Bölüm 2: Oyun Kuramına Giriş

Algoritmik Oyun Teorisi

Oyun TeorisiİçindekilerOyun TemsilleriNormal FormGenişletilmiş FormEşzamanlı Oyunlar (Strateji Oyunları)

Sercan KÜLCÜ · Giresun Üniversitesi · Bilgisayar Mühendisliği

Oyun Teorisi

Rasyonel karar vericiler arasındaki çatışma ve işbirliğini inceleyen matematiksel modeller.
Bir oyun; oyuncular, kullanabilecekleri stratejiler ve sonuçlara bağlı kazançlarla tanımlanır.
Her oyuncunun elde ettiği sonuç yalnızca kendi seçimine değil, diğer oyuncuların seçimlerine de bağlıdır.

İçindekiler (1/4)

Oyun Temsilleri (Game Representations)
Oyunların grafik ve matematiksel modelleri
Oyunların Sınıflandırılması (Classification of Games)
İşbirlikçi ve işbirlikçi olmayan oyunlar
Simetrik ve asimetrik oyunlar
Sıfır toplamlı ve sıfır toplamlı olmayan oyunlar
Yaygın Oyunlar (Commonly Known Games)

İçindekiler (2/4)

Esirlerin İkilemi,
Koordinasyon Oyunu,
Tavuk Oyunu vb.
Nash Dengesi (Nash Equilibrium)
Rasyonel stratejiler ve denge durumu
Genişletilmiş Form Oyunları (Extensive-Form Games)
Ağaç yapısında karar alma süreçleri

İçindekiler (3/4)

Tekrarlanan Oyunlar (Repeated Games)
Stratejik etkileşimlerin tekrarları
Bayes Tabanlı Oyunlar (Bayesian Games)
Bilgi asimetrisi altında karar verme
Koalisyonel Oyunlar (Coalitional Games)
Koalisyonlar ve kolektif karar alma süreçleri

İçindekiler (4/4)

Sosyal Tercih (Social Choice)
Toplumsal karar alma mekanizmaları
Mekanizma Tasarımı (Mechanism Design)
İstenen sonuçları elde etme süreci
VCG (Vickrey-Clarke-Groves) Mekanizması
Gerçek doğruluğu teşvik eden ödeme mekanizması

Oyun Temsilleri (1/2)

Oyuncular: karar vericiler kimlerdir?
İnsanlar mı?
Hükümetler mi?
Şirketler mi?
Bir şirket tarafından istihdam edilen biri mi?
Eylemler: oyuncular ne yapabilir?
Bir açık artırmada teklif mi verirler?

Oyun Temsilleri (2/2)

Grevi bitirip bitirmemeye mi karar verirler?
Bir hisse senedini ne zaman satacaklarına mı karar verirler?
Nasıl oy vereceklerine mi karar verirler?
Ödüller: oyuncuları ne motive eder?
Kâr mı?
Diğer oyuncular mı?

Normal Form

Oyuncuların eylemleri sonucunda kazançlarını listeleyen gösterim şeklidir.
Oyuncuların eylemlerinin sırası veya zamanlaması dikkate alınmaz.
Matris ile temsil edilir.

Genişletilmiş Form

Hareketlerin zamanlamasını dikkate alır.
Ağaç yapısı ile temsil edilir.

Eşzamanlı Oyunlar (Strateji Oyunları)

Her iki oyuncunun aynı anda hamle yaptığı veya birinin diğerinin hamlesinden habersiz olduğu oyunlardır.
Genellikle normal form kullanılarak temsil edilir.
Örnek: Esirlerin İkilemi.
Oyuncular, diğerlerinin kararlarını bilmeden kendi stratejilerini belirler.
Stratejik belirsizlik yüksektir.

