Giriş

Öğrenme Çıktıları

Algoritma Kavramı

Algoritma Nedir?

• Bir problemi çözmek veya bir görevi yerine getirmek için izlenen adım adım yönergeler dizisidir.
• Girdi verileri alınır, işlemler yapılır, çıktı elde edilir.
• Her adım belirli, açık ve anlaşılır olmalı; algoritma sınırlı sayıda adımda sonlanmalıdır.

Algoritma Kavramı

Günlük Hayattan: Çay Hazırlama Algoritması

Algoritma Kavramı

Ortalama Bulma: Algoritmadan Koda

def ortalama_hesapla(sayi1, sayi2, sayi3):
    ortalama = (sayi1 + sayi2 + sayi3) / 3
    return ortalama

sayi1 = float(input("Birinci sayıyı girin: "))
sayi2 = float(input("İkinci sayıyı girin: "))
sayi3 = float(input("Üçüncü sayıyı girin: "))
ort = ortalama_hesapla(sayi1, sayi2, sayi3)
print("Girilen sayıların ortalaması:", ort)

public static void main(String[] args) {
  Scanner giris = new Scanner(System.in);
  System.out.println("Birinci sayıyı girin: ");
  double sayi1 = giris.nextDouble();
  System.out.println("İkinci sayıyı girin: ");
  double sayi2 = giris.nextDouble();
  System.out.println("Üçüncü sayıyı girin: ");
  double sayi3 = giris.nextDouble();
  double ortalama = (sayi1 + sayi2 + sayi3) / 3;
  System.out.println("Sayıların ortalaması: "
                     + ortalama);
}

Algoritma Kavramı

Algoritmalar Nerede? Başlıca Türler

Algoritma Analizi

Algoritma Analizi

Algoritma Analizi

Zaman Karmaşıklığı

• Bir algoritmanın çalışma süresini girdi boyutu n ile ilişkilendiren kavramdır: T(n).
• Saniye değil, temel işlem sayısı sayılır: saniye bilgisayara ve dile göre değişir, işlem sayısı değişmez.
• Veri büyüdükçe performansın nasıl değiştiğini inceler; bir algoritmanın iyi ya da kötü olduğunu belirlemede kritik faktördür.

Örnek: n elemanlı dizinin toplamı, satır satır sayım

int toplam = 0;                   // 1 kez
for (int i = 0; i < n; i++)       // n+1 karşılaştırma
  toplam += dizi[i];              // n kez
return toplam;                    // 1 kez

Algoritma Analizi

Fonksiyonların Büyüme Hızları

n = 10'da bile n! (3,6 milyon) ve 2ⁿ (1024) grafiğin dışına çıkar; log₂ n ve √n ise n = 100'de hâlâ 10'un altındadır.

Algoritma Analizi

Büyüme Tablosu: n Büyürken

Son sütun: saniyede 10⁹ temel işlem yapan bir bilgisayarda n = 10⁶ için tahmini süre. 2ⁿ ve n! için n = 100 bile (≈ 10³⁰ ve 10¹⁵⁸ işlem) pratikte çözülemez.

Algoritma Analizi

Deneyin: Büyüme Hesaplayıcı

"n × 2" düğmesiyle girdiyi ikiye katlayın: n sütunu 2 katına, n² 4 katına, n³ 8 katına çıkar; log₂ n yalnızca 1 artar, 2ⁿ ise karesini alır.

Algoritma Analizi

Asimptotik Gösterimler: O, Ω, Θ

Karmaşıklık Örnekleri

Doğrusal Arama (Linear Search)

int dogrusalAra(int[] dizi, int aranan) {
  for (int i = 0; i < dizi.length; i++) {
    if (dizi[i] == aranan) {
      return i;  // bulundu!
    }
  }
  return -1;  // bulunamadı
}

Karmaşıklık Örnekleri

Sabit ve Doğrusal Zaman: O(1), O(n)

void ilkElemaniYazdir(int[] dizi) {
  if (dizi.length > 0)
    System.out.println("İlk eleman: "
                     + dizi[0]);
  else
    System.out.println("Dizi boş");
}

