Giriş

Öğrenme Çıktıları

Giriş

Yakınsama Algoritmaları (Approximation Algorithms)

• Bazı problemlerin kesin (optimal) çözümünü bulmak çok zor ya da pratikte imkânsız olabilir: bilinen tüm kesin algoritmalar üstel zaman ister.
• Yakınsama algoritmaları mükemmel çözümü aramak yerine, optimal çözüme mümkün olduğunca yakın çözümler üretir.
• Polinom zamanda çalışırlar: karmaşık problemler makul sürede çözülebilir.
• Çözümün optimal çözüme belli bir oran ya da yüzde içinde yakın olduğu çoğu zaman kanıtlanabilir.
• Hesaplama kaynakları (zaman, bellek) kısıtlı olduğunda tercih edilir.

Giriş

Sezgi: Terazi Benzetmesi

Giriş

Yaklaşım Oranı (Approximation Ratio)

C: algoritmanın bulduğu çözümün maliyeti, C*: optimal çözümün maliyeti. Algoritma her girdi için

koşulunu sağlıyorsa bir ρ(n)-yaklaşım algoritmasıdır (ρ ≥ 1; ρ = 1 ise algoritma optimaldir).

Oran bir en kötü durum garantisidir; pratikte çözümler çoğu zaman optimuma çok daha yakındır.

Giriş

Yakınsama, Sezgisel ve Yaklaşım Şemaları

Rastgele yuvarlama (randomized rounding) gibi rastgele yakınsama algoritmaları da vardır; beklenen değerde bir oran garanti ederler (Bölüm 8).

Giriş

Neden Kesin Çözüm Değil? P, NP ve NP-Zor

• TSP, düğüm kapsama, iş çizelgeleme ve sırt çantasının en iyileme sürümleri NP-zordur.
• P ≠ NP ise bunların hiçbiri için polinom zamanlı kesin algoritma yoktur → yakınsama gerekir.

Giriş

Yakınsama Algoritmalarının Uygulamaları

Giriş

Yakınsama Algoritmalarının Türleri

Seyahat Eden Satıcı

Seyahat Eden Satıcı Problemi (TSP)

Seyahat Eden Satıcı

Problemin Çözümü

Seyahat Eden Satıcı

En Yakın Komşu (Nearest Neighbor) Sezgiseli

1. Bir başlangıç şehri seç; onu ziyaret edildi olarak işaretle.
2. Bulunduğun şehirden ziyaret edilmemiş en yakın şehre git (açgözlü seçim).
3. Tüm şehirler ziyaret edilene kadar 2. adımı tekrarla.
4. Son şehirden başlangıç şehrine dön ve turu kapat.

Seyahat Eden Satıcı · Kodu adım adım çalıştır

En Yakın Komşu: Kodu Adım Adım İzle

int[] enYakinKomsu(int[][] d, int bas) {
  int n = d.length, toplam = 0, simdiki = bas;
  boolean[] ziyaret = new boolean[n];
  int[] tur = new int[n + 1];
  tur[0] = bas; ziyaret[bas] = true;
  for (int k = 1; k < n; k++) {
    int enYakin = -1, enAz = Integer.MAX_VALUE;
    for (int j = 0; j < n; j++)
      if (!ziyaret[j] && d[simdiki][j] < enAz) {
        enAz = d[simdiki][j]; enYakin = j; }
    // en yakın şehre git
    tur[k] = enYakin; ziyaret[enYakin] = true;
    toplam += enAz; simdiki = enYakin;
  }
  // başlangıca dön
  tur[n] = bas; toplam += d[simdiki][bas];
  return tur;
}

Seyahat Eden Satıcı

Kaba Kuvvetle Karşılaştırma: 12 Farklı Tur

• (5−1)!/2 = 12 tur denendi: optimum 125; en yakın komşu da 125 buldu (bu örnek için şanslı bir durum).
• Bu matris üçgen eşitsizliğini sağlamaz: d₁₂ = 35 > d₁₀ + d₀₂ = 10 + 15. Yani örnek metrik değildir.

Seyahat Eden Satıcı

Üçgen Eşitsizliği ve Yaklaşım Sınırları

Seyahat Eden Satıcı

Metrik TSP için MST Tabanlı 2-Yaklaşım

Yerel Arama

Yerel Arama: 2-opt Hamlesi

• Turdan iki kenar çıkar, uçları çapraz bağla: b … c arasındaki alt yol ters çevrilir.
• Kazanç Δ = d(a,c) + d(b,d) − d(a,b) − d(c,d) < 0 ise hamle yapılır. Öklid düzleminde her kesişme böyle kaldırılabilir.
• İyileştiren hamle kalmayınca tur 2-opt yerel optimumudur (genel optimum olması gerekmez).

