Giriş

Öğrenme Çıktıları

Giriş

Bilgi Olsun Yeter

• Bazen kararlar tüm bilgiye sahip olunmadan alınır.
• Çevrimiçi algoritmalar (online algorithms):
  • bilginin adım adım geldiği durumlarda
  • o ana kadarki bilgiyle en iyi kararı vermeye çalışır.
• Verilen karar geri alınamaz: sonradan gelen bilgi geçmiş kararı değiştirmez.

Satranç oyuncusu rakibin sonraki hamlesini bilmeden hamle yapar; hamle bir kez yapıldıktan sonra geri alınamaz.

Giriş

Çevrimiçi Algoritmalar

• Bir labirentte yolculuk yapmaya benzer.
  • Labirentin tamamı görünmez; yalnızca önünüzdeki yolu görürsünüz.
• Her adımda sınırlı bilgi ile en iyi yol seçilmeye çalışılır.
• Bilgi akışının sürekli olmadığı durumlarda hızlı karar vermeyi sağlar.
• Örnekler:
  • Trafik sıkışıklığında hangi yol kullanılacak?
  • Satranç oynarken bir sonraki hamle ne olacak?
  • Anlık trafik yoğunluğuna göre ışıkların ayarlanması.

Giriş

Çevrimiçi ve Çevrimdışı Problem Modeli

Girdi bir istek dizisidir: σ = σ₁, σ₂, …, σ_n. Fark, algoritmanın bu diziyi ne zaman gördüğündedir.

Giriş

Çevrimiçi Algoritma Modeli (Online Algorithms)

• Veri sürekli gelir; algoritma her parçayı geldiğinde işler ve hemen çıktı üretir.
• Bellek (tampon, buffer) tüm girdiyi tutamaz: geçmiş ancak özet olarak saklanabilir (toplam, yığın, örnek…).
• Bu yüzden her eleman için az iş (çoğunlukla O(1) ya da O(log n)) ve az bellek hedeflenir.

Giriş

Uygulama Alanları

Ortak nokta: ortam dinamik, karar gerçek zamanlı, geleceğe dair bilgi eksik.

Giriş

Avantajlar ve Dezavantajlar

Giriş

Çevrimiçi Algoritma Tasarım Yaklaşımları

Rekabetçi Analiz

Rekabetçi Analiz (Competitive Analysis)

• Çevrimiçi algoritma ALG, her girdide her şeyi önceden bilen en iyi çevrimdışı algoritma OPT ile karşılaştırılır.
• ALG, c-rekabetçidir (c-competitive), eğer her istek dizisi σ için
  ALG(σ) ≤ c · OPT(σ) + α
  koşulu sağlanır (α: σ'dan bağımsız sabit; α = 0 ise kesin rekabetçi).
• En küçük böyle c değerine rekabet oranı denir: c = sup_σ ALG(σ) / OPT(σ).
• Oran ne kadar 1'e yakınsa, gelecek bilgisinin eksikliği o kadar az zarar verir.

Rekabetçi Analiz

Düşman (Adversary) Modeli

Rekabet oranını alttan sınırlamak için algoritmaya karşı oynayan bir düşman düşünülür: girdiyi o üretir ve OPT'yi o çalıştırır.

Kayak Kiralama

Kayak Kiralama Problemi (Ski Rental)

• Kayak takımı günlüğü 1 TL'ye kiralanabilir ya da B TL'ye satın alınabilir.
• Kaç gün kayak yapılacağı (d) bilinmez: her sabah "bugün de kayacak mıyım?" sorusu yanıtlanır. Hava bozarsa sezon biter.
• Her gün karar: bugün de kirala mı, yoksa satın al mı?
• Geleceği bilen OPT kolaydır: OPT(d) = min(d, B).

Aynı yapı: bulut sunucusunu saatlik mi kiralayalım, yıllık mı alalım; TCP bağlantısını açık mı tutalım, kapatalım mı.

Kayak Kiralama

Stratejilerin Maliyeti (B = 10)

Kayak Kiralama

Neden Daha İyisi Yok? Alt Sınır

B = 10; d = k (düşmanın seçimi). Tablo, en kötü oranın k = B'de en küçük olduğunu gösterir.

