Giriş

Öğrenme Çıktıları

Açgözlü Yaklaşım

Adım Adım Kazananlar

Açgözlü Yaklaşım

Açgözlü Paradigma: Genel Şablon

Cozum acgozlu(Aday[] adaylar) {
  Cozum s = new Cozum();   // boş çözüm
  sirala(adaylar);         // ölçüte göre
  for (Aday a : adaylar) {
    if (s.uygunMu(a))      // kısıt bozulmaz
      s.ekle(a);           // geri alınmaz
  }
  return s;
}

Açgözlü Yaklaşım

Ne Zaman Doğru Sonuç Verir?

Açgözlü Yaklaşım

Avantajlar ve Dezavantajlar

Açgözlü Yaklaşım

Para Üstü Problemi (Coin Change)

// para[] büyükten küçüğe sıralı
static int paraUstu(int[] para, int tutar) {
  int adet = 0;
  for (int p : para) {
    while (tutar >= p) {
      tutar -= p;
      adet++;
    }
  }
  return adet;
}

Açgözlü Yaklaşım · Adım adım

Para Üstü: Adım Adım

Açgözlü Yaklaşım

Deneyin: Açgözlü ve En İyi Para Üstü

En iyi sonuç dinamik programlama ile bulunur: enAz[t] = 1 + min enAz[t − p]. Paralar 1–999 arası tam sayı, en fazla 8 tür; tutar en fazla 999. Enter = hesapla.

Açgözlü Yaklaşım

Açgözlü, Dinamik Programlama, Böl ve Fethet

Etkinlik Seçimi

Etkinlik Seçimi (Activity Selection)

• Her etkinliğin bir başlangıç s_i ve bitiş f_i zamanı var; aynı anda tek etkinlik yapılabilir (tek salon).
• Amaç: birbiriyle çakışmayan en fazla sayıda etkinliği seçmek. [s_i, f_i) ile [s_j, f_j) çakışmaz ⇔ s_j ≥ f_i ya da s_i ≥ f_j.
• Açgözlü ölçüt: en erken biten etkinliği seç, onunla çakışanları at, kalanlarla tekrarla.

Etkinlik Seçimi · Kodu adım adım çalıştır

sec(e): Kodu Adım Adım İzle

static void sec(Etkinlik[] e) {
  Arrays.sort(e, (x, y) -> x.bitis - y.bitis);
  int i = 0;                 // son seçilen
  System.out.print(e[i].id + " ");
  for (int j = 1; j < e.length; j++) {
    if (e[j].bas >= e[i].bitis) {
      System.out.print(e[j].id + " ");
      i = j;
    }
  }
}

Etkinlik Seçimi

Neden En Erken Biten?

İş Sıralama

Son Tarihli İş Sıralama (Job Sequencing)

İş Sıralama · Kodu adım adım çalıştır

isSirala(is, 6): Kodu Adım Adım İzle

static int isSirala(Is[] is, int n) {
  Arrays.sort(is, (a, b) -> b.kar - a.kar);
  int[] slot = new int[n];
  Arrays.fill(slot, -1);
  int toplam = 0;
  for (int i = 0; i < n; i++) {
    int j = Math.min(n, is[i].sonTarih) - 1;
    for (; j >= 0; j--) {
      if (slot[j] == -1) {
        slot[j] = is[i].id;
        toplam += is[i].kar;
        break;
      }
    }
  }
  return toplam;
}

Sırt Çantası

Kesirli Sırt Çantası (Fractional Knapsack)

En Küçük Kapsayan Ağaç

En Küçük Kapsayan Ağaç ve Kesme Özelliği

Borůvka

Borůvka'nın Algoritması

Borůvka · Adım adım

Borůvka Adım Adım

Borůvka

Borůvka: Java Kodu

static int boruvka(int n, int[][] kenar) {
  AyrikKume kume = new AyrikKume(n);
  int bilesen = n, toplam = 0;
  while (bilesen > 1) {
    int[] enUcuz = new int[n];     // kök -> kenar no
    Arrays.fill(enUcuz, -1);
    for (int i = 0; i < kenar.length; i++) {
      int a = kume.bul(kenar[i][0]), b = kume.bul(kenar[i][1]);
      if (a == b) continue;        // bileşen içi kenar
      int w = kenar[i][2];
      if (enUcuz[a] < 0 || w < kenar[enUcuz[a]][2]) enUcuz[a] = i;
      if (enUcuz[b] < 0 || w < kenar[enUcuz[b]][2]) enUcuz[b] = i;
    }
    for (int c = 0; c < n; c++) {   // seçilenleri ekle
      if (enUcuz[c] < 0) continue;
      int[] k = kenar[enUcuz[c]];
      if (kume.bul(k[0]) != kume.bul(k[1])) {   // iki kez eklenmesin
        kume.birlestir(k[0], k[1]);
        toplam += k[2]; bilesen--;
      }
    }
  }
  return toplam;
}