Integer enBuyukBul(int[] dizi) {
  if (dizi.length == 0)
    return null;            // dizi boşsa
  int enBuyuk = dizi[0];
  for (int eleman : dizi)
    if (eleman > enBuyuk)
      enBuyuk = eleman;
  return enBuyuk;
}

Karmaşıklık Örnekleri

Logaritmik Zaman: İkili Arama, O(log n)

int ikiliArama(int[] dizi, int aranan) {
  int alt = 0, ust = dizi.length - 1;
  while (alt <= ust) {
    int orta = (alt + ust) / 2;
    int tahmin = dizi[orta];
    if (tahmin == aranan)
      return orta;    // bulundu
    else if (tahmin < aranan)
      alt = orta + 1;
    else
      ust = orta - 1;
  }
  return -1;         // bulunamadı
}

Karmaşıklık Örnekleri

Asal Sayı Kontrolü: O(√n)

boolean asalMi(int n) {
  if (n <= 1)
    return false;
  else if (n == 2)
    return true;
  else if (n % 2 == 0)
    return false;
  int kokN = (int) Math.sqrt(n) + 1;
  for (int i = 3; i < kokN; i += 2)
    if (n % i == 0)
      return false;
  return true;
}

Not: burada girdi boyutu n sayısının değeridir. Sayının bit uzunluğu b ise √n = 2^b/2: bu yöntem bit sayısına göre üstel büyür.

Karmaşıklık Örnekleri

n log n Zaman: Çabuk (Hızlı) Sıralama

List<Integer> hizliSirala(List<Integer> liste) {
  if (liste.size() <= 1)
    return liste;
  int pivot = liste.get(0);
  List<Integer> kucukler = new ArrayList<>();
  List<Integer> buyukler = new ArrayList<>();
  for (int x : liste.subList(1, liste.size()))
    if (x <= pivot) kucukler.add(x);
    else buyukler.add(x);
  List<Integer> sonuc = hizliSirala(kucukler);
  sonuc.add(pivot);
  sonuc.addAll(hizliSirala(buyukler));
  return sonuc;
}

Hızlı sıralamanın O(n log n) süresi ortalama durumdur; rastgele pivot seçimi en kötü durumu olası olmaktan çıkarır (Bölüm 2).

Karmaşıklık Örnekleri

Karesel Zaman: Kabarcık Sıralama, O(n²)

void kabarcikSirala(int[] dizi) {
  int n = dizi.length;
  for (int i = 0; i < n; i++)
    for (int j = 0; j < n - i - 1; j++)
      if (dizi[j] > dizi[j + 1]) {
        int gecici = dizi[j];    // takas
        dizi[j] = dizi[j + 1];
        dizi[j + 1] = gecici;
      }
}

Karmaşıklık Örnekleri

Kübik Zaman: Matris Çarpımı, Θ(n³)

int[][] matrisCarp(int[][] A, int[][] B) {
  int n = A.length, m = B[0].length, p = B.length;
  int[][] sonuc = new int[n][m];
  for (int i = 0; i < n; i++)
    for (int j = 0; j < m; j++) {
      int eleman = 0;
      for (int k = 0; k < p; k++)
        eleman += A[i][k] * B[k][j];
      sonuc[i][j] = eleman;
    }
  return sonuc;
}

Karmaşıklık Örnekleri

Faktöriyel Zaman: Tüm Permütasyonları Üretme

void permutasyon(int[] dizi, int k) {
  if (k == dizi.length) {          // bir permütasyon hazır
    System.out.println(Arrays.toString(dizi));
    return;
  }
  for (int i = k; i < dizi.length; i++) {
    takas(dizi, k, i);             // i. elemanı k. konuma al
    permutasyon(dizi, k + 1);      // geri kalanları diz
    takas(dizi, k, i);             // eski hâline getir
  }
}

Karmaşıklık Örnekleri

Üstel Zaman: Fibonacci Serisi

long fib(int n) {           // saf özyineleme
  if (n <= 1) return n;
  return fib(n - 1) + fib(n - 2);
}

long[] bellek = new long[N + 1]; // 0: yok
long fibBellek(int n) {     // ezberleme
  if (n <= 1) return n;
  if (bellek[n] == 0)
    bellek[n] = fibBellek(n - 1) + fibBellek(n - 2);
  return bellek[n];
}

Karmaşıklık Örnekleri

Fibonacci: Çağrı Ağacı fib(5)

Karmaşıklık Örnekleri

Karmaşıklık Sınıfları: Örneklerle

Yukarıdan aşağıya büyüme hızı artar: 1 < log n < √n < n < n log n < n² < n³ < 2ⁿ < n!. Polinom sınıflar (n^k) genelde "verimli", üstel olanlar "verimsiz" sayılır.