Sıralı Oyunlar (Genişletilmiş Form)

Oyuncular aynı anda değil, farklı karar noktalarında hareket eder.
Oyun ağacı karar sırasını, olası eylemleri ve sonuçları gösterir.
Önceki hamleler her zaman tamamen gözlemlenmeyebilir. Bilgi kümeleri oyuncunun ne bildiğini belirtir.
Geriye doğru çıkarım, sonlu ve mükemmel bilgili sıralı oyunlarda çözüm için kullanılabilir.
Örnekler arasında satranç, pazarlık ve piyasaya giriş oyunları bulunur.

İşbirlikçi Oyunlar

Oyuncular bağlayıcı anlaşmalar yapabilir ve koalisyonlar kurabilir.
Analiz, bir koalisyonun üretebildiği toplam değer ve bu değerin üyeler arasında paylaşımına odaklanır.
Çekirdek, Shapley değeri ve pazarlık çözümleri temel kavramlardır.
Örnekler arasında maliyet paylaşımı, ortak girişimler ve koalisyon oluşumu bulunur.

İşbirlikçi Olmayan Oyunlar

Her oyuncu kendi stratejisini seçer ve bağlayıcı anlaşmalar modelin dışında tutulur.
Sonuç, oyuncuların stratejilerinin birlikte oluşturduğu kazançlarla değerlendirilir.
Nash dengesi, baskın strateji ve alt oyun mükemmel denge temel çözüm kavramlarıdır.
İşbirliği yine ortaya çıkabilir, ancak anlaşmanın oyuncuların çıkarlarıyla kendi kendini uygulaması gerekir.
Rekabetçi piyasalar ve Esirlerin İkilemi bu sınıfa örnektir.

Sıfır Toplamlı Oyunlar

Her bir katılımcının faydasındaki kazanç veya kaybın, diğer katılımcıların faydasındaki kayıp veya kazançlarla tam olarak dengelendiği oyunlardır.
Toplam fayda sıfırdır; bir oyuncunun kazancı, diğerinin kaybıdır.
Rekabetçi bir yapıdadır; tek taraflı kazanç ön plandadır.
Örnek: Satranç, poker, spor müsabakaları.
Oyun sonunda, tüm oyuncuların kazanç ve kayıplarının toplamı sıfırdır.
Stratejiler, rakibin kaybı üzerine odaklanır.

Sıfır Toplamlı Olmayan Oyunlar

Oyuncuların toplam kazanç ve kayıplarının sıfırdan farklı olabileceği oyunlardır; toplam kazanç veya kayıp sıfırdan büyük veya küçük olabilir.
İşbirliği ve rekabet bir arada olabilir.
Tüm tarafların kazançlı çıktığı durumlar mümkün olabilir.
İletişim ve müzakere, oyunun seyrini değiştirebilir.
Örnek: Ticaret müzakereleri, pazarlık süreçleri, çevre anlaşmaları.
Taraflar arasında hem kazanç hem kayıplar olabilir, ancak toplam fayda sıfır değildir.
Stratejik işbirliği, tüm tarafların kazançlı çıkmasını sağlayabilir.

Mükemmel Bilgili Oyunlar

Bir oyuncu karar verirken oyunun o ana kadarki tüm hamle geçmişini bilir.
Satranç, dama ve go mükemmel bilgili oyunlara örnektir.
Mükemmel bilgi, oyuncuların gelecekteki hamleleri bildiği anlamına gelmez.
Tam bilgi ise oyuncuların türleri, strateji kümeleri ve kazanç fonksiyonları hakkındaki bilgiyi ifade eden ayrı bir kavramdır.

Mükemmel Olmayan Bilgili Oyunlar

Bir oyuncu karar verirken geçmişteki bazı hamleleri veya özel bilgileri gözlemleyemez.
Pokerde rakiplerin kartları gizlidir. Eşzamanlı oyunlarda da oyuncular diğerlerinin o andaki seçimini görmez.
Bilgi kümeleri, oyuncunun ayırt edemediği karar noktalarını gösterir.
Eksik bilgi farklı bir kavramdır ve oyuncuların türleri ya da kazançları hakkındaki belirsizliği ifade eder.