Borůvka

Borůvka: Analiz

Union-Find

Union-Find (Ayrık Kümeler) Veri Yapısı

class AyrikKume {
  int[] ebeveyn, rutbe;
  AyrikKume(int n) {
    ebeveyn = new int[n];
    rutbe = new int[n];
    for (int i = 0; i < n; i++) ebeveyn[i] = i;
  }
  int bul(int x) {          // yol sıkıştırma
    if (ebeveyn[x] != x)
      ebeveyn[x] = bul(ebeveyn[x]);
    return ebeveyn[x];
  }
  void birlestir(int x, int y) {
    int kx = bul(x), ky = bul(y);
    if (kx == ky) return;
    if (rutbe[kx] < rutbe[ky]) {
      int t = kx; kx = ky; ky = t;
    }
    ebeveyn[ky] = kx;       // rütbeye göre
    if (rutbe[kx] == rutbe[ky]) rutbe[kx]++;
  }
}

Kruskal

Kruskal Algoritması

Kruskal · Kodu adım adım çalıştır

kruskal(5, kenar): Kodu Adım Adım İzle

static int kruskal(int n, int[][] kenar) {
  Arrays.sort(kenar, (x, y) -> x[2] - y[2]);
  AyrikKume kume = new AyrikKume(n);
  int toplam = 0, sayac = 0;
  for (int[] k : kenar) {
    int u = k[0], v = k[1], w = k[2];
    if (kume.bul(u) != kume.bul(v)) {
      kume.birlestir(u, v);
      toplam += w;
      sayac++;
      if (sayac == n - 1) break;
    }
  }
  return toplam;
}

Kruskal

Örnek: Altı Düğümlü Çizge

Kruskal

Kruskal, Prim ve Borůvka

Huffman Kodlama

Huffman Kodlama

Huffman Kodlama

Huffman Kodlama: Adımlar

Huffman Kodlama · Kodu adım adım çalıştır

Huffman Ağacını Kur: Kodu Adım Adım İzle

static Dugum huffman(char[] h, int[] f) {
  PriorityQueue<Dugum> kuyruk =
    new PriorityQueue<>((a, b) -> a.f - b.f);
  for (int k = 0; k < h.length; k++)
    kuyruk.add(new Dugum(h[k], f[k]));
  while (kuyruk.size() > 1) {
    Dugum sol = kuyruk.poll();
    Dugum sag = kuyruk.poll();
    Dugum ata = new Dugum('\0', sol.f + sag.f);
    ata.sol = sol;
    ata.sag = sag;
    kuyruk.add(ata);
  }
  return kuyruk.poll();
}

Huffman Kodlama

Kodlar, Kodlama ve Çözme

Huffman Kodlama

Huffman Neden En İyi?

Uygulamalar

Diğer Açgözlü Algoritmalar

Özet

Özet

Özet

Etkileşimli Simülatörler

Özet

Sık Yapılan Hatalar

Özet

Örnek Problemler

1. {1, 5, 10, 25} paralarıyla 63 açgözlü olarak kaç parayla ödenir? {1, 7, 10} ile 14 için açgözlü ve en iyi sonuç nedir?
2. Etkinlikler (s, f): (1,4), (3,5), (0,6), (5,7), (3,9), (5,9), (6,10), (8,11), (8,12), (2,14), (12,16). En fazla kaç etkinlik seçilir?
3. Frekanslar a:5, b:9, c:12, d:13, e:16, f:45. Huffman kod uzunluklarını ve toplam biti bulun.
4. Borůvka örnek çizgesine Kruskal uygulayın: kenarlar hangi sırayla eklenir?
5. V = 1000 düğümlü bir çizgede Borůvka en fazla kaç tur sürer?

Özet

Alıştırmalar

1. İşler (id, son tarih, kâr): (a,2,100), (b,1,19), (c,2,27), (d,1,25), (e,3,15). Açgözlü iş sıralamasını uygulayın.
2. W = 10, nesneler (kâr, ağırlık): (10,5), (40,4), (30,6), (50,3). Kesirli sırt çantasının değeri nedir?
3. "ABRACADABRA" için Huffman kodlaması kaç bit tutar? Sabit uzunluklu kodla karşılaştırın.
4. Kruskal'ın tüm kenarlar aynı ağırlıkta olduğunda ne ürettiğini ve O(E log V) maliyetinin hangi adımdan geldiğini açıklayın.
5. Açgözlü para üstünün en iyi sonuç vermediği, en küçük tutarlı bir para sistemi bulun ve gerekçelendirin.

Özet

Kaynaklar

• Cormen, Leiserson, Rivest ve Stein, Introduction to Algorithms, 4. baskı, 2022 (Bölüm 15: Greedy Algorithms; Bölüm 19: Disjoint Sets; Bölüm 21: MST).
• Kleinberg ve Tardos, Algorithm Design, 2006 (Bölüm 4: Greedy Algorithms).
• Sedgewick ve Wayne, Algorithms, 4. baskı, 2011 (4.3 MST, 5.5 Data Compression).
• D. A. Huffman, "A Method for the Construction of Minimum-Redundancy Codes", Proceedings of the IRE 40(9), 1952.
• J. B. Kruskal, "On the Shortest Spanning Subtree of a Graph and the Traveling Salesman Problem", Proc. AMS 7(1), 1956.
• O. Borůvka, "O jistém problému minimálním", Práce Moravské přírodovědecké společnosti 3, 1926.
• R. E. Tarjan, "Efficiency of a Good But Not Linear Set Union Algorithm", Journal of the ACM 22(2), 1975.