Araya Ekleyerek Sıralama

Sıralama Problemi

• Girdi: n sayıdan oluşan dizi ⟨a₁, a₂, …, aₙ⟩.
• Çıktı: aynı sayıların bir permütasyonu ⟨a′₁, a′₂, …, a′ₙ⟩ öyle ki a′₁ ≤ a′₂ ≤ … ≤ a′ₙ.

Araya Ekleyerek Sıralama

Araya Ekleyerek Sıralama (Insertion Sort)

• Diziyi sıralamak için iç içe iki döngü kullanır.
• Dış döngü dizinin her elemanını bir kez geçer: A[i] anahtar değişkenine alınır.
• İç döngü anahtardan büyük elemanları birer sağa kaydırır ve anahtarı uygun konuma yerleştirir.
• İskambil kâğıtlarını elde sıralamak gibi: her yeni kâğıt, sıralı eldeki yerine sokulur.

Değişmez (invariant): her dış adımın başında A[0..i−1] sıralıdır. Zaman karmaşıklığı (en kötü) O(n²).

Araya Ekleyerek Sıralama

Araya Ekleyerek Sıralama: Kod

public void Sirala(int[] A) {
  for (int i = 1; i < A.length; ++i) {
    int anahtar = A[i];
    int j = i - 1;
    // A[0..i-1] alt dizisi sıralı.
    // anahtar uygun konuma yerleştirilir.
    while (j >= 0 && A[j] > anahtar) {
      A[j + 1] = A[j];
      j = j - 1;
    }
    A[j + 1] = anahtar;
  }
}

Araya Ekleyerek Sıralama

Örnek: 8 2 4 9 3 6

Araya Ekleyerek Sıralama · Kodu adım adım çalıştır

Sirala(A): Kodu Adım Adım İzle

public void Sirala(int[] A) {
  for (int i = 1; i < A.length; ++i) {
    int anahtar = A[i];
    int j = i - 1;
    // A[0..i-1] sıralı
    // anahtar yerine girer
    while (j >= 0 && A[j] > anahtar) {
      A[j + 1] = A[j];
      j = j - 1;
    }
    A[j + 1] = anahtar;
  }
}

Araya Ekleyerek Sıralama

Çalışma Süresi ve Analiz Türleri

Araya Ekleyerek Sıralama

Dikkat: Durum ve Sınır Farklı Kavramlardır

Araya Ekleyerek Sıralama

Makineden Bağımsız Çalışma Süresi

Araya Ekleyerek Sıralama

Θ Gösterimi: Tanım ve Uygulama

O ve Ω'nın biçimsel tanımları, limit yöntemi ve özellikleri Bölüm 1.2: Karmaşıklık'ta ele alınır.

Böl ve Fethet

Böl ve Fethet (Divide and Conquer)

Böyle özyinelemeli tanımlanan süre fonksiyonlarına yineleme bağıntısı (recurrence) denir. Çözüm yöntemleri (özyineleme ağacı, ana teorem) Bölüm 1.2'de.

Böl ve Fethet

Birleştirerek Sıralama (Merge Sort)

Böl ve Fethet · Kodu adım adım çalıştır

Birleştirme İşlemi (Merge): Adım Adım

int i = 0, j = 0, k = 0;
while (i < A.length && j < B.length) {
  if (A[i] <= B[j])
    C[k++] = A[i++];
  else
    C[k++] = B[j++];
}
while (i < A.length)
  C[k++] = A[i++];
while (j < B.length)
  C[k++] = B[j++];

Böl ve Fethet

Birleştirerek Sıralama: Neden Θ(n log n)?