Yerel Arama · Adım adım

2-opt ile Turu İyileştirme

Yerel Arama

2-opt Yerel Arama: Java

void ikiOpt(int[] tur, double[][] d) {
  int n = tur.length;
  boolean iyilesti = true;
  while (iyilesti) {
    iyilesti = false;
    for (int i = 0; i < n - 1; i++)
      for (int j = i + 2; j < n; j++) {
        int a = tur[i], b = tur[i + 1];
        int c = tur[j], e = tur[(j + 1) % n];
        double fark = d[a][c] + d[b][e]
                    - d[a][b] - d[c][e];
        if (fark < -1e-9) {   // kısalıyor
          tersCevir(tur, i + 1, j);
          iyilesti = true;
        }
      }
  }
}

Yerel Arama

Yerel Optimumdan Kaçış: Metasezgiseller

• Üçü de TSP, araç rotalama, iş çizelgeleme ve atama problemlerinde yaygındır.
• Hiçbiri yaklaşım oranı garanti etmez; parametre ayarı (sıcaklık, popülasyon, buharlaşma) sonucu belirgin biçimde etkiler.

İş Çizelgeleme

İş Çizelgeleme (Job Scheduling)

• En iyileme problemi: belirli kaynaklarla (işçiler, makineler, işlemciler) işlerin en verimli şekilde planlanması.
• Amaç: işlerin tamamlanma süresini en aza indirmek ya da belirli ölçütlere (kâr, gecikme, son tarih) göre en iyilemek.

İlk problem için açgözlü yakınsama algoritmaları (liste çizelgeleme, LPT), ikincisi için optimal bir açgözlü algoritma göreceğiz.

İş Çizelgeleme · Adım adım

Makinelere İş Atama: Liste Çizelgeleme

İş Çizelgeleme

Liste Çizelgeleme: (2 − 1/m)-Yaklaşım

İş Çizelgeleme

En Uzun İş Önce (LPT): 4/3-Yaklaşım

LPT (Longest Processing Time first): işleri süreye göre azalan sırala, sonra liste çizelgeleme uygula. İşler: 2, 3, 4, 6, 2, 2 ve m = 3.

• Uzun işler başa alınınca sona kalan kısa işler dengesizliği düzeltir: C_max ≤ (4/3 − 1/(3m)) · OPT (Graham, 1969). Süre O(n log n).
• Sıkı örnek (m = 3): 5, 5, 4, 4, 3, 3, 3 → LPT 11, optimum 9 ({5, 4}, {5, 4}, {3, 3, 3}).

İş Çizelgeleme

Son Tarihli İş Sıralama (Job Sequencing)

İş Çizelgeleme · Kodu adım adım çalıştır

Son Tarihli İş Sıralama: Kodu Adım Adım İzle

int[] isSirala(Is[] isler) {
  Arrays.sort(isler, (a, b) -> b.kar - a.kar);
  int n = isler.length, toplamKar = 0;
  int[] dilim = new int[n];
  Arrays.fill(dilim, -1);       // -1: boş
  for (Is is : isler) {
    int t = Math.min(n, is.sonTarih) - 1;
    for (; t >= 0; t--)
      if (dilim[t] == -1) {
        dilim[t] = is.no;
        toplamKar += is.kar;
        break;
      }
  }
  return dilim;
}

Düğüm Kapsama

Düğüm Kapsama (Vertex Cover)

• Kapsama problemi: bir çizgenin tüm kenarlarını kapsayacak en az sayıda düğümü seçmek. Bir kenar, uçlarından en az biri seçilmişse kapsanır.
• Amaç: tüm kenarları en az düğümle kapsayan C ⊆ V kümesini bulmak. Karar sürümü ("k düğümlük kapsama var mı?") NP-tamdır.

Düğüm Kapsama

Örnek: Dört Düğümlü Çizge

Düğüm Kapsama

Düğüm Kapsama: Çözüm Yaklaşımları

Düğüm Kapsama

Düğüm Kapsama Algoritması

Düğüm Kapsama · Kodu adım adım çalıştır

Düğüm Kapsama 2-Yaklaşımı: Kodu Adım Adım İzle

Set<Character> dugumKapsama(char[][] kenarlar) {
  Set<Character> kapsama = new HashSet<>();
  for (char[] k : kenarlar) {
    char u = k[0], v = k[1];
    if (!kapsama.contains(u) && !kapsama.contains(v)) {
      kapsama.add(u); kapsama.add(v); }  // iki uç
  }
  return kapsama;
}

Düğüm Kapsama

Neden En Fazla 2 × Optimum?

1. Algoritmanın seçtiği kenarlar M kümesi olsun. Seçilen her kenarın iki ucu da eklendiği için M'deki kenarların ortak ucu yoktur (M bir eşlemedir).
2. Her kapsama, M'deki her kenarı kapsamak için farklı bir düğüm içermek zorundadır → OPT ≥ |M|.
3. Algoritma tam olarak |C| = 2 |M| düğüm seçer → |C| ≤ 2 · OPT.

2'den belirgin biçimde iyi bir sabit oran bilinmiyor; 2 − ε oranının (Benzersiz Oyunlar Varsayımı altında) imkânsız olduğu gösterilmiştir.

