Giriş

Öğrenme Çıktıları

Giriş

Dizgi Algoritmaları: Dört Problem Ailesi

Bu sunum, dizgiler (string) üzerinde çalışan dört algoritma ailesini ele alır:

Dizgi Sıralama

Sözlüksel Sıralama (Lexicographic Order)

Dizgi Sıralama · Kodu adım adım çalıştır

Örnek: "apple" ve "apricot" Karşılaştırması

int karsilastir(String a, String b) {
  int n = Math.min(a.length(), b.length());
  for (int k = 0; k < n; k++) {
    char x = a.charAt(k), y = b.charAt(k);
    if (x != y)
      return x - y;   // ilk farklı karakter
  }
  return a.length() - b.length();
}

Dizgi Sıralama

Sözlüksel Sıra: Kelimeler ve Sayılar

• Sayılar dizgi olarak sıralanırsa soldan sağa karakter karşılaştırılır: "11" < "2", çünkü '1' < '2'. Benzer şekilde 123, 45, 6, 789 sözlüksel olarak bu sıradadır.
• Sayısal sıra isteniyorsa sayılar tamsayıya çevrilmeli ya da soldan sıfırla aynı uzunluğa getirilmelidir ("02" < "11").

Dizgi Sıralama

Karşılaştırmalı Dizgi Sıralama

void sozlukselSirala(String[] a) {
  int n = a.length;
  for (int i = 0; i < n - 1; i++)
    for (int j = i + 1; j < n; j++)
      if (a[i].compareTo(a[j]) > 0) {
        String gecici = a[i];
        a[i] = a[j];
        a[j] = gecici;
      }
}

Karşılaştırmalı sıralamalar en az Ω(N log N) karşılaştırma yapar. Radix sıralama karşılaştırma yapmadığı için bu alt sınıra tabi değildir.

Dizgi Sıralama

Tabana Göre Sıralama (Radix Sort)

Dizgi Sıralama · Adım adım

LSD Radix Sıralama: Sayısal Örnek

Veri kümesi: [170, 45, 75, 90, 802, 24, 2, 66]. Kısa sayılar soldan 0 ile tamamlanmış gibi düşünülür (soluk rakamlar).

Dizgi Sıralama

LSD Radix: Kararlılık Neden Gerekli?

• Yeşil sütunlar, o ana kadar sıralı hâle gelen son eklerdir: k geçişten sonra dizi, son k basamağa göre sıralıdır.
• 2. geçişte 167 ile 467'nin onlar basamağı eşittir (6); 1. geçişten gelen sıra (7 = 7, giriş sırası) korunur.
• Alt sıralama kararsız olsaydı, örneğin 273 ile 276 son geçişte yer değiştirebilir ve sonuç bozulurdu.

Dizgi Sıralama · Adım adım

LSD Radix Sıralama: Dizgiler

Simülatördeki örnek: cab, dab, bad, dad, fad, ace, bee, bed, add, ebb (W = 3, sağdan sola 3 geçiş).

Dizgi Sıralama

LSD Radix Sıralama: Java Kodu

void radixSirala(String[] a) {
  int W = enUzun(a);               // en uzun dizgi
  for (int d = W - 1; d >= 0; d--)
    sayarakSirala(a, d);           // sağdan sola
}
void sayarakSirala(String[] a, int d) {
  int[] say = new int[256];        // ASCII
  for (String s : a) say[kar(s, d)]++;
  for (int r = 1; r < 256; r++) say[r] += say[r - 1];
  String[] gec = new String[a.length];
  for (int i = a.length - 1; i >= 0; i--)   // kararlı
    gec[--say[kar(a[i], d)]] = a[i];
  System.arraycopy(gec, 0, a, 0, a.length);
}
int kar(String s, int d) {         // kısa dizgi → 0
  return d < s.length() ? s.charAt(d) : 0;
}

Bir geçiş O(N + R), R = 256 alfabe boyutu; W geçiş → O(W · (N + R)).

