = 16; alt = 18 < 47 → dallan.

Tur 0 → 1 → 3 → 2 → 0 = 16 + 2 = 18 < 47 → enİyi = 18.

0 → 2: yeni = 0 + 2 = 2; alt = 12 < 18 → dallan.

2 → 1: yeni = 23; alt = 31 ≥ enİyi = 18 → budandı.

2 → 3: yeni = 10; alt = 18 ≥ enİyi = 18 → budandı.

0 → 3: yeni = 15; alt = 25 ≥ enİyi = 18 → budandı.

Bitti: en kısa tur 0 → 1 → 3 → 2 → 0 = 18; 16 yerine 10 düğüm.

Gezgin Satıcı

Daha Büyük Örnek: 6 Şehir

	0	1	2	3	4	5	min
0	—	29	20	21	16	31	16
1	29	—	15	29	28	40	15
2	20	15	—	15	14	25	14
3	21	29	15	—	12	18	12
4	16	28	14	12	—	22	12
5	31	40	25	18	22	—	18

Budamasız geri izleme tüm (n−1)! = 120 turu dener; altSinir testiyle aynı sonuç çok daha az düğümle bulunur.
Kök alt sınırı: 16 + 15 + 14 + 12 + 12 + 18 = 87; optimum 115.
En iyi tur: 0 → 1 → 2 → 3 → 5 → 4 → 0 = 29 + 15 + 15 + 18 + 22 + 16 = 115.

Sürüm	Üretilen düğüm	tsp çağrısı
Budamasız (geri izleme)	326	326
En ucuz çıkış sınırı	210	130

Daha sıkı sınırlarSimetrik TSP'de her şehrin iki en kısa kenarının toplamının yarısı; ya da satır/sütun indirgenmiş maliyet matrisi (Little ve ark., 1963). Sıkı sınır daha çok budar ama her düğümde daha pahalıdır.

Diğer Uygulamalar

Tamsayılı Doğrusal Programlama (ILP)

Doğrusal programın tüm değişkenleri tamsayı olmalı. Dal sınırın en yaygın endüstriyel kullanımı (Land ve Doig, 1960).
Sınır: tamsayı koşulunu kaldır, LP gevşetmesini çöz. LP optimumu, ILP optimumu için üst sınırdır.
Dallanma: kesirli bir değişken (y = 1,5) için iki alt problem: y ≤ 1 ve y ≥ 2. Aradaki kesirli bölge atılır, hiçbir tamsayı nokta kaybolmaz.

Örnek: en büyükle Z = 5x + 4y; 6x + 4y ≤ 24, x + 2y ≤ 6, x, y ≥ 0 tamsayı.

İkinci örnek: Z = 3x + 2y; x + y ≤ 4, x ≤ 3, y ≤ 2. Kaba kuvvet 0 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 2 ızgarasındaki 12 noktanın hepsini dener → (3, 1), Z = 11. Bu örnekte LP gevşetmesi de (3, 1) verir: dal sınır kökte biter.

Gölgeli: LP olurlu bölgesi; noktalar: tamsayı çözümler.

Diğer Uygulamalar · Adım adım

ILP: LP Gevşetmeleriyle Dallanma

Kök: tamsayı koşulu gevşetilir (LP gevşetmesi). LP optimumu (3; 1,5), Z = 21 → üst sınır. y kesirli → y üzerinde dallan.

Dal y ≤ 1: LP optimumu (3,33; 1), Z = 20,67. x kesirli → x ≤ 3 ve x ≥ 4 dalları açılır.

Dal x ≤ 3: LP çözümü (3; 1) tamsayı → ilk aday çözüm, enİyi = 19.

Dal x ≥ 4: LP çözümü (4; 0) tamsayı, Z = 20 > 19 → enİyi = 20.

Dal y ≥ 2: LP sınırı Z = 18 ≤ 20 → budandı. Optimum: x = 4, y = 0, Z = 20.

Dikkat: LP optimumu (3; 1,5) yuvarlanırsa (3; 1) → Z = 19 ya da (3; 2) → olursuz olur. Gerçek optimum (4; 0) yuvarlamayla bulunamaz.

Diğer Uygulamalar

Maksimum Klik (Maximum Clique)

6 köşeli örnek çizge; en büyük klik {0, 1, 2, 3, 4}.