Kayak Kiralama

Deneyin: Kayak Kiralama

Strateji: k − 1 gün kirala, k. gün hâlâ kayıyorsan satın al. En kötü oran, düşmanın d = k seçtiği durumdur.

Sayfalama

Sayfalama Problemi (Paging)

• Hızlı bellek (önbellek, cache) k sayfa tutar; yavaş bellek sınırsızdır.
• İstenen sayfa önbellekteyse isabet (hit, maliyet 0); değilse sayfa hatası (page fault, maliyet 1): sayfa yüklenir.
• Önbellek doluysa hangi sayfa çıkarılacak? Gelecek istekler bilinmez: tipik bir çevrimiçi problem.
• Amaç: toplam sayfa hatası sayısını en aza indirmek.

Sayfalama

Sayfa Çıkarma Politikaları

Sayfalama · Adım adım

FIFO Adım Adım

FIFO: önbellek bir kuyruk gibi davranır; en önce gelen ilk çıkar. İstek dizisi 7 0 1 2 0 3 0 4 2 3 0 3 2, k = 3. H: hata, ✓: isabet.

Sayfalama · Adım adım

LRU Adım Adım

LRU: her sayfanın son kullanım zamanı izlenir; en eskisi çıkar. İstek dizisi 7 0 1 2 0 3 0 4 2 3 0 3 2, k = 3. H: hata, ✓: isabet.

Sayfalama · Adım adım

OPT Adım Adım

OPT: geleceği bilir; bir sonraki kullanımı en uzak olan sayfayı çıkarır. İstek dizisi 7 0 1 2 0 3 0 4 2 3 0 3 2, k = 3. H: hata, ✓: isabet.

Sayfalama

Üç Politikanın Karşılaştırması

• İlk k = 3 hata kaçınılmazdır (zorunlu / soğuk hatalar, compulsory misses): her politika öder.
• LRU, yerellik (locality of reference) olan dizilerde iyidir: yakın geçmişte kullanılan sayfa yakında yine kullanılır. Burada 0 sayfası sık istendiği için FIFO onu gereksiz yere çıkarır.
• Gerçek sistemlerde LRU'ya yakın, ucuz yaklaşımlar kullanılır: saat algoritması (clock / ikinci şans).

Sayfalama · Kodu adım adım çalıştır

LRU: Kodu Adım Adım İzle

int lruHata(int[] istekler, int k) {
  var onb = new LinkedList<Integer>();
  int hata = 0;
  for (int sayfa : istekler) {
    if (onb.remove((Integer) sayfa)) {
      onb.addLast(sayfa); // en yeni yap
    } else {
      hata++;
      if (onb.size() == k)
        onb.removeFirst(); // en eskiyi at
      onb.addLast(sayfa);
    }
  }
  return hata;
}

Sayfalama

LRU Önbelleği: O(1) Uygulama

class LruOnbellek<A, D>
    extends LinkedHashMap<A, D> {
  private final int k;

  LruOnbellek(int k) {
    super(16, 0.75f, true); // erişim sırası
    this.k = k;
  }

  @Override
  protected boolean removeEldestEntry(
      Map.Entry<A, D> enEski) {
    return size() > k;      // k aşılınca at
  }
}

Sayfalama

Teorem: Deterministik Alt Sınır k

Sayfalama

Teorem: LRU (ve FIFO) k-Rekabetçidir

• Diziyi evrelere (phase) böl: her evre, k farklı sayfa içeren en uzun parça; (k + 1). farklı sayfa yeni evreyi başlatır.
• LRU, bir evrede en çok k hata yapar: evrede istenen bir sayfa, evre bitene kadar çıkarılmaz (ondan daha eski kullanılmış en az bir sayfa hep vardır). Her farklı sayfa en çok bir kez hata verir.
• OPT, ardışık iki evre başına en az 1 hata yapar: bir evrenin 2. isteğinden sonraki evrenin 1. isteğine kadar k + 1 farklı sayfa istenir; k çerçeveye sığmaz.
• m evre için LRU ≤ k · m, OPT ≥ m − 1 → LRU ≤ k · OPT + k.