Dizgi Sıralama

MSD Radix Sıralama: Soldan Sağa

Uzun ortak önekli dizgilerde MSD de tüm karakterleri okur. Küçük kovalarda R = 256 boyutlu sayma dizisi pahalı olduğundan pratikte küçük alt dizilere eklemeli sıralama uygulanır.

Dizgi Sıralama

Zaman Karmaşıklığı ve Karşılaştırma

• LSD: W geçiş (W: en uzun dizginin uzunluğu), her geçiş N dizgi + R kova → O(W · (N + R)).
• Alfabe sabitse (R = 256) maliyet O(W · N) olur: en uzun dizginin uzunluğu × eleman sayısı.

Düzenli İfadeler

Düzenli İfadeler (Regular Expressions)

Düzenli İfadeler

Temel Operatörler ve Kavramlar

Sütunlar, dizginin içinde örüntüye uyan bir parça bulunup bulunmadığını gösterir (Matcher.find). *, +, ? yalnızca hemen önlerindeki öğeye (karakter, küme ya da grup) uygulanır.

Düzenli İfadeler

Karmaşık Operatörler ve Özel Karakterler

Düzenli İfadeler

Karakter Sınıfları

• ^ köşeli parantezin içinde ve başında "değil" anlamına gelir; dışarıda dizginin başıdır.
• Küme içinde ., *, + özel değildir: [.+] nokta ya da artı ile eşleşir. Tire (-) aralık bildirir; kendisi için başa ya da sona yazılır.
• [a-z] aralığı karakter kodlarına dayanır; ç, ğ, ı, ö, ş, ü bu aralıkta değildir.

Düzenli İfadeler

Yinelenen Karakterler ve Gruplama

Düzenli İfadeler

İleri ve Geri Bakış (Lookahead, Lookbehind)

• Bakış ifadeleri bir konumu sınar, karakter tüketmez: a(?=b) eşleşmesi yalnızca "a"dır, 'b' eşleşmeye dahil olmaz.
• Örnek: ^(?=.*\d)(?=.*[A-Z]).{8,}$ en az bir rakam ve bir büyük harf içeren, en az 8 karakterlik parolayı doğrular.

Düzenli İfadeler

Örnek: Doğrulama İfadeleri

Bu ifadeler pratik yaklaşımlardır; standartların (RFC 5322 e-posta, RFC 3986 URI) tamamını kapsamaz.

Düzenli İfadeler

Ayrıştırma Ağacı: URL Örneği

url    ::= 'http://' sunucu
           ':' port '/'
sunucu ::= kelime '.' sunucu
         | kelime
kelime ::= [a-z]+
port   ::= [0-9]+

Düzenli İfadeler

Java'da Düzenli İfadeler: Pattern ve Matcher

String girdi = "Ad: Ali Veli, Yaş: 30, E-posta: ali.veli@ornek.com";
Pattern p = Pattern.compile("Yaş: (\\d+),");  // derle
Matcher m = p.matcher(girdi);
if (m.find()) {                          // ilk eşleşmeyi bul
  int yas = Integer.parseInt(m.group(1)); // 1. grup: "30"
  System.out.println("Yaş: " + yas);
}

• Aynı iş düzenli ifade kullanmadan, indexOf ve substring ile de yapılabilir: başlangıç işareti (ör. "Yaş: ") bulunur, bitiş işaretine (",") kadar kesilir.
• find() metnin bir parçasını, matches() tamamını eşleştirmeye çalışır.

Düzenli İfadeler

Deneyin: Düzenli İfade Sınayıcı

Tarayıcının JavaScript düzenli ifade motoru kullanılır; söz dizimi Java ile büyük ölçüde aynıdır. Eşleşmeler vurgulanır, gruplar listelenir.

Sonlu Durum Makineleri

Sonlu Durum Makineleri (Finite State Machines)

Sonlu Durum Makineleri

FSM Türleri: DFA, NFA, ε-NFA

• Üçü de aynı dilleri (düzenli diller) tanır: her NFA, alt küme kurulumu (subset construction) ile bir DFA'ya çevrilir; ancak durum sayısı en kötü 2ⁿ'e çıkabilir.
• grep, lex/flex ve derleyici sözcük çözümleyicileri bu zinciri kullanır.