Sonlu Ufuklu Oyunlar

Oyun, önceden belirlenmiş sonlu sayıda dönem veya karar adımından sonra biter.
Sonlu ufuk, son dönem davranışının önceki kararları etkilemesine yol açabilir.
Geriye doğru çıkarım bu oyunlarda sık kullanılan bir çözüm yöntemidir.
Tek seferlik pazarlıklar ve belirli tur sayılı tekrarlanan oyunlar örnektir.
Sonlu oyun terimi ayrıca oyuncu ve strateji kümeleri sonlu olan stratejik oyunlar için de kullanılır.

Sonsuz Ufuklu Oyunlar

Oyun belirsiz süre devam edebilir veya sonsuz sayıda dönem içerebilir.
Gelecekteki kazançların bugünkü değeri genellikle bir iskonto faktörüyle hesaplanır.
Geleceğe yeterince önem verildiğinde tehdit, ödül ve itibar işbirliğini destekleyebilir.
Sürekli fiyat rekabeti ve uzun dönemli ortak kaynak kullanımı örnek verilebilir.

Esirlerin İkilemi (Prisoner's Dilemma) (1/2)

Oyun Matrisi:
Sessiz Kal İhanet Et
Sessiz Kal (-1, -1) (-3, 0)
İhanet Et ( 0, -3) (-2, -2)
Nash Dengesi (NE): Her iki oyuncunun da diğerinin stratejisini değiştirmediği durumda en iyi stratejiyi seçtiği noktadır.
Bu oyunda 1 adet NE vardır:
Her iki oyuncu da ihanet eder.

Esirlerin İkilemi (Prisoner's Dilemma) (2/2)

Oyuncu 1 için: İhanet Et, her iki sütunda da Sessiz Kal'dan daha iyi
(0 > -1 ve -2 > -3).
Bu, baskın stratejiler Nash dengesidir.
Bu oyun sonucunda elde edilen denge, Pareto optimal değildir.
İki mahkum kendi çıkarlarını düşündüklerinde ikisinin de kötü bir sonuç alacağı dengeye ulaşır, oysa ikisi de işbirliği yapsa çok daha iyi bir toplu sonuç elde edebilirlerdi.
Baskın Strateji: İhanet etmek, her iki oyuncu için de baskın stratejidir, çünkü bu durumda her iki oyuncu da diğerinin hamlesine bakılmaksızın en iyi sonucu elde eder.
Pareto Optimum: Bir oyuncunun durumunu iyileştirmeden diğerini daha kötü duruma getirmeyen bir durumdur. Bu oyunda, her iki oyuncunun da ihanet etmesi Pareto optimal değildir, çünkü her iki oyuncu da sessiz kalarak daha iyi bir sonuca ulaşabilir.

Matching Pennies Oyunu (1/3)

Oyun Matrisi:
Yazı Oyna Tura Oyna
Yazı Oyna (1, -1) (-1, 1)
Tura Oyna (-1, 1) (1, -1)
Nash Dengesi (NE):

Matching Pennies Oyunu (2/3)

Bu oyunda 1 adet Nash Dengesi (NE) vardır:
Karışık Stratejiler NE: Her oyuncu yazı veya tura oynamayı %50 olasılıkla seçer.
Bu durumda her iki oyuncu da karışık stratejiler uygulayarak dengeye ulaşır.
Özellikler:
Sıfır Toplamlı Oyun: Bir oyuncunun kazancı, diğer oyuncunun kaybı ile tam olarak dengelenir.