Sayfalama

Belady Anomalisi: Daha Çok Bellek, Daha Çok Hata

Sayfalama

Rastgele Sayfalama: İşaretleme Algoritması

Sayfalama

Deneyin: Sayfalama Politikaları

0–9 arası rakamlar, boşlukla ayrılmış (en çok 16 istek). Turuncu hücre: yeni yüklenen sayfa · yeşil: isabet. Enter = yeniden çalıştır.

Liste Güncelleme

Liste Güncelleme Problemi (List Update)

• n elemanlı bir bağlı liste; i. konumdaki elemana erişmenin maliyeti i'dir (baştan taranır).
• Erişilen eleman, erişimden sonra ücretsiz olarak öne doğru taşınabilir.
• İstekler çevrimiçi gelir: hangi elemanın sık isteneceği bilinmez.

Liste Güncelleme · Adım adım

Öne Taşı (MTF) Adım Adım

Başlangıç listesi A B C D E; istekler E D E A D E.

Liste Güncelleme

Teorem: MTF 2-Rekabetçidir

• Sleator ve Tarjan (1985): her istek dizisi σ için MTF(σ) ≤ 2 · OPT(σ) (yaklaşık; ücretli takaslar sayılmazsa).
• Kanıt fikri: potansiyel fonksiyonu Φ = MTF listesi ile OPT listesi arasındaki ters sıralı çift (inversion) sayısı. Her erişimde MTF'nin gerçek maliyeti + ΔΦ ≤ 2 · (OPT maliyeti) − 1. Bu, amortize analizdir.

Veri Akışları

Veri Akışı (Data Stream) Modeli

• Elemanlar x₁, x₂, … tek tek gelir; akış çok uzun ya da sonsuz olabilir.
• Her elemana bir kez bakılır (tek geçiş); geçmiş tümüyle saklanamaz.
• Her an bir sorunun cevabı hazır olmalı: "şu ana kadarki ortalama / ortanca / bir örneklem nedir?"

Veri Akışları

Hareketli Ortalama (Moving Average)

class HareketliOrtalama {
  private final int k;
  private final Queue<Integer> pencere
      = new LinkedList<>();
  private int toplam = 0;

  HareketliOrtalama(int k) { this.k = k; }

  double sonraki(int deger) {
    if (pencere.size() == k)
      toplam -= pencere.poll();
    pencere.offer(deger);
    toplam += deger;
    return toplam / (double) pencere.size();
  }
}

Veri Akışları · Kodu adım adım çalıştır

Hareketli Ortalama: Kodu Adım Adım İzle

double sonraki(int deger) {
  if (pencere.size() == k)
    toplam -= pencere.poll(); // en eski
  pencere.offer(deger);
  toplam += deger;
  return toplam / (double) pencere.size();
}

Veri Akışları

Çevrimiçi Ortanca (Running Median)

Veri Akışları · Kodu adım adım çalıştır

Çevrimiçi Ortanca: Kodu Adım Adım İzle

void ekle(int x) {
  if (sol.isEmpty() || x <= sol.peek())
    sol.offer(x);          // küçük yarı
  else
    sag.offer(x);          // büyük yarı
  if (sol.size() > sag.size() + 1)
    sag.offer(sol.poll());
  else if (sag.size() > sol.size())
    sol.offer(sag.poll());
}
double ortanca() {
  if (sol.size() == sag.size())
    return (sol.peek() + sag.peek()) / 2.0;
  return sol.peek();
}

Veri Akışları

Rezervuar Örnekleme (Reservoir Sampling)

• Uzunluğu bilinmeyen bir akıştan, her elemanın eşit olasılıkla seçildiği k elemanlı bir örneklem tutmak.
• Algoritma R (Vitter, 1985): ilk k elemanı rezervuara koy. Sonra 0 tabanlı i. eleman için (i ≥ k) j = rastgele[0, i] seç; j < k ise rezervuar[j] ← x_i.
• i. eleman k / (i + 1) olasılıkla girer; girerse rastgele bir yerdeki elemanı çıkarır.