Sonlu Durum Makineleri

Kullanımı: DFA Simülasyonu

1. Başlangıç durumuna geç.
2. Her karakter için durumu geçiş tablosundan güncelle.
3. Dizgi bitince son durumun kabul durumu olup olmadığını denetle.

boolean kabulEder(int[][] gecis, boolean[] kabul,
                  String s) {
  int durum = 0;                     // başlangıç durumu
  for (char c : s.toCharArray())
    durum = gecis[durum][c - '0'];   // tek geçiş
  return kabul[durum];               // son durum kabul mü?
}

Sonlu Durum Makineleri

Örnek: "nice" Kelimesini Tanıyan Makine

• "nice" kelimesini tanıyan makine: her durum, şimdiye kadar okunan öneki temsil eder (ε, n, ni, nic, nice).
• Beklenen karakter gelmezse (≠n, ≠i, …) Hata durumuna gidilir ve orada kalınır (tuzak durum, trap state).
• "nice" → 1 → 2 → 3 → 4 → 7: kabul. "nine" → 1 → 2 → 3 → 6: ret (üçüncü karakter 'n' ≠ 'c').

Sonlu Durum Makineleri · Adım adım

Örnek: İkili Alfabe Üzerinde DFA

Sonlu Durum Makineleri

Örnek: "ACACAGA" Örüntüsünü Arayan Otomat

• Durum q = metnin sonunda örüntüyle uyuşan en uzun önekin uzunluğu. Çizilmeyen tüm geçişler 0'a gider. Durum 7'ye ulaşınca eşleşme bulunur (burada konum 3'te).
• 7. karakter 'C' gelince 5 → 4 dönülür: "ACACAC"nin sonu "ACAC" öneki gibi devam edebilir. Bu, KMP'deki önek fonksiyonunun otomat biçimidir: ön işlem O(m · |Σ|), arama O(n).

Sonlu Durum Makineleri · Kodu adım adım çalıştır

FSM ile Sayı Ayrıştırma: Kodu İzle

void sayilariBul(String s) {
  Durum d = Durum.BASLA;
  StringBuilder tampon = new StringBuilder();
  for (char c : s.toCharArray()) {
    boolean rakam = Character.isDigit(c);
    if (rakam) {
      if (d == Durum.BASLA) d = Durum.RAKAM;
      tampon.append(c);
    } else if (c == '.' && d != Durum.ONDALIK) {
      d = Durum.ONDALIK;
      tampon.append(c);
    } else if (d != Durum.BASLA) {  // sayı bitti
      System.out.println(tampon);
      tampon.setLength(0);
      d = Durum.BASLA;
    }
  }
  if (d != Durum.BASLA) System.out.println(tampon);
}

Düzenleme Mesafesi

Levenshtein Mesafesi (Edit Distance)

Düzenleme Mesafesi

Düzenleme Örnekleri

değiştirme ekleme silme

• (a) rain → sain → shin → shine · (b) shine → rhine → raine → rain (e silinir) · (c) shine → tshine → trhine → traine → train (e silinir). Üstü çizili turuncu harf silinir.
• Mesafe simetriktir: (a) ile (b) birbirinin tersidir; ekleme ↔ silme yer değiştirir.

Düzenleme Mesafesi

Levenshtein Mesafesini Hesaplama

D[i][j] = a'nın ilk i karakterini b'nin ilk j karakterine dönüştürmenin en az maliyeti.

• Dinamik programlama: her alt problem bir kez çözülür, (m+1) × (n+1) tabloda saklanır; cevap sağ alt köşededir.
• Bir hücre yalnızca üst, sol ve sol üst komşulara bağlıdır → tablo satır satır doldurulur.
• Zaman O(m · n); bellek O(m · n), yalnızca mesafe gerekiyorsa iki satırla O(min(m, n)).