Matching Pennies Oyunu (3/3)

Stratejik Belirsizlik: Oyuncular arasında stratejik belirsizlik mevcuttur, çünkü her oyuncu rakibinin ne seçeceğini tahmin edemez.
Olasılık ve Karışık Stratejiler: Oyuncular, rakibinin hareketlerini tahmin edemedikleri için, yazı veya tura oynamayı %50 olasılıkla seçerler.
Önemli Noktalar:
Stratejik Rastgelelik: Oyuncuların stratejik olarak rastgele seçim yapması, oyunun doğasında yer alan belirsizliği en iyi şekilde yönetmelerini sağlar.
Nihai Sonuç: Her iki oyuncu da karışık stratejiler uygulayarak dengede kalır, bu da her iki tarafın da ne tam olarak kazanmasını ne de kaybetmesini sağlar.

Cinsiyetlerin Savaşı (Battle of the Sexes) (1/3)

Oyun Matrisi:
Operaya Git Futbola Git
Operaya Git (3, 2) (0, 0)
Futbola Git (0, 0) (2, 3)
Nash Denge Noktaları (NE):
Bu oyunda 3 farklı Nash Denge noktası (NE) vardır:

Cinsiyetlerin Savaşı (Battle of the Sexes) (2/3)

Her iki oyuncu da operaya gider.
Her iki oyuncu da futbola gider.
Karışık Stratejiler NE: Erkek %60 olasılıkla operaya gider, kadın ise %40 olasılıkla operaya gider.
Özellikler:
Koordinasyon Sorunu: Bu oyunda, iki oyuncunun da tercihlerinin farklı olması nedeniyle bir koordinasyon sorunu vardır.
Paylaşılan Kazançlar: Oyuncuların ortak etkinlik seçmeleri durumunda, her iki taraf da kazanç sağlar, ancak her biri farklı tercihlere sahiptir.

Cinsiyetlerin Savaşı (Battle of the Sexes) (3/3)

Karışık Stratejiler: Karışık strateji dengesi, her iki oyuncunun da farklı olasılıklarla kendi tercihlerini yapmasını sağlar, böylece oyun dengesine ulaşılır.
Önemli Noktalar:
Stratejik Kararlar: Oyuncular, kendi tercihlerine göre en iyi stratejiyi seçmeye çalışırken, diğer oyuncunun ne yapacağını tahmin etmek zorundadır.
İşbirliği ve Anlaşmazlık: Bu oyun, oyuncuların birbirleriyle işbirliği yapma veya kendi tercihlerinde ısrar etme arasında bir denge kurmaları gerektiğini gösterir.
Çözüm: Karışık stratejiler, her iki oyuncunun da tercih ettiği sonuca olasılıklar üzerinden ulaşmasını sağlar, bu da oyunun dengeye ulaşmasını mümkün kılar.

Geyik Avı (Stag Hunt) (1/3)

Oyun Matrisi:
Geyik Avla Tavşan Avla
Geyik Avla (2, 2) (0, 1)
Tavşan Avla (1, 0) (1, 1)
Nash Denge Noktaları (NE):
Bu oyunda 3 farklı Nash Denge noktası (NE) vardır:

Geyik Avı (Stag Hunt) (2/3)

Her iki oyuncu da geyik avlar.
Her iki oyuncu da tavşan avlar.
Karışık Stratejiler NE: Erkek %50 olasılıkla geyik avlar, kadın ise %50 olasılıkla geyik avlar.
Özellikler:
Koordinasyon Sorunu: Geyik avlamak her iki oyuncuya da en yüksek kazancı sağlarken, işbirliği yapılmazsa tavşan avlamak daha güvenli bir seçenek olabilir.
Risk ve İşbirliği: Geyik avlama stratejisi, her iki oyuncunun da işbirliği yapmasını ve karşılıklı güven inşa etmesini gerektirir. Tavşan avlama stratejisi ise daha az kazançlı, ancak daha güvenlidir.