Klik: her iki köşesi komşu olan köşe kümesi.
Sınır: |K| + |aday| ≤ |enİyi| ise mevcut klik ne kadar büyütülse de enİyi'yi geçemez.

void klik(List<Integer> K, int bas) {
  if (K.size() > enIyi.size())
    enIyi = new ArrayList<>(K);
  List<Integer> aday = new ArrayList<>();
  for (int v = bas; v < n; v++)
    if (uygun(v, K)) aday.add(v);  // K'ye komşu
  if (K.size() + aday.size() <= enIyi.size())
    return;                        // sınır
  for (int v : aday) {
    K.add(v);
    klik(K, v + 1);
    K.remove(K.size() - 1);          // geri al
  }
}

Sürüm	klik çağrısı
Sınırsız geri izleme	36
\|K\| + \|aday\| sınırıyla	17

Diğer Uygulamalar

Dal Sınırla Çözülen Diğer Problemler

Hamilton yoluHer köşeyi tam bir kez ziyaret eden yol; ağırlıklı sürümü TSP'ye çok benzer sınırlarla çözülür.

Boole sağlanabilirlik (SAT)Değişkenlere doğruluk değeri ata; çelişen kısmi atamaları buda (DPLL). En büyük SAT için sınır: sağlanabilecek en fazla tümce.

ÇizelgelemeToplam süreyi (makespan) ya da gecikmeyi en küçükle; sınır: kalan işlerin en iyi durumdaki yükü.

Kutu paketlemeEşyaları en az kutuya yerleştir; alt sınır ⌈Σ boyut / kutu kapasitesi⌉.

Maksimum kapsamaEn fazla öğeyi kapsayan k küme seç; sınır: kalan en büyük kümelerin ekleyebileceği öğe sayısı.

Atama problemin işi n kişiye en düşük maliyetle ata; alt sınır: atanmamış her satırın en küçük maliyeti.

Not: Maksimum akış gibi polinom zamanlı algoritması olan (Bölüm 4) problemlerde dal sınıra gerek yoktur; yöntem NP-zor problemler için anlamlıdır.

Özet

Konu	Hatırlanacaklar
Paradigma	durum uzayı ağacı; seç → dallan → sınırla → buda; enİyi en iyi tam çözümü tutar
Sınır	geçerli (iyimser), sıkı, ucuz; gevşetme ile kurulur. En büyüklemede üst, en küçüklemede alt sınır
Budama	olursuzluk, sınır ≤ enİyi (ya da alt ≥ enİyi), tam çözüm / tamsayı LP
Stratejiler	FIFO (BFS, kuyruk), LIFO (DFS, yığın, az bellek), LC / en iyi önce (öncelikli kuyruk, az düğüm)
Sırt çantası	kesirli sırt çantası üst sınırı; örnekte sınır(kök) = 115, optimum 90; 31 yerine 11 düğüm
TSP	alt sınır = maliyet + çıkılmamış şehirlerin en ucuz çıkış kenarları; 4 şehirde 16 → 10 düğüm
ILP / klik	LP gevşetmesi + kesirli değişkende dallanma; klikte \|K\| + \|aday\| ≤ \|enİyi\| sınırı
Karmaşıklık	en kötü durumda üstel; pratik başarı sınırın kalitesine bağlı

Özet

Etkileşimli Simülatörler

NP-Tamlık ve Hesaplamalı ZorlukP, NP, NP-zor ve NP-tam sınıflarını, polinom indirgemeyi ve SAT/TSP örneklerini inceleyin; doğru/yanlış sorularıyla kendinizi sınayın. Dal sınırın neden NP-zor problemler için kullanıldığını görün.

Gezgin Satıcı ProblemiEn fazla 10 rastgele şehir üretin; hızlı en yakın komşu sezgiselini, tüm turları deneyen kaba kuvvet ile karşılaştırın. Dal sınırın budadığı aramanın kaba kuvvete göre ne kazandırdığını düşünün.

Özet

Sık Yapılan Hatalar

Geçersiz (kötümser) sınırSırt çantasında yalnızca tam sığan eşyaları toplamak üst sınır değildir; optimumu içeren dal budanabilir.

Yönü karıştırmakEn büyüklemede sinir ≤ enİyi, en küçüklemede alt ≥ enİyi ise budanır. Tersini yazmak ya optimumu kaçırır ya hiç budamaz.

Kuyruktan çıkınca tekrar sınamamakDüğüm eklendiğinde umut vaat ediyordu; beklerken enİyi büyüdüyse artık gereksizdir (örnekte C ve G).