• n elemanlı listeyi birleştirmek Θ(n) sürer (yukarıdaki örnekte 8 eleman, 8 yazma, 6 karşılaştırma).
• Her düzeyde alt problemlerin toplam boyutu n'dir → her düzeyin toplam birleştirme işi c·n.
• Boyut her düzeyde yarıya iner: 1'e inmek için log₂ n bölme gerekir.
• Araya ekleyerek sıralamanın Θ(n²) en kötü durumuna karşı, birleştirerek sıralama her girdide Θ(n log n)'dir; bedeli O(n) ek bellektir.

Böl ve Fethet · Kodu adım adım çalıştır

İkili Arama: 9'u Bul

int ikiliArama(int[] dizi, int aranan) {
  int alt = 0, ust = dizi.length - 1;
  while (alt <= ust) {
    int orta = (alt + ust) / 2;
    int tahmin = dizi[orta];
    if (tahmin == aranan)
      return orta;    // bulundu
    else if (tahmin < aranan)
      alt = orta + 1;
    else
      ust = orta - 1;
  }
  return -1;         // bulunamadı
}

Böl ve Fethet

İkili Arama: Böl ve Fethet Analizi

Açılım: T(n) = T(n/2) + c = T(n/4) + 2c = … = T(1) + c · log₂ n ⇒ T(n) = Θ(log n)

Böl ve Fethet

Bir Sayının Üssünü Alma: aⁿ

long us(long a, int n) {
  if (n == 0) return 1;
  long yarim = us(a, n / 2);        // a^(n/2), tek kez!
  if (n % 2 == 0)
    return yarim * yarim;           // n çift
  else
    return a * yarim * yarim;       // n tek
}

Euclid Algoritması

Euclid Algoritması (EBOB)

int ebob(int a, int b) {
  if (b == 0)
    return a;
  return ebob(b, a % b);
}

Euclid Algoritması · Kodu adım adım çalıştır

ebob(1599, 650): Adım Adım

int ebob(int a, int b) {
  if (b == 0)
    return a;
  return ebob(b, a % b);
}

Euclid Algoritması

Euclid Algoritması: Neden Hızlı?

Özet

Özet

Özet

Etkileşimli Simülatörler

Özet

Sık Yapılan Hatalar

Özet

Örnek Problemler

1. Araya ekleyerek sıralama [5, 4, 3, 2, 1] ve [1, 2, 3, 4, 5] dizilerinde kaç karşılaştırma ve kaç kaydırma yapar?
2. T(n) = 5n² + 100n log₂ n + 7 için Θ sınıfını yazın. n = 1000'de hangi terim baskındır?
3. [2, 4, 7, 10, 13, 18, 21, 25, 30] dizisinde ikili arama ile 21 ve 5'i arayın; incelenen orta elemanları yazın.
4. ebob(252, 105)'i Euclid algoritmasıyla bulun.
5. 2¹³ yukarıdaki us fonksiyonuyla hesaplanırken hangi üsler için çağrı yapılır, kaç çarpma gerekir?

Özet

Alıştırmalar

1. Bir dizide verilen bir sayının kaç kez geçtiğini bulan algoritmayı yazın; zaman ve bellek karmaşıklığını verin.
2. İç içe döngüler: for i in 0..n-1: for j in i..n-1: işlem kaç kez çalışır? Sınıfı nedir?
3. Araya ekleyerek sıralamayı azalan sırada sıralayacak şekilde değiştirin. Hangi satır değişir?
4. Euclid algoritmasını döngüyle (özyinelemesiz) yazın.
5. Saniyede 10⁹ işlemle 1 saniyede çözülebilecek en büyük n: f(n) = n² ve f(n) = 2ⁿ için bulun.
6. while (n > 1) n = n / 2; döngüsü kaç kez döner?

Özet

Kaynaklar

• Cormen, Leiserson, Rivest ve Stein, Introduction to Algorithms, 4. baskı, MIT Press, 2022 (Bölüm 1–3).
• Sedgewick ve Wayne, Algorithms, 4. baskı, Addison-Wesley, 2011 (Bölüm 1.4: Analysis of Algorithms).
• D. E. Knuth, The Art of Computer Programming, Vol. 1: Fundamental Algorithms, 3. baskı, 1997 (algoritmanın özellikleri; Euclid).
• J. Kleinberg ve É. Tardos, Algorithm Design, Pearson, 2005 (Bölüm 2: Basics of Algorithm Analysis).