Geyik Avı (Stag Hunt) (3/3)

Karışık Stratejiler: Karışık strateji dengesi, her iki oyuncunun da eşit olasılıkla geyik veya tavşan avlama kararını vermesi ile oluşur.
Önemli Noktalar:
Stratejik Seçimler: Oyuncular, yüksek riskli ama yüksek kazançlı işbirliği stratejisi ile düşük riskli ama düşük kazançlı bireysel strateji arasında seçim yapar.
Pareto Optimum: Geyik avlama, Pareto optimal bir stratejidir; her iki oyuncunun da kazancı maksimize edilir.
Güven Dilemma: Oyuncuların güven inşa edip etmeyeceklerine karar vermesi, oyunun sonucunu doğrudan etkiler.

Saf Koordinasyon Oyunu (Pure Coordination Game) (1/3)

Oyun Matrisi:
Partiye Git Evde Kal
Partiye Git (10, 10) (0, 0)
Evde Kal ( 0, 0) (5, 5)
Nash Denge Noktaları (NE):
Bu oyunda 3 farklı Nash Denge noktası (NE) vardır:

Saf Koordinasyon Oyunu (Pure Coordination Game) (2/3)

Her iki oyuncu da partiye gider.
Her iki oyuncu da evde kalır.
Karışık Stratejiler NE: Erkek 1/3 olasılıkla partiye gider, kadın ise 1/3 olasılıkla partiye gider.
Özellikler:
Koordinasyon Gereksinimi: Oyuncuların kazanç elde edebilmesi için uyumlu stratejiler geliştirmeleri gerekmektedir. Birlikte hareket ettiklerinde kazanç sağlarlar.
Denge Seçenekleri: Hem partiye gitmek hem de evde kalmak Nash dengesidir, ancak bu dengeler farklı kazançlar sunar. Parti daha yüksek bir kazanç sağlar, ancak her iki oyuncunun da aynı kararı vermesi gerekir.

Saf Koordinasyon Oyunu (Pure Coordination Game) (3/3)

Karışık Stratejiler: Karışık strateji dengesinde, her iki oyuncu da belirli bir olasılıkla farklı stratejiler dener, bu da belirsizlik yaratır.
Önemli Noktalar:
Koordinasyonun Önemi: Başarılı koordinasyon, oyunun sonucunu doğrudan etkiler ve oyuncuların en yüksek kazancı elde etmelerini sağlar.
Eşitlik ve Risk: Evde kalma stratejisi daha düşük, ancak garantili bir kazanç sunar, bu da riskten kaçınan oyuncular için uygun olabilir.
Stratejik Karar: Oyuncular, karşı tarafın ne yapacağını tahmin ederek en iyi stratejiyi seçmeye çalışır; bu, ortak bir kararın sağlanmasını gerektirir.

Bedava Para Oyunu

Kazanç matrisi: (Yazı, Yazı) sonucu (1, 1), diğer üç sonuç (0, 0) kazanç verir.
(Yazı, Yazı) sıkı bir Nash dengesidir. (Tura, Tura) ise oyuncular sapmaya karşı kayıtsız olduğu için zayıf bir Nash dengesidir.
(Tura, Tura) Pareto etkin değildir. İki oyuncu da Yazı'ya geçerse daha yüksek kazanç elde eder.
Oyun dejenere olduğu için sonlu oyunlarda denge sayısına ilişkin genel tek-sayılılık sonucunun olağan varsayımlarını sağlamaz.
Örnek, zayıf dengelerin koordinasyon ve denge seçimi sorunlarını görünür kılar.

Tavuk Oyunu (Chicken Game) (1/3)

Oyun Matrisi:
Kırar (Swerve) Düz Gider (Straight)
Kırar (0, 0) ( -1, 1)
Düz Gider (1, -1) (-10, -10)
Nash Denge Noktaları (NE):
Bu oyunda 3 farklı Nash Denge noktası (NE) vardır:

Tavuk Oyunu (Chicken Game) (2/3)

Erkek kırar, kadın düz gider.
Erkek düz gider, kadın kırar.
Karışık Strateji NE: Erkek 9/10 olasılıkla kırar, kadın 9/10 olasılıkla kırar.
Özellikler:
Anti-Koordinasyon Oyunu: Oyuncuların farklı stratejiler oynaması, her iki taraf için de karşılıklı yarar sağlar. Aynı stratejiyi seçmek genellikle olumsuz sonuçlara yol açar.
Yüksek Risk: Düz gitmek, her iki oyuncu için de büyük bir kayıp riski taşır, bu nedenle oyuncuların birbirlerinin stratejisini doğru tahmin etmeleri önemlidir.

Tavuk Oyunu (Chicken Game) (3/3)

Karışık Stratejiler: Karışık strateji dengesi, her iki oyuncunun büyük bir olasılıkla kırma kararını verdiği durumdur. Riskten kaçınmayı teşvik eder.
Önemli Noktalar:
Stratejik Zıtlık: Bu oyun, oyuncuların birbirinden farklı stratejilerle hareket etmesinin en iyi sonuçları getirdiği bir anti-koordinasyon oyunudur.
Güç Dilemma: Oyuncular, düz gitme cesareti gösterip göstermemeyi veya kırarak riski azaltmayı seçerler. Güç ve güvenlik arasında denge gerektirir.
Karışık Strateji Kullanımı: Karışık stratejiler, oyuncuların hem risk almaktan kaçınmalarına hem de potansiyel kayıpları minimize etmelerine yardımcı olur.

Kırkayak Oyunu (Centipede Game) (1/2)

Oyuncuların sırayla bir havuzu büyütmek için işbirliği yapma veya o noktada oyunu bitirerek kazançları bölüşme seçenekleriyle karşı karşıya kaldıkları bir oyundur.
SPE (Subgame Perfect Equilibrium):
Alt Oyun Mükemmel Denge (SPE): Her oyuncu, her fırsatta oyunu sonlandırmayı (defect) seçer.
Stratejik Geriye Dönük Akıl Yürütme: Oyuncular, oyun sonunda elde edecekleri kesin kazancı göz önünde bulundurarak, ilk fırsatta oyunu sonlandırmanın en mantıklı karar olduğunu düşünürler.
Özellikler:
İşbirliği vs. Rekabet: Oyuncular, işbirliği yaparak daha büyük bir havuz oluşturabilirler, ancak her oyuncunun diğer oyuncunun bir sonraki turda oyunu bitireceğinden korkması, erken sonlandırma kararlarını teşvik eder.

Kırkayak Oyunu (Centipede Game) (2/2)

Stratejik Kararsızlık: Oyuncular, birbirlerine güvenmedikleri için her fırsatta oyunu bitirmenin en iyi strateji olduğunu düşünürler. Bu, oyunun sonucunu belirler.
Geriye Dönük Mantık: Oyunun sonundan başa doğru düşünerek, her oyuncu son hamlede oyunu bitireceğini varsayar ve bu varsayım oyun boyunca devam eder.
Önemli Noktalar:
SPE’nin Önemi: Subgame Perfect Equilibrium, tüm alt oyunlar için en iyi stratejiyi temsil eder ve bu dengeye göre oyuncuların her fırsatta oyunu sonlandırmaları beklenir.
İşbirliği Dilemma: Oyuncuların daha büyük bir kazanç için işbirliği yapma potansiyeli vardır, ancak stratejik olarak her biri diğerine güvenmediği için bu potansiyel genellikle gerçekleşmez.
Oyunun Yapısı: Kırkayak Oyunu, stratejik kararların ve güvenin önemini vurgulayan klasik bir oyun teorisi problemidir.

Son

Bölüm 2: Oyun Kuramına Giriş

Sonraki bölüm: Bölüm 3: Nash Dengesi

← → veya boşluk ile gezinin · F: tam ekran · Home/End: ilk/son slayt