Düzenleme Mesafesi · Adım adım

DP Tablosu: CARS → PAIRS

a = CARS (satırlar), b = PAIRS (sütunlar)

Düzenleme Mesafesi

Levenshtein: Java Kodu

int levenshtein(String a, String b) {
  int m = a.length(), n = b.length();
  int[][] D = new int[m + 1][n + 1];
  for (int i = 0; i <= m; i++) D[i][0] = i;  // silme
  for (int j = 0; j <= n; j++) D[0][j] = j;  // ekleme
  for (int i = 1; i <= m; i++)
    for (int j = 1; j <= n; j++)
      if (a.charAt(i - 1) == b.charAt(j - 1))
        D[i][j] = D[i - 1][j - 1];            // eşit
      else
        D[i][j] = 1 + Math.min(D[i - 1][j - 1], // değiştir
                  Math.min(D[i][j - 1],         // ekle
                           D[i - 1][j]));       // sil
  return D[m][n];
}

• Tablo indisi i, dizgi indisi i − 1'dir: D'nin 0. satırı boş önek içindir.
• Örnekler: kitten → sitting = 3, ercan → sercan = 1, apple → banana = 5.

En Uzun Ortak Alt Dizi

En Uzun Ortak Alt Dizi (LCS)

• En uzun ortak alt dizi (longest common subsequence, LCS): iki dizginin her ikisinde de sıralı olarak bulunan en uzun dizi.
• Karakterlerin ardışık olması gerekmez, ancak göreli sıraları korunmalıdır.
• İki dizgi arasındaki benzerlik seviyesini ölçer: diff, sürüm kontrolü, DNA hizalama, intihal tespiti.

En Uzun Ortak Alt Dizi

Dinamik Programlama Yaklaşımı

String lcs(String a, String b) {
  int m = a.length(), n = b.length();
  int[][] L = new int[m + 1][n + 1];
  for (int i = 1; i <= m; i++)
    for (int j = 1; j <= n; j++)
      if (a.charAt(i - 1) == b.charAt(j - 1))
        L[i][j] = L[i - 1][j - 1] + 1;
      else
        L[i][j] = Math.max(L[i - 1][j], L[i][j - 1]);
  StringBuilder s = new StringBuilder(); // geri izle
  for (int i = m, j = n; i > 0 && j > 0; )
    if (a.charAt(i - 1) == b.charAt(j - 1)) {
      s.insert(0, a.charAt(i - 1)); i--; j--;
    } else if (L[i - 1][j] > L[i][j - 1]) i--;
    else j--;
  return s.toString();
}

Zaman ve bellek O(m · n); geri izleme O(m + n).

En Uzun Ortak Alt Dizi · Adım adım

LCS Tablosu: AGGTAB · GXTXAYB

A = AGGTAB (satırlar), B = GXTXAYB (sütunlar)

En Uzun Ortak Alt Dizi

Örnek: DNA Dizilerinde LCS

• Eşleşen karakterleri birleştiren çizgiler kesişmez: göreli sıra korunur. Bu kural sağlanan her eşleme bir ortak alt dizidir.
• DP sonucu: LCS = GGAAATTCA, uzunluk 9.

En Uzun Ortak Alt Dizi

Benzerlik Ölçülerinin Karşılaştırılması

• Yalnızca ekleme ve silmeye izin verilirse mesafe = m + n − 2 · LCS: 6 + 7 − 8 = 5; değiştirmeye de izin veren Levenshtein bunu 4'e indirir.
• En uzun ortak alt dizgi: eşleşmede L[i][j] = L[i−1][j−1] + 1, eşleşmezse 0; cevap tablonun en büyük değeridir (ercan · sercan → "ercan").
• Benzerlik oranı örneği: 1 − d / max(m, n). kitten · sitting: 1 − 3/7 ≈ 0,57.

Dizgi Dönüşümleri

Sonek Dizisi (Suffix Array)

• Sonek dizisi (suffix array): bir dizginin tüm soneklerinin alfabetik sıraya dizilmiş hâlinin başlangıç indisleri.
• Her sonek, dizginin belirli bir konumundan başlayıp sonuna kadar giden alt dizgidir. Sonek dizisi tüm alt dizgilerin sıkı bir temsilidir: her alt dizgi bir sonekin önekidir.