Eşyaları sıralamamakKesirli sınır, eşyalar pᵢ/wᵢ'ye göre azalan sırada değilse geçerli bir üst sınır vermez.

enİyi'yi yalnızca yapraklarda güncellemekSırt çantasında her olurlu düğüm bir çözümdür; erken güncelleme daha çok budama sağlar.

Geri izleme ile aynı sanmakSınır testi olmayan kod (ör. budamasız TSP araması) dal sınır değildir; yalnızca tüm ağacı gezer.

Özet

Örnek Problemler

Sırt çantası: (p, w) = (20, 2), (30, 5), (35, 7), (12, 3); W = 9 (oranlar 10, 6, 5, 4).

Kökün kesirli üst sınırını hesaplayın.
Oranla açgözlü seçim ve optimum kazanç nedir?
"Eşya 1 alınmadı" düğümünün (0, 0) sınırı nedir? Optimum bulunduktan sonra budanır mı?
4 şehirli TSP örneğinde 0 → 3 → 1 yolunun alt sınırı nedir?
Maksimum klikte K = {3, 4}, aday = {5}, |enİyi| = 5 iken ne olur?
Belleği çok kısıtlı bir sistemde hangi arama stratejisini seçersiniz?

Cevapları göster

20 + 30 = 50 (ağırlık 7); kalan 2 birim eşya 3'ten: 2 · 35/7 = 10 → 60.
Açgözlü 1 ve 2'yi alır (ağırlık 7), 3 ve 4 sığmaz → 50. Optimum 1 ve 3: 55 (ağırlık 9).
Eşya 2 tam sığar: 30 (ağırlık 5); eşya 3 sığmaz, kalan 4 birim: 4 · 35/7 = 20 → 50. 50 ≤ 55 → budanır.
maliyet 15 + 5 = 20; + enKucuk[1] = 3 + enKucuk[2] = 2 → 25 (≥ 18, budanır).
2 + 1 = 3 ≤ 5 → budanır; bu daldan 5'ten büyük klik çıkamaz.
LIFO (DFS): yalnızca geçerli yolun kardeş düğümleri tutulur; bellek O(derinlik · dallanma).

Özet

Alıştırmalar

Sırt çantası kodunu FIFO kuyrukla yazın; bölümdeki örnekte kaç düğüm üretilir?
tsp metoduna en iyi turu kaydeden int[] enIyiYol ekleyin.
4 şehirli örneğin kökünde "iki en kısa kenar toplamının yarısı" sınırını hesaplayın.
Maliyet matrisi [[9, 2, 7], [6, 4, 3], [5, 8, 1]] olan atama probleminin kök alt sınırı ve optimumu nedir?
Kesirli sırt çantası sınırının her zaman geçerli olduğunu kanıtlayın.
İkinci ILP örneği (Z = 3x + 2y; x + y ≤ 4, x ≤ 3, y ≤ 2) LP gevşetmeli dal sınırla kaç düğümde çözülür?

Cevaplar / ipuçları

ArrayDeque + poll(): 13 düğüm, 6 genişletme; sonuç yine 90.
Döngüde yol[sayac] = s; tur < enIyi ise enIyiYol = yol.clone().
(2+3) + (3+5) + (2+8) + (5+8) = 36 → 36/2 = 18: optimuma eşit.
Satır en küçükleri 2 + 3 + 1 = 6; optimum 2 + 6 + 1 = 9.
Her 0/1 çözüm kesirli bir çözümdür; açgözlü kesirli optimumu verir, o da ≥ 0/1 optimum.
Tek düğüm: LP gevşetmesi zaten tamsayı (3, 1), Z = 11.

Özet

Kaynaklar

E. Horowitz, S. Sahni ve S. Rajasekaran, Computer Algorithms, 2. baskı, Silicon Press, 2008 (Bölüm 8: Branch-and-Bound).
R. Neapolitan, Foundations of Algorithms, 5. baskı, Jones & Bartlett, 2015 (Bölüm 6).
A. Levitin, Introduction to the Design and Analysis of Algorithms, 3. baskı, Pearson, 2012 (Bölüm 12.2).
A. H. Land ve A. G. Doig, "An Automatic Method of Solving Discrete Programming Problems", Econometrica 28(3), 1960.
J. D. C. Little, K. G. Murty, D. W. Sweeney ve C. Karel, "An Algorithm for the Traveling Salesman Problem", Operations Research 11(6), 1963.
R. Carraghan ve P. M. Pardalos, "An Exact Algorithm for the Maximum Clique Problem", Operations Research Letters 9(6), 1990.

Son

Bölüm 14: Dal Sınır Algoritmaları

Dersin sonu