Düğüm Kapsama · Adım adım

NP-Tamlık: 3-SAT'tan Düğüm Kapsamaya İndirgeme

Sırt Çantası

Sırt Çantası: Oran Sıralı Açgözlü Yakınsama

Power Iteration

Power Iteration (Kuvvet Yinelemesi) Algoritması

• Bir matrisin en büyük (mutlak değeri en büyük, baskın) özdeğerini λ₁ ve buna ait bir özvektörü v₁ yaklaşık olarak hesaplayan yinelemeli bir yöntemdir.
• Tüm özdeğerleri kesin olarak hesaplamak (O(n³)) yerine, yalnızca baskın özdeğer ve özvektörün yaklaşık bir tahminini verir.
• Her adım yalnızca bir matris–vektör çarpımıdır (O(n²), seyrek matriste O(sıfır olmayan eleman)): büyük boyutlu matrislerde etkilidir.

Power Iteration

Power Iteration: Adımlar ve Neden Çalışır?

Power Iteration · Adım adım

Power Iteration Adım Adım

Power Iteration

Power Iteration: Java ve Bir 3 × 3 Örnek

double[] kuvvet(double[][] a, int adim) {
  int n = a.length;
  double[] x = new double[n];
  Arrays.fill(x, 1.0);     // x₀ ≠ 0
  for (int k = 0; k < adim; k++) {
    double[] y = new double[n];
    for (int i = 0; i < n; i++)  // y = A·x
      for (int j = 0; j < n; j++)
        y[i] += a[i][j] * x[j];
    double norm = 0;
    for (double yi : y) norm += yi * yi;
    norm = Math.sqrt(norm);
    for (int i = 0; i < n; i++)  // ‖x‖ = 1
      x[i] = y[i] / norm;
  }
  return x;
}

Power Iteration

Power Iteration: Sınırlar ve Uygulamalar

• PageRank: web bağlantı matrisinin baskın özvektörü sayfaların önemini verir.
• Türevler: ters yineleme (en küçük özdeğer), kaydırmalı yineleme, Lanczos/Arnoldi; PCA'da ilk temel bileşen.

Özet

Özet

Özet

Etkileşimli Simülatörler

Özet

Sık Yapılan Hatalar

Özet

Örnek Problemler

1. Bir en küçükleme probleminde algoritma 30, optimum 20 buluyor. Bu girdi için oran nedir?
2. 5 şehirlik matriste (TSP slaytı) en yakın komşuyu 2 numaralı şehirden başlatın: tur ve uzunluk?
3. 1–2–3–4–5–6 yolunda kenarlar (1,2), (2,3), …, (5,6) sırasıyla işlenirse 2-yaklaşım kaç düğüm seçer? Optimum?
4. m = 2, işler 3, 3, 2, 2, 2: liste çizelgeleme ve LPT C_max'ı ve optimum nedir?
5. İşler (kâr, son tarih): a(100, 2), b(19, 1), c(27, 2), d(25, 1), e(15, 3). Açgözlü sıralama ve toplam kâr?
6. W = 10, eşyalar (2, 1) ve (10, 10) (değer, ağırlık): oran sıralı açgözlü ve iyileştirilmiş kural ne bulur?

Özet

Alıştırmalar

1. a(0,0), b(4,3), c(4,0), d(0,3) ve turda (a,b), (c,d) kenarları var. 2-opt kazancı Δ nedir?
2. m = 3 için liste çizelgelemenin 5/3 oranına ulaştığı bir iş listesi kurun.
3. K₅ tam çizgesinde 2-yaklaşım kaç düğüm seçer? Optimum kaçtır?
4. A = [[2, 0], [0, 1]], x₀ = (1, 1). x_k'nın ikinci bileşeni birincisinin 10⁻³'ünden kaç adımda küçük olur?
5. İşleri son tarihe göre sıralayan bir açgözlü kod düşünün. Bunun yanlış sonuç verdiği bir örnek bulun.
6. 2-yaklaşımı, seçilen eşlemeyi de döndürecek biçimde Java ile yazın.

Özet

Kaynaklar

• Cormen, Leiserson, Rivest ve Stein, Introduction to Algorithms, 4. baskı, 2022 (Bölüm 35: Approximation Algorithms).
• V. V. Vazirani, Approximation Algorithms, Springer, 2001.
• D. P. Williamson ve D. B. Shmoys, The Design of Approximation Algorithms, Cambridge University Press, 2011.
• R. L. Graham, "Bounds on Multiprocessing Timing Anomalies", SIAM Journal on Applied Mathematics 17(2), 1969.
• N. Christofides, "Worst-Case Analysis of a New Heuristic for the Travelling Salesman Problem", Rapor 388, Carnegie Mellon Üniversitesi, 1976.
• M. Sipser, Introduction to the Theory of Computation, 3. baskı, 2012 (3-SAT → düğüm kapsama indirgemesi).
• G. H. Golub ve C. F. Van Loan, Matrix Computations, 4. baskı, 2013 (Power Iteration).