"banana" → SA = [5, 3, 1, 0, 4, 2]. Kullanım: dizgi arama, sıralama, genetik dizilim analizi, BWT ve veri sıkıştırma.

Dizgi Dönüşümleri

Sonek Dizisi Oluşturma Yöntemleri

Dizgi Dönüşümleri · Adım adım

Önek İkiye Katlama (Prefix Doubling)

Manber–Myers fikri, "banana" üzerinde: k karakterlik sıralardan 2k karakterlik sıra elde edilir. log₂ n tur, her tur radix ile O(n).

Dizgi Dönüşümleri

Sonek Dizisiyle Arama

Dizgi Dönüşümleri

Burrows–Wheeler Dönüşümü (BWT)

Dizgi Dönüşümleri · Adım adım

BWT Örneği: BANANA

Girdi: BANANA

Dizgi Dönüşümleri

BWT Örneği: abraca

Dizgi Dönüşümleri

BWT'yi Tersine Çevirme (LF Eşlemesi)

Sıra sayıları (her karakterin L'de kaçıncı olduğu) önceden hesaplanırsa ters dönüşüm O(n) zaman alır. $ yoksa, BANANA örneğindeki gibi orijinal satır indisi (3) saklanır.

Özet

Özet

Özet

Etkileşimli Simülatörler

Özet

Sık Yapılan Hatalar

Özet

Örnek Problemler

1. "10", "9", "100", "2" dizgilerini sözlüksel sıraya koyun.
2. [329, 457, 657, 839, 436, 720, 355] dizisine LSD radix uygulayın; her geçişten sonraki diziyi yazın.
3. ^\d{3}-\d{4}$ ifadesi "555-1234", "5551234", "55-12345" dizgilerinden hangileriyle eşleşir?
4. Levenshtein("sunday", "saturday") kaçtır?
5. LCS("ABCBDAB", "BDCABA") uzunluğu kaçtır? Bir LCS yazın.
6. "kayak" dizgisinin BWT'sini ve orijinal satır indisini bulun.

Özet

Alıştırmalar

1. MSD radix sıralamayı özyinelemeli olarak yazın.
2. Türkiye cep telefonu biçimini (0532 123 45 67) doğrulayan bir düzenli ifade yazın.
3. İkili dizgilerde 1 sayısı çift olanları kabul eden bir DFA çizin ve geçiş tablosunu yazın.
4. Levenshtein'ı yalnızca iki satırlık bellekle, O(min(m, n)) ek alanla hesaplayın.
5. Sayı ayrıştıran FSM "… ve 5." girdisinde "5." yazdırır. Makineyi düzeltin.
6. "mississippi" metninin sonek dizisini bulun.

Özet

Kaynaklar

• Sedgewick ve Wayne, Algorithms, 4. baskı, 2011 (5.1 String Sorts, 5.4 Regular Expressions).
• Cormen, Leiserson, Rivest ve Stein, Introduction to Algorithms, 4. baskı, 2022 (LCS, dizgi eşleme otomatları).
• Hopcroft, Motwani ve Ullman, Introduction to Automata Theory, Languages, and Computation, 3. baskı, 2006.
• V. I. Levenshtein, "Binary codes capable of correcting deletions, insertions, and reversals", Soviet Physics Doklady 10(8), 1966.
• R. A. Wagner ve M. J. Fischer, "The String-to-String Correction Problem", Journal of the ACM 21(1), 1974.
• U. Manber ve G. Myers, "Suffix Arrays: A New Method for On-Line String Searches", SIAM Journal on Computing 22(5), 1993.
• M. Burrows ve D. J. Wheeler, "A Block-sorting Lossless Data Compression Algorithm", DEC SRC Research Report 124, 1994.
• J. E. F. Friedl, Mastering Regular Expressions, 3. baskı, O'Reilly, 2006; Java java.util.regex.Pattern belgeleri.