İlk k eleman için de aynı: girme olasılığı 1, sonraki çarpım k/(k+1) · … · (n−1)/n = k/n. Bellek O(k), eleman başına O(1).

Veri Akışları · Kodu adım adım çalıştır

Rezervuar Örnekleme: Kodu Adım Adım İzle

List<Integer> rezervuar(int[] akis, int k) {
  List<Integer> r = new ArrayList<>();
  for (int i = 0; i < k; i++) r.add(akis[i]);
  for (int i = k; i < akis.length; i++) {
    int j = rastgele.nextInt(i + 1); // 0..i
    if (j < k)
      r.set(j, akis[i]);
  }
  return r;
}

Veri Akışları

Akışta Örüntü Arama: Kayan Hash

Akış karakter karakter gelir; örüntü "AB" (m = 2), h = c₀·101 + c₁ (A = 65, B = 66, C = 67, D = 68). h("AB") = 6631. Yeni karakter gelince hash O(1)'de güncellenir:

Akış "CABDAB": örüntü 1. ve 4. konumda. Hash eşitse karakterler de karşılaştırılır (çakışma olabilir). Hash'i her pencerede baştan hesaplamak O(m) sürer; kayan güncelleme ile O(1)'e iner.

Artımlı Öğrenme · Adım adım

Artımlı Öğrenme (Incremental Learning)

Artımlı Öğrenme

Artımlı Güncelleme ve Zorlukları

Özet

Problemler ve Sonuçlar

Üst beş satırdaki sayılar rekabet oranı; alttakiler eleman başına zamandır.

Özet

Özet

Özet

Sık Yapılan Hatalar

Özet

Örnek Problemler

1. İstek dizisi 1 2 3 4 1 2 5 1 2 3 4 5, k = 3 için OPT kaç sayfa hatası yapar?
2. Kayak kiralamada B = 20. Başa baş stratejisinin oranı nedir? 5. gün satın alan stratejinin en kötü oranı nedir?
3. A B C D listesinde MTF ile D C D A isteklerinin toplam maliyeti nedir?
4. Akış 2, 9, 4, 7 için çevrimiçi ortancaları sırasıyla yazın.
5. Rezervuar örneklemede k = 2, akışın 0 tabanlı 9. elemanı rezervuara hangi olasılıkla girer? Akış 10 elemanla biterse bu eleman sonda hangi olasılıkla rezervuardadır?

Özet

Alıştırmalar

1. FIFO sayfalamayı bir Queue ve bir HashSet ile O(1) zamanda yazın.
2. OPT'yi (Belady) Java ile yazın. Zaman karmaşıklığı nedir?
3. Kayak kiralamada "B/2. gün satın al" stratejisinin oranını bulun.
4. Çevrimiçi ortancaya sil(x) eklemek neden zordur?
5. k = 1 rezervuarda 3 elemanlı akışın her elemanının 1/3 olasılıkla seçildiğini gösterin.
6. Son k elemanın en büyüğünü amortize O(1) zamanda bulun.

Özet

Kaynaklar

• A. Borodin ve R. El-Yaniv, Online Computation and Competitive Analysis, Cambridge University Press, 1998.
• D. D. Sleator ve R. E. Tarjan, "Amortized Efficiency of List Update and Paging Rules", Communications of the ACM 28(2), 1985.
• L. A. Belady, "A Study of Replacement Algorithms for a Virtual-Storage Computer", IBM Systems Journal 5(2), 1966.
• A. Fiat, R. M. Karp, M. Luby, L. A. McGeoch, D. D. Sleator ve N. E. Young, "Competitive Paging Algorithms", Journal of Algorithms 12(4), 1991.
• J. S. Vitter, "Random Sampling with a Reservoir", ACM Transactions on Mathematical Software 11(1), 1985.
• Cormen, Leiserson, Rivest ve Stein, Introduction to Algorithms, 4. baskı, 2022 (Bölüm 27: Online